【备考2019】数学3年中考2年模拟专题复习学案6.2 一次函数

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名称 【备考2019】数学3年中考2年模拟专题复习学案6.2 一次函数
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科目 数学
更新时间 2019-02-20 15:51:24

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6.2 一次函数

一、一次函数的定义
1、一次函数:形如________(、为常数,)的函数,我们称是的一次函数。
2、正比例函数:形如________()的函数,我们称是的正比例函数,此时也可说与成正比例,正比例函数是________,但一次函数并不一定是________
二、一次函数的图象与性质
1、一次函数的图象是一条________,与轴的交点为________,与轴的交点为
2、正比例函数的图象也是一条________,它过点,________
名称
函数解析式
系数符号
图象
所在象限
性质
正比例函数
()
k>0
/
图象经过________象限
值随的增大而________
k<0
/
图象经过________象限
值随的增大而________
一次函数
k>0
b>0
/
图象经过________象限
值随的增大而________
b<0
/
图象经过________象限
k>0
b>0
/
图象经过________象限
值随的增大而________
b<0
/
图象经过________象限
三、一次函数的平移
1、一次函数y=kx+b的图象可以看做是y=kx平移|b|个单位长度而得到(b>0时,向________平移,b<0时。向________平移)
即:两直线平行k的值________;
2、图象上下平移与k无关,与b有关,图象向上移动b的值增加,图象向下移动b的值减小
3、图象的左右平移与k,b无关,与自变量x有关系,向左移动增加,向右移动减小
四、一次函数与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式
1.解关于x的方程kx+b=0,
从数量上看:已知函数y=kx+b的函数值y为0,求相应的自变量x的值.
从图象上看,相当于已知直线y=kx+b,确定它与x轴的交点的________;
2、求两直线的交点坐标方法是:联立两直线的解析式组成方程组,方程组的________就是交点的________。
3、解关于x的不等式kx+b>mx+n
当自变量x取何值时,直线y=(k-m)x+b-n上的点在x轴的________方.
或当x取何值时,直线y=kx+b上的点在直线y=mx+n上相应的点的________方.

考点一:一次函数的定义下列函数中,y是x的一次函数的是( )
①y=x-6;②y= -3x –1;③y=-0.6x;④y=7-x.
A. ①②③ B. ①③④ C. ①②③④ D. ②③④
变式跟进1已知关于x的函数y=(m-2)x2-|m|+m+1.
(1)当m为何值时,y是x的正比例函数?
(2)当m为何值时,y是x的一次函数?并写出函数解析式.
考点二:求一次函数的解析式
已知y与x+2成正比例,且当x=3时,y=﹣10,求y与x的函数关系式.
变式跟进2已知一次函数的图象过M(1,3),N(-2,12)两点.
(1)求函数的解析式;
(2)试判断点P(-2,-6)是否在函数的图象上,并说明理由.
考点三:一次函数的图象
正比例函数y=x的大致图像是()
/
A. A B. B C. C D. D
变式跟进3在同一坐标系中,函数与的图象大致是.( )
A. / B. /C. / D. /
考点四:一次函数的性质
已知一次函数y=(1-2m)x+m-1,若函数y随x的增大而减小,并且函数的图象经过二、三、四象限,求m的取值范围。
变式跟进4已知一次函数y=(m-3)x+m-8,y随x的增大而增大, (1)求m的取值范围; (2)如果这个一次函数又是正比例函数,求m的值; (3)如果这个一次函数的图象经过一、三、四象限,试写一个m的值,不用写理由.
考点五:面积问题
如图,矩形ABCD的边长AB=9,AD=3,将此矩形置于平面直角坐标系xOy中,使AB在x轴正半轴上,经过点C的直线与x轴交于点E,则四边形AECD的面积是_____.
/
变式跟进5如图,在平面直角坐标系内,四边形OECB的顶点坐标分别是:B(2,5),C(8,5),E(10,0),点P(x,0)是线段OE上一点,设四边形BPEC的面积为S.
/
(1)过点C作CD⊥x轴于点E,则CD= , 用含x的代数式表示PE= .
(2)求S与x的函数关系.
(3)当S=30时,直接写出线段PE与PB的长.
考点六:一次函数与方程、不等式
以方程组的解为坐标的点(x,y)在第_____象限.
变式跟进6如图,直线y=kx+b经过点A(5,0),B(1,4).
(1)求直线AB的表达式;
(2)若直线y=2x-4与直线AB相交于点C,求点C的坐标;
(3)根据图象,写出关于x的不等式kx+b>2x-4>0的解集.
/
考点七:一次函数的实际应用问题
图中的折线表示某汽车的耗油量与速度之间的函数关系().已知线段表示的函数关系中,该汽车的速度每增加,耗油量增加.
/
()求图像中段与段分别对应的与的函数关系式.
()该汽车的速度是多少时,耗油量最低?最低是多少?
变式跟进7某批发商计划将一批海产品由A地运往B地.汽车货运公司和铁路货运公司均开办海产品运输业务.已知运输路程为120千米,汽车和火车的速度分别为60千米/时、100千米/时.两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示:
运输工具
运输费单价/
(元/吨·千米)
冷藏费单价/
(元/吨·小时)
过路费/元
装卸及管理费/元
汽 车
2
5
200
0
火 车
1.8
5
0
1600
注:“元/吨·千米”表示每吨货物每千米的运费;“元/吨·小时”表示每吨货物每小时的冷藏费.
(1)设该批发商待运的海产品有x(吨),汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为y1(元)和y2(元),试求y1、y2与x之间的函数关系式.
(2)若该批发商待运的海产品不少于30吨,为节省运费,他应选择哪个货运公司承担运输业务?

一、单选题
1.(2016?来宾)已知直线l1:y=?3x+b与直线l2:y=?kx+1在同一坐标系中的图象交于点(1,?2),那么方程组
3??+??=??
????+??=1
的解是( )
A.
??=1
??=?2
B.
??=1
??=2
C.
??=?1
??=?2
D.
??=?1
??=2
2.(2016?葫芦岛)甲、乙两车从A城出发前往B城,在整个行驶过程中,汽车离开A城的距离y(km)与行驶时间t(h)的函数图象如图所示,下列说法正确的有(  )
①甲车的速度为50km/h ②乙车用了3h到达B城
③甲车出发4h时,乙车追上甲车 ④乙车出发后经过1h或3h两车相距50km.
/
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.(2017?营口)若一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限,则下列不等式一定成立的是(?? )
A.?a+b<0?????????????????????????????B.?a﹣b>0?????????????????????????????C.?ab>0?????????????????????????????D.?
??
??
<0
4.(2017?温州)已知点(﹣1,y1),(4,y2)在一次函数y=3x﹣2的图象上,则y1, y2,0的大小关系是(?? )
A.?0<y1<y2????????????????????????/B.?y1<0<y2????????????????????????/C.?y1<y2<0????????????????????????/D.?y2<0<y1
5.(2017?绥化)在同一平面直角坐标系中,直线y=4x+1与直线y=﹣x+b的交点不可能在(?? )
A.?第一象限???????????????????????????/B.?第二象限???????????????????????????/C.?第三象限???????????????????????????/D.?第四象限
6.(2018?南充)直线y=2x向下平移2个单位长度得到的直线是(  )
A.y=2(x+2) B.y=2(x﹣2) C.y=2x﹣2 D.y=2x+2
7.(2018?枣庄)如图,直线l是一次函数y=kx+b的图象,若点A(3,m)在直线l上,则m的值是(  )
/
A.﹣5 B.
3
2
C.
5
2
D.7
8.(2018?聊城)春季是传染病多发的季节,积极预防传染病是学校高度重视的一项工作,为此,某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒.在对某宿舍进行消毒的过程中,先经过5??????的集中药物喷洒,再封闭宿舍10??????,然后打开门窗进行通风,室内每立方米空气中含药量??(????/
??
3
)与药物在空气中的持续时间??(??????)之间的函数关系,在打开门窗通风前分别满足两个一次函数,在通风后又成反比例,如图所示.下面四个选项中错误的是( )
/
A.经过5??????集中喷洒药物,室内空气中的含药量最高达到10????/
??
3
B.室内空气中的含药量不低于8????/
??
3
的持续时间达到了11??????
C.当室内空气中的含药量不低于5????/
??
3
且持续时间不低于35分钟,才能有效杀灭某种传染病毒.此次消毒完全有效
D.当室内空气中的含药量低于2????/
??
3
时,对人体才是安全的,所以从室内空气中的含药量达到2????/
??
3
开始,需经过59??????后,学生才能进入室内
二、填空题
9.(2016?阿坝州)如图,已知一次函数y=kx+3和y=﹣x+b的图象交于点P(2,4),则关于x的方程kx+3=﹣x+b的解是________.
/
10.(2016?潍坊)在平面直角坐标系中,直线l:y=x﹣1与x轴交于点A1,如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形AnBnCnCn﹣1,使得点A1、A2、A3、…在直线l上,点C1、C2、C3、…在y轴正半轴上,则点Bn的坐标是_____.
/
11.(2017?眉山)设点(﹣1,m)和点(
1
2
,n)是直线y=(k2﹣1)x+b(0<k<1)上的两个点,则m、n的大小关系为________.
12.(2017?荆州)将直线y=x+b沿y轴向下平移3个单位长度,点A(﹣1,2)关于y轴的对称点落在平移后的直线上,则b的值为________.
13.(2017?通辽)如图,将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中,若过原点的直线l将图形分成面积相等的两部分,则将直线l向右平移3个单位后所得直线l′的函数关系式为________.
/
14.(2018?巴彦淖尔)已知点A(-5,a),B(4,b)在直线y=-3x+2上,则a________b.(填“>”“<”或“=”号 )
15.(2018?阜新)甲、乙两人分别从A,B两地相向而行,他们距B地的距离s(km)与时间t(h)的关系如图所示,那么乙的速度是__km/h.
/
16.(2018?东营)如图,在平面直角坐标系中,点A1,A2,A3,…和B1,B2,B3,…分别在直线y=
1
5
x+b和x轴上.△OA1B1,△B1A2B2,△B2A3B3,…都是等腰直角三角形.如果点A1(1,1),那么点A2018的纵坐标是_____.
/
三、解答题
17.(2016?常德)如图,直线AB与坐标轴分别交于A(﹣2,0),B(0,1)两点,与反比例函数的图象在第一象限交于点C(4,n),求一次函数和反比例函数的解析式. /
18.(2017·台州)如图,直线
??
1
: ??=2??+1 与直线
??
2
: ??=????+4 相交于点P(1,b) /
(1)求b,m的值
(2)垂直于x轴的直线 ??=?? 与直线
??
1

