【鲁教版七下精美学案】7.3 二元一次方程在的应用（知识梳理+考点突破+巩固提高+真题训练）

第七章 二元一次方程组
7.3 二元一次方程组的应用
知 识 梳 理
知识点1 列二元一次方程组解应用题的一般步骤
1.审:审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系。
2.设:设未知数（一般求什么就设什么为x，y）。
3.找:找出能够表示应用题全部意义的等量关系。
4.列:根据这两个相等关系列出需要的两个______________，组成______________。
5.解:解所列方程组，得未知数的值。
6.答:检验所求未知数的值是否______________，写出答案（包括单位名称）。
通过审题找等量关系是列方程解应用题的关键一般来说，有几个未知数就有几个等量关系。
知识点2 列方程解应用题常用的关系式
1.工程问题:工作量＝_____________×工作时间 2.行程问题:路程＝_________×时间
3价格问题:总价＝___________×数量 4.银行利率问题:利息＝_________×利率×时间
5.税后利息＝本金×利率×时间 - 本金×利率×时间×税率
注意 列方程组解应用题，是把应用题中“未知”转化成“已知“的重要方法应用其中，它关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系。一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足:（1）方程两边表示的是同类量；（2）同类量的单位要统一；（3）方程两边的数值要相等。
考 点 突 破
考点:列二元一次方程组解应用题
【典例1】 某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元，如果35名学生购票恰好用去750元，甲、乙两种票各买了多少张？
思路导析:设甲种票买了x张，乙种票买了y张，然后根据购票总张数为35张，总费用为750元列方程求解即可。
解:设甲种票买了x张，乙种票买了y张。
根据题意，得解得
答:甲种票买了20张，乙种票买了15张。
变式1 某校住校生宿舍有大小两种寝室若干间，根据统计该校高一年级男生740人，使用了55间大寝室和50间小寝室，正好住满；女生730人，使用了大寝室50间和小寝室55间，也正好住满。求该校的大小寝室每间各住多少人？
【典例2】 甲、乙两种商品原来的单价和为200元，因市场变化，甲面品降价15％，乙商品提价40％，调价后，两种商品的单价和提高了12.5％，则甲、乙两种商品的原价各是多少元？
思路导析：本题的相等关系:原来的单价和为200；调价后单价和提高12.5％。
解，设甲种商品的原价为x元，乙种商品的原价为y元，由题意，得
解得
答:甲种商品的原价为100元，乙种商品的原价为100元。
变式2 某专卖店有A，B两种商品，已知在打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元；A，B两种商品打相同折以后，某人买500件A商品和450件B商品一共比不打折少花1960元，计算打了多少折？
【典例3】 一列快车长70m，慢车长80m.若两车同向面行，快车从追上慢车到完全离开慢车所用时间（即“会车“时间）为20s。若两车相向而行，则两车从相遇到离开时间为4s，求两车每小时各行多少千米？
思路导析:此题是追及问题和相遇问题的一种变式，解决这类问题的关键在于程的确定。同向而行时可看作快车的车尾追慢车的车头，属同时不同地（相距70m＋80m）（如图①所示）；相向而行时，可看作是两车的车尾从相距70m＋80m的两地相向而行到相遇（如图②所示）。
解:设快车每秒行驶xm，慢车每秒行驶ym。
根据题意，得 解得
又1m=km，1s＝h，所以 km/h＝81 km/h；km/h＝54 km/h。
答:快车每小时行81km，慢车每小时行54km。
变式3 小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路每分钟走60米，下坡路每分钟走80米，上坡路每分钟走40米，从家里到学校需10分钟，从学校到家里需15分钟，请问小华家离学校多远？
【典例4】有一两位数，个位上的数比十位上的数大5，如果把两个数字的位置对调，那么所得的新数与原数的和为143，求这个两位数。
思路导析：设十位上的数字为x，个位上的数字为y，则这个两位数为10x＋y，对调后的两位数为10y＋x，其中有两个相等关系:（1）个位上的数（y）- 十位上的数（x）＝5；（2）新两位数＋原两位数＝143。
