湘教版九年级上第二章一元二次方程单元检测试卷含答案解析

湘教版九年级数学上册 第二章 一元二次方程 单元检测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.若 (???2)
??
??
2
?2
=3 是关于x的一元二次方程，则a的值是（????? ）
A.?0??????????????????????????????????????????/B.?2??????????????????????????????????????????/C.?-2??????????????????????????????????????????/D.?±2
2.已知x1 ， x2是一元二次方程x2+2x﹣3=0的两根，则x1+x2 ， x1x2的值分别为（ ?）
A.?﹣2，3???????????????????????????????/B.?2，3???????????????????????????????/C.?3，﹣2???????????????????????????????/D.?﹣2，﹣3
3.已知二次函数y=kx2﹣7x﹣7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为（?? ）
A.?k＞ ?
7
4
????????????????????/B.?k＞ ?
7
4
且k≠0????????????????????/C.???≥?
7
4
????????????????????/D.???≥?
7
4
且k≠0
4.下列方程中两个实数根的和等于2的方程是（??? ）
A.?2x2-4x+3=0????????????????????/B.?2x2-2x-3=0????????????????????/C.?2y2+4y-3=0????????????????????/D.?2t2-4t-3=0
5.下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的方程是（　　）
A.?x2﹣3x+1=0??????????????????????/B.?x2+1=0??????????????????????/C.?x2﹣2x+1=0??????????????????????/D.?x2+2x+3=0
6.一元二次方程x2+kx-3=0的一个根是x=1，则k的值为（　　）
A.?2?????????????????????????????????????????/B.?－2?????????????????????????????????????????/C.?3?????????????????????????????????????????/D.?－3
7.用公式法解方程（x+2）2=6（x+2）﹣4时，b2﹣4ac的值为（　　）
A.?52????????????????????????????????????????B.?32????????????????????????????????????????C.?20???????????????????????????????????????D.?﹣12
8.关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4=0有一个根为0，则m的值应为（??? ）
A.2 B.﹣2 C.2或﹣2 D.1
9.已知 /，则m2+n2的值为（　　）
A.?-4或2??????????????????????????????????????/B.?-2或4??????????????????????????????????????/C.?-4??????????????????????????????????????/D.?2
10.如果关于x的一元二次方程x2﹣4|a|x+4a2﹣1=0的一个根是5，则方程的另一个根是（　　）
A.?1??????????????????????????????????????????B.?5??????????????????????????????????????????C.?7??????????????????????????????????????????D.?3或7
二、填空题（共10题；共30分）
11.已知x＝2是方程
??
2
+????+2=0 的一个根，则m的值是________．
12.已知3是一元二次方程x2﹣4x+c=0的一个根，则方程的另一个根是________．
13.如果关于x的方程x2﹣2x+k=0（k为常数）有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是________．
14.某工厂三月份的利润为90万元，五月份的利润为108.9万元，则平均每月增长的百分率为________?
15.关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=﹣1，（a，b，m均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是________?．
16.若分式
??
2
????2
??+1
的值为零，则x=________．
17.若方程x2＋2x－11＝0的两根分别为m、n，则mn（m＋n）＝________．
18.如果关于x的方程x2﹣5x+k=0没有实数根，那么k的值为________?
19.若关于 ?? 的方程 (???2)(
??
2
?4??+??)=0 有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则 ?? 的取值范围是________.
20.关于x的方程mx2+x-m+1=0，有以下三个结论：①当m=0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是________（填序号）
三、解答题（共8题；共60分）
21.解方程：
（1）
??
2
?9=0 （2）
x
2
+2??=1
22.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0.（1）当m=3时，判断方程的根的情况；（2）当m=－3时，求方程的根.
23.我市一家电子计算器专卖店每只进价13元，售价20元，为了扩大销售，该店现规定，凡是一次买10只以上的，每多买1只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，例如，某人买20只计算器，于是每只降价0.10×(20－10)=1(元)，因此，所买的全部20只计算器都按照每只19元计算，但是最低价为每只16元。问一次卖多少只获得的利润为120元？
24.如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为（x2+17）cm，正六边形的边长为（x2+2x）cm（其中x>0）.求这两段铁丝的总长./
25.如图，已知，在直角坐标系xOy中，直线? y=
4
3
x+8与x轴、y轴分别交于点A、C，点P从A点开始以1个单位/秒的速度沿x轴向右移动，点Q从O点开始以2个单位/秒的速度沿y轴向上移动，如果P、Q两点同时出发，经过几秒钟，能使△PQO的面积为8个平方单位．com/?
