人教版数学九年级下册
第二十八章 锐角三角函数
28.2 解直角三角形及其应用
28.2.2 应用举例
第1课时 仰角、俯角
知识梳理 分点训练
知识点1 利用解直角三角形解决简单实际问题
1. 某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为( )
A. 3.5sin 29°米 B. 3.5cos 29°米
C. 3.5tan 29°米 D. 米
第1题 第2题
2. 如图，为了测量河岸A，B两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC=a，∠ABC=α，那么AB等于( )
A. a·sin α B. a·cos α C. a·tan α D.
3. 如图，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC的长为6米，∠ACB=50°，则拉线AC的长为( )
A. 米 B. 米
C. 6 cos 50°米 D. 米
第3题 第4题
4. 如图，AB是斜靠在墙上的长梯，D是梯上一点，梯脚B与墙脚的距离为1.6 m(即BC的长)，点D与墙的距离为1.4 m(即DE的长)，BD长为0.55 m，则梯子的长为( )
A. 4.50 m B. 4.40 m C. 4.00 m D. 3.85 m
5. 如图，为了固定一棵珍贵的古树AD，在树干A处向地面引钢管AB，与地面夹角为60°，向高1.5米的建筑物CE引钢管AC，与水平面夹角为30°，建筑物CE离古树的距离ED为6米，求钢管AB的长.(结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73)
知识点2 有关仰角、俯角的测量问题
6. 如果某飞机的飞行高度为m，从飞机上看到地面控制点的俯角为α，那么此时飞机与地面控制点之间的距离是( )
A. m·tan α B. C. D. m·sin α
7. 如图，为测量一幢大楼的高度，在地面上距离楼底O点30 m的点A处，测得楼顶B点的仰角∠OAB=65°，则这幢大楼的高度为( )
A. 30·sin 65° m B. m C. 30·tan 65° m D. m
第7题 第8题
8. 如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D的仰角为67.5°，已知测倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为(结果精确到0.1米，≈1.414)( )
A. 34.14米 B. 34.1米 C. 35.7米 D. 35.74米
9. 如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为 m.
10. 如图，某建筑物AC顶部有一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上，小明在地面D处观测旗杆顶端B的仰角为30°，然后他正对建筑物的方向前进了20米到达地面的E处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，已知建筑物的高度AC=12米，求旗杆AB的高度(结果精确到0.1米).(参考数据：≈1.73，≈1.41)
课后提升 巩固训练
11. 如图，小明站在自家阳台上A处观测到对面大楼底部C的俯角为α，A处到地面B处的距离AB=35 m，则两栋楼之间的距离BC(单位： m)为( )
A. 35tan α B. 35sin α C. D.
第11题 第12题
12. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度.如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等.小明将PB拉到PB′的位置，测得仰角∠PB′C=α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为( )
A. 米 B. 米
C. 米 D. 米
13. 如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为45°，则该高楼的高度大约为( )
A. 82米 B. 163米 C. 52米 D. 30米
第13题 第14题
14. 两名滑冰运动员陈洁和李莉分别在平坦的冰面上的A点和B点如图，A点和B点之间的距离是100米，陈洁离开A以每秒8米的速度沿着与AB成60°角的直线滑行，在陈洁离开A点的同时，李莉以每秒7米的速度也沿着一条直线滑行离开B点，这条直线能使这两名滑冰者最早相遇的时间是( )
A. 18秒 B. 20秒 C. 22秒 D. 秒
15. 某处欲建一观景平台，如图所示，某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采用直升机航拍技术拍摄活动盛况.如图，通过直升机的镜头C观测到水平雪道一端A处的俯角为30°，另一端B处的俯角为45°.若直升机镜头C处的高度CD为300米，点A，D，B在同一直线上，则雪道AB的长度为( )
A. 300米 B. 150米 C. 900米 D. (300＋300)米
第15题 第16题
16. 如图，已知楼高AB为50 m，铁塔塔基与楼房房基间的水平距离BD为50 m，塔高CD为m，下列结论中，正确的是( )
A. 由楼顶望塔顶仰角为60° B. 由楼顶望塔基俯角为60°
C. 由楼顶望塔顶仰角为30° D. 由楼顶望塔基俯角为30°
17. 原设计平台的楼梯长AB=6 m，仰角∠ABC=45°，后考虑到安全因素，将楼梯脚B移到CB延长线上点D处，使仰角∠ADC=30°，则调整后楼梯AD的长为 m.(结果保留根号)
第17题 第18题
18. 如图，为了对一棵倾斜的古杉树AB进行保护，需测量其长度：在地面上选取一点C，测得∠ACB=45°，AC=24 m，∠BAC=66.5°，(参考数据：≈1.414，sin 66.5°≈0.92，cos 66.5°≈0.40，tan 66.5°≈2.30).则这棵古杉树AB的长约为 m.
