北师大版 数学 八年级下 1.1 等腰三角形（2） 教学设计
课题
1.1 等腰三角形（2）
单元
第一章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
知识与技能：进一步探究等腰三角形的特殊性质，掌握等边三角形的性质，并能利用等边三角形的性质解决实际问题；
过程与方法：经历“猜想—验证—总结－归纳—应用－提高”的探究过程，通过经历“做数学”的过程，培养探究数学问题的能力；
情感态度与价值观：体验数学充满着探索与创造，感受数学的严谨性，培养学习数学的兴趣.
重点
等腰三角形的特殊性质及等边三角形的性质.
难点
等边三角形性质与应用
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
新知导入
同学们，在上一节课的学习中，我学探究了等腰三角形的性质，下面请同学们回答：
问题：等腰三角形都有哪些性质呢？
答案：1、等腰三角形的两底角相等.（等边对等角）
2、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一).
学生根据老师的提问回答问题.
通过回顾等腰三角形的性质，为其特殊性质及等边三角形性质的探究做好铺垫
新知讲解
下面，让我们一起完成下面的问题：
画一画：在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)
答案：
/
追问1：你能发现其中一些相等的线段吗？
答案：等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的中线、高线也分别相等．
追问2：你能证明你的结论吗？
例1：证明：等腰三角形两底角的平分线相等.
已知：如图, 在△ABC中, AB=AC, BD和CE是△ABC的角平分线.
求证：BD=CE.
/
/
练习1：证明：等腰三角形两腰上的中线相等.
已知：如图, 在△ABC中, AB=AC, BD和CE是△ABC的中线.
求证：BD=CE.
/
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
又∵ BD，CE分别平分AC和AB，
∴CD=BE.
在△BDC与△CEB中，
∵CD=BE,∠ACB=∠ABC，BC=CB,
∴△BDC≌△CEB（SAS）.
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).
即：等腰三角形两腰上的中线相等.
练习2：证明：等腰三角形两腰上的高相等.
已知：如图, 在△ABC中, AB=AC, BD和CE是△ABC的高.
求证：BD=CE.
/
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
又∵ BD，CE分别是△ABC的高，
∴ ∠CDB=∠BEC=90 °,
在△BDC与△CEB中，
∵ ∠CDB=∠BEC,∠ACB=∠ABC，BC=CB,
∴△BDC≌△CEB（AAS）.
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).
即：等腰三角形两腰上的高相等.
议一议：如图, 在△ABC中, AB=AC, 点D、E分别在边AC和AB上.
/
(1)如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，那么BD=CE吗?如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB呢?由此，你能得到一个什么结论?
答案：相等
发现：在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，那么BD=CE.
(2)如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE吗? 如果AD=AC，AE=AB呢?由此，你能得到一个什么结论?
答案：相等
发现：在△ABC中，如果AB=AC，AD=AC，AE=AB，那么BD=CE.
想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征？
猜想：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°
例2：已知：如图，在△ABC中，AB=AC=BC.
求证：∠A=∠B=∠C=60°.
证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C(等边对等角).
又∵AC=BC，
∴∠A=∠B(等边对等角).
∴∠A=∠B=∠C.
在△ABC中，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A=∠B=∠C＝60°.
归纳：等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°
符号语言：
∵△ABC是等边三角形（或AB=AC=BC），
∴∠A=∠B=∠C=60°.
练习3：如图，已知△ABC是等边三角形，D，E，F分别是三边AB，AC，BC上的点，且DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，计算△DEF各个内角的度数．
/
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.
∵DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，
∴∠AED＝∠EFC＝∠FDB＝90°.
∴∠ADE＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.
∴∠EDF＝180°－30°－90°＝60°.
同理可得∠DEF＝∠EFD＝60°.
即△DEF各个内角的度数都是60°.
学生动手画图，并根据作图找出相等的线段，并得出猜想.
在老师的引导下对猜想所得出的结论进行证明，证明完成后班内交流，并认真听老师讲评.
.
