人教版数学九年级下册
第二十八章 锐角三角函数
28.2 解直角三角形及其应用
28.2.2 应用举例
第2课时 方位角、坡度、坡角
知识梳理 分点训练
知识点1 与方位角有关的实际问题
1. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的A处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，则海轮航行的距离AB是( )
A. 2海里 B. 2sin 55°海里 C. 2cos 55°海里 D. 2tan 55°海里
第1题 第2题
2. 如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A处)在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是( )
A. 250米 B. 250米 C. 米 D. 500米
3. 如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A，小明在岸边点B处测得点A在点B的北偏东30°方向上，小明沿河岸向东走80 m后到达点C，测得点A在点C的北偏西60°方向上，则点A到河岸BC的距离为________．
第3题 第4题
4. 如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为 海里(结果取整数，参考数据：sin 55°≈0.8，cos 55°≈0.6，tan 55°≈1.4).
5. 如图，一艘海警船在A处发现北偏东30°方向相距12海里的B处有一艘可疑货船，该艘货船以每小时10海里的速度向正东航行，海警船立即以每小时14海里的速度追赶，到C处相遇，求海警船用多长时间追上了货船?
知识点2 与坡度、坡角有关的实际问题
6. 一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( )
A. 斜坡AB的坡度是10° B. 斜坡AB的坡度是tan 10°
C. AC=1.2tan 10°米 D. AB=米
第6题 第7题
7. 如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1∶0.75，坡长BC＝10米，则此时AB的长约为( )(参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84)
A. 5.1米 B. 6.3米 C. 7.1米 D. 9.2米
8. 为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD. 已知迎水坡面AB＝12米，背水坡面CD＝123米，∠B＝60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tanE＝，则CE的长为 米．
9. 小明沿着坡度i为1∶的直路向上走了50 m，则小明沿垂直方向升高了 m.
10. 某市政府对城市建设进行了整改，如图，已知斜坡AB长60米，坡角(即∠BAC)为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE.若修建的斜坡BE的坡比为∶1，求休闲平台DE的长是多少米?
课后提升 巩固训练
11. 一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要( )
A. m2 B. m2 C. (4＋)m2 D. (4＋4tan θ)m2
第11题 第12题
12. 如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4 km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离(即AB的长)为( )
A. 4 km B. 2km C. 2km D. (＋1) km
13. 如图，长4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为( )
A. 2 m B. 2 m C. (2－2)m D. (2－2)m
第13题 第14题
14. 如图，某轮船在点O处测得一个小岛上的电视塔A在北偏西60°的方向，船向西航行20海里到达B处，测得电视塔A在船的西北方向，若要轮船离电视塔最近，则还需向西航行( )
A. 10(＋1)海里 B. 10(－1)海里
C. 20(＋1)海里 D. 20(－1)海里
15. 如图所示，在A处观察C，得仰角∠CAD=31°，且A，B的水平距离AE=800米，AB的坡度i=1∶2，索道BC的坡度i=2∶3，CD⊥AD于D，BF⊥CD于F.则索道BC的长大约是( )(参考数据：tan 31°≈0.6，cos 31°≈0.9， ≈3.6)
A. 1400米 B. 1440米 C. 1500米 D. 1540米
第15题 第16题
16. 如图是一斜坡的横截面，某人沿着斜坡从P处出发，走了13米到达M处，此时在铅垂方向上上升了5米，那么该斜坡的坡度是 .
17. 如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18 cm，深为30 cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i=1∶5，则AC的长度是 cm.
第17题 第18题
18. 一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该轮船航行的速度为 海里/小时.
19. 如图，海中有一个观测点A，某天上午观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行，B处距离观测点30海里，若该渔船的速度为每小时30海里，问该渔船多长时间到达观测点A的北偏西60°方向上的C处?(计算结果用根号表示，不取近似值)
20. 如图，是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面AC的倾斜角∠BAC=45°，距坡面下A点10米处有一建筑物HQ，为了方便使行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC=30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除(计算最后结果保留一位小数).(参考数据：≈1.414，≈1.732)
21. “蘑菇石”是我省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B点先乘坐缆车到达观景平台DE观景，然后再沿着坡角为29°的斜坡由E点步行到达“蘑菇石”A点，“蘑菇石”A点到水平面BC的垂直距离为1790 m. 如图，DE∥BC，BD=1700 m，∠DBC=80°，求斜坡AE的长度.(结果精确到0.1 m)(参考数据：sin 80°≈0.984 8，cos 80°≈0.1736，sin 29°≈0.484 8，cos 29°≈0.874 6)
拓展探究 综合训练
22. 在某飞机场东西方向的地面l上有一长为1 km的飞机跑道MN(如图)，在跑道MN的正西方14.5千米处有一观察站A.某时刻测得一架匀速直线降落的飞机位于点A的北偏西30°，且与点A相距15千米的B处；经过1分钟，又测得该飞机位于点A的北偏东60°，且与点A相距5千米的C处.
(1)该飞机航行的速度是多少千米/小时?(结果保留根号)
(2)如果该飞机不改变航向继续航行，那么飞机能否降落在跑道MN之间?请说明理由.
参考答案
1. C
2. A
3. 20m
4. 11
5. 解：如图，设t小时追上了货船，则BC=10t，AC=14t，由题意，∠BAF=30°，AB=12，所以∠FBA=60°，FB=6，AF=6，在Rt△ACF中，(6)2＋(6＋10t)2=(14t)2，解得t=2(舍去负值). 答：海警船用2小时追上了货船.
6. B
7. A
8. 8
9. 25
10. 解：因为FD∥AC，所以∠BDF=∠BAC=45°，因为斜坡AB长60米，D是AB的中点，所以BD=30米，所以DF=BD·cos∠BDF=30×=30(米)，BF=DF=30米，因为斜坡BE的坡比为∶1，所以=，解得EF=10(米)，所以DE=DF－EF=30－10(米). 答：休闲平台DE的长是(30－10)米.
11. D
12. C
13. B
14. A
15. B
16. 5∶12
17. 210
18.
19. 解：过点A作AP⊥BC，垂足为P. 在Rt△APB中，因为∠APB=90°，∠PAB=45°，AB=30，所以BP=AP=AB=30. 在Rt△APC中，因为∠APC=90°，∠PAC=30°，所以tan∠PAC=，所以CP=AP·tan∠PAC=30. 因为PC＋BP=BC=30＋30，所以航行时间(30＋30)÷30=(1＋)(小时).即该渔船航行(1＋)小时到达C处.
20. 解：由题意得AH=10米，BC=10米，在Rt△ABC中，∠CAB=45°，所以AB=BC=10米，在Rt△DBC中，∠CDB=30°，所以DB==10米，所以DH=AH－AD=AH－(DB－AB)=10－10＋10=20－10≈2.7(米)，因为2.7米<3米，所以该建筑物需要拆除.
21. 解：过点D作DF⊥BC于点F，延长DE交AC于点M，由题意可得EM⊥AC，DF=MC，∠AEM=29°，在Rt△DFB中，sin 80°=，则DF=BD·sin 80°=1700sin 80°，AM=AC－CM=1790－1700·sin 80°，在Rt△AME中，sin 29°=，故AE==≈238.9(m). 答：斜坡AE的长度约为238.9 m.
22. 解：(1)由题意，得∠BAC=90°，所以BC==10，所以飞机航行的速度为10×60=600(km/h).
