第5讲 平方根
【知识扫描】
知识点一 算术平方根的定义及表示方法
1. 算术平方根的定义
如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根；a的算术平方根记作，读作“根号a”或“二次根号a”，a叫做被开方数。规定0的算术平方根还是0，即＝0。当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，a≥0。而当a＜0时，没有意义。
2. 平方根的定义
如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x叫做a的平方根。正数a的平方根有两根，分别是它的算术平方根“”和算术平方根的相反数“－”，记作“”，读作“正、负根号a”。0的平方根为0。任何一个数的平方都不会是负数，所以负数没有平方根。
归纳：平方根的性质
①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
②0的平方根是0；
③负数没有平方根
知识点二 平方根与算术平方根的区别和联系
1. 区别
（1）定义不同：如果，那么x叫做a的平方根；如果（x≥0），那么x叫做a的算术平方根；
（2）表示方法不同：正数a的平方根表示为，正数a的算术平方根表示为
（3）平方根等于它本身的数是0，算术平方根等于它本身的数是0和1。
2. 联系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个。
知识点三 平方根的性质
【典型例题】
考点一 算术平方根和平方根的定义和性质
【例1】求下列各数的算术平方根
（1）81的算术平方根是________；（2）的算术平方根是________；
（3）0.0016的算术平方根是________
【变式】下列说法正确的是（ ）
A. 3是9的算术平方根 B. －2是4的算术平方根
C. (－2)2的算术平方根是－2 D. －9的算术平方根是3
【例2】求下列各数的算术平方根
（1）49的平方根是________；（2）的平方根是________；
（3）0.36的平方根是______。
【变式】下列说法：①3是9的平方根，②9的平方根是3，③2是4的算术平方根，④(－4)2的平方根是±4，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点二 关于与的化简与应用
【例3】（1）的算术平方根是_______；（2）若，则n＝_______
（3）若的平方根是±3，则m＝________（4）＝________
（5）
【变式】（1）的平方根是________；（2），则a＝________；
（3）若的算术平方根是2，则x＝________
（4）；
考点三 平方根性质的综合运用
【例4】已知m的平方根是2a＋3和a－9，求m的值
【变式】一个正数的平方根是2a－1与－a＋2，求a和这个正数。
考点四 利用算术平方根的非负性解决问题
【例5】已知，求的值。
【变式】已知a、b是实数，且，求的值
考点五 算式平方根被开方数的非负性
【例6】已知，求9x－2y的值．
【变式】已知，求x＋y的平方根
考点六 用平方根概念解方程
【例7】求下列各式中x的值
（1） （2）
【变式】求下列各式中x的值
（1） （2）
考点七 估算法确定一个数的整数部分和小数部分
【例8】已知与的小数部分分别为x、y，求x＋y的值。
【变式】设的整数部分和小数部分分别是x、y，求x、y的值
考点八 平方根在生活中的应用
【例9】用大小完全相同的200块正方形地砖，铺一间面积为50m2的客厅，求每块正方形地砖的边长。
【变式】某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积约为1000m2的正方形空地上建一个篮球场．已知篮球场的面积为420m2，其中长是宽的倍，篮球场的四周必须留出1m宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个篮球场？
