北师大版 数学 八年级下 1.1 等腰三角形（3） 教学设计
课题
1.1 等腰三角形（3）
单元
第一章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
知识与技能：理解并掌握等腰三角形的判定定理及反证法；能运用等腰三角形的判定定理及反证法进行证明；
过程与方法：通过推理证明等腰三角形的判定定理、反证法，发展学生的推理能力，培养学生分析、归纳问题的能力；
情感态度与价值观：引导学生观察，发现等腰三角形的判定方法，让学生从思考中获得成功体验，增强学习数学的兴趣.
重点
理解并掌握等腰三角形的判定定理和反证法.
难点
运用等腰三角形的判定定理进行证明和计算.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
新知导入
同学们，在上一节课的学习中，我学探究了等腰三角形的性质，下面请同学们回答：
问题1、等腰三角形都有哪些性质呢？
答案：等边对等角；三线合一；轴对称图形
问题2、请你把定理“等腰三角形的两个底角相等”的题设与结论反过来说一下.
答案：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.
追问：这个命题成立吗？
学生根据老师的提问回答问题.
通过回顾等腰三角形的性质，为等腰三角形的判定定理探究做好铺垫
新知讲解
下面，让我们一起完成下面的问题：
例1：已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C.
求证：AB=AC.
/
证明：作BC边上的高AD.
/
则∠ADB＝∠ADC＝90 ° ，
在△ABD和 △ACD中，
∵∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（AAS），
∴ AB=AC .
追问1：你还有其他证明的方法吗?
证明：作∠BAC的平分线AD.
/
在△ABD和 △ACD中，
∵∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（AAS），
∴ AB=AC .
想一想：作BC边上的中线行吗?
答案：不行
归纳：定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
这一定理可以简述为：等角对等边.
/
几何语言：
∵(B=(C（已知）
∴AB=AC（等角对等边）
例2：已知：如图，AB=DC，BD=CA.
求证：△AED是等腰三角形.
/
/
练习1：在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是( )
A．∠A＝50°，∠B＝70° B．∠A＝80°，∠B＝60°
C．∠A＝30°，∠B＝90° D．∠A＝70°，∠B＝40°
答案：D
想一想：小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等. 你认为小明这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？
/
指出：小明是这样想的：
如图，在△ABC中，已 知∠B≠∠C,此时AB与AC要么相等，要么不相等.
假设AB＝AC那么根据“等边对等角”定理可得∠C＝∠B， 这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，
因此 AB≠AC．
你能理解他的推理过程吗？
归纳：反证法：小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.
反证法的一般步骤：
1.假设:先假设命题的结论不成立;即结论的反面成立;
2.归谬:从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果;
3.结论:由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.
例3：用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.
已知：△ABC.
求证： ∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角.
证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨
设∠A和∠B是直角，即 ∠A= 90°，∠B = 90°.
于是 ∠A＋∠B＋∠C = 90°＋ 90°＋ ∠C > 180°.
这与三角形内角和定理相矛盾，
因此“∠A和∠B是直角”的假设不成立.
所以，一个三角形中不能有两个角是直角.
练习2.用反证法证明:在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°
证明: 假设∠A ,∠B, ∠C是△ABC的三个内角,且都大于60°,
则∠A> 60°,∠B > 60°, ∠C> 60°,
∴∠A+∠B+∠C>180°;
这与三角形的内角和是180定理矛盾
∴假设不成立
∴在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°.
学生在老师的引导下通过添加辅助线构全等的形式进行证明..
（1）作BC边上的高AD
证明后班内交流.
（2）作∠BAC的平分线AD.证明后班内交流.
学生认真思考为什么作BC边上的中线不行，并与同伴交流心得，然后听老师讲评，并学习判定定理的符号语言.
学生在老师的引导下进行证明，然后班内交流，最后听老师的点评.
学生独立完成后，班内交流.
学生认真思考问题，并听老师讲解反证法的概念及步骤.
学生在老师的引导下完成，然后班内交流，最后听老师的点评.
学生独立完成练习，并小组交流，然后老师点评.
用不同方法证明等腰三角形的判定定理，并体会各种证法中的内在联系.
掌握等腰三角形判定定理的几何语言表达形式.
应用等腰三角形判定定理进行证明
掌握反证法的概念及步骤.
提高学生对反证法的应用能力.
课堂练习
1.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC边上，∠ABD＝∠DAE＝∠EAC＝36°，则图中共有等腰三角形( )
/
A．4个 B．5个 C．6个 D．2个
答案：C
2.用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设( )
A．有一个锐角小于45° B．每一个锐角都小于45°
C．有一个锐角大于45° D．每一个锐角都大于45°
答案：D
学生自主完成课堂练习，做完之后班级内交流.