??
2
分别相交于C,D,若线段CD长为2,求a的值
19.(2018?泸州)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(2,-6),且与反比例函数y=-
12
??
的图象交于点B(a,4)
(1)求一次函数的解析式;
(2)将直线AB向上平移10个单位后得到直线l:y1=k1x+b1(k1≠0),l与反比例函数y2=
6
??
的图象相交,求使y1<y2成立的x的取值范围.
20.(2018?绥化)端午节期间,甲、乙两人沿同一路线行驶,各自开车同时去离家560千米的景区游玩,甲先以每小时60千米的速度匀速行驶1小时,再以每小时m千米的速度匀速行驶,途中体息了一段时间后,仍按照每小时m千米的速度匀速行驶,两人同时到达目的地,图中折线、线段分别表示甲、乙两人所走的路程
??

(????),
??

(????)与时间??(?)之间的函数关系的图象.请根据图象提供的信息,解决下列问题:
(1)图中E点的坐标是______,题中??=______????/?,甲在途中休息______h;
(2)求线段CD的解析式,并写出自变量x的取值范围;
(3)两人第二次相遇后,又经过多长时间两人相距20km?
/

一、单选题
1.(2017·广州一模)如图,一次函数y=ax+b的图象分别与x轴、y轴的负半轴相交于A,B,则下列结论一定正确的是(?? ) /
A.?a﹣b>0????????????????????????????B.?a+b>0????????????????????????????C.?b﹣a>0????????????????????????????D.?﹣a﹣b>0
2.(2017·黔南州二模)如图,直线l经过第一、二、四象限,l的解析式是y=(m﹣3)x+m+2,则m的取值范围在数轴上表示为(?? ) /
A.?/?????/B.?/???????/C.?/?????????/D.?/
3.(2017·上海二模)已知直线y=ax+b(a≠0)经过点A(﹣3,0)和点B(0,2),那么关于x的方程ax+b=0的解是(?? )
A.?x=﹣3???????????????????????????????????/B.?x=﹣1???????????????????????????????????/C.?x=0???????????????????????????????????/D.?x=2
4.(2017·哈尔滨一模)随着“中国诗词大会”节目的热播,《唐诗宋词精选》一书也随之热销.如果一次性购买10本以上,超过10本的那部分书的价格将打折,并依此得到付款金额y(单位:元)与一次性购买该书的数量x(单位:本)之间的函数关系如图所示,则下列结论错误的是(?? )
/
A.?一次性购买数量不超过10本时,销售价格为20元/本 B.?a=520 C.?一次性购买10本以上时,超过10本的那部分书的价格打八折 D.?一次性购买20本比分两次购买且每次购买10本少花80元
5.(2017·阜阳一模)一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次,若购买会员年卡,可享受如下优惠:
会员年卡类型
办卡费用(元)
每次游泳收费(元)
A 类
50
25
B 类
200
20
C 类
400
15
例如,购买A类会员年卡,一年内游泳20次,消费50+25×20=550元,若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45~55次之间,则最省钱的方式为(?? )
A.?购买A类会员年卡?????????/B.?购买B类会员年卡?????????/C.?购买C类会员年卡??????????/D.?不购买会员年卡
6.(2018?桂林二模)正比例函数y=(k+1)x,若y随x增大而减小,则k的取值范围是(  )
A.k>1 B.k<1 C.k>﹣1 D.k<﹣1
7.(2018?合肥模拟)一次函数
??
1
=????+??与
??
2
=??+??的图象如图所示,则下列结论①??<0;②??>0;③??>0④当??>3时
??
1
<
??
2
,正确的个数是( )
/
A.0 B.1 C.2 D.3
8.(2018?衡水模拟)已知一次函数y=kx+b的图象如图所示,当0<x<1时,y的取值范围是(  )
/
A.y>﹣2 B.y<﹣2 C.﹣2<y<0 D.y>0
9.(2018?廊坊模拟)如图,在平面直角坐标系中,直线l1对应的函数表达式为y=2x,直线l2与x、y轴分别交于点A、B,且l1∥l2,OA=2,则线段OB的长为(  )
/
A.3 B.4 C.2
2
D.2
3
10.(2018?南阳三模)如图,放置的△OAB1,△B1A1B2,△B2A2B3,…都是边长为2的等边三角形,边AO在y轴上,点B1、B2/、B3…都在直线y=
3
3
x上,则点A2018的坐标为(  )
/
A.(2018
3
,2020) B.(2018
3
,2018) C.(2020
3
,2020) D.(2018,2020)
二、填空题
11.(2017·天津一模)若一次函数y=2x+b的图象不经过第二象限,则此函数的解析式可以为________(写出一个即可)
12.(2017·宜城模拟)若函数y=(m+1)x|m|是正比例函数,则该函数的图象经过第________象限.
13.(2017·邹城模拟)如图,P点的坐标为(3,2),过P点的直线AB分别交x轴和y轴的正半轴于A,B两点,作PM⊥x轴于M点,作PN⊥y轴于N点,若△PAM的面积与△PBN的面积的比为
4
9
,则直线AB的解析式为________. / 14.(2018?赣州模拟)在直角坐标系xOy中,三个点O(0,0),A(4,2),B(0,2)到某一条直线的距离均相等,则这条直线的解析式可以是________.
15.(2018?成都模拟)已知直线y=﹣2x+5,则将其向右平移1个单位后与两坐标轴围成的三角形面积为_____.
16.(2018?盐城模拟)如图,在平面直角坐标系中,函数y=x和y=﹣
1
2
x的图象/分别为直线l1,l2,过点A1(1,﹣
1
2
)作x轴的垂线交11于点A2,过点A2作y轴的垂线交l2于点A3,过点A3作x轴的垂线交l1于点A4,过点A4作y轴的垂线交l2于点A5,…依次进行下去,则点A2018的横坐标为_____.
/
三、解答题
17.(2017·宜春模拟)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A的坐标为(﹣4,8),对角线AC⊥x轴于点C,点D在y轴上,求直线AB的解析式.
/
18.(2017·深圳二模)为更新果树品种,某果园计划新购进A、B两个品种的果树苗栽植培育,若计划购进这两种果树苗共45棵,其中A种苗的单价为7元/棵,购买B种苗所需费用y(元)与购买数量x(棵)之间存在如图所示的函数关系. (1)求y与x的函数关系式;
(2)若在购买计划中,B种苗的数量不超过35棵,但不少于A种苗的数量,请设计购买方案,使总费用最低,并求出最低费用.
/
19.(2018?无锡四模)如图,平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,3),点B(
3
,0),连接AB,若对于平面内一点C,当△ABC是以AB为腰的等腰三角形时,称点C是线段AB的“等长点”.
(1)在点C1(﹣2,3+2
2
),点C2(0,﹣2),点C3(3+
3
,﹣
3
)中,线段AB的“等长点”是点________;
(2)若点D(m,n)是线段AB的“等长点”,且∠DAB=60°,求点D的坐标;
(3)若直线y=kx+3
3
k上至少存在一个线段AB的“等长点”,求k的取值范围.
/
20.(2018?天津二模)下表给出A、B、C三种上宽带网的收费方式:
 收费方式
 月使用费/元
包时上网时间/h 
 超时费/(元/min)
 A
 30
 25
 0.05
 B
 50
 50
 0.05
 C
 120
 不限时
设上网时间为t小时.
(I)根据题意,填写下表:
月费/元
上网时间/h
超时费/(元)
总费用/(元)
方式A
30
40
方式B
50
100
(II)设选择方式A方案的费用为y1元,选择方式B方案的费用为y2元,分别写出y1、y2与t的数量关系式;
(III)当75<t<100时,你认为选用A、B、C哪种计费方式省钱(直接写出结果即可)?
/
6.2 一次函数