26.一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．若图案中三条彩条所占面积是图案面积的
2
5
，求横、竖彩条的宽度． /
27.巴中市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于有关部门关于房地产的新政策出台后，部分购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售，若两次下调的百分率相同，求平均每次下调的百分率．
28.如图，等边三角形ABC的边长为6cm，点P自点B出发，以1cm/s的速度向终点C运动；点Q自点C出发，以1cm/s的速度向终点A运动．若P，Q两点分别同时从B，C两点出发，问经过多少时间△PCQ的面积是2
3
cm2？/

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】C
【考点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】由题意得：
??
2
?2=2,???2≠0 ?，解得：a=-2.故答案为：C.【分析】根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数是2，未知数的最高次项的系数不能为0，从而得出混合组，求解得出a的值。
2.【答案】D
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】由题意知，x1+x2=-
??
??
=?2 ，x1?x2=
??
??
=?3 .
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-
??
??
,x1?x2=
??
??
即可直接得出答案。
3.【答案】B
【考点】根的判别式，二次函数的定义，抛物线与x轴的交点
【解析】【解答】∵二次函数 ??=??
??
2
?7???7 的图象与 ?? 轴有两个交点，∴ {
??≠0
(?7)
2
?4×??×(?7)>0
，解得 ??>?
7
4
且 ??≠0 ，故答案为：B.【分析】根据已知得出b2-4ac＞0且k≠0，建立不等式求解即可。
4.【答案】D
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】A、由△=(-4)2-4×2×3=-8<0,故方程无实数根，A不符合题意；B、△=(-2)2-4×2×(-3)=28>0，则x1+x2=1，B不符合题意；C、△=42-4×2×(-3)=40>0,则x1+x2=-2，C不符合题意；D、△=(-4)2-4×2×(-3)=40>0，则x1+x2=2，D符合题意.故答案为：D.【分析】两个实数根的和等于2的一元二次方程，首先满足原方程有实数根即b2-4ac≥0，再利用根与系数的关系求出方程的两根之和为2.可解答。
5.【答案】A
【考点】根的判别式
【解析】【分析】当根的判别式△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根。A选项中，△=9-4=5>0，方程有两个不相等的实数根；B选项中，△=—4<0，方程无实数根；C选项中，△=4-4=0，方程有两个相等的实数根；D选项中，△=4-12=-8<0方程无实数根。故选A.
6.【答案】A
【考点】一元二次方程的解
【解析】【解答】把x=1代入x2+kx-3=0中，得
1+k-3=0，解得k=2，故选A．
【分析】x2+kx-3=0的一个根是x=1，那么就可以把x=1代入方程，从而可直接求k．本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是理解根与方程的关系．
7.【答案】C
【考点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵（x+2）2=6（x+2）﹣4∴x2﹣2x﹣4=0∴a=1，b=﹣2，c=﹣4∴b2﹣4ac=4+16=20．故选C．【分析】此题考查了公式法解一元一次方程，解此题时首先把方程化简为一般形式，然后找a、b、c，最后求出判别式的值．
8.【答案】B
【考点】一元二次方程的定义及相关的量，一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4=0有一个根为0，
∴m2﹣4=0且m﹣2≠0，
解得，m=﹣2．
故答案为：B
【分析】已知方程是一元二次方程，因此m﹣2≠0；若有一个根为0，则c=0即m2﹣4=0，解方程和不等式，可解答。
9.【答案】D
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法
【解析】【解答】设y= m2+n2 ， 原方程变形为y（y+2）-8=0整理得，y2+2y-8=0，（y+4）（y-2）=0，解得y1=-4，y2=2，∵m2+n2≥0，所以m2+n2的值为2，故选D．【分析】本题考查了换元法解一元二次方程：我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的
10.【答案】D
【考点】根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为m，由韦达定理可得：5+m=4|a|，即|a|=
5+??