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.
拓展提高
如图，长方形ABCD中，AB>AD，把长方形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE.
（1）求证：△ADE≌△CED；
（2）求证：△DEF是等腰三角形．
/
证明：（1）∵四边形ABCD是长方形，
∴AD＝BC, AB＝DC.
∵△AEC是由△ABC折叠而成的，
∴AD＝BC＝EC，AB＝DC＝AE.
在△ADE和△CED中，
AD＝CE，DE＝ED，AE＝CD，
∴△ADE≌△CED(SSS)．
（2）∵△ADE≌△CED，
∠AED＝∠CDE，
∴FD＝FE.
△DEF是等腰三角形．
在师的引导下完成问题.
提高学生对知识的应用能力
中考链接
下面让我们一起赏析一道中考题：
（2017·内江）如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE//AC．求证：△BDE是等腰三角形．
/
证明：∵DE//AC，
∴∠1=∠3，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∵AD⊥BD，
∴∠2+∠B=90°，∠3+∠BDE=90°，
∴∠B=∠BDE，
∴△BDE是等腰三角形．
/
在师的引导下完成中考题.
体会所学知识在中考试题运用.
课堂总结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
问题1、说一说等腰三角形的判定定理？
答案：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
（等角对等边）
问题2、说一说反证法的步骤？
答案：（1）假设:先假设命题的结论不成立;即结论的反面 成立;
（2）归谬:从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果;
（3）结论:由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识.
帮助学生加强记忆知识.
作业布置
基础作业
教材第10页习题1.3第2、3题
能力作业
教材第10页习题1.3第4题
学生课下独立完成.
检测课上学习效果.
板书设计
借助板书，让学生知道本节课的重点。
/
1.1 等腰三角形（3）
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题8分）
1．要使得△ABC是等腰三角形，则需要满足下列条件中的（ ）
A．∠A=50°,∠B=60° B．∠A=50°,∠B=100° C．∠A+∠B=90° D．∠A+
1
2
∠B=90°
2．用反证法证明“若，则”，应假设（ ）
A． B． C．≤ D．≥
3．如果一个三角形的外角平分线与这个三角形一边平行，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
4．已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾
②因此假设不成立．∴∠B＜90°
③假设在△ABC中，∠B≥90°
④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．这四个步骤正确的顺序应是( )
A．③④①② B．③④②① C．①②③④ D．④③①②
5．如图是由8个全等的长方形组成的大正方形，线段AB的端点都在小长方形的顶点上，如果点P是某个小长方形的顶点，连接PA，PB，那么使△ABP为等腰三角形的点P的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
/ / / /
第5题图 第7题图 第8题图 第9题图
二．填空题（共4小题，每题5分）
6．用反证法证明AB≠AC时，首先假设________成立．
7．如图，∠ABD=76°，∠C=38°，BC=30cm，则BD的长为_____．
8．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作EF∥BC交AB，AC于点E，F，若BE+CF＝20，则EF＝_____．
9．一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东 70°方向的 M 处，它以每小时 40 海里的速度向正北方向航行，2 小时后到达位于灯塔 P 的北偏东 40°的 N 处，则 N 处与灯塔 P 的距离为_______．
三．解答题（共3小题，第10题10分，第11、12题各15分）
10．用反证法证明：
已知：如图，点D是△ABC内一点。
求证：△ABD，△BDC，△ADC不可能都是锐角三角形。
/
11．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE⊥AC于点E，∠BAD＝∠CBE．求证：BD＝CD．
/
12．如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．试回答：
/
（1）图中等腰三角形是 ．猜想：EF与BE、CF之间的关系是 ．并说明理由.
（2）如图②，若AB≠AC，图中等腰三角形是 ．在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？
（3）如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．
试题解析
1．D
【解析】根据三角形的内角和是180°结合选项中的条件能够证得有两个角相等即为等腰三角形．
解：A、∵∠A=50°，∠B=60°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=70°，
所以∠A≠∠B≠∠C，
所以△ABC不是等腰三角形；
B、∵∠A=50°，∠B=100°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=30°，
所以∠A≠∠B≠∠C，
所以△ABC不是等腰三角形；
C、∠A+∠B=90°不能判定△ABC是等腰三角形；
D、∠A+
1
2
∠B=90°，
则2∠A+∠B=180°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=∠C，
所以△ABC是等腰三角形．
故选：D．
2．C
【解析】反证法的一般步骤是先假设结论不成立，故用反证法证明“若a>b>0，则a2>b2”的第一步是假设a2?b2，
故选：C.