一、一次函数的定义
1、一次函数:形如(、为常数,)的函数,我们称是的一次函数。
2、正比例函数:形如()的函数,我们称是的正比例函数,此时也可说与成正比例,正比例函数是一次函数,但一次函数并不一定是正比例函数
二、一次函数的图象与性质
1、一次函数的图象是一条直线,与轴的交点为,与轴的交点为
2、正比例函数的图象也是一条直线,它过点,
名称
函数解析式
系数符号
图象
所在象限
性质
正比例函数
()
k>0
/
图象经过一、三象限
值随的增大而增大
k<0
/
图象经过二、四象限
值随的增大而减小
一次函数
k>0
b>0
/
图象经过一、二、三象限
值随的增大而增大
b<0
/
图象经过一、三、四象限
k>0
b>0
/
图象经过一、二、四象限
值随的增大而减小
b<0
/
图象经过二、三、四象限
三、一次函数的平移
1、一次函数y=kx+b的图象可以看做是y=kx平移|b|个单位长度而得到(b>0时,向上平移,b<0时。向下平移)
即:两直线平行k的值相等;
2、图象上下平移与k无关,与b有关,图象向上移动b的值增加,图象向下移动b的值减小
3、图象的左右平移与k,b无关,与自变量x有关系,向左移动增加,向右移动减小
四、一次函数与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式
1.解关于x的方程kx+b=0,
从数量上看:已知函数y=kx+b的函数值y为0,求相应的自变量x的值.
从图象上看,相当于已知直线y=kx+b,确定它与x轴的交点的坐标;
2、求两直线的交点坐标方法是:联立两直线的解析式组成方程组,方程组的解就是交点的坐标。
3、解关于x的不等式kx+b>mx+n
当自变量x取何值时,直线y=(k-m)x+b-n上的点在x轴的上方.
或当x取何值时,直线y=kx+b上的点在直线y=mx+n上相应的点的上方.

考点一:一次函数的定义
下列函数中,y是x的一次函数的是( )
①y=x-6;②y= -3x –1;③y=-0.6x;④y=7-x.
A. ①②③ B. ①③④ C. ①②③④ D. ②③④
【答案】C
【解析】解:一次函数的有①y=x-6;②y= -3x –1;③y=-0.6x;④y=7-x.
故选:C
【点评】根据一次函数的定义,即可进行判断.
变式跟进1已知关于x的函数y=(m-2)x2-|m|+m+1.
(1)当m为何值时,y是x的正比例函数?
(2)当m为何值时,y是x的一次函数?并写出函数解析式.
【答案】当m=1时,y=-x+2;当m=-1时,y=-3x.
【解析】解:(1)由题意,得m-2≠0,m+1=0,2-|m|=1.解得m=-1. 故当m=-1时,y是x的正比例函数;
(2)由题意,得m-2≠0,2-|m|=1.
解得m=±1.
所以一次函数的解析式为y=-x+2或y=-3x.
【点评】(1)根据正比例函数的特征可得m?2≠0,2?|m|=1,m+1=0,从而可得出m的值;
(2),根据一次函数的自变量系数不为0且自变量的指数为1,可得到相应情况下m的限定条件,由此即可得出m的值.
考点二:求一次函数的解析式
已知y与x+2成正比例,且当x=3时,y=﹣10,求y与x的函数关系式.
【答案】y与x的函数关系式为:y=﹣2x﹣4.
【解析】解:设y与x的关系式为:y=k(x+2),
把x=3,y=﹣10代入解析式得:k(3+2)=﹣10,
解得k=﹣2.
故y与x的函数关系式为:y=﹣2x﹣4.
【点评】已知y与x+2成正比例,所以,设y=k( x+2),把x=3,y=-10代入求出k的值,即可写出y与x之间的函数关系式.
变式跟进2已知一次函数的图象过M(1,3),N(-2,12)两点.
(1)求函数的解析式;
(2)试判断点P(-2,-6)是否在函数的图象上,并说明理由.
【答案】(1) y=-3x+6;(2)见解析.
【解析】解:(1)设一次函数的解析式为 y=kx+b,
,解得
所以y=-3x+6
(2)∵当 x=-2 时,y=12≠-6,∴P不在直线上.
【点评】(1)用待定系数法求一次函数的解析式;(2)把x=-2代入到一次函数的解析式中,看函数值是否等于-6.
考点三:一次函数的图象
正比例函数y=x的大致图像是()
/
A. A B. B C. C D. D
【答案】C
【解析】解:∵1>0,
∴正比例函数y=x的大致图像经过一、三象限.
故选C.
【点评】本题考查了正比例函数图象与系数的关系:对于y=kx,当k>0时, y=kxb的图象经过一、三象限;当k<0时, y=kx的图象经过二、四象限
变式跟进3在同一坐标系中,函数与的图象大致是.( )
A. / B. /C. / D. /
【答案】B
【解析】A. 由函数y=kx的图象,得k<0,由y=?k的图象,得k>0,k值相互矛盾,故A错误;
B. 由函数y=kx的图象,得k<0,由y=?k的图象,得k<0,故B正确;
C. 由函数y=kx的图象,得k>0,由y=?k的图象,得k<0,k值相矛盾,故C错误;
D. 由函数y=kx的图象的图象经过原点,故D错误;
故选:B.
【点评】先根据正比例的图象确定k值,再观察一次函数图象是否满足条件.
考点四:一次函数的性质
已知一次函数y=(1-2m)x+m-1,若函数y随x的增大而减小,并且函数的图象经过二、三、四象限,求m的取值范围。
【答案】
1
2
<m<1
【解析】解:∵函数y随x的增大而减小,∴1-2m<0,解得m>
1
2

∵函数的图象经过第二、三、四象限,∴图象与y轴的交点在x轴下方,即m-1<0,解得m<1;

1
2
<m<1.
【点评】根据一次函数的性质,函数y随x的增大而减小,则1-2m<0,解得m>
1
2
;又因为函数的图象经过第二、三、四象限,说明函数图象与y轴的交点在x轴下方,即m-1<0,解得m<1;所以m的取值范围为:
1
2
<m<1.
变式跟进4已知一次函数y=(m-3)x+m-8,y随x的增大而增大, (1)求m的取值范围; (2)如果这个一次函数又是正比例函数,求m的值; (3)如果这个一次函数的图象经过一、三、四象限,试写一个m的值,不用写理由.
【答案】(1) m>3;(2)8;(3) 3【解析】解:(1)根据题意得m-3>0,
解得m>3;
(2)根号题意得m-3≠0且m-8=0,
解得m=8;
(3)根据题意得:

解得:3<m<8,
∴3<m<8中任取一个值都可以.
【点评】(1)根据函数的增减性得到m-3>0,从而确定m的取值范围;(2)根据正比例函数的定义得到m-3≠0且m-8=0,从而确定m的值;(3)根据一次函数的性质确定m的取值范围,然后从m的范围内确定m的一个值即可.
考点五:面积问题
如图,矩形ABCD的边长AB=9,AD=3,将此矩形置于平面直角坐标系xOy中,使AB在x轴正半轴上,经过点C的直线与x轴交于点E,则四边形AECD的面积是_____.
/
【答案】18
【解析】解:∵矩形ABCD的边长AB=9,AD=3的矩形,
∴S矩形ABCD=3×9=27,
∵经过点C的直线与x轴交于点E,
∴E(4,0),C(10,3),
∴BE=6,
∴S△EBC=BE?BC==9,
∴四边形AECD的面积是:27﹣9=18,
故答案为:18.
【点评】本题主要考查了一次函数与矩形的综合,在解题时要结合四边形的面积公式和三角形的面积公式进行计算是本题的关键.
变式跟进5如图,在平面直角坐标系内,四边形OECB的顶点坐标分别是:B(2,5),C(8,5),E(10,0),点P(x,0)是线段OE上一点,设四边形BPEC的面积为S.
/
(1)过点C作CD⊥x轴于点E,则CD= , 用含x的代数式表示PE= .
(2)求S与x的函数关系.
(3)当S=30时,直接写出线段PE与PB的长.
【答案】(1)CD=5,PE=10-x;(2)(3)PE=6,PB=
【解析】解:
(1)CD=5,PE=10-x;
(2)∵B(2,5),C(8,5),
∴BC=6,BC∥x轴,
∴S= .
(3)把S=30 代入得,x=4,
∴PE=6.
如图,过点B作BM⊥X轴于点M,
∵B(2,5),OP=4,
∴BM=5,PM=2,
在Rt△BPM中,根据勾股定理求得PB=.
/
【点评】(1)根据点D的坐标直接求得CD的长,根据点E的坐标表示出PE的长即可;(2)根据已知条件可知四边形BPEC是梯形,利用梯形的面积公式即可求解.(2)把S=30 代入求得x的值,即可求得PE的长,过点B作BM⊥X轴于点M,在Rt△BPM中,根据勾股定理求得PB的长即可.
考点六:一次函数与方程、不等式
以方程组的解为坐标的点(x,y)在第_____象限.
【答案】二
【解析】解:解方程组 得,
∵x= <0,y=>0
∴点(, )在平面直角坐标系中的第二象限.
【点评】二元一次方程组的解即是这两条直线的交点坐标.
变式跟进6如图,直线y=kx+b经过点A(5,0),B(1,4).
/
(1)求直线AB的表达式;
(2)若直线y=2x-4与直线AB相交于点C,求点C的坐标;
(3)根据图象,写出关于x的不等式kx+b>2x-4>0的解集.
【答案】(1)y=-x+5;(2)C(3,2);(3)2【解析】解:(1)设,把(1,4),(5,0)代入,得,