4
①，5m=4a2﹣1 ②，把①代入②得：5m=
5+??
2
16
×4﹣1，整理得：m2﹣10m+21=0，解得：m=3或m=7，故选：D．【分析】设方程的另一个根为m，根据韦达定理可得关于a、m的二元一次方程组，解方程组可得m的值．
二、填空题
11.【答案】-3
【考点】一元二次方程的解
【解析】【解答】∵x＝2是方程的一个根，∴22+2×m+2=0，∴m=-3，故答案为：-3.【分析】根据x＝2是方程的一个根，将其代入一元二次方程，求出m即可.
12.【答案】1
【考点】根与系数的关系
【解析】【解答】解：设另一个根为t，根据题意得3+t=4，解得t=1，则方程的另一个根为1．故答案为：1．【分析】设另一个根为t，根据方程根与系数的关系得出3+t=4，求解即可。
13.【答案】k＜1
【考点】根的判别式
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+k=0（k为常数）有两个不相等的实数根，∴△＞0，即（﹣2）2﹣4×1×k＞0，解得k＜1，∴k的取值范围为k＜1．故答案为：k＜1．【分析】由已知条件根据判别式进行计算，即可得到k的取值范围．
14.【答案】10%
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】解：设该商店平均每月利润增长的百分率是x，
依题意得：90（1+x）2=108.9，
∴1+x=±1.1，
∴x=0.1=10%或x=﹣2.1（负值舍去）．
即该商店平均每月利润增长的百分率是10%．
故答案为：10%
【分析】设该商店平均每月利润增长的百分率是x，那么四月份的利润为90（1+x），五月份的利润为90（1+x）（1+x），然后根据五月份的利润达到108.9万元即可列出方程，解方程即可．
15.【答案】x3=0，x4=﹣3　
【考点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=﹣1，（a，m，b均为常数，a≠0），∴方程a（x+m+2）2+b=0变形为a[（x+2）+m]2+b=0，即此方程中x+2=2或x+2=﹣1，解得x=0或x=﹣3．故答案为：x3=0，x4=﹣3．【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．
16.【答案】2
【考点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：依题意得x2﹣x﹣2=0，解得x=2或﹣1，∵x+1≠0，即x≠﹣1∴x=2【分析】根据分式值为0的条件是：分子＝0且分母≠0，可得出x2﹣x﹣2=0且x+1≠0，再利用因式分解法求出此方程的根，可求解。
17.【答案】22
【考点】代数式求值，一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵方程x2＋2x－11＝0的两根分别为m、n，∴m+n=-2,mn=-11,∴mn(m＋n)＝-11×(-2)=22.【分析】根据根与系数的关系得出m+n=-2,mn=-11,再整体代入即可得出代数式的值。
18.【答案】k＞
25
4

【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2﹣5x+k=0没有实数根，∴△＜0，即△=25﹣4k＜0，∴k＞
25
4
， 故答案为：k＞
25
4
． 【分析】根据题意可知方程没有实数根，则有△=b2﹣4ac＜0，然后解得这个不等式求得k的取值范围即可．
19.【答案】3＜m≤4
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的方程（x-2）（x2-4x+m）=0有三个根，∴①x-2=0，解得x1=2；②x2-4x+m=0， ∴△=16-4m≥0，即m≤4，∴x2=2+
4?m
x3=2-
4?m
又∵这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，且最长边为x2 ， ∴x1+x3＞x2；解得3＜m≤4，∴m的取值范围是3＜m≤4．故答案为：3＜m≤4【分析】利用积为0的因数特点，可得出x-2=0或x2-4x+m=0，进而求出三个根，利用三角形构成条件，利用两根之和关系式，求出m的范围.
20.【答案】①③
【考点】一元一次方程的解，根的判别式
【解析】【解答】当m=0时，x=-1，方程只有一个解，①正确；当m≠0时，方程mx2+x-m+1=0是一元二次方程，△=1-4m（1-m）=1+4m+4m2=（2m+1）2≥0，方程有两个实数解，②错误；当x=-1时，m-1-m+1=0，即x=-1是方程mx2+x-m+1=0的根，③正确；答案为①③【分析】分别讨论m=0和m≠0时方程mx2+x-m+1=0根的情况，进而填空论
三、解答题
21.【答案】（1）解：
??
