6.3 反比例函数
一、反比例函数的定义：
形如y＝________（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数.
注意：1. 自变量x的取值范围是________的一切实数，函数的取值范围也是一切________实数．
2. 反比例函数的解析式还可以写成xy=________，________的形式；
二、反比例函数的图象：
反比例函数的图象是________，它的两个分支与两轴________交点. 它的图象既是________图形（有________条对称轴：直线y=x和 y=-x）又是________图形（对称中心是：________）.
三、反比例函数的性质：
1、当k＞0时双曲线的两支分别位于第________、第________象限，在每个象限内y随x的增大而________； 2.当k＜0时双曲线的两支分别位于第________、第________象限，在每个象限内y随x的增大而________.
四、反比例函数的比例系数k的的几何意义：
｜k｜等于反比例函数图象上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的________。
考点一： 反比例函数的定义
下列函数关系式中，表示y是x的反比例函数的是（ ）
A. y= B. y= ????? C. y=???????????????????? D. y=
变式跟进1已知函数y＝(m＋1) 是反比例函数,且该图象与y＝x图象无交点，则m 的值是 ( )
A. 2 B. －2 C. ±2 D. －
考点二： 反比例函数的解析式
点A为反比例函数图象上一点，它到原点的距离为5，则x轴的距离为3，若点A第二象限内，则这个函数的解析式为（?? ）
A. y= ????????? B. y=﹣????????? ?? C. y= ????? ????????? D. y=﹣
变式跟进2如图，已知直线y=﹣2x经过点P（﹣2，a），点P关于y轴的对称点P′在反比例函数y=kx（k≠0）的图象上．
（1）求a的值；
（2）直接写出点P′的坐标；
（3）求反比例函数的解析式．
考点三：反比例函数的图象和性质
已知k1＜0＜k2，则函数y=k1x﹣1和y=的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
变式跟进3如图是三个反比例函数y=，y=，y=在x轴上方的图象，由此观察得到k1，k2，k3的大小关系为（ ）
A. k1＞k2＞k3 B. k3＞k2＞k1 C. k2＞k3＞k1 D. k3＞k1＞k2
考点四： 与反比例函数有关的面积问题
如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=6，OB=9，点C在函数y=（x＞0）的图象上，当点C的横坐标为4时，△OAC与△OBC的面积相等，k的值为（ ）
A. 16 B. 24 C. 30 D. 36
变式跟进4如图，点A在双曲线y=4x上，点B在双曲线y=kx（k≠0）上，AB∥x轴，分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为D、C，若矩形ABCD的面积是8，则k的值为（ ）
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6
考点五： 实际问题与反比例函数
某农户共摘收水蜜桃1920千克，为寻求合适的销售价格，进行了6天试销，试销情况如下：
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
售价
x（元/千克）
20
18
15
12
10
9
销售量
y（千克）
45
50
60
75
90
100
由表中数据可知，试销期间这批水蜜桃的每天销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足我们曾经学过的某种函数关系．若在这批水蜜桃的后续销售中，每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间都满足这一函数关系．
（1）你认为y与x之间满足什么函数关系？并求y关于x的函数表达式．
（2）在试销6天后，该农户决定将这批水密桃的售价定为15元/千克．
① 若每天都按15元/千克的售价销售，则余下的水蜜桃预计还要多少天可以全部售完？
② 该农户按15元/千克的售价销售20天后，发现剩下的水蜜桃过于成熟，必须在不超过2天内全部售完，因此需要重新确定一个售价，使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完，则新的售价最高可以定为多少元/千克？
变式跟进5教室内的饮水机接通电源进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（分钟）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．如图为在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间x（分钟）的关系如图．
（1）a= ；
（2）直接写出图中y关于x的函数关系式；
（3）饮水机有多少时间能使水温保持在70℃及以上？
（4）若饮水机早上已加满水，开机温度是20℃，为了使8：40下课时水温达到70℃及以上，并节约能源，直接写出当它上午什么时间接通电源比较合适？
考点六：反比例函数综合题
某农如图，平面直角坐标系中，矩形的边、分别落在、轴上，点坐标为，反比例函数的图象与边交于点，与边交于点，连结，将沿翻折至处，点恰好落在正比例函数图象上，则的值是（ ）