解得
∴y=-x+5.
(2)∵2x-4=-x+5 ,
∴ x=3 .
把x=3代入y=2x-4得,y=2.
∴C(3,2)
(3)2【点评】(1)把(1,4),(5,0)代入,得方程组,解方程组求得k、b的值,即可得直线AB的表达式;(2)令2x-4=-x+5 ,解得x值,再代入y=2x-4求得y的值,即可得点C的坐标;(3)观察函数图象,直接写出答案即可.
考点七:一次函数的实际应用问题
图中的折线表示某汽车的耗油量与速度之间的函数关系().已知线段表示的函数关系中,该汽车的速度每增加,耗油量增加.
/
()求图像中段与段分别对应的与的函数关系式.
()该汽车的速度是多少时,耗油量最低?最低是多少?
【答案】(): , : ()速度是时,该汽车的耗油量最低,最低是
【解析】解:()设的解析式为: ,
把和代入中得:
解得,
∴,
设的解析式为: ,
把和代入中得:
解得,
∴,
(3)根据题意得解得,
答:速度是,该汽车的耗油量最低,最低是.
【点评】(1)先把和, 和分别代入中,利用待定系数法求出AB、BC的解析式;(2)观察图形发现,两线段的交点即为最低点,因此求出两函数解析式组成的方程组的解即可.
变式跟进7某批发商计划将一批海产品由A地运往B地.汽车货运公司和铁路货运公司均开办海产品运输业务.已知运输路程为120千米,汽车和火车的速度分别为60千米/时、100千米/时.两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示:
运输工具
运输费单价/
(元/吨·千米)
冷藏费单价/
(元/吨·小时)
过路费/元
装卸及管理费/元
汽 车
2
5
200
0
火 车
1.8
5
0
1600
注:“元/吨·千米”表示每吨货物每千米的运费;“元/吨·小时”表示每吨货物每小时的冷藏费.
(1)设该批发商待运的海产品有x(吨),汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为y1(元)和y2(元),试求y1、y2与x之间的函数关系式.
(2)若该批发商待运的海产品不少于30吨,为节省运费,他应选择哪个货运公司承担运输业务?
【答案】(1)y1=250x+200、y2=222x+1 600 ;(2)50吨以下选汽车,50吨以上选火车,50吨时费用相同
【解析】解:(1)由题意可得: ,即;
,即;
(2)由得: ,解得: ;
由可得: ,解得: ;
由可得: ,解得: ;
即:当运送量少于50吨时,选汽车运输;当运送量为50吨时,两种运输方式花费一样多;的运送量多于50吨时,选火车运输更合算.
【点评】解本题列两个函数解析式时,需注意“冷藏费是按时间和货物的重量计算的”,故要根据“路程”和“行驶速度”分别表达出汽车和火车的行驶时间,解题时不要忽略了这一点.

一、单选题
1.(2016?来宾)已知直线l1:y=?3x+b与直线l2:y=?kx+1在同一坐标系中的图象交于点(1,?2),那么方程组
3??+??=??
????+??=1
的解是( )
A.
??=1
??=?2
B.
??=1
??=2
C.
??=?1
??=?2
D.
??=?1
??=2
【答案】A
【解析】∵直线l1:y=﹣3x+b与直线l2:y=﹣kx+1在同一坐标系中的图象交于点(1,﹣2),
∴方程组
3??+??=??
????+??=1
的解为
??=1
??=?2

故选:A.
2.(2016?葫芦岛)甲、乙两车从A城出发前往B城,在整个行驶过程中,汽车离开A城的距离y(km)与行驶时间t(h)的函数图象如图所示,下列说法正确的有(  )
①甲车的速度为50km/h ②乙车用了3h到达B城
③甲车出发4h时,乙车追上甲车 ④乙车出发后经过1h或3h两车相距50km.
/
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】D
【解析】①甲车的速度为
300
6
=50km/h,故本选项正确;②乙车到达B城用的时间为:5﹣2=3h,故本选项正确;③甲车出发4h,所走路程是:50×4=200km,甲车出发4h时,乙走的路程是:
300
3
×2=200km,则乙车追上甲车,故本选项正确; ④当乙车出发1h时,两车相距:50×3﹣100=50km,当乙车出发3h时,两车相距:100×3﹣50×5=50km,故本选项正确;故选D.
3.(2017?营口)若一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限,则下列不等式一定成立的是(?? )
A.?a+b<0?????????????????????????????B.?a﹣b>0?????????????????????????????C.?ab>0?????????????????????????????D.?
??
??
<0
【答案】D
【解析】解:∵一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限, ∴a<0,b>0, ∴a+b不一定大于0,故A错误, a﹣b<0,故B错误, ab<0,故C错误,
??
??
<0,故D正确. 故选D. 【点评】由于一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限,由此可以确定a<0,b>0,然后一一判断各选项即可解决问题.
4.(2017?温州)已知点(﹣1,y1),(4,y2)在一次函数y=3x﹣2的图象上,则y1, y2,0的大小关系是(?? )
A.?0<y1<y2????????????????????????/B.?y1<0<y2????????????????????????/C.?y1<y2<0????????????????????????/D.?y2<0<y1
【答案】B
【解析】解:∵点(﹣1,y1),(4,
7
)在一次函数y=3x﹣2的图象上, ∴y1=﹣5,y2=10, ∵10>0>﹣5, ∴y1<0<y2 . 故选B. 【点评】根据点的横坐标利用一次函数图象上点的坐标特征,即可求出y1、y2的值,将其与0比较大小后即可得出结论.
5.(2017?绥化)在同一平面直角坐标系中,直线y=4x+1与直线y=﹣x+b的交点不可能在(?? )
A.?第一象限???????????????????????????/B.?第二象限???????????????????????????/C.?第三象限???????????????????????????/D.?第四象限
【答案】D
【解析】解:直线y=4x+1过一、二、三象限; 当b>0时,直线y=﹣x+b过一、二、四象限, 两直线交点可能在一或二象限; 当b<0时,直线y=﹣x+b过二、三、四象限, 两直线交点可能在二或三象限; 综上所述,直线y=4x+1与直线y=﹣x+b的交点不可能在第四象限, 故选D. 【点评】根据一次函数的性质确定两条直线所经过的象限可得结果.
6.(2018?南充)直线y=2x向下平移2个单位长度得到的直线是(  )
A.y=2(x+2) B.y=2(x﹣2) C.y=2x﹣2 D.y=2x+2
【答案】C
【解析】据一次函数图象与几何变换得到直线y=2x向下平移2个单位得到的函数解析式为y=2x﹣2.
解:直线y=2x向下平移2个单位得到的函数解析式为y=2x﹣2.
故选:C.
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换:一次函数y=kx(k≠0)的图象为直线,当直线平移时k不变,当向上平移m个单位,则平移后直线的解析式为y=kx+m.
7.(2018?枣庄)如图,直线l是一次函数y=kx+b的图象,若点A(3,m)在直线l上,则m的值是(  )
/
A.﹣5 B.
3
2
C.
5
2
D.7
【答案】C
【解析】把(-2,0)和(0,1)代入y=kx+b,求出解析式,再将A(3,m)代入,可求得m.
解:把(-2,0)和(0,1)代入y=kx+b,得
?2??+??=0
??=1

