北师大版数学九年级2.2.1二次函数的图像与性质教学设计
课题
二次函数的图像与性质
单元
第二单元
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
知识与技能：
1.会用描点法画出y=ax2的图像；
2. 结合y=ax2的图像初步理解抛物线及其有关的概念，并从图像上认识二次函数y=ax2的性质；
态度与方法：
先画出函数y=ax2的图像，然后观察图像并结合所列函数对应值探究其性质，最终归纳整理得出结论；
情感态度与价值观：
在画二次函数图像的过程中渗透数形结合思想，在探究二次函数y=ax2的性质过程中发现的兴趣。
重点
会用描点法画二次函数y=ax2的图像。掌握它的性质。
难点
正确说出y=ax2图像的开口方向、对称轴和顶点坐标
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
师：一次函数和反比例函数的图像分别是什么？
师：如何画出函数图像？
师：如何得到相应的性质呢？
师：上节课我们学习了二次函数，那么二次函数的定义是什么呢？
生：直线和双曲线
生：列表 – 描点 – 连线 （描点法）
生：观察图像 总结性质
生：一般地，形如y = ax2 + bx + c（ a， b， c 是常数， a≠ 0） 的函数叫做 x 的二次函数。
复习旧知引出新知
讲授新课
师：小组合作，画二次函数y=x2的图像
（1）观察y=x2的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下表：
（2）在直角坐标系中描点。
（3）用光滑的曲线连接各点便得到函数y=x2的图像。
师：小组讨论，对于二次函数y=x2的图像，
（1）你能描述图像的形状吗？与同伴进行交流。
（2）图像与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
（3）当x?0时，随着x值的增大，y值如何变化？当x?0时呢？
（4）当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？
（5）图像是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴进行交流。
师：二次函数y=-x2的图像是什么形状？先想一想，然后画出它的图像。它与二次函数y=x2的图像有什么关系？与同伴进行交流
师：请同学们根据刚才的结果完成下列表格。
师：下面我们来检验一下大家的掌握情况吧。
1.已知（-0.5,0.25）是二次函数y=-x2图像上的一点，则图像上与之对称的点的坐标是（ ）
A.(-0.5，-0.25) B.（0.5,0.25）
C.（0.5,-0.25） D.（0.5,0.5）
2.抛物线y=2x2的顶点坐标是 ，对称轴是 。在 侧，y随着x的增大而增大；在 侧，y随着x的增大而减小。当x= 0 时，函数y的值最小，最小值是 。抛物线y=2x2在x轴的 方（除顶点外）。
3.若二次函数y=（k-1）x（k2+k-4）是开口向上的抛物线，则k的值是（ ）
A.-3 B.2 C.3 D.-3或2
4.已知y=(m+1)xm2+m是二次函数且其图像开口向上，求m的值和函数解析式。
生：小组合作完成二次函数 y=x2的图像
生：（1）图像是一条抛物线，开口向上
（2）有，（0,0）
（3）当x?0时，随着x值的增大，y值减小；当x?0时，随着x值的增大，y值增大。
（4）当x=0时，y的值，最小值0，（0,0）点为最小值点。
（5）是轴对称图形，对称轴是y轴，对称点有（-1,1）和（1,1），（-2,4）和（2,4），（-3,9）和（3,9）等
生：画出二次函数y=-x2的图像，并得到它的性质。
生：完成表格
生：完成练习
问题由浅入深，层层递进，把学习的主动权交给学生，增强学生的信心，体验成功的快乐。
把学习的主动权交给学生，激发学生学习数学的好奇心和求知欲，增强学生的动手能力，体验成功的快乐
边学边练，巩固知识
课堂小结
函数y=ax2(a≠ 0)的图像是关于y轴对称的抛物线，我们把函数y=ax2(a≠ 0)的图像叫做抛物线y=ax2。
抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线y=ax2的顶点是坐标原点，当a?0时，它的开口向上，顶点是它的最低点；当a?0时，它的开口向下，顶点是它的最高点。
板书
2.2.1 二次函数的图像和性质
增减性 x?0时，y随着x的增大而减小，x?0时，y随着x的增大而增大
最值 当x=0时，最小值为0
抛物线 y=-ax2(a?0)
顶点坐标 (0,0)
对称轴 y轴
位置 在x轴的下方（除顶点外）
开口方向 向下
增减性 x?0时，y随着x的增大而减大，x?0时，y随着x的增大而增小
最值 当x=0时，最大值为0
课件21张PPT。2.2.1 二次函数的图像和性质（1）北师大版 九年级下新知导入一次函数：y=kx+b(k≠ 0) 图像：直线
反比例函数：y= (k≠ 0)) 图像：双曲线
1.如何画出函数图像？