A. B. C. D.
变式跟进6如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0），B（4，1），C（4，3），反比例函数 的图象经过点D，点P是一次函数y=mx+3﹣4m（m≠0）的图象与该反比例函数图象的一个公共点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）通过计算说明一次函数y=mx+3﹣4m的图象一定过点C；
（3）对于一次函数y=mx+3﹣4m（m≠0），当y随x的增大而增大时，确定点P的横坐标的取值范围．（不必写过程）
一、单选题
1．（2016?兰州）反比例函数是y=2x的图象在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限
2．（2016?临沂）如图，直线y=﹣x+5与双曲线y=kx（x＞0）相交于A，B两点，与x轴相交于C点，△BOC的面积是52．若将直线y=﹣x+5向下平移1个单位，则所得直线与双曲线y=kx（x＞0）的交点有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．0个，或1个，或2个
3.（2017?长春）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A的坐标为（﹣4，0），顶点B在第二象限，∠BAO=60°，BC交y轴于点D，DB：DC=3：1．若函数y= kx （k＞0，x＞0）的图象经过点C，则k的值为（?? ）
A.?33??????????????????????????????????????B.?32??????????????????????????????????????C.?233??????????????????????????????????????D.?3
4.（2017?青岛）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过A（﹣1，﹣4），B（2，2）两点，P为反比例函数y= kbx 图象上一动点，O为坐标原点，过点P作y轴的垂线，垂足为C，则△PCO的面积为（?? ）
A.?2?????????????????????????????????????????B.?4?????????????????????????????????????????C.?8?????????????????????????????????????????D.?不确定
5.（2017?海南）如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，2），C（4，4）．若反比例函数y= kx 在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（?? ）
A.?1≤k≤4??????????????????????????????B.?2≤k≤8??????????????????????????????C.?2≤k≤16??????????????????????????????D.?8≤k≤16
6．（2018?遂宁）已知一次函数y1=kx+b((k≠0)与反比例函数y2=mx(m＞0)的图象如图所示， 则当y1>y2时， 自变量x满足的条件是( )
A．11 D．x<3
7．（2018?广州）一次函数y＝ax+b和反比例函数y=a?bx在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
8．（2018?宜昌）如图，一块砖的A，B，C三个面的面积比是4：2：1．如果A，B，C面分别向下放在地上，地面所受压强为p1，p2，p3，压强的计算公式为p=FS，其中P是压强，F是压力，S是受力面积，则p1，p2，p3，的大小关系正确的是（ ）
A．p1＞p2＞p3 B．p1＞p3＞p2 C．p2＞p1＞p3 D．p3＞p2＞p1
二、填空题
9．（2016?甘孜州）在平面直角坐标系xOy中，P为反比例函数y=2x（x＞0）的图象上的动点，则线段OP长度的最小值是 ．
10．（2016?江西）如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝k1x(x＞0)及y2＝k2x(x＞0)的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为2，则k1－k2＝________.
11.（2017?绍兴）如图，Rt△ABC的两个锐角顶点A，B在函数y= kx （x>0）的图象上，AC//x轴，AC=2.若点A的坐标为（2,2），则点B的坐标为________.
12.（2017?通辽）如图，直线y=﹣ 33 x﹣ 3 与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y= kx 的图象在第二象限交于点C，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点D．若AD=AC，则点D的坐标为________．
13.（2017?扬州）如图，已知点A是反比例函数y=﹣ 2x 的图象上的一个动点，连接OA，若将线段O A绕点O顺时针旋转90°得到线段OB，则点B所在图象的函数表达式为________．
14．（2018?南通）在平面直角坐标系xOy中，已知A(2t,0)，B(0,-2t)，C(2t,4t)三点，其中t>0，函数y=t2x的图象分别与线段BC，AC交于点P，Q．若S△PAB-S△PQB=t，则t的值为__．
15．（2018?盐城）如图，点D为矩形OABC的AB边的中点，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点D，交BC边于点E.若△BDE的面积为1，则k =________
16．（2018?韶关）如图，已知等边△OA1B1，顶点A1在双曲线y=3x(x>0)上，点B1的坐标为(2,0)．过B1作B1A2//OA1交双曲线于点A2，过A2作A2B2//A1B1交x轴于点B2，得到第二个等边△B1A2B2；过B2作B2A3//B1A2交双曲线于点A3，过A3作A3B3//A2B2交x轴于点B3，得到第三个等边△B2A3B3；以此类推，…，则点B6的坐标为__．