2
?9=0
??=±3
（2）解：
x
2
+2??+1=2
??+
1
2
=2
??+1=±
2

??
1
=
2
?1，
??
2
=?
2
?1
【考点】直接开平方法解一元二次方程，配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）观察方程的特点：缺一次项，因此可以利用直接开平方法求解。（2）观察方程系数的特点：二次项系数为1，一次项系数是偶数，可以利用配方法或公式法求方程的解。
?
?
22.【答案】解：（1）∵当m=3时，△=b2-4ac=22-4×3=-8＜0，∴原方程无实数根；（2）当m=-3时，原方程变为x2+2x-3=0，∵（x-1）（x+3）=0，∴x-1=0，x+3=0，∴x1=1，x2=-3．
【考点】解一元二次方程﹣配方法，解一元二次方程﹣公式法，解一元二次方程﹣因式分解法，根的判别式
【解析】【分析】（1）判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以判断出根的情况；（2）把m的值代入方程，用因式分解法求解即可．
23.【答案】解：设一次卖x只，所获得的利润为120元，根据题意得：x[20-13-0.1（x-10）]=120解之得：x=20或x=60（舍去）。（因为最多降价到16元，所以60舍去。）答：一次卖20只时利润可达到120元。
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】设一次卖x只，所获得的利润为120元，根据我市一家电子计算器专卖店每只进价13元，售价20元，为了扩大销售，该店现规定，凡是一次买10只以上的，每多买1只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，可列方程求解。
24.【答案】解：由已知得，正五边形周长为5（x2+17）cm，正六边形周长为6（x2+2x）cm，∵正五边形和正六边形的周长相等，∴5（x2+17）=6（x2+2x），整理得x2+12x-85=0，配方得（x+6）2=121，解得x1=5，x2=-17（舍去），故正五边形的周长为5（52+17）=210(cm).又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为420cm.答：这两段铁丝的总长为420cm.
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】根据正五边形和正六边形的周长相等，列一元二次方程求x的值，得出正六边形的边长，再根据所求边长即可求两段铁丝的总长．
25.【答案】?解：直线AC与x轴交于点A（－6，0），与y轴交于点C（0，8），∴OA=6，OC=8．设经过x秒钟，能使△PQO的面积为8个平方单位，则Rt△PQO的高OQ为2x ． 当 /时，点P在线段OA上，底OP为6－x ， 可列方程 /，解得： /；当 /时，点P与点O重合或在线段OA的延长线上，底OP为x－6，可列方程 /，解得： /，而 /不合题意舍去；综上所述，经过2秒，4秒或 /秒能使△PQO的面积为8个平方单位.
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】分类讨论思想是数学中的一个重要的思想．
26.【答案】解：设竖彩条的宽度为xcm，则横彩条的宽度为 /xcm． 根据题意，得：20× /x+2×12?x﹣2× /x?x=﹣3x2+54x= /×20×12，整理，得：x2﹣18x+32=0，解得：x1=2，x2=16（舍去），∴ /x=3．答：横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为2cm．
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】设竖彩条的宽度为xcm，则横彩条的宽度为
3
2
xcm，根据三条彩条所占面积是图案面积的
2
5
，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
27.【答案】解：设平均每次下调的百分率为x，根据题意得：5000（1﹣x）2=4050，解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）．答：平均每次下调的百分率为10%
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】设平均每次下调的百分率为x，根据调价前后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取小于1的正值即可得出答案.
28.【答案】解：设经过xs△PCQ的面积是2
3
cm2 ， 由题意得
1
2
（6﹣x）×
3
2
x=2
3
解得：x1=2，x2=4，答：经过2s或4s△PCQ的面积是2
3
cm2 ．
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】设经过xs△PCQ的面积是2
3
cm2 ， 由三角形的面积=
1
2
底×高=
1
2
×CP×CP边上的高=2
3
；列方程即可求解。