解:设这个两位数十位上的数字为x，个位上的数字为y。
由题意，得 整理，得 解得
答:这个两位数为49。
友情提示 解数字问题时抓住数字之间或新数、原数之间的关系寻找等量关系。
变式4 一个三位数，三个数位上的数字之和为17；百位上的数字与十位上的数字的和比个位数大3；如果把百位上的数字与个位上的数字对调所得新数比原数小198，求原数。
巩 固 提 高
1.今年，小丽爷爷的年龄是小丽的5倍。小丽发现12年之后，爷爷的年龄是小丽的3倍，设今年小丽、爷爷的年龄分别是x岁、y岁，可列方程组（ ）
A. B. C. D.
2.一个两位数的十位数字与个位数字之和为7。如果这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数，则这个两位数为（ ）
A.52 B.34 C.16 D.25
3.小李以两种形式储蓄300元，一种储蓄的年利率为10％，另一种为11％，一年后本息和为331.5元，则两种储蓄的存款分别为（ ）
A.100元，200元 B.150元，150元 C.200元，100元 D.50元，250元
4.小岩打算购买气球装扮学校“毕业典礼”活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同由于会场布置需要，购买时以一束（4个气球）为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为（ ）。
A.19 B.18 C.16 D.15
5.某船在水中航行，顺水速度为20 km/h，逆水速度为16 km/h.若设船在静水中速度为x km/h，水流速度为y km/h，列出方程组应是（ ）
A. B. C. D.
6.某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（ ）
A.22x＝16（27-x） B.16x＝22（27-x） C.2×16x＝22（27-x） D.2×22x＝16（27-x）7.小强同学生日的月数减去日数为2，月数的两倍和日数相加为31，则小强同学生日的月数和日数的和为_______________。
8.现有古代数学问题:“今有牛五羊二值金八两；牛二羊五值金六两”，则牛一羊一值金________两。9.某中学组织一批学生开展社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满。已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元。
（1）这批学生的人数是多少？原计划租用45座客车多少辆？
（2）若租用同一种客车，要使每位学生都有座位应该怎样租用才合算？
10.由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销。某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的防雾霾口罩共20万只，且所有产品当月全部售出。原料成本、销售单价及工人生产提成如下表所示:
价格（元/只） 型号
种类
甲
乙
原料成本
12
8
销售单价
18
12
生产提成
1
0.8
若该公司五月份的销售收入为300万元，求甲、乙两种型号的产量分别是多少万只？
11.随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折。已知打折前买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需5200元。
（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？
（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？
真 题 训 练
1.（2018·广州）《九章算术》是我国古代数学的经典著作。书中有一个问题:“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是:甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（ ）
A. B.
C. D.
2.（2018·青岛）5月份，甲、乙两个工厂用水量共为200吨进入夏季用水高峰期后，两工厂积极响应国家号召，采取节水措施。6月份，甲工厂用水量比5月份减少了15％，乙工厂用水量比5月份减少了10％，两个工厂6月份用水量共为174吨，求两个工厂5月份的用水量各是多少。设甲工厂5月份用水量为x吨，乙工厂5月份用水量为y吨，根据题意列关于x，y的方程组为_______________。
3.（2018·黄冈）在端午节来临之际，某商店订购了A型和B型两种粽子，A型粽子28元/千克，B型粽子24元/千克，若B型粽子的数量比A型粽子的2倍少20千克，购进两种粽子共用了2560元，求两种型号粽子各多少千克？
4.（2018·永州）在永州青少年禁毒教育活动中，某班男生小明与班上同学一起到禁毒教育基地参观。以下是小明和妈妈的对话，请根据对话内容，求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生的人数。
参考答案及解析
知识梳理
知识点1： 4. 二元一次方程 二元一次方程组 6.符合题意
知识点2：1.工作效率 2.速度 3.单价 4.本金
考点突破
1.解:设该校大寝室每间住x人，小寝室每间住y人，根据题意可得解方程组可
得 答:该校大寝室每间住8人，小寝室每间可住6人.
2.解:设打折前A，B两种商品的单价分别为x元，y元.由题意，得解得
500×16＋450×4＝9800（元） ＝0.8
答:打了八折。
3.解:设平路有x米，坡路有y米。
由题意，得 解得 所以x＋y＝700.
答:小华家离学校700米。
4.解:设百位上的数字与个位上的数字分别为x，y，根据题意，得
解得
从而十位上的数字为17 -（9＋7）＝1，则原数为917。
巩固提高
1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D 7.20 8.2
9.解:（1）设这批学生的人数是x人，原计划租用45座客车y辆。
根据题意，得 解这个方程组，得
答:这批学生的人数是240人，原计划租45座客车5辆；
（2）租45座客车:240÷45≈5.3（辆），所以需租6辆，租金为220×6＝1320（元），租60座客车:240÷60＝4（辆），所以需租4辆，租金为300×4＝1200（元）。
答:租用4辆60座客车更合算。
10.解:设甲种型号的产量是x万只，乙种型号的产量是y万只.由题意列方程组，
得解得
答:甲、乙两种型号的产量都是10万只。
11.解:（1）设打折前甲品牌棕子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元.
根据题意，得 解得
答:打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元。
（2）80×40＋100×120 - 80×0.8×40 - 100×0.75×120＝3640（元）
答:打折后购买这批粽子比不打折节省3640元。
真题训练
1.D
2.
3.解:设A，B型粽子的数量分别为x千克、y千克.依题意列方程组，得
解这个方程组，得 答:A，B型粽子的数量分别为40千克、60千克
4.解:设小明班上参观禁毒教育基地的男生x人，女生y人.
根据题意，得 解得
答：小明班上参观禁毒教育基地的男生有35人，女生有20人。