三、解答题
17．（2016?茂名）如图，一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象交于点A（﹣1，4）和点B（a，1）．
（1）求反比例函数的表达式和a、b的值；
（2）若A、O两点关于直线l对称，请连接AO，并求出直线l与线段AO的交点坐标．
18.（2017·嘉兴）如图，一次函数 y=k1x+b （ k1≠0 ）与反比例函数 y=k2x （ k2≠0 ）的图象交于点 A(?1,2) ， B(m,?1) ． （1）求这两个函数的表达式；
（2）在 x 轴上是否存在点 P(n,0) (n>0) ，使 ΔABP 为等腰三角形？若存在，求 n 的值；若不存在，说明理由．
19．（2018?岳阳）如图，某反比例函数图象的一支经过点A（2，3）和点B（点B在点A的右侧），作BC⊥y轴，垂足为点C，连结AB，AC．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若△ABC的面积为6，求直线AB的表达式．
20．（2018?乐山）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y （℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式；
（2）求恒温系统设定的恒定温度；
（3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？
一、单选题
1.（2017·长沙一模）下列函数表达式中，y不是x的反比例函数的是（?? ）
A.?y= 3x?????????????????????????????????B.?y= x3?????????????????????????????????C.?y= 12x?????????????????????????????????D.?xy= 12
2.（2017·天津模拟）一个圆柱的侧面展开图是一个面积为10的矩形，这个圆柱的母线长l与这个圆柱的底面半径r之间的函数关系为（?? ）
A.?正比例函数????? B.?反比例函数????? C.?一次函数????? D.?二次函数
3.（2017·西安二模）已知直线y=kx（k＞0）与双曲线y= 3x 交于点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）两点，则x1y2+x2y1的值为（?? ）
A.?﹣6??????????????????????????????????????B.?﹣9????????????????????????????????????C.?0?????????????????????????????????????D.?9
4.（2017·重庆模拟）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则y与x的函数关系式为（?? ）
A.?y=400x????????????????????????????B.?y=14x????????????????????????????C.?y=100x????????????????????????????D.?y= 1400x
5.（2017·扬州二模）若点A（﹣1，2），B（2，﹣3）在直线y=kx+b上，则函数y= kx 的图象在（?? ）
A.?第一、三象限??????????????????B.?第一、二象限??????????????????C.?第二、四象限??????????????????D.?第二、三象限
6．（2018·韶关模拟）如图，是一次函数y=kx+b与反比例函数y=2x的图象，则关于x的不等式kx+b＞2x的解集为
A．x＞1 B．﹣2＜x＜1 C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．x＜﹣2
7．（2018?天津二模）已知点P（m，n），为是反比例函数y=﹣3x图象上一点，当﹣3≤n＜﹣1时，m的取值范围是（ ）
A．1≤m＜3 B．﹣3≤m＜﹣1 C．1＜m≤3 D．﹣3＜m≤﹣1
8．（2018?枣庄模拟）如图，线段AB是直线y=4x+2的一部分，点A是直线与y轴的交点，点B的纵坐标为6，曲线BC是双曲线y=kx的一部分，点C的横坐标为6，由点C开始不断重复“A﹣B﹣C”的过程，形成一组波浪线．点P（2017，m）与Q（2020，n）均在该波浪线上，分别过P、Q两点向x轴作垂线段，垂足为点D和E，则四边形PDEQ的面积是（ ）
A．10 B．212 C．454 D．15
9．（2018?连云港模拟）如图，点P（x，y）（x＞0）是反比例函数y=kx（k＞0）的图象上的一个动点，以点P为圆心，OP为半径的圆与x轴的正半轴交于点A．若△OPA的面积为S，则当x增大时，S的变化情况是（ ）
A．S的值增大 B．S的值减小
C．S的值先增大，后减小 D．S的值不变
10．（2018?鄂州模拟）一次函数y=kx?k与反比例函数y=kx(k≠0)在同一个坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11.（2017·武威一模）若函数y= (k?2)xk2?5 是反比例函数，则k=________．
12.（2017·上海二模）已知反比例函数y= k?1x 的图象经过一、三象限，则实数k的取值范围是________．
13.（2017·包头二模）如图，在Rt△AOB中，直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将△AOB绕点B逆时针旋转90°后，得到△A′O′B，且反比例函数y= kx 的图象恰好经过斜边A′B的中点C，若SABO=4，tan∠BAO=2，则k=________．
14．（2018?盐城期中）设函数y=2x与y=x-1的图象的交点坐标为(a,b),则1a?1b的值为____.