3．B
【解析】可依据题意线作出图形，结合图形利用平行线的性质和角平分线的定义可得∠B=∠A，利用“等角对等边”可得其为等腰三角形．
解：如图，
/
DC平分∠ACE，且AB∥CD，
∴∠ACD=∠DCE，∠A=∠ACD，∠B=∠DCE，
∴∠B=∠A，
∴△ABC为等腰三角形．
故选：B．
4．A
【解析】通过反证法的证明步骤：①假设；②合情推理；③导出矛盾；④结论；理顺证明过程即可．
解：由反证法的证明步骤：①假设；②合情推理；③导出矛盾；④结论；
所以题目中“已知：△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°”．
用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：
应该为：假设∠B≥90°；
那么，由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°
所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾；
所以因此假设不成立．∴∠B＜90°；
原题正确顺序为：③④①②．
故选A．
5．D
【解析】根据等腰三角形的判定即可得到结论．
解：如图所示，使△ABP为等腰三角形的点P的个数是6.
/
故选D.
6．AB=AC
【解析】反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立． 由此可得用反证法证明AB≠AC时，首先假设AB=AC成立．
7．30cm．
【解析】解：∵∠ABD=76°，∠C=38°，∴∠D=∠ABD﹣∠C=76°﹣38°=38°，∴∠C=∠D，∴BD=BC=30cm．故答案为：30cm．
8．20
【解析】由平行线的性质可得内错角∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，再由角平分线的性质可得∠ABD=∠EDB，∠ACD=∠FDC，即BE=DE，DF=FC，进而可求EF的长．
解：∵EF∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB， ∵BD、CD分别平分∠ABC与∠ACB， ∴∠ABD=∠DBC，∠ACD=∠DCB， ∴∠ABD=∠EDB，∠ACD=∠FDC， 即BE=DE，DF=FC， EF=DE+DF=BE+FC=20． 故答案为：20
9．80海里
【解析】∠NPM=∠M，推出NP=MN，求出MN即可．
解：如图，
/
∠NPM=180°-70°-40°=70°，
∵向北的方向线是平行的，
∴∠M=70°，
∴∠NPM=∠M，
∴NP=MN=40海里×2=80海里，
故答案为：80海里．
10．证明见解析
【解析】先假设△ABD，△BDC，△ADC都是锐角三角形，则∠ADB，∠BDC，∠ADC都是锐角，得∠ADB+∠BDC+∠ADC<360°，与已知矛盾，故可得证.
证明：假设△ABD，△BDC，△ADC都是锐角三角形，
则∠ADB，∠BDC，∠ADC都是锐角，
∴∠ADB+∠BDC+∠ADC<360°，
这与∠ADB+∠BDC+∠ADC=360°矛盾.
∴假设不成立.
∴△ABD，△BDC，△ADC不可能都是锐角三角形.
11．证明见解析
【解析】想办法证明∠ABC=∠ACB，即可推出AB=AC，理由等腰三角形的性质即可解决问题.
证明：∵AD是BC边上的高，BE⊥AC于点E，
∴∠ADB＝∠BEC＝90°，
∴∠BAD+∠ABC＝90°，∠CBE+∠ACB＝90°，
∵∠BAD＝∠CBE，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD．
12．（1）答案见解析 （2）△EOB、△FOC 存在 （3）答案见解析
【解析】（1）由AB=AC，可得∠ABC=∠ACB；又已知OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB；故∠EBO=∠OBC=∠FCO=∠OCB；根据EF∥BC，可得：∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠FCO=∠BCO；由此可得出的等腰三角形有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；
已知了△EOB和△FOC是等腰三角形，则EO=BE，OF=FC，则EF=BE+FC．
（2）由（1）的证明过程可知：在证△OEB、△OFC是等腰三角形的过程中，与AB=AC的条件没有关系，故这两个等腰三角形还成立．所以（1）中得出的EF=BE+FC的结论仍成立．
（3）思路与（2）相同，只不过结果变成了EF=BE-FC．
解：（1）图中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；
EF、BE、FC的关系是EF=BE+FC．理由如下：
∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB,
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO,
即EO=EB，FO=FC,
∴EF=EO+OF=BE+CF;
（2）当AB≠AC时，△EOB、△FOC仍为等腰三角形，（1）的结论仍然成立．
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课件22张PPT。等腰三角形（3）数学北师大版 八年级下新知导入1、等腰三角形都有哪些性质呢？等边对等角三线合一轴对称图形 2、请你把定理“等腰三角形的两个底角相等”的题设与结论反过来说一下.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等. 这个命题成立吗？新知讲解例1：已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C.