第5讲 平方根（巩固练习）
一、选择题
1. 16的算术平方根是（ ）
A．8 B．4 C．±4 D．－4
2. 下列说法正确的是（ ）
A．(－1)2是1的算术平方根
B．－1是1的算术平方根
C．(－2)2的算术平方根是－2
D．一个数的算术平方根等于它本身，这个数只能是0
3. 下列各式没有意义的是（ ）
A. B. C. D.
4. 估计的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
5. 设a是9的平方根，，则a与B的关系是（ ）
A．a＝±B B．a＝B C．a＝－B D．以上结论都不对
二、填空题
6. 的平方根是________；的算术平方根是________
7. 若一个正数的平方根分别是3a－15和a＋3，则这个数是________
8. 若，则xy＝________
9. 若的平方根是±4，则a＝________
10. 已知，则yx的平方根为_______
三、解答题
11. 求下列各式中x的值
（1） （2）
12. 已知3a－2的平方根是±5，4a－2b－8的算术平方根是4，求a＋3b的值．
13. 已知的小数部分为m，的小数部分为n，求m＋n的值
14. 小明打算用一块面积为900cm2的正方形木板，沿着边的方向裁出一个长方形面积为588cm2桌面，并且的长宽之比为4：3，你认为能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，请说明理由．
第5讲 平方根
【知识扫描】
知识点一 算术平方根的定义及表示方法
1. 算术平方根的定义
如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根；a的算术平方根记作，读作“根号a”或“二次根号a”，a叫做被开方数。规定0的算术平方根还是0，即＝0。当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，a≥0。而当a＜0时，没有意义。
2. 平方根的定义
如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x叫做a的平方根。正数a的平方根有两根，分别是它的算术平方根“”和算术平方根的相反数“－”，记作“”，读作“正、负根号a”。0的平方根为0。任何一个数的平方都不会是负数，所以负数没有平方根。
归纳：平方根的性质
①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
②0的平方根是0；
③负数没有平方根
知识点二 平方根与算术平方根的区别和联系
1. 区别
（1）定义不同：如果，那么x叫做a的平方根；如果（x≥0），那么x叫做a的算术平方根；
（2）表示方法不同：正数a的平方根表示为，正数a的算术平方根表示为
（3）平方根等于它本身的数是0，算术平方根等于它本身的数是0和1。
2. 联系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个。
知识点三 平方根的性质
【典型例题】
考点一 算术平方根和平方根的定义和性质
【例1】求下列各数的算术平方根
（1）81的算术平方根是________；（2）的算术平方根是________；
（3）0.0016的算术平方根是________
【解答】解：（1）∵92＝81，∴81的算术平方根是9，即＝9；
（2）∵，∴的算术平方根是，即；
（3）∵(0.04)2＝0.0016，∴0.0016的算术平方根是0.04，即
【变式】下列说法正确的是（ ）
A. 3是9的算术平方根 B. －2是4的算术平方根
C. (－2)2的算术平方根是－2 D. －9的算术平方根是3
【解答】A. ∵32＝9，∴3是9的算术平方根，故选项A正确；
B. ∵－2不是正数，∴－2不是4的算术平方根，故选项B错误；
C. ∵ (－2)2＝4，而22＝4，∴2是 (－2)2的算术平方根，故选项C错误；
D. 负数没有算术平方根，故选项D错误。 故选：A
【例2】求下列各数的算术平方根
（1）49的平方根是________；（2）的平方根是________；
（3）0.36的平方根是______。
【解答】（1）∵(±7)2＝49，∴49的平方根是±7；
（2）∵，∴的平方根是；
（3）∵(±0.6)2＝0.36，∴0.36的平方根是±0.6
【变式】下列说法：①3是9的平方根，②9的平方根是3，③2是4的算术平方根，④(－4)2的平方根是±4，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①3是9的平方根，正确； ②9的平方根是±3，故本小题错误；
③2是4的算术平方根，正确；④ (－4)2的平方根是±4，正确．
所以正确的有3个． 故选：C．
考点二 关于与的化简与应用
【例3】（1）的算术平方根是_______；（2）若，则n＝_______
（3）若的平方根是±3，则m＝________（4）＝________
（5）
【解答】（1）先求＝4，∴4的算术平方根是2；
（2）由，可得4是n2的算术平方根，∴n2＝16，n＝±4；
（3）∵的平方根是±3，∴＝9，m＝81；
（4）；
（5）
【变式】（1）的平方根是________；（2），则a＝________；
（3）若的算术平方根是2，则x＝________
（4）；
【解答】（1）∵＝9，∴9的平方根是±3
（2）∵，∴，a＝±4
（3）∵4的算术平方根是2，∴＝4，x＝16
（4）；
考点三 平方根性质的综合运用
【例4】已知m的平方根是2a＋3和a－9，求m的值
【解答】解：∵m的平方根是2a＋3和a－9，
∴(2a＋3)＋(a－9)＝0，