15．（2018?上海二模）近视眼镜的度数度与镜片焦距米呈反比例，其函数关系式为如果近似眼镜镜片的焦距米，那么近视眼镜的度数y为______．
16．（2018?宁波月考）如图所示，点A1，A2，A3在x轴上，且OA1=A1A2=A2A3，分别过点A1，A2，A3作y轴的平行线，与反比例函数y=8x（x＞0）的图象分别交于点B1，B2，B3，分别过点B1，B2，B3作x轴的平行线，分别于y轴交于点C1，C2，C3，连接OB1，OB2，OB3，那么图中阴影部分的面积之和为 ．
三、解答题
17.（2017·深圳调研）某电器商场销售甲、乙两种品牌空调，已知每台乙种品牌空调的进价比每台甲种品牌空调的进价高20％，用7200元购进的乙种品牌空调数量比用3000元购进的甲种品牌空调数量多2台．
（1）求甲、乙两种品牌空调的进货价；
（2）该商场拟用不超过16000元购进甲、乙两种品牌空调共10台进行销售，其中甲种品牌空调的售价为2500元／台，乙种品牌空调的售价为3500元／台．请您帮该商场设计一种进货方案，使得在售完这10台空调后获利最大，并求出最大利润．
18.（2017·菏泽二模）如图，OA⊥OB，AB⊥x轴于C，点A（ 3 ，1）在反比例函数y= kx 的图象上． （1）求反比例函数y= kx 的表达式；
（2）在x轴的负半轴上存在一点P，使S△AOP= 12 S△AOB ， 求点P的坐标．
19．（2018?泉州摸底）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝mx（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC＝BC．
（1）求一次函数、反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出kx+b＜mx的x的取值范围；
（3）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．
20．（2018?枣庄模拟）为预防“手足口病”，某校对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为8mg．据以上信息解答下列问题：
（1）从消毒开始，经多长时间，教室内每立方米空气含药量为4mg．
（2）当每立方米空气中含药量低于1.6mg时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，经多长时间学生才可以回教室？
6.3 反比例函数
一、反比例函数的定义：
形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数.
注意：1. 自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．
2. 反比例函数的解析式还可以写成xy=k，的形式；
二、反比例函数的图象：
反比例函数的图象是双曲线，它的两个分支与两轴没有交点. 它的图象既是轴对称图形（有两条对称轴：直线y=x和 y=-x）又是中心对称图形（对称中心是：原点）.
三、反比例函数的性质：
1、当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y随x的增大而减小； 2.当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y随x的增大而增大.
四、反比例函数的比例系数k的的几何意义：
｜k｜等于反比例函数图象上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。
考点一： 反比例函数的定义
下列函数关系式中，表示y是x的反比例函数的是（ ）
A. y= B. y= ????? C. y=???????????????????? D. y=
【答案】C
【解析】解: A、y是x2的反比例函数，故本选项错误；
B、y是x的正比例函数，故本选项错误；
C、符合反比例函数的定义，故本选项正确；
D、y是x的正比例函数，故本选项错误．
故选C．
【点评】利用反比例函数的定义即可判断.
变式跟进1已知函数y＝(m＋1) 是反比例函数,且该图象与y＝x图象无交点，则m 的值是 ( )
A. 2 B. －2 C. ±2 D. －
【答案】B
【解析】解：由题意得,解得m=2,图象与y＝x图象无交点，
所以m=-2.故选B.
【点评】根据反比例函数的定义列不等式组，再通过反比例函数的图象与y＝x图象无交点来判断m的值.