学生独立完成对猜想的证明，然后小组交流，并真听老师的讲解.
学生小组讨论得出结论，并对结论进行证明，然后班内交流，最后听老师的点评.
学生根据等腰三角形的性质进行猜想，然后对所猜想的结论进行证明，完成后班内交流.
跟老师一起学习“等边三角形性质”的符号语言表达形式.
学生独立完成练习，并小组交流，然后老师点评.
探究等腰三角形特殊的性质.
培养学生几何证明的能力.
对等腰三角形特殊的性质进行拓展.
探究等边三角形的性质.
体会等边三角形性质定理的推论的几何语言表达形式.
提高学生对等边三角形的性质的应用，并进一步体会证明的方法和步骤.
课堂练习
1.在等腰三角形ABC中，AB＝AC，那么下列说法中不正确的是( )
A．BC边上的高线和中线互相重合
B．AB和AC边上的中线相等
C．AB，BC边上的高线相等
D．顶点B处的角平分线和顶点C处的角平分线相等
答案：C
2. 下面关于等边三角形的说法正确的有( )
①三个角都相等；
②三条边都相等；
③是一种特殊的等腰三角形；
④是一种特殊的直角三角形；
⑤等边三角形也叫做正三角形.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
答案：C
学生自主完成课堂练习，做完之后班级内交流.
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.
拓展提高
如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连接CE，DE.
求证：EC＝ED．
/
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°，AB＝BC.
如图，以BE为边，∠B为内角作等边三角形BEF.
/
∴BE＝BF＝EF，∠F＝60°.
∵AE＝BD，
∴BE－AE＝BF－BD，
即AB＝DF.
∴BC＝DF.
在△ECB和△EDF中，
BE＝FE，∠B＝∠F＝60°，BC＝FD，
∴△ECB≌△EDF(SAS)．
∴EC＝ED.
在师的引导下完成问题.
提高学生对知识的应用能力
中考链接
下面让我们一起赏析一道中考题：
（2018·玉林）如图，∠AOB=60°，OA=OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（ ）
/
A．平行 B．相交 C．垂直 D．平行、相交或垂直
答案：A
在师的引导下完成中考题.
体会所学知识在中考试题运用.
课堂总结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
问题1、说一说等腰三角形的特殊性质？
答案：（1）等腰三角形两底角的平分线相等；
（2）等腰三角形两腰上的中线相等；
（3）等腰三角形两腰上的高相等.
问题2、说一说等边三角形的性质？
答案：（1）等边三角形的三边都相等；
（2）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
注意：（1）等边三角形是轴对称图形
（2）等边三角形的各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等．
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识.
帮助学生加强记忆知识.
作业布置
基础作业
教材第7页习题1.2第1、3题
能力作业
教材第7页习题1.2第4题
学生课下独立完成.
检测课上学习效果.
板书设计
借助板书，让学生知道本节课的重点。
/
1.1 等腰三角形（2）
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题8分）
1．等边△ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
2．正三角形的边长为4，AD是BC边上的高，则BD是（ ）
A．1??? B．2??? C．3?? D．4
3．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别AB、AC是上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分的周长为（ ）cm
A．1 B．2 C．3 D．4
/ / /
第3题图 第4题图 第5题图
4．如图，在等边△ABC中，M是AC上一点，N是BC上一点，且AM＝BN，∠MBC＝25°，AN与BM交于点O，则∠MON的度数为（ ）
A．110° B．105° C．90° D．85°
5．如图，如图，在△ABC中，AB＝AC，下列条件中，不能使BD＝CE的是( )
A．BD，CE为AC，AB边上的高 B．BD，CE都为△ABC的角平分线
C．∠ABD＝∠ABC，∠ACE＝∠ACB D．∠ABD＝∠BCE
二．填空题（共4小题，每题5分）
6．如图，△ABC是等边三角形，则∠ABD=____度．
/ / /
第6题图 第8题图 第9题图
7．等腰三角形两底角的平分线________，两腰上的高________，两腰上的中线________．
8．三个等边三角形的摆放位置如图，若∠3=60°，则∠1＋∠2=___________
9．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．则下列结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP．其中正确的是______．
三．解答题（共3小题，第10题10分，第11、12题各15分）
10．如图,在△ABC中,AB=AC,D,E分别是AB,AC的中点,且CD=BE,△ADC与△AEB全等吗?请说明理由.