解得a＝2，
∴它的两个平方根分别为7，－7，
∴m＝72＝49
【变式】一个正数的平方根是2a－1与－a＋2，求a和这个正数。
【解答】解：由题意得：2a－1－a＋2＝0
解得：a＝－1
2a－1＝－3，－a＋2＝3
则这个正数为9．
考点四 利用算术平方根的非负性解决问题
【例5】已知，求的值。
【解答】解：依题意可得：a＋1＝0，b－1＝0
解得：a＝－1，b＝1
∴原式＝(－1)2017＋(－1＋1)2018＝－1＋0＝－1
【变式】已知a、b是实数，且，求的值
【解答】∵，
∴2a＋6＝0，b－2＝0
∴a＝－3，b＝2
∴＝(－3)2＝9
考点五 算式平方根被开方数的非负性
【例6】已知，求9x－2y的值．
【解答】解：由题意得，y－5≥0，5－y≥0
∴y＝5 x＝1
∴9x－2y＝9×1－2×5＝－1
∴9x－2y的值为－1
【变式】已知，求x＋y的平方根
【解答】解：∵
∴x－2017≥0且2017－x≥0，
∴x≥2017且x≤2017，
∴x＝2017，y＝－2016，
∴x＋y＝2017－2016＝1，
∴x＋y的平方根是±1
考点六 用平方根概念解方程
【例7】求下列各式中x的值
（1） （2）
【解答】
【变式】求下列各式中x的值
（1） （2）
【解答】
考点七 估算法确定一个数的整数部分和小数部分
【例8】已知与的小数部分分别为x、y，求x＋y的值。
【解答】∵
∴2＜＜3
∴的整数部分是2，小数部分是－2
∴的整数部分是11，小数部分
的整数部分是6，小数部分
∴
【变式】设的整数部分和小数部分分别是x、y，求x、y的值
【解答】解：∵
∴
∴x＝7，
考点八 平方根在生活中的应用
【例9】用大小完全相同的200块正方形地砖，铺一间面积为50m2的客厅，求每块正方形地砖的边长。
【解答】解：设每块正方形地砖的边长分别为x m，
则200x2＝50
即 x2＝0.25
∵ x＞0
∴x＝0.5
答：每块正方形地砖的边长分别为0.5m．
【变式】某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积约为1000m2的正方形空地上建一个篮球场．已知篮球场的面积为420m2，其中长是宽的倍，篮球场的四周必须留出1m宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个篮球场？
【解答】解：设篮球场的宽为x m，那么长为 m
依题意可得，
∴
∵x为正数，所以：x＝15，
又 ∵
所以能按规定在这块空地上建一个篮球场
第5讲 平方根（巩固练习）
一、选择题
1. 16的算术平方根是（ ）
A．8 B．4 C．±4 D．－4
【解答】解：16的算术平方根是4，故选：B．
2. 下列说法正确的是（ ）
A．(－1)2是1的算术平方根
B．－1是1的算术平方根
C．(－2)2的算术平方根是－2
D．一个数的算术平方根等于它本身，这个数只能是0
【解答】解：A、(－1)2＝1，1的算术平方根为1，即(－1)2是1的算术平方根，正确；
B、1的算术平方根是1，本选项错误；
C、(－2)2＝4，4的算术平方根为2，本选项错误；
D、一个数的算术平方根等于它本身，这个数是0和1，本选项错误
故选：A．
3. 下列各式没有意义的是（ ）
A. B. C. D.
【解答】二次根式被开方数大于等于0
∵－32＝－9＜0 ∴无意义
故选：B
4. 估计的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【解答】解：∵ ∴ 故选：B
5. 设a是9的平方根，，则a与B的关系是（ ）
A．a＝±B B．a＝B C．a＝－B D．以上结论都不对
【解答】解：∵a是9的平方根，∴a＝±3，
又 ∴a＝±b．
故选：A
二、填空题
6. 的平方根是________；的算术平方根是________
【解答】＝4，即4的平方根是±2；＝9，即9的算术平方根是3
7. 若一个正数的平方根分别是3a－15和a＋3，则这个数是________
【解答】解：根据题意知，3a－15＋a＋3＝0
解得：a＝3，
则这个数为(a＋3)2＝62＝36，
8. 若，则xy＝________
【解答】解：∵
∴x＋3＝0且y－2＝0
则x＝－3，y＝2
∴xy＝－3×2＝－6
9. 若的平方根是±4，则a＝________
【解答】解：∵的平方根是±4
∴＝16
∴a＝256
10. 已知，则yx的平方根为_______
【解答】解：依题意可得
x－2≥0，2－x≥0
∴x＝2，y＝－4
∴
∴
三、解答题
11. 求下列各式中x的值
（1） （2）
【解答】
12. 已知3a－2的平方根是±5，4a－2b－8的算术平方根是4，求a＋3b的值．
【解答】解：∵3a－2的平方根是±5，4a－2b－8的算术平方根是4
∴3a－2＝25，4a－2b－8＝16
解得：a＝9，b＝6
则a＋3b＝9＋3×6＝27
13. 已知的小数部分为m，的小数部分为n，求m＋n的值
【解答】解：∵9＜11＜16
∴，∴，
∴的小数部分
的小数部分
∴
14. 小明打算用一块面积为900cm2的正方形木板，沿着边的方向裁出一个长方形面积为588cm2桌面，并且的长宽之比为4：3，你认为能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，请说明理由．
【解答】解：能做到。设桌面的长和宽分别为4x（cm）和3x（cm），根据题意得，
4x·3x＝588．
x2＝49，x＞0，
∴4x＝4×7＝28 （cm） 3x＝3×7＝21（cm）
∵面积为900cm2的正方形木板的边长为30cm，28cm＜30cm
∴能够裁出一个长方形面积为588 cm2并且长宽之比为4：3的桌面
