河北省武邑中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题 word版

武邑中学2018-2019学上学期高二期末考试
数学（理）试题

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，其中为虚数单位，表示复数的共轭复数，则( )
A. B. C. D.
3.如图所示的长方形的长为2，宽为1，在长方形内撒一把豆子(豆子大小忽略不计)，然后统计知豆子的总数为粒，其中落在飞鸟图案中的豆子有粒，据此请你估计图中飞鸟图案的面积约为( )

A. B. C. D.
4. 按照程序框图(如右图)执行，第4个输出的数是（ ）
A．4 B．5
C．6 D．7



5.设，若，则( )
A. B. C. D.
6．在三棱柱中，若，，，则　　
A． B． C． D．

7.已知三棱锥中，与是边长为2的等边三角形且二面角为直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.执行如图所示的程序框图(其中表示等于除以10的余数)，则输出的为( )

A.2 B.4 C.6 D.8
9.某几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥构成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A. B. C. D.
10.已知双曲线，是左焦点，，是右支上两个动点，则的最小值是( )
A.4 B.6 C.8 D.16
11.已知，，且.若恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C. D．
12.已知且，若当时，不等式恒成立，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.正三角形的边长为1，是其重心，则 .
14.14.命题“当时，若，则.”的逆命题是 ．
15.已知椭圆，和是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，若的内切圆半径为1，，，则椭圆离心率为 .
16.如图，在三棱锥，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知数列是等差数列，，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列为递增数列，数列满足，求数列的前项和.
18.为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少参加一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们参加“爱心送考”的次数统计如图所示.

(1)求该出租车公司的司机参加“爱心送考”的人均次数；
(2)从这200名司机中任选两人，设这两人参加送考次数之差的绝对值为随机变量，求的分布列及数学期望.
19.（12分）已知函数的图象过点P（1,2），且在处取得极值
（1）求的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）求函数在上的最值

20.已知点在抛物线上，是抛物线上异于的两点，以为直径的圆过点.
(1)证明：直线过定点；
(2)过点作直线的垂线，求垂足的轨迹方程.
21.（本大题满分12分）
如图，在五面体中，棱底面，.底面是菱形，.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.





22.（本大题满分12分）
已知椭圆过点,且离心率
（I）求椭圆的标准方程
（II）是否存在过点的直线交椭圆与不同的两点,且满足 (其中为坐标原点)。若存在,求出直线的方程；若不存在,请说明理由。

23.如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，为中点．（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值；
（3）求点到平面的距离．



高二数学(理科)参考答案
1-5:CABDB 6-10:BDDAC 11、12：CA
13. 14.当时，若，则 15. 16.
17.解：(1)由题意得，所以，
时，，公差，所以，时，，公差，所以.
(2)若数列为递增数列，则，所以，，，
所以 ，
，
所以
，所以.
18.解：由图可知，参加送考次数为1次，2次，3次的司机人数分别为20，100，80.
(1)该出租车公司司机参加送考的人均次数为：
.
(2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人参加1次，另一个参加2次送考”为事件，“这两人中一人参加2次，另一人参加3次送考”为事件，“这两人中一人参加1次，另一人参加3次送考”为事件，“这两人参加次数相同”为事件.
则，，
.
的分布列：

0 1 2

的数学期望.
19. （12分）【解析】
（1）∵函数的图象过点P（1,2），
（1分）
又∵函数在处取得极值，
因
解得， （3分）
经检验是的极值点 （4分）
（2）由（1）得，
令＞0，得＜-3或＞，
令＜0，得-3＜＜， （6分）
所以，函数的单调增区间为，
单调减区间为 （8分）
（3）由（2）知，在上是减函数，在上是增函数
所以在上的最小值为， （10分）
又
所以在上的最大值为
所以，函数在上的最小值为，最大值为 （12分）

20.解：(1)点在抛物线上，代入得，所以抛物线的方程为，
由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为，设，，
联立得，得，，
由于，所以，即，
即.(*)
又因为，，
代入(*)式得，即，
所以或，即或.
当时，直线方程为，恒过定点，经验证，此时，符合题意；
当时，直线方程为，恒过定点，不合题意，
所以直线恒过定点.
(2)由(1)，设直线恒过定点，则点的轨迹是以为直径的圆且去掉，方程为.
21.解：（Ⅰ）在菱形中，，
∵，，∴.
又，面，∴.
（Ⅱ）作的中点，则由题意知，
∵，∴.
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，

设，则，，，，
∴，，.
设平面的一个法向量为，
则由，，得，
令，则，，即，
同理，设平面的一个法向量为，
由，，得，
令，则，，即，
∴，即二面角的余弦值为.
22.（1）∵椭圆过点,且离心率
解得,
∴椭圆的方程为
（2）假设存在过点的直线交椭圆于不同的两点,且满足
若直线的斜率不存在,且直线过点,则直线即为轴所在直线
∴直线与椭圆的两不同交点就是椭圆短轴的端点,


∴直线的斜率必存在,不妨设为,
∴可设直线的方程为,即
联立,消得,
∵直线与椭圆相交于不同的两点
得: 或①
设,

?
又,

化简得,
或,经检验均满足①式
∴直线的方程为: 或
∴存在直线或满足题意

23.解：（1）在中，为中点，所以．
又侧面底面，平面平面，平面，
所以平面． （4分）
（2）连结，在直角梯形中，, ，有且，所以四边形是平行四边形，所以．
由（1）知，为锐角，所以是异面直线与所成的角．
因为，在中， ，，所以，
在中，因为，，所以，
在中，，，
所以异面直线与所成的角的余弦值为 （8分）
（3）由（2）得，在中，，
所以，．又
设点到平面的距离，由
得，即，解得． （12分）






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