解得
??=
1
2
??=1

所以,一次函数解析式y=
1
2
x+1,
再将A(3,m)代入,得
m=
1
2
×3+1=
5
2
.
故选:C.
【点评】本题考核知识点:考查了待定系数法求一次函数的解析式,根据解析式再求函数值.
8.(2018?聊城)春季是传染病多发的季节,积极预防传染病是学校高度重视的一项工作,为此,某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒.在对某宿舍进行消毒的过程中,先经过5??????的集中药物喷洒,再封闭宿舍10??????,然后打开门窗进行通风,室内每立方米空气中含药量??(????/
??
3
)与药物在空气中的持续时间??(??????)之间的函数关系,在打开门窗通风前分别满足两个一次函数,在通风后又成反比例,如图所示.下面四个选项中错误的是( )
/
A.经过5??????集中喷洒药物,室内空气中的含药量最高达到10????/
??
3
B.室内空气中的含药量不低于8????/
??
3
的持续时间达到了11??????
C.当室内空气中的含药量不低于5????/
??
3
且持续时间不低于35分钟,才能有效杀灭某种传染病毒.此次消毒完全有效
D.当室内空气中的含药量低于2????/
??
3
时,对人体才是安全的,所以从室内空气中的含药量达到2????/
??
3
开始,需经过59??????后,学生才能进入室内
【答案】C
【解析】 利用图中信息一一判断即可.
解: A、正确.不符合题意.
B、由题意x=4时,y=8,∴室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间达到了11min,正确,不符合题意;
C、y=5时,x=2.5或24,24-2.5=21.5<35,故本选项错误,符合题意;
D、正确.不符合题意,
故选:C.
【点评】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用等知识,解题的关键是读懂图象信息,属于中考常考题型.
二、填空题
9.(2016?阿坝州)如图,已知一次函数y=kx+3和y=﹣x+b的图象交于点P(2,4),则关于x的方程kx+3=﹣x+b的解是________.
/
【答案】x=2
【解析】解:∵已知一次函数y=kx+3和y=﹣x+b的图象交于点P(2,4), ∴关于x的方程kx+3=﹣x+b的解是x=2, 故答案为:x=2. 【点评】函数图象的交点坐标的横坐标即是方程的解.
10.(2016?潍坊)在平面直角坐标系中,直线l:y=x﹣1与x轴交于点A1,如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形AnBnCnCn﹣1,使得点A1、A2、A3、…在直线l上,点C1、C2、C3、…在y轴正半轴上,则点Bn的坐标是_____.
/
【答案】(2n﹣1,2n﹣1).
【解析】观察,发现:A1(1,0),A2(2,1),A3(4,3),A4(8,7),…,∴An(2n﹣1,2n﹣1﹣1)(n为正整数).观察图形可知:点Bn是线段CnAn+1的中点,∴点Bn的坐标是(2n﹣1,2n﹣1).
11.(2017?眉山)设点(﹣1,m)和点(
1
2
,n)是直线y=(k2﹣1)x+b(0<k<1)上的两个点,则m、n的大小关系为________.
【答案】m>n
【解析】解:∵0<k<1, ∴直线y=(k2﹣1)x+b中,k2﹣1<0, ∴y随x的增大而减小, ∵﹣1<
1
2
, ∴m>n. 故答案是:m>n. 【点评】先根据一次函数的解析式判断出该函数的增减性,再根据﹣2<3及可判断出m、n的大小.
12.(2017?荆州)将直线y=x+b沿y轴向下平移3个单位长度,点A(﹣1,2)关于y轴的对称点落在平移后的直线上,则b的值为________.
【答案】4
【解析】解:将直线y=x+b沿y轴向下平移3个单位长度,得直线y=x+b﹣3. ∵点A(﹣1,2)关于y轴的对称点是(1,2), ∴把点(1,2)代入y=x+b﹣3,得1+b﹣3=2, 解得b=4. 故答案为4. 【点评】先根据一次函数平移规律得出直线y=x+b沿y轴向下平移3个单位长度后的直线解析式,再把点A(﹣1,2)关于y轴的对称点(1,2)代入,即可求出b的值.
13.(2017?通辽)如图,将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中,若过原点的直线l将图形分成面积相等的两部分,则将直线l向右平移3个单位后所得直线l′的函数关系式为________.
/
【答案】y=
9
10
x﹣
27
10

【解析】解:设直线l和八个正方形的最上面交点为A,过A作AB⊥OB于B,B过A作AC⊥OC于C,
/ ∵正方形的边长为1, ∴OB=3, ∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分, ∴两边分别是4, ∴三角形ABO面积是5, ∴
1
2
OB?AB=5, ∴AB=
10
3
, ∴OC=
10
3
, 由此可知直线l经过(
10
3
,3), 设直线方程为y=kx, 则3=
10
3
k, k=
9
10
, ∴直线l解析式为y=
9
10
x, ∴将直线l向右平移3个单位后所得直线l′的函数关系式为y=
9
10
x﹣
27
10
; 故答案为:y=
9
10
x﹣
27
10
. 【点评】设直线l和八个正方形的最上面交点为A,过A作AB⊥OB于B,B过A作AC⊥OC于C,易知OB=3,利用三角形的面积公式和已知条件求出A的坐标即可得到该直线l的解析式.
14.(2018?巴彦淖尔)已知点A(-5,a),B(4,b)在直线y=-3x+2上,则a________b.(填“>”“<”或“=”号 )
【答案】>
【解析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性,再比较出-5与4的大小即可解答.
解:∵直线y=-3x+2中,k=-3<0,
∴此函数是减函数,
∵-5<4,
∴a>b,
故答案为:>.
【点评】本题考查了一次函数的性质,根据题意判断出一次函数的增减性是解答此题的关键.一次函数y=kx+b,如果k>0,直线就从左往右上升,y随x的增大而增大,如果k<0,直线就从左往右下降,y随x的增大而减小.
15.(2018?阜新)甲、乙两人分别从A,B两地相向而行,他们距B地的距离s(km)与时间t(h)的关系如图所示,那么乙的速度是__km/h.
/
【答案】3.6
【解析】根据题意,甲的速度为6km/h,乙出发后2.5小时两人相遇,可以用方程思想解决问题.
解:由题意,甲速度为6km/h.当甲开始运动时相距36km,两小时后,乙开始运动,经过2.5小时两人相遇.
设乙的速度为xkm/h
4.5×6+2.5x=36
解得x=3.6
故答案为:3.6
【点评】本题为一次函数实际应用问题,考查一次函数图象在实际背景下所代表的意义.解答这类问题时,也可以通过构造方程解决问题.
16.(2018?东营)如图,在平面直角坐标系中,点A1,A2,A3,…和B1,B2,B3,…分别在直线y=
1
5
x+b和x轴上.△OA1B1,△B1A2B2,△B2A3B3,…都是等腰直角三角形.如果点A1(1,1),那么点A2018的纵坐标是_____.
/
【答案】
(
3
2
)
2017
【解析】因为每个A点为等腰直角三角形的直角顶点,则每个点A的纵坐标为对应等腰直角三角形的斜边一半.故先设出各点A的纵坐标,可以表示A的横坐标,代入解析式可求点A的纵坐标,规律可求.
解:分别过点A1,A2,A3,…向x轴作垂线,垂足为C1,C2,C3,…
/
∵点A1(1,1)在直线y=
1
5
x+b上
∴代入求得:b=
4
5
∴y=
1
5
x+
4
5
∵△OA1B1为等腰直角三角形
∴OB1=2
设点A2坐标为(a,b)
∵△B1A2B2为等腰直角三角形
∴A2C2=B1C2=b
∴a=OC2=OB1+B1C2=2+b
把A2(2+b,b)代入y=
1
5
x+
4
5
解得b=
3
2
∴OB2=5
同理设点A3坐标为(a,b)
∵△B2A3B3为等腰直角三角形
∴A3C3=B2C3=b
∴a=OC3=OB2+B2C3=5+b
把A2(5+b,b)代入y=
1
5
x+
4
5
解得b=
9
4
以此类推,发现每个A的纵坐标依次是前一个的
3
2

则A2018的纵坐标是(
3
2
)2017
故答案为:(
3
2
)2017
【点评】本题为一次函数图象背景下的规律探究题,结合了等腰直角三角形的性质,解答过程中注意对比每个点A的纵坐标变化规律.
三、解答题
17.(2016?常德)如图,直线AB与坐标轴分别交于A(﹣2,0),B(0,1)两点,与反比例函数的图象在第一象限交于点C(4,n),求一次函数和反比例函数的解析式. /
【答案】y=
1
2
x+1;y=
12
??
【解析】解:设一次函数的解析式为y=kx+b, 把A(﹣2,0),B(0,1)代入得: {
?2??+??=0
??=1
, 解得: {
??=
1
2
??=1
, ∴一次函数的解析式为y=
1
2
x+1; 设反比例函数的解析式为y=
??
??
, 把C(4,n)代入得:n=3, ∴C(4,3), 把C(4,3)代入y=
??
??
得:m=3×4=12, ∴反比例函数的解析式为y=
12
??