/
11．如图，在等边三角形ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边三角形EDC，连接AE.
(1)△DBC和△EAC全等吗？请说出你的理由；
(2)试说明AE∥BC.
/
12．如图，△ABC为等边三角形，点P为边BC上一点，在AC上取一点D，使AD＝AP.
(1)若∠APD＝80°，求∠DPC的度数；
(2)若∠APD＝α，求∠BAP(用含α的式子表示)．
/
试题解析
1．A
【解析】据已知条件和等边三角形的性质可知：∠1=∠2=
1
2
∠ABC=30°，所以∠3=∠1+∠2=60°．
/
2．B
【解析】根据等边三角形三线合一的性质即可解答.
解：因为在△ABC中，AD是BC边上的高，
所以BD.
故B项正确.
【点睛】
3．C
【解析】
由题意得到DA′＝DA，EA′＝EA，经分析判断得到阴影部分的周长等于△ABC的周长即可解决问题．
解：如图，由题意得：
/
DA′＝DA,EA′＝EA，
∴阴影部分的周长＝DA′＋EA′＋DB＋CE＋BG＋GF＋CF
＝(DA＋BD)＋(BG＋GF＋CF)＋(AE＋CE)
＝AB＋BC＋AC
＝1＋1＋1＝3(cm)
故选C.
4．A
【解析】根据等边三角形的性质可得∠A=∠B=60°，又因为AM=BN，AB=AB，所以△AMB≌△BNA，从而得到∠NAB=∠MBA=60°-∠MBC=35°，则∠MON=∠AOB=180°-2×35°=110°．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=60°，
∵AM=BN，AB=AB，
在△AMB与△BNA中，
????＝????
∠??＝∠??＝60°
????＝????
，
∴△AMB≌△BNA（SAS），
∴∠NAB=∠MBA=60°-∠MBC=35°，
∴∠AOB=180°-2×35°=110°，
∵∠MON=∠AOB，
∴∠MON=110°．
故选A．
5．D
【解析】利用等腰三角形的性质及特殊的性质进行判断即可得出答案.
解：根据等腰三角形腰上的高相等、底角的平分线相等，即可得出BD＝CE，故选项A、B不符题意；
根据等腰三角形特殊性质，由∠ABD＝∠ABC，∠ACE＝∠ACB，即可得出BD＝CE，故选项C不符题意；
故选D.
6．120
【解析】根据等边三角形的三个内角都等于60度求得∠ABC=60°，然后根据邻补角互补即可求出∠ABD的度数．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠ABD=180°-∠ABC=120°．
故答案为：120．
7．相等，相等，相等
【解析】根据等腰三角形特殊的性质：等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的高相等，两腰上的中线相等，即可得出答案．
故答案为：相等，相等，相等．
8．120°
【解析】先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60°，用∠1，∠2，∠3表示出△ABC各角的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论．
解：∵图中是三个等边三角形，∠3＝60°，∴∠ABC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∠ACB＝180°﹣60°﹣∠2＝120°﹣∠2，∠BAC＝180°﹣60°﹣∠1＝120°﹣∠1．
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴60°+（120°﹣∠2）+（120°﹣∠1）＝180°，∴∠1+∠2＝120°．
故答案为：120°．
/
9．①②③
【解析】利用三角形全等，得到结论，利用排除法即可求解．
解：∵等边△ABC和等边△CDE，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE①成立，
由（1）中的全等得∠CBE=∠DAC，
又∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，即∠ACP=∠BCQ，
又AC=BC，
∴△CQB≌△CPA（ASA），
∴CP=CQ，
又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC=∠DCE=60°，
∴PQ∥AE②成立，
由△CQB≌△CPA得AP=BQ③成立，
故答案为：①②③
10．答案见解析
【解析】由中点定义及AB=AC，可得到AD=AE，再通过SAS证明△ADC≌△AEB即可．