2.如何得到相应的性质呢？观察图像 总结性质列表 – 描点 – 连线 （描点法）新知导入二次函数的定义：一般地，形如y = ax2 + bx + c（ a， b， c 是常数， a≠ 0） 的函数叫做 x 的二次函数 。 其中x是自变量，a为二次项的系数，ax2叫做二次项，b为一次项系数，bx 叫做一次项，c为常数项。新知讲解 画二次函数y=x2的图像：
（1）观察y=x2的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下表：
（2）在直角坐标系中描点。
（3）用光滑的曲线连接各点便得到函数y=x2的图像。新知讲解函数y=x2的图像1. 列表：2. 描点：3. 连线：y=x2新知讲解对于二次函数y=x2的图像，
（1）你能描述图像的形状吗？与同伴进行交流。
（2）图像与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
（3）当x?0时，随着x值的增大，y值如何变化？当x?0时呢？
图像是一条抛物线，开口向上有，（0,0）当x?0时，随着x值的增大，y值减小；当x?0时，随着x值的增大，y值增大。新知讲解对于二次函数y=x2的图像，
（4）当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？
（5）图像是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴进行交流。当x=0时，y的值，最小值0，（0,0）点为最小值点。是轴对称图形，对称轴是y轴，对称点有（-1,1）和（1,1），（-2,4）和（2,4），（-3,9）和（3,9）等新知讲解函数y=x2的图像二次函数y=x2的图像如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点，顶点坐标为（0，0）这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴，所以对称轴为直线x=0新知讲解二次函数y=-x2的图像是什么形状？先想一想，然后画出它的图像。它与二次函数y=x2的图像有什么关系？与同伴进行交流。
（1）观察y=x2的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下表：
（2）在直角坐标系中描点。
（3）用光滑的曲线连接各点便得到函数y=-x2的图像。新知讲解函数y=-x2的图像新知讲解对于二次函数y=-x2的图像，
（1）你能描述图像的形状吗？与同伴进行交流。
（2）图像与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
（3）当x?0时，随着x值的增大，y值如何变化？当x?0时呢？
图像是一条抛物线，开口向下有，（0,0）当x?0时，随着x值的增大，y值增大；当x?0时，随着x值的增大，y值减小。新知讲解对于二次函数y=x2的图像，
（4）当x取什么值时，y的值最大？最大值是什么？你是如何知道的？
（5）图像是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴进行交流。当x=0时，y的值，最大值0，（0,0）点为最大值点。是轴对称图形，对称轴是y轴，对称点有（-1,-1）和（1,-1），（-2,-4）和（2,-4），（-3,-9）和（3,-9）等新知讲解当x=0时，最小值为0y=ax2的性质当x=0时，最大值为0x?0时，y随着x的增大而减小，x?0时，y随着x的增大而增大向下(0,0)向上x?0时，y随着x的增大而增大，x?0时，y随着x的增大而减小y轴在x轴的上方（除顶点外）在x轴的下方（除顶点外）(0,0)y轴新知讲解函数y=-x2的图像和函数y=x2的图像课堂练习1.已知（-0.5,0.25）是二次函数y=-x2图像上的一点，则图像上与之对称的点的坐标是（ ）
A.(-0.5，-0.25) B.（0.5,0.25） C.（0.5,-0.25） D.（0.5,0.5）
2.抛物线y=2x2的顶点坐标是 ，对称轴是 。在 侧，y随着x的增大而增大；在 侧，y随着x的增大而减小。当x= 0 时，函数y的值最小，最小值是 。抛物线y=2x2在x轴的 方（除顶点外）。0对称轴的左对称轴的右 上y轴（0,0） B拓展提高1.若二次函数y=（k-1）x（k2+k-4）是开口向上的抛物线，则k的值是（ ）
A.-3 B.2 C.3 D.-3或2
2.已知y=(m+1)xm2+m是二次函数且其图像开口向上，求m的值和函数解析式。解：依题意有：m+1?0 且 m2+m=2
解得：m=1, 此时二次函数为：y=2x2
B课堂总结函数y=ax2(a≠ 0)的图像是关于y轴对称的抛物线，我们把函数y=ax2(a≠ 0)的图像叫做抛物线y=ax2。
抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线y=ax2的顶点是坐标原点，当a?0时，它的开口向上，顶点是它的最低点；当a?0时，它的开口向下，顶点是它的最高点。板书设计2.2.1 二次函数的图像和性质
作业布置P10习题1.3 1,2,3题谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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