【点评】设一次函数的解析式为y=kx+b,把A(﹣2,0),B(0,1)代入得出方程组,解方程组即可;求出点C的坐标,设反比例函数的解析式为y=
??
??
,把C(4,3)代入y=
??
??
求出m即可.本题考查了用待定系数法求出函数的解析式,一次函数和和反比例函数的交点问题,函数的图象的应用,主要考查学生的观察图形的能力和计算能力.
18.(2017·台州)如图,直线
??
1
: ??=2??+1 与直线
??
2
: ??=????+4 相交于点P(1,b) /
(1)求b,m的值
(2)垂直于x轴的直线 ??=?? 与直线
??
1

??
2
分别相交于C,D,若线段CD长为2,求a的值
【答案】(1)b=3,m=-1. (2)
5
3

1
3
【解析】(1)解:把点P(1,b)代入y=2x+1,得b=2+1=3, 把点P(1,3)代入y=mx+4,得m+4=3, ∴m=-1. (2)解:直线x=a与直线l1的交点C为(a,2a+1),与直线l2的交点D为(a,-a+4). ∵CD=2, ∴|2a+1-(-a+4)|=2, 即|3a-3|=2, ∴3a-3=2或3a-3=-2, ∴a=
5
3
或a=
1
3
.
【点评】(1)把点P(1,b)分别代入l1和l2,得到b和m的值. (2)将直线x=a分别与直线l1、l2联立求出C和D的坐标,根据CD=2,列出关于a的方程求出a的值即可.
19.(2018?泸州)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(2,-6),且与反比例函数y=-
12
??
的图象交于点B(a,4)
(1)求一次函数的解析式;
(2)将直线AB向上平移10个单位后得到直线l:y1=k1x+b1(k1≠0),l与反比例函数y2=
6
??
的图象相交,求使y1<y2成立的x的取值范围.
【答案】(1)一次函数的解析式为y=-2x-2.(2)见解析
【解析】(1)根据点B的纵坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标,根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的解析式;
(2)根据“上加下减”找出直线l的解析式,联立直线l和反比例函数解析式成方程组,解方程组可找出交点坐标,画出函数图象,根据两函数图象的上下位置关系即可找出使y1<y2成立的x的取值范围.
解:(1)∵反比例函数y=-
12
??
的图象过点B(a,4),
∴4=-
12
??
,解得:a=-3,
∴点B的坐标为(-3,4).
将A(2,-6)、B(-3,4)代入y=kx+b中,
2??+??=?6
?3??+??=4
,解得:
??=?2
??=?2

∴一次函数的解析式为y=-2x-2.
(2)直线AB向上平移10个单位后得到直线l的解析式为:y1=-2x+8.
联立直线l和反比例函数解析式成方程组,
??=?2??+8
??=
6
x
,解得:
??
1
=1
??
1
=6

??
2
=3
??
2
=2

∴直线l与反比例函数图象的交点坐标为(1,6)和(3,2).
画出函数图象,如图所示.
/
观察函数图象可知:当0<x<1或x>3时,反比例函数图象在直线l的上方,
∴使y1<y2成立的x的取值范围为0<x<1或x>3.
【点评】反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及解方程组,解题的关键是:(1)根据点A、B的坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式;(2)联立两函数解析式成方程组,通过解方程组求出两函数图象的交点坐标.
20.(2018?绥化)端午节期间,甲、乙两人沿同一路线行驶,各自开车同时去离家560千米的景区游玩,甲先以每小时60千米的速度匀速行驶1小时,再以每小时m千米的速度匀速行驶,途中体息了一段时间后,仍按照每小时m千米的速度匀速行驶,两人同时到达目的地,图中折线、线段分别表示甲、乙两人所走的路程
??

(????),
??

(????)与时间??(?)之间的函数关系的图象.请根据图象提供的信息,解决下列问题:
(1)图中E点的坐标是______,题中??=______????/?,甲在途中休息______h;
(2)求线段CD的解析式,并写出自变量x的取值范围;
(3)两人第二次相遇后,又经过多长时间两人相距20km?
/
【答案】(1)(2,160),100,1;(2)直线CD的解析式为:??=100???140(5≤??≤7);(3)两人第二次相遇后,又经过0.25时或1.5时两人相距20????.
【解析】(1)根据速度和时间列方程:60×1+m=160,可得m=100,根据D的坐标可计算直线OD的解析式,从图中知E的横坐标为2,可得E的坐标,根据点E到D的时间差及速度可得休息的时间;
(2)利用待定系数法求直线CD的解析式;
(3)先计算第二次相遇的时间:y=360时代入y=80x可得x的值,再计算x=5时直线OD的路程,可得路程差为40km,所以存在两种情况:两人相距20km,列方程可得结论.
解:(1)由图形得??(7,560),
设OD的解析式为:??=????,
把??(7,560)代入得:7??=560,??=80,
∴????:??=80??,
当??=2时,??=2×80=160,
∴??(2,160),
由题意得:60×1+??=160,??=100,
7?2?(560?160)÷100=1,
故答案为:(2,160),100,1;
(2)∵??(1,60),??(2,160),
∴直线AE:??=100???40,
当??=4时,??=400?40=360,
∴??(4,360),
∴??(5,360),
∵??(7,560),
∴设CD的解析式为:??=????+??,
把??(5,360),??(7,560)代入得:
7??+??=560
5??+??=360
,解得:
??=?140
??=100

∴直线CD的解析式为:??=100???140(5≤??≤7);
(3)∵????的解析式为:??=80??(0≤??≤7),
当??=5时,??=5×80=400,
400?360=40,
∴出发5h时两个相距40km,
把??=360代入??=80??得:??=4.5,
∴出发4.5?时两人第二次相遇,
①当4.5??=4.75,4.75?4.5=0.25(?),
②当??>5时,80???(100???140)=20,
??=6,6?4.5=1.5(?),
答:两人第二次相遇后,又经过0.25时或1.5时两人相距20????.
【点评】本题考查了一次函数的应用,读懂函数图象,理解横、纵坐标表示的含义,熟练掌握一次函数的相关知识、利用数形结合思想是解题的关键.