证明：△ADC≌△AEB．理由如下：
∵AB=AC，D，E分别是AB，AC的中点，
∴AD=AE．
在△ADC和△AEB中，
∵AC=AB，∠A=∠A(公共角)，AD=AE，
∴△ADC≌△AEB(SAS)．
11．(1)△DBC和△EAC全等，理由见解析；（2）见解析
【解析】(1)要证两个三角形全等，已知的条件有AC=BC，CE=CD，我们发现∠BCD和∠ACE都是60°减去一个∠ACD，因此两三角形全等的条件就都凑齐了(SAS)；
(2)要证AE∥BC，关键是证∠EAC=∠ACB，由于∠ACB=∠ACB，那么关键是证∠EAC=∠ACB，根据(1)的全等三角形，我们不难得出这两个角相等，也就得出了证平行的条件．
解：(1)△DBC和△EAC全等．
理由：∵△ABC和△EDC都是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，AC＝BC，DC＝EC，
∴∠BCD＝60°－∠ACD，∠ACE＝60°－∠ACD，
∴∠BCD＝∠ACE.
在△DBC和△EAC中，
∵BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，DC＝EC，
∴△DBC≌△EAC(SAS)．
(2)∵△DBC≌△EAC，
∴∠EAC＝∠B＝60°.
又∵∠ACB＝60°，
∴∠EAC＝∠ACB，
∴AE∥BC.
12．(1)∠DPC＝20°；(2)∠BAP＝2α－120°.
【解析】（1）在△APD中，求得∠PAD的度数，进而求得∠APC的度数，进而即可求解；
（2）由（1）解题思路和三角形的内角和定理即可求出∠BAP的度数．
解：（1）在△APD中，AP=AD，
∴∠APD=∠ADP=80°
∴∠PAD=180°-80°-80°=20°
∴∠BAP=60°-20°=40°
∴∠APC=∠B+∠BAP=60°+40°=100°
∴∠DPC=∠APC-∠APD=100°-80°=20°．
（2）∵在△APD中，AP=AD，
∴∠APD=∠ADP=α°
∴∠PAD=180°-α°-α°=180°-2α°
∴∠BAP=60°-（180°-2α°）=（2α-120）°.
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课件25张PPT。等腰三角形（2）数学北师大版 八年级下新知导入想一想：等腰三角形都有哪些性质呢？1、等腰三角形的两底角相等.（等边对等角） 2、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一).D新知讲解画一画：在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)角平分线中线高线你能发现其中一些相等的线段吗？ 你能证明你的结论吗？等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的中线、高线也分别相等． 新知讲解例1：证明：等腰三角形两底角的平分线相等.求证：BD=CE.已知：如图, 在△ABC中, AB=AC, BD和CE是△ABC的角平分线.证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
又∵ BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠1=∠2.新知讲解例1：证明：等腰三角形两底角的平分线相等.求证：BD=CE.已知：如图, 在△ABC中, AB=AC, BD和CE是△ABC的角平分线.在△BDC与△CEB中，
∵∠ACB=∠ABC，BC=CB,∠1=∠2,
∴△BDC≌△CEB（ASA）.
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).
即：等腰三角形两底角的平分线相等.新知讲解练习1：证明：等腰三角形两腰上的中线相等.求证：BD=CE.已知：如图, 在△ABC中, AB=AC, BD和CE是△ABC的中线.证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
又∵ BD，CE分别平分AC和AB，∴CD=BE.新知讲解练习1：证明：等腰三角形两腰上的中线相等.求证：BD=CE.已知：如图, 在△ABC中, AB=AC, BD和CE是△ABC的中线.在△BDC与△CEB中，
∵CD=BE,∠ACB=∠ABC，BC=CB,
∴△BDC≌△CEB（SAS）.
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).