考点二： 反比例函数的解析式
点A为反比例函数图象上一点，它到原点的距离为5，则x轴的距离为3，若点A第二象限内，则这个函数的解析式为（?? ）
A. y= ????????? B. y=﹣????????? ?? C. y= ????? ????????? D. y=﹣
【答案】B
【解析】解：设A点坐标为（x，y）．
∵A点到x轴的距离为3，∴|y|＝3，y＝±3．
∵A点到原点的距离为5，∴x2＋y2＝52，
解得x＝±4，
∵点A在第二象限，
∴x＝－4，y＝3，
∴点A的坐标为（－4，3），
设反比例函数的解析式为y＝，
∴k＝－4×3＝－12，
∴反比例函数的解析式为y＝，
故选B．
【点评】本题主要考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点内容，求出点A的坐标是解决此题的关键．
变式跟进2如图，已知直线y=﹣2x经过点P（﹣2，a），点P关于y轴的对称点P′在反比例函数y=kx（k≠0）的图象上．
（1）求a的值；
（2）直接写出点P′的坐标；
（3）求反比例函数的解析式．
【答案】（1）4；（2）P′（2，4）；（3）y=8x
【解析】解：（1）把（-2，a）代入y=-2x中，得a=-2×（-2）=4，
∴a=4；
（2）∵P点的坐标是（-2，4），
∴点P关于y轴的对称点P′的坐标是（2，4）；
（3）把P′（2，4）代入函数式y=kx，得
4=k2，
∴k=8，
∴反比例函数的解析式是y=8x．
【点评】（1）把（-2，a）代入y=-2x中即可求a；（2）坐标系中任一点关于y轴对称的点的坐标，其中横坐标等于原来点横坐标的相反数，纵坐标不变；（3）把P′代入y=kx中，求出k，即可得出反比例函数的解析式．
考点三：反比例函数的图象和性质
已知k1＜0＜k2，则函数y=k1x﹣1和y=的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：∵k1＜0，
∴y=k1x－1图像在二、三、四象限，
∵k2＞0，
∴y=图像在一、三象限.
故选A.
【点评】熟练掌握一次函数和反比例函数图象的性质即可判断.
变式跟进3如图是三个反比例函数y=，y=，y=在x轴上方的图象，由此观察得到k1，k2，k3的大小关系为（ ）
A. k1＞k2＞k3 B. k3＞k2＞k1 C. k2＞k3＞k1 D. k3＞k1＞k2
【答案】B
【解析】由图知，y=的图象在第二象限，y=，y=的图象在第一象限，
∴k1＜0，k2＞0，k3＞0，
又当x=1时，有k2＜k3，
∴k3＞k2＞k1．
故选：B．
【点评】根据反比例函数的性质进行判断即可.
考点四： 与反比例函数有关的面积问题
如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=6，OB=9，点C在函数y=（x＞0）的图象上，当点C的横坐标为4时，△OAC与△OBC的面积相等，k的值为（ ）
A. 16 B. 24 C. 30 D. 36
【答案】B
【解析】解：设C(4,b)，则k=4b，
∵△OAC与△OBC的面积相等，
∴×6×b=×9×4，解得b=6，
∴k=4×6=24，
故选：B.
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是依据△OAC与△OBC的面积相等列方程求解.
变式跟进4如图，点A在双曲线y=4x上，点B在双曲线y=kx（k≠0）上，AB∥x轴，分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为D、C，若矩形ABCD的面积是8，则k的值为（ ）
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6
【答案】A
【解析】解：∵双曲线y=kx（k≠0）在第一象限， ∴k＞0， 延长线段BA，交y轴于点E，
∵AB∥x轴， ∴AE⊥y轴， ∴四边形AEOD是矩形， ∵点A在双曲线y=4x 上， ∴S矩形AEOD=4， 同理S矩形OCBE=k， ∵S矩形ABCD=S矩形OCBE-S矩形AEOD=k-4=8， ∴k=12． 故选A．
【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
考点五： 实际问题与反比例函数
某农户共摘收水蜜桃1920千克，为寻求合适的销售价格，进行了6天试销，试销情况如下：
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
售价
x（元/千克）
20
18
15
12
10
9
销售量
y（千克）
45
50
60
75
90
100
由表中数据可知，试销期间这批水蜜桃的每天销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足我们曾经学过的某种函数关系．若在这批水蜜桃的后续销售中，每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间都满足这一函数关系．
（1）你认为y与x之间满足什么函数关系？并求y关于x的函数表达式．
（2）在试销6天后，该农户决定将这批水密桃的售价定为15元/千克．
① 若每天都按15元/千克的售价销售，则余下的水蜜桃预计还要多少天可以全部售完？
② 该农户按15元/千克的售价销售20天后，发现剩下的水蜜桃过于成熟，必须在不超过2天内全部售完，因此需要重新确定一个售价，使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完，则新的售价最高可以定为多少元/千克？
【答案】（1）；（2）余下的水蜜桃预计还要25天可以全部售完；(3) 新的售价最高可以定为6元/千克.
【解析】解：（1）y与x之间满足反比例函数关系，y关于x的函数表达式为.
（2）①试销6天共销售水蜜桃45+50+60+75+90+100=420千克，
水密桃的售价定为15元/千克时，每天的销售量为60千克，
由题意得， （天）.