19. 如图，某数学兴趣小组为了测量河对岸l1的两棵古树A，B之间的距离，他们在河这边沿着与AB平行的直线l2上取C，D两点，测得∠ACB=15°，∠ACD=45°，若l1，l2之间的距离为50 m，则古树A，B之间的距离为 m.
20. 如图，一垂直于地面的灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成45°夹角(∠CDB=45°)，在C点上方2米处加固另一条钢缆ED，ED与地面的夹角为53°(∠EDB=53°)，那么钢缆ED的长度约为多少米?(结果精确到1米，参考数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33)
21. 如图，四边形ABCD是一片水田，某村民小组需计算其面积，测得如下数据：∠A=90°，∠ABD=60°，∠CBD=54°，AB=200 m，BC=300 m.请你计算出这片水田的面积.(参考数据：sin 54°≈0.809，cos 54°≈0.588，tan 54°≈1.376，≈1.732.)
22. 如图，梯子斜靠在与地面垂直(垂足为O)的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO=60°；当梯子底端向右滑动1 m(即BD=1 m)到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO=45°，求梯子的长(结果保留根号).
拓展探究 综合训练
23. 某条道路上通行车辆限速为60千米/时，在离道路50米的点P处建一个监测点，道路AB段为检测区(如图).在△ABP中，已知∠PAB=30°，∠PBA=45°，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内时，可认定为超速(精确到0.1秒)?(参考数据：≈1.41，≈1.73，60千米/时=米/秒)
参考答案
1. A
2. D
3. D
4. B
5. 解：过点C作CF⊥AD于点F，则CF=DE=6，AF=CFtan 30°=6×=2. 所以AD=AF＋DF=2＋1.5，在Rt△ABD中，AB==(2＋1.5)÷=4＋≈6米. 答：钢管AB的长约为6米.
6. C
7. C
8. C
9. 160
10. 解：因为∠BEC=60°，∠BDE=30°，所以∠DBE=60°－30°=30°，所以BE=DE=20，在Rt△BEC中，BC=BE·sin 60°=20×=10≈17.3(米)，所以AB=BC－AC=17.3－12=5.3(米). 答：旗杆AB的高度约为5.3米.
11. D
12. A
13. A
14. B
15. D
16. C
17. 6
18. 18.24
19. (50－)
20. 解：设BD=x米，则BC=x米，BE=(x＋2)米，在Rt△BDE中，tan∠EDB==，即≈1.33，解得x≈6.06，因为sin∠EDB=，即0.80=，解得ED≈10(米)，即钢缆ED的长度约为10米.
21. 解：作CM⊥BD于M，因为∠A=90°，∠ABD=60°，所以∠ADB=30°，所以BD=2AB=400，所以AD=AB=200，所以△ABD的面积=×200×200=20000，因为∠CMB=90°，∠CBD=54°，所以CM=BC·sin 54°≈300×0.809=242.7，所以△BCD的面积=×400×242.7=48540，所以这片水田的面积=20000＋48540≈83180(m2).
22. 解：设梯子的长为x m. 在Rt△ABO中，因为cos∠ABO=，所以OB=AB·cos∠ABO=x·cos 60°=x，在Rt△CDO中，因为cos∠CDO=，所以OD=CD·cos∠CDO=x·cos 45°=x. 因为BD=OD－OB，所以x－x=1，解得x=2＋2. 故梯子的长是(2＋2)m.