一、单选题
1.(2017·广州一模)如图,一次函数y=ax+b的图象分别与x轴、y轴的负半轴相交于A,B,则下列结论一定正确的是(?? ) /
A.?a﹣b>0????????????????????????????B.?a+b>0????????????????????????????C.?b﹣a>0????????????????????????????D.?﹣a﹣b>0
【答案】D
【解析】解:∵一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限, ∴a<0,b<0, ∴﹣a﹣b>0. 故答案为:D. 【点评】一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限,可知图像经过二、四象限,则a<0,图像经过三、四象限,则b<0,即可判断﹣a﹣b的符号。
2.(2017·黔南州二模)如图,直线l经过第一、二、四象限,l的解析式是y=(m﹣3)x+m+2,则m的取值范围在数轴上表示为(?? ) /
A.?/?????/B.?/???????/C.?/?????????/D.?/
【答案】C
【解析】解:∵直线l经过第一、二、四象限, ∴ {
???3<0
??+2>0
, 解得:﹣2<m<3, 故选C. 【点评】首先根据函数的图象的位置确定m的取值范围,然后在数轴上表示出来即可确定选项.
3.(2017·上海二模)已知直线y=ax+b(a≠0)经过点A(﹣3,0)和点B(0,2),那么关于x的方程ax+b=0的解是(?? )
A.?x=﹣3???????????????????????????????????/B.?x=﹣1???????????????????????????????????/C.?x=0???????????????????????????????????/D.?x=2
【答案】A
【解析】解:∵直线y=ax+b(a≠0)经过点A(﹣3,0), ∴关于x的方程ax+b=0的解是x=﹣3. 故选A. 【点评】直线y=ax+b与x轴交点的横坐标的值即为关于x的方程ax+b=0的解.
4.(2017·哈尔滨一模)随着“中国诗词大会”节目的热播,《唐诗宋词精选》一书也随之热销.如果一次性购买10本以上,超过10本的那部分书的价格将打折,并依此得到付款金额y(单位:元)与一次性购买该书的数量x(单位:本)之间的函数关系如图所示,则下列结论错误的是(?? )
/
A.?一次性购买数量不超过10本时,销售价格为20元/本 B.?a=520 C.?一次性购买10本以上时,超过10本的那部分书的价格打八折 D.?一次性购买20本比分两次购买且每次购买10本少花80元
【答案】D
【解析】解:A、∵200÷10=20(元/本), ∴一次性购买数量不超过10本时,销售价格为20元/本,A选项正确; C、∵(840﹣200)÷(50﹣10)=16(元/本),16÷20=0.8, ∴一次性购买10本以上时,超过10本的那部分书的价格打八折,C选项正确; B、∵200+16×(30﹣10)=520(元), ∴a=520,B选项正确; D、∵200×2﹣200﹣16×(20﹣10)=40(元), ∴一次性购买20本比分两次购买且每次购买10本少花40元,D选项错误. 故选D. 【点评】A、根据单价=总价÷数量,即可求出一次性购买数量不超过10本时,销售单价,A选项正确;C、根据单价=总价÷数量结合前10本花费200元即可求出超过10本的那部分书的单价,用其÷前十本的单价即可得出C正确;B、根据总价=200+超过10本的那部分书的数量×16即可求出a值,B正确;D,求出一次性购买20本书的总价,将其与400相减即可得出D错误.此题得解.
5.(2017·阜阳一模)一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次,若购买会员年卡,可享受如下优惠:
会员年卡类型
办卡费用(元)
每次游泳收费(元)
A 类
50
25
B 类
200
20
C 类
400
15
例如,购买A类会员年卡,一年内游泳20次,消费50+25×20=550元,若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45~55次之间,则最省钱的方式为(?? )
A.?购买A类会员年卡???????????/B.?购买B类会员年卡???????????/C.?购买C类会员年卡???????????/D.?不购买会员年卡
【答案】C
【解析】解:设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次,消费的钱数为y元, 根据题意得: yA=50+25x, yB=200+20x, yC=400+15x, 当45≤x≤55时, 1175≤yA≤1425; 1100≤yB≤1300; 1075≤yC≤1225; 由此可见,C类会员年卡消费最低,所以最省钱的方式为购买C类会员年卡. 故选:C. 【点评】设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次,消费的钱数为y元,根据题意得:yA=50+25x,yB=200+20x,yC=400+15x,当45≤x≤55时,确定y的范围,进行比较即可解答.
6.(2018?桂林二模)正比例函数y=(k+1)x,若y随x增大而减小,则k的取值范围是(  )
A.k>1 B.k<1 C.k>﹣1 D.k<﹣1
【答案】D
【解析】根据正比例函数图象与系数的关系列出关于k的不等式k+1<0,然后解不等式即可.
解:∵正比例函数 y=(k+1)x中,y的值随自变量x的值增大而减小,
∴k+1<0,
解得,k<-1;
故选:D.
【点评】本题主要考查正比例函数图象在坐标平面内的位置与k的关系.解答本题注意理解:直线y=kx所在的位置与k的符号有直接的关系.k>0时,直线必经过一、三象限,y随x的增大而增大;k<0时,直线必经过二、四象限,y随x的增大而减小.
7.(2018?合肥模拟)一次函数
??
1
=????+??与
??
2
=??+??的图象如图所示,则下列结论①??<0;②??>0;③??>0④当??>3时
??
1
<
??
2
,正确的个数是( )
/
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】D
【解析】根据一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象在坐标平面内的位置关系确定k,b,a的取值范围,从而求解.
解:由一次函数y1=kx+b的图象经过第一、二、四象限, 又由k<0时,直线必经过二、四象限,故知k<0,①正确. 再由图象过一、二象限,即直线与y轴正半轴相交,所以b>0,故③正确; 由一次函数y2=x+a的图象经过第一、三、四象限, 再由图象过三、四象限,即直线与y轴负半轴相交,所以a<0,②错误. 当x>3时,一次函数y1=kx+b在y2=x+a的图象的下方,故y1<y2,故④正确.
所以正确的有:①③④. 故选:D.
【点评】考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系.解答本题注意理解:直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系.k>0时,直线必经过一、三象限;k<0时,直线必经过二、四象限;b>0时,直线与y轴正半轴相交;b=0时,直线过原点;b<0时,直线与y轴负半轴相交.
8.(2018?衡水模拟)已知一次函数y=kx+b的图象如图所示,当0<x<1时,y的取值范围是(  )
/
A.y>﹣2 B.y<﹣2 C.﹣2<y<0 D.y>0
【答案】C
【解析】根据图象和数据可知,当0<x<1即直线在y轴右侧,直线x=1的左侧时,y的取值范围是﹣2<y<0.
故选C.
9.(2018?廊坊模拟)如图,在平面直角坐标系中,直线l1对应的函数表达式为y=2x,直线l2与x、y轴分别交于点A、B,且l1∥l2,OA=2,则线段OB的长为(  )
/
A.3 B.4 C.2
2
D.2
3
【答案】B
【解析】∵OA=2,∴A(﹣2,0).∵l1∥l2,直线l1对应的函数表达式为y=2x,∴直线l2对应的函数表达式可设为y=2x+b,把A(﹣2,0)代入得:﹣4+b=0,解得:b=4,∴直线l2对应的函数表达式为y=2x+4,∴B(0,4),∴OB=4.故选B.
【点评】本题考查了两直线相交或平行问题:两条直线的交点坐标,就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解;若两条直线是平行的关系,那么他们的自变量系数相同,即k值相同.
10.(2018?南阳三模)如图,放置的△OAB1,△B1A1B2,△B2A2B3,…都是边长为2的等边三角形,边AO在y轴上,点B1、B2/、B3…都在直线y=
3
3
x上,则点A2018的坐标为(  )
/
A.(2018
3
,2020) B.(2018
3
,2018) C.(2020
3
,2020) D.(2018,2020)
【答案】A
【解析】延长A1B1交x轴于C,则B1C⊥x轴,由条件可求得∠B1OC=30°,利用直角三角形的性质可求得B1C=1,OC=
3
,可求得A1的坐标,同理可求得A2、A3的坐标,则可得出规律,即可求得A2018的坐标.
解:如图,∵△OAB1,△B1A1B2,△B2A2B3,…都是边长为2的等边三角形,∴∠AOB1=∠AB1B2=∠A2B2B3=…=60°,∴AO∥A1B1∥A2B2∥….
∵AO在y轴上,∴A1B1⊥x轴,A2B2⊥x轴,…
延长A1B1交x轴于C,则B1C⊥x轴.
∵点B1在直线y=
3
3
x上,设B1(x,
3
3
x),tan∠B1OC=
3
3
??
??
=
3
3
,∴∠B1OC=30°.
∵△OAB1是等边三角形,且边长为2,∴B1C=1,OC=
3
,∴A1的坐标为(
3
,2+1),同理A2(2
3
,2+2)、A3(3
3
,2+3),∴A2018的坐标为(2018
3
,2020).
故选A.
/
【点评】本题为规律型题目,利用等边三角形和直角三角形的性质求得A1的坐标,从而总结出点的坐标的规律是解题的关键.
二、填空题
11.(2017·天津一模)若一次函数y=2x+b的图象不经过第二象限,则此函数的解析式可以为________(写出一个即可)
【答案】y=2x﹣1
【解析】解:∵一次函数y=2x+b的图象不经过第二象限, ∴b<0. 故答案为:y=2x﹣1. 【点评】根据一次函数图象不经过第二象限即可得出b<0,由此即可得出结论.
12.(2017·宜城模拟)若函数y=(m+1)x|m|是正比例函数,则该函数的图象经过第________象限.
【答案】一、三
【解析】解:由题意得:|m|=1,且m+1≠0, 解得:m=1, 则m+1=2>0, 则该函数的图象经过第一、三象限, 故答案为:一、三. 【点评】根据一次函数定义可得:|m|=1,且m+1≠0,计算出m的值,再根据一次函数的性质进而可得答案.
13.(2017·邹城模拟)如图,P点的坐标为(3,2),过P点的直线AB分别交x轴和y轴的正半轴于A,B两点,作PM⊥x轴于M点,作PN⊥y轴于N点,若△PAM的面积与△PBN的面积的比为
4
9
,则直线AB的解析式为________. / 【答案】y=﹣x+5
【解析】解:∵PM⊥x轴,PN⊥y中,x轴⊥y轴, ∴∠BNP=∠PMA=90°,PN∥x轴, ∴∠BPN=∠PAO, ∴△PMA∽△BNP, ∵△PAM的面积与△PBN的面积的比为
4
9
, ∴(
????
????
)2=(
????
????
)2=
4
9
, ∵P(3,2), ∴PN=3,PM=2, ∴AM=2,BN=3, ∴A(5,0),B(0,5), 设直线AB的解析式为y=kx+b, 把A、B的坐标代入得: {
??=5
5??+??=0
, 解得:k=﹣1,b=5, 即直线AB的解析式为y=﹣x+5, 故答案为:y=﹣x+5. 【点评】求出△PMA∽△BNP,根据相似三角形的性质求出BN和AM长,求出A、B的坐标,设直线AB的解析式为y=kx+b,把A、B的坐标代入求出K、B值,即可得出答案.
14.(2018?赣州模拟)在直角坐标系xOy中,三个点O(0,0),A(4,2),B(0,2)到某一条直线的距离均相等,则这条直线的解析式可以是________.
【答案】y=1或x=2或y=0.5x+1.
【解析】根据题意可以画出相应的图形,然后根据题意即可得到点O(0,0),A(4,2),B(0,2)的距离相等的直线的解析式.
解:如图,
/
在直角坐标系xOy中,三个点O(0,0),A(4,2),B(0,2)到某一条直线的距离均相等,
则这条直线的解析式可以是:y=1或x=2或y=0.5x+1,
故答案为:y=1或x=2或y=0.5x+1.
【点评】本题考查一次函数图象图象上点的坐标特征,解答本题的关键是明确题意,利用一次函数的性质解答.
15.(2018?成都模拟)已知直线y=﹣2x+5,则将其向右平移1个单位后与两坐标轴围成的三角形面积为_____.
【答案】
49
4

【解析】根据图象平移的规律先求出平移后的解析式,然后再求出平移后的图象与两坐标轴的交点,再根据三角形面积公式进行求解即可得.
解:平移后解析式为:y=﹣2(x﹣1)+5=﹣2x+4,即y=﹣2x+7,
当x=0时,y=7,
当y=0时,x=
7
2

∴平移后得到的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为:
1
2
×7×
7
2
=
49
4