即：等腰三角形两腰上的中线相等.新知讲解练习2：证明：等腰三角形两腰上的高相等.求证：BD=CE.已知：如图, 在△ABC中, AB=AC, BD和CE是△ABC的高.证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
又∵ BD，CE分别是△ABC的高，
∴ ∠CDB=∠BEC=90 °,新知讲解练习2：证明：等腰三角形两腰上的高相等.求证：BD=CE.已知：如图, 在△ABC中, AB=AC, BD和CE是△ABC的高.在△BDC与△CEB中，
∵ ∠CDB=∠BEC,∠ACB=∠ABC，BC=CB,
∴△BDC≌△CEB（AAS）.
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).
即：等腰三角形两腰上的高相等.新知讲解议一议：如图, 在△ABC中, AB=AC, 点D、E分别在边AC和AB上. (1)如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE吗?如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB呢?
由此，你能得到一个什么结论?相等 在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE.新知讲解议一议：如图, 在△ABC中, AB=AC, 点D、E分别在边AC和AB上. (2)如果AD= AC，AE= AB，那么BD=CE吗? 如果AD=
AC，AE= AB呢?
由此，你能得到一个什么结论?相等 在△ABC中，如果AB=AC，AD= AC，AE=
AB，那么BD=CE.新知讲解 想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征？等边三角形的三个内角都相等，
并且每个角都等于60°新知讲解例2：已知：如图，在△ABC中，AB=AC=BC.
求证：∠A=∠B=∠C=60°.
证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C(等边对等角).
又∵AC=BC，
∴∠A=∠B(等边对等角).
∴∠A=∠B=∠C.
在△ABC中，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A=∠B=∠C＝60°.新知讲解等边三角形的性质：
等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°符号语言：∵△ABC是等边三角形
（或AB=AC=BC），
∴∠A=∠B=∠C=60°.新知讲解 练习3：如图，已知△ABC是等边三角形，D，E，F分别是三边AB，AC，BC上的点，且DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，计算△DEF各个内角的度数．解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.
∵DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，
∴∠AED＝∠EFC＝∠FDB＝90°.
∴∠ADE＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.
∴∠EDF＝180°－30°－90°＝60°.
同理可得∠DEF＝∠EFD＝60°.
即△DEF各个内角的度数都是60°.课堂练习1. 在等腰三角形ABC中，AB＝AC，那么下列说法中不正确的是( )
A．BC边上的高线和中线互相重合
B．AB和AC边上的中线相等
C．AB，BC边上的高线相等
D．顶点B处的角平分线和顶点C处的角平分线相等C课堂练习2. 下面关于等边三角形的说法正确的有( )
①三个角都相等；
②三条边都相等；
③是一种特殊的等腰三角形；
④是一种特殊的直角三角形；
⑤等边三角形也叫做正三角形.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个C拓展提高 如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连接CE，DE.
求证：EC＝ED．证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°，AB＝BC.
如图，以BE为边，∠B为内角作等边三角 形BEF.
∴BE＝BF＝EF，∠F＝60°.
∵AE＝BD，
∴BE－AE＝BF－BD，拓展提高 如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连接CE，DE.
求证：EC＝ED．即AB＝DF.
∴BC＝DF.
在△ECB和△EDF中，
BE＝FE，∠B＝∠F＝60°，BC＝FD，
∴△ECB≌△EDF(SAS)．
∴EC＝ED.中考链接（2018·玉林）如图，∠AOB=60°，OA=OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（ ）
A．平行
B．相交
C．垂直
D．平行、相交或垂直
A课堂总结1、说一说等腰三角形的特殊性质？（1）等腰三角形两底角的平分线相等；
（2）等腰三角形两腰上的中线相等；
（3）等腰三角形两腰上的高相等.2、说一说等边三角形的性质？（1）等边三角形的三边都相等；
（2）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.轴对称图形各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等．板书设计
课题：1.1等腰三角形（2）??
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1、等腰三角形特殊的性质
2、等边三角形的性质基础作业
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