高中数学第二章数列2.3等差数列的前n项和（二）课件新人教B版必修5（24张PPT）

课件24张PPT。2．3　等差数列的前n项和(二)[学习目标]1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质.
2.掌握等差数列前n项和的最值问题.
3.理解an与Sn的关系，能根据Sn求an.如果已知数列{an}的前n项和Sn的公式，如何求它的通项公式？如果一个数列的前n项和的公式是Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c为常数)，那么这个数列一定是等差数列吗？[知识链接] (n≥2).1.数列中an与Sn的关系
对任意数列{an}，Sn与an的关系可以表示为
an＝ 　　　 (n＝1)，Sn－Sn－1S1[预习导引]2.由数列的Sn判断数列的类型
由于等差数列前n项和公式Sn＝na1＋
令A＝，B＝a1－ ，则Sn＝ ，
所以Sn是关于n的常数项为0的 函数，反过来，对任意数列{an}，如果Sn是关于n的常数项为0的 函数，那么这个数列也是 数列.An2＋Bn二次二次等差3.等差数列前n项和的最值
(1)在等差数列{an}中，当a1＞0，d＜0时，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式组 确定；
当a1＜0，d＞0时，Sn有 值，使Sn取到最值的n可由不等式组 确定.最小(2)因为 若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有 值；当d＜0时，Sn有 值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值.最小最大例1　已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋ n，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解　根据Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an与Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1
(n＞1)，可知，当n＞1时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋ n－[(n－1)2＋
(n－1)]＝2n－ ， ①探究一　利用Sn与an的关系求an规律方法　已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1，再由n≥2时，an＝Sn－Sn－1求an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示.变式训练1　已知数列{an}的前n项和Sn＝3n，求an.解　当n＝1时，a1＝S1＝3；
n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2·3n－1.
当n＝1时，代入an＝2·3n－1得a1＝2≠3.例2　 已知等差数列 …的前n项和为Sn，求使得Sn最大的序号n的值.探究二　等差数列前n项和的最值于是，当n取与 最接近的整数即7或8时，Sn取最大值. 另解an＝a1＋(n－1)d＝5＋(n－1)
an＝ 解得n≥8，即a8＝0，a9＜0.所以和是从第9项开始减小，而第8项为0，
所以前7项和或前8项和最大.规律方法　在等差数列中，求Sn的最大(小)值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正(负)值或零，而它后面的各项皆取负(正)值，则从第1项起到该项的各项的和为最大(小).由于Sn为关于n的二次函数，也可借助二次函数的图象或性质求解.变式训练2　在等差数列{an}中，an＝2n－14，试用两种方法求该数列前n项和Sn的最小值.解　法一　∵an＝2n－14，∴a1＝－12，d＝2.
∴a1∴当n＝6或n＝7时，Sn取到最小值.
易求S7＝－42，∴(Sn)min＝－42.法二　∵an＝2n－14，∴a1＝－12.
∴当n＝6或n＝7时，Sn最小，且(Sn)min＝－42.例3　已知数列{an}的前n项和Sn＝ 求数列{|an|}的前n项和Tn.探究三　求数列{|an|}的前n项和当n≥2时，an＝Sn－Sn－1∵n＝1也适合上式，
∴数列通项公式为an＝－3n＋104(n∈N*).
由an＝－3n＋104≥0，得n≤34.7.
即当n≤34时，an>0；当n≥35时，an<0.
(1)当n≤34时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an(2)当n≥35时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an|
＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an)
＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an) ＝2S34－Sn规律方法　等差数列的各项取绝对值后组成数列{|an|}.若原等差数列{an}中既有正项，也有负项，那么{|an|}不再是等差数列，求和关键是找到数列{an}的正负项分界点处的n值，再分段求和.变式训练3　若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.解　∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.
当n≤4时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)
＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn1.因为an＝Sn－Sn－1只有n≥2时才有意义.所以由Sn求通项公式an＝f(n)时，要分n＝1和n≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示.课堂小结2.求等差数列前n项和最值的方法：
(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观.3.求等差数列{an}前n项的绝对值之和，关键是找
到数列{an}的正负项的分界点.