求证：AB=AC.证明：作BC边上的高AD.
则∠ADB＝∠ADC＝90 ° ，
在△ABD和 △ACD中，
∵∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（AAS），
∴ AB=AC .D 你还有其他证明的方法吗?新知讲解例1：已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C.
求证：AB=AC.证明：作∠BAC的平分线AD.
在△ABD和 △ACD中，
∵∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（AAS），
∴ AB=AC .D 想一想：作BC边上的中线行吗?不行新知讲解定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.这一定理可以简述为：等角对等边.几何语言：∵?B=?C（已知）∴AB=AC（等角对等边）新知讲解例2：已知：如图，AB=DC，BD=CA.
求证：△AED是等腰三角形.证明： ∵AB=DC，BD=CA，AD=DA，
∴ △ABD ≌ △DCA（SSS）.
∴ ∠ADB= ∠DAC（全等三角形的对应角相等）.
∴AE=DE（等角对等边）
∴ △AED是等腰三角形.新知讲解练习1：在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是( )
A．∠A＝50°，∠B＝70° B．∠A＝80°，∠B＝60°
C．∠A＝30°，∠B＝90° D．∠A＝70°，∠B＝40°D新知讲解 想一想：小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等. 你认为小明这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？小明是这样想的：
如图，在△ABC中，已 知∠B≠∠C,此时AB与AC要么相等，要么不相等.
假设AB＝AC那么根据“等边对等角”定理可得∠C＝∠B， 这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，
因此 AB≠AC．
你能理解他的推理过程吗？ 新知讲解反证法 小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.
新知讲解1.假设:先假设命题的结论不成立;即结论的反面成立;
2.归谬:从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果;
3.结论:由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.反证法的一般步骤新知讲解例3：用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.
已知：△ABC.
求证： ∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角.证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨
设∠A和∠B是直角，即 ∠A= 90°，∠B = 90°.
于是 ∠A＋∠B＋∠C = 90°＋ 90°＋ ∠C > 180°.
这与三角形内角和定理相矛盾，
因此“∠A和∠B是直角”的假设不成立.
所以，一个三角形中不能有两个角是直角.新知讲解 练习2.用反证法证明:在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60° 证明: 假设∠A ,∠B, ∠C是△ABC的三个内角,且都大于60°,
则∠A> 60°,∠B > 60°, ∠C> 60°,∴ ∠A+∠B+∠C>180°;
这与三角形的内角和是180定理矛盾∴假设不成立∴在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°.课堂练习1.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC边上，∠ABD＝∠DAE＝∠EAC＝36°，则图中共有等腰三角形( )
A．4个
B．5个
C．6个
D．2个C课堂练习2.用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设( )
A．有一个锐角小于45° B．每一个锐角都小于45°
C．有一个锐角大于45° D．每一个锐角都大于45°D拓展提高如图，长方形ABCD中，AB>AD，把长方形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE.
（1）求证：△ADE≌△CED；
（2）求证：△DEF是等腰三角形．证明：（1）∵四边形ABCD是长方形，
∴AD＝BC, AB＝DC.
∵△AEC是由△ABC折叠而成的，
∴AD＝BC＝EC，AB＝DC＝AE.
在△ADE和△CED中，
AD＝CE，DE＝ED，AE＝CD，
∴△ADE≌△CED(SSS)．拓展提高如图，长方形ABCD中，AB>AD，把长方形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE.
（1）求证：△ADE≌△CED；
（2）求证：△DEF是等腰三角形．（2）∵△ADE≌△CED，
∴ ∠AED＝∠CDE，
∴FD＝FE.
∴ △DEF是等腰三角形．中考链接（2017·内江）如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE//AC．求证：△BDE是等腰三角形．证明：∵DE//AC，
∴∠1=∠3，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∵AD⊥BD，
∴∠2+∠B=90°，∠3+∠BDE=90°，
∴∠B=∠BDE，
∴△BDE是等腰三角形．课堂总结1、说一说等腰三角形的判定定理？有两个角相等的三角形是等腰三角形.
（等角对等边）2、说一说反证法的步骤？（1）假设:先假设命题的结论不成立;即结论的反面 成立;
（2）归谬:从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果;
（3）结论:由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.板书设计
课题：1.1等腰三角形（3）??
教师板演区?
学生展示区1、等腰三角形的判定定理：等角对等边
2、反证法
（1）假设
（2）归谬
（3）结论基础作业
教材第10页习题1.3第2、3题
能力作业
教材第10页习题1.3第4题
作业布置