故答案为:
49
4

【点评】本题考查了一次函数的图象与几何变换,熟练掌握一次函数图象平移的规律是解题的关键.
16.(2018?盐城模拟)如图,在平面直角坐标系中,函数y=x和y=﹣
1
2
x的图象/分别为直线l1,l2,过点A1(1,﹣
1
2
)作x轴的垂线交11于点A2,过点A2作y轴的垂线交l2于点A3,过点A3作x轴的垂线交l1于点A4,过点A4作y轴的垂线交l2于点A5,…依次进行下去,则点A2018的横坐标为_____.
/
【答案】21008
【解析】根据题意可以发现题目中各点的坐标变化规律,从而可以解答本题.
解:由题意可得,
A1(1,-
1
2
),A2(1,1),A3(-2,1),A4(-2,-2),A5(4,-2),…,
∵2018÷4=504…2,2018÷2=1009,
∴点A2018的横坐标为:21008,
故答案为:21008.
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征,解答本题的关键是明确题意,找出题目中点的横坐标的变化规律.
三、解答题
17.(2017·宜春模拟)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A的坐标为(﹣4,8),对角线AC⊥x轴于点C,点D在y轴上,求直线AB的解析式.
/
【答案】y=x+12
【解析】解:连接BD,过B点作BE⊥x轴,E为垂足, 由已知得AC=BD=8, BE= AC=4, 故B点坐标为(﹣8,4), 设直线AB的解析式为y=kx+b,则 /, 解得 /. 故直线AB的解析式为y=x+12. /
【点评】根据正方形的性质求出点B的坐标,即可用待定系数法求出直线AB解析式.
18.(2017·深圳二模)为更新果树品种,某果园计划新购进A、B两个品种的果树苗栽植培育,若计划购进这两种果树苗共45棵,其中A种苗的单价为7元/棵,购买B种苗所需费用y(元)与购买数量x(棵)之间存在如图所示的函数关系. /
(1)求y与x的函数关系式;
(2)若在购买计划中,B种苗的数量不超过35棵,但不少于A种苗的数量,请设计购买方案,使总费用最低,并求出最低费用.
【答案】答案见解析
【解析】(1)解:(1)设y与x的函数关系式为:y=kx+b, 当0≤x≤20时,把(0,0),(20,160)代入y=kx+b中, 得: {
0=??
160=20??+??
?,解得: {
??=8
??=0
?, 此时y与x的函数关系式为y=8x; 当20≤x时,把(20,160),(40,288)代入y=kx+b中, 得: {
20??+??=160
40??+??=288
?,解得: {
??=6.4
??=32
?, 此时y与x的函数关系式为y=6.4x+32. 综上可知:y与x的函数关系式为y= {
8??(0≤??≤20)
6.4??+32(20≤??≤45)
?. (2)解:(2)∵B种苗的数量不超过35棵,但不少于A种苗的数量, ∴ {
??≤35
??≥45???
?, ∴22.5≤x≤35, 设总费用为W元,则W=6.4x+32+7(45-x)=-0.6x+347, ∵k=-0.6, ∴y随x的增大而减小, ∴当x=35时,W总费用最低,W最低=-0.6×35+347=326(元).
【点评】(1)观察y与x的函数图象可得其是分段的一次函数,设y=kx+b,当0≤x≤20时,把(0,0),(20,160)代入y=kx+b中,解出k,b;当当20≤x时,把(20,160),(40,288)代入y=kx+b中,解出k,b;2)可设总费用为W,由总费用W=购买B种树苗的花费+购买A种树苗的花费, 如果用x表示B种树苗的数量,那么A种树苗需要购买(45-x)棵,由(1)得=购买B种树苗的花费关于x的取值范围有两种形式,则需要根据(2)中的“B种苗的数量不超过35棵,但不少于A种苗的数量”列出不等式组求出x的取值范围,再根据求出的范围考虑是否需要分类讨论才能写出W关于x的关系式,再根据函数的增减性求出W的最小值.
19.(2018?无锡四模)如图,平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,3),点B(
3
,0),连接AB,若对于平面内一点C,当△ABC是以AB为腰的等腰三角形时,称点C是线段AB的“等长点”.
(1)在点C1(﹣2,3+2
2
),点C2(0,﹣2),点C3(3+
3
,﹣
3
)中,线段AB的“等长点”是点________;
(2)若点D(m,n)是线段AB的“等长点”,且∠DAB=60°,求点D的坐标;
(3)若直线y=kx+3
3
k上至少存在一个线段AB的“等长点”,求k的取值范围.
/
【答案】(1)C1,C3;(2)D(﹣
3
,0)或D(2
3
,3);(3)﹣
3
3
≤k≤
3
3
+4
2
5

【解析】(1)直接利用线段AB的“等长点”的条件判断;
(2)分两种情况讨论,利用对称性和垂直的性质即可求出m,n;
(3)先判断出直线y=kx+3
3
与圆A,B相切时,如图2所示,利用相似三角形的性质即可求出结论.
解:(1)∵A(0,3),B(
3
,0),
∴AB=2
3

∵点C1(﹣2,3+2
2
),
∴AC1=
4+8
=2
3

∴AC1=AB,
∴C1是线段AB的“等长点”,
∵点C2(0,﹣2),
∴AC2=5,BC2=
3+4
=
7

∴AC2≠AB,BC2≠AB,
∴C2不是线段AB的“等长点”,
∵点C3(3+
3
,﹣
3
),
∴BC3=
9+3
=2
3

∴BC3=AB,
∴C3是线段AB的“等长点”;
故答案为:C1,C3;
(2)如图1,
/
在Rt△AOB中,OA=3,OB=
3

∴AB=2
3
,tan∠OAB=
????
????
=
3
3

∴∠OAB=30°,
当点D在y轴左侧时,
∵∠DAB=60°,
∴∠DAO=∠DAB﹣∠BAO=30°,
∵点D(m,n)是线段AB的“等长点”,
∴AD=AB,
∴D(﹣
3
,0),
∴m=
3
,n=0,
当点D在y轴右侧时,
∵∠DAB=60°,
∴∠DAO=∠BAO+∠DAB=90°,
∴n=3,
∵点D(m,n)是线段AB的“等长点”,
∴AD=AB=2
3

∴m=2
3

∴D(2
3
,3)
(3)如图2,
/
∵直线y=kx+3
3
k=k(x+3
3
),
∴直线y=kx+3
3
k恒过一点P(﹣3
3
,0),
∴在Rt△AOP中,OA=3,OP=3
3

∴∠APO=30°,
∴∠PAO=60°,
∴∠BAP=90°,
当PF与⊙B相切时交y轴于F,
∴PA切⊙B于A,
∴点F就是直线y=kx+3
3
k与⊙B的切点,
∴F(0,﹣/3),
∴3
3
k=﹣3,
∴k=﹣
3
3

当直线y=kx+3
3
k与⊙A相切时交y轴于G切点为E,
∴∠AEG=∠OPG=90°,
∴△AEG∽△POG,

????
????
=
????
????


2
3
3
3
=
3
3
???3
3
3
??
2
+3
,解得:k=
3
3
+4
2
5
或k=
3
3
?4
2
5
(舍去)
∵直线y=kx+3
3
k上至少存在一个线段AB的“等长点”,
∴﹣
3
3
≤k≤
3
3
+4
2
5

【点评】此题是一次函数综合题,主要考查了新定义,锐角三角函数,直角三角形的性质,等腰三角形的性质,对称性,解(1)的关键是理解新定义,解(2)的关键是画出图形,解(3)的关键是判断出直线和圆A,B相切时是分界点.
20.(2018?天津二模)下表给出A、B、C三种上宽带网的收费方式:
 收费方式
 月使用费/元
包时上网时间/h 
 超时费/(元/min)
 A
 30
 25
 0.05
 B
 50
 50
 0.05
 C
 120
 不限时
设上网时间为t小时.
(I)根据题意,填写下表:
月费/元
上网时间/h
超时费/(元)
总费用/(元)
方式A
30
40
方式B
50
100
(II)设选择方式A方案的费用为y1元,选择方式B方案的费用为y2元,分别写出y1、y2与t的数量关系式;
(III)当75<t<100时,你认为选用A、B、C哪种计费方式省钱(直接写出结果即可)?
【答案】(I)答案见解析;(II)答案见解析;(III)答案见解析.
【解析】(I)根据两种方式的收费标准分别计算,填表即可;
(II)根据表中给出A,B两种上宽带网的收费方式,分别写出y1、y2与t的数量关系式即可;
(III)计算出三种方式在此取值范围的收费情况,然后比较即可得出答案.
解:(I)当t=40h时,方式A超时费:0.05×60(40﹣25)=45,总费用:30+45=75,
当t=100h时,方式B超时费:0.05×60(100﹣50)=150,总费用:50+150=200,
填表如下:
月费/元
上网时间/h
超时费/(元)
总费用/(元)
方式A
30
40
45
75
方式B
50
100
150
200
(II)当0≤t≤25时,y1=30,
当t>25时,y1=30+0.05×60(t﹣25)=3t﹣45,
所以y1=
30(0≤??≤25)
3???45(??>25)

当0≤t≤50时,y2=50,
当t>50时,y2=50+0.05×60(t﹣50)=3t﹣100,
所以y2=
50(0≤??≤50)
3???100(??>50)

(III)当75<t<100时,选用C种计费方式省钱.理由如下:
当75<t<100时,y1=3t﹣45,y2=3t﹣100,y3=120,
当t=75时,y1=180,y2=125,y3=120,
所以当75<t<100时,选用C种计费方式省钱.
【点评】本题考查了一次函数的应用,解答时理解三种上宽带网的收费标准进而求出函数的解析式是解题的关键.
/
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