∴余下的水蜜桃预计还要25天可以全部售完；
②农户按15元/千克的售价销售20天后，
还剩下水蜜桃（千克），
∵要在不超过2天内全部售完，∴每天的销售量至少为150千克，
把y=150代入中得x=6.
∴新的售价最高可以定为6元/千克.
【点评】（1）观察表格不难发现x与y的积是定值，由此即可解决问题；（2）①根据销售天数=即可解决问题；②由题意可知每天必须至少销售150千克，把y=150代入y=即可解决问题．
变式跟进5教室内的饮水机接通电源进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（分钟）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．如图为在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间x（分钟）的关系如图．
（1）a= ；
（2）直接写出图中y关于x的函数关系式；
（3）饮水机有多少时间能使水温保持在70℃及以上？
（4）若饮水机早上已加满水，开机温度是20℃，为了使8：40下课时水温达到70℃及以上，并节约能源，直接写出当它上午什么时间接通电源比较合适？
【答案】（1）7；（2）y=10x+300≤x≤7700x7≤x≤703 ；（3）6分钟（4）8：29开机
【解析】解：（1）由题意可得，
a=（100-30）÷10=70÷10=7，
故答案为：7；
（2）当0≤x≤7时，设y关于x的函数关系式为：y=kx+b，
b＝307k+b＝100，
得k＝10b＝30，
即当0≤x≤7时，y关于x的函数关系式为y=10x+30，
当x＞30时，设y=ax，
100=a7，得a=700，
即当x＞30时，y关于x的函数关系式为y=700x，
当y=30时，x=703，
∴y与x的函数关系式为：y=10x+300≤x≤7700x(7≤x≤703)，
（3）将y=70代入y=10x+30，得x=4，
将y=70代入y=700x，得x=10，
∵10-4=6，
∴饮水机有6分钟能使水温保持在70℃及以上；
（4）由题意可得，
6+（70-20）÷10=11（分钟），
∴40-11=29，
即8：29开机接通电源比较合适．
【点评】（1）根据题意和函数图象可以求得a的值；（2）根据函数图象和题意可以求得y关于x的函数关系式，注意函数图象是循环出现的；（3）根据（2）中的函数解析式可以解答本题；（4）根据题意和（3）中的结果可以解答本题．
考点六：反比例函数综合题
某农如图，平面直角坐标系中，矩形的边、分别落在、轴上，点坐标为，反比例函数的图象与边交于点，与边交于点，连结，将沿翻折至处，点恰好落在正比例函数图象上，则的值是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：∵矩形OABC，
∴CB∥x轴，AB∥y轴，
∵点B坐标为（6，4），
∴D的横坐标为6，E的纵坐标为4，
∵D，E在反比例函数y=的图象上，
∴D（6，1），E（，4），
∴BE=6-=，BD=4-1=3，
∴ED=，
连接BB′，交ED于F，过B′作B′G⊥BC于G，
∵B，B′关于ED对称，
∴BF=B′F，BB′⊥ED，
∴BF?ED=BE?BD，
即BF=3×，
∴BF=，
∴BB′=，
设EG=x，则BG=-x，
∵BB′2-BG2=B′G2=EB′2-GE2，
∴（）2-（-x）2=（）2-x2，
∴x=，
∴EG=，
∴CG=，
∴B′G=，
∴B′（，-），
∴k=-．
故选B．
【点评】综合运用反比例函数的性质、图形与坐标、勾股定理等知识进行解题.
变式跟进6如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0），B（4，1），C（4，3），反比例函数 的图象经过点D，点P是一次函数y=mx+3﹣4m（m≠0）的图象与该反比例函数图象的一个公共点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）通过计算说明一次函数y=mx+3﹣4m的图象一定过点C；
（3）对于一次函数y=mx+3﹣4m（m≠0），当y随x的增大而增大时，确定点P的横坐标的取值范围．（不必写过程）
【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）＜x＜4．
【解析】解：（1）∵B（4，1），C（4，3），
∴BC∥y轴，BC=2，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=2，AD∥y轴，而A（1，0），
∴D（1，2），
∴由反比例函数y=的图象经过点D，可得k=1×2=2，
∴反比例函数的解析式为y=.
（2）∵在一次函数y=mx+3﹣4m中，y=m(x-4)+3,当x=4时，y=4m+3﹣4m=3，
∴一次函数y=mx+3﹣4m的图象一定过点C（4，3）.
（3）点P的横坐标的取值范围： ＜x＜4．
如图所示，过C（4，3）作y轴的垂线，交双曲线于E，作x轴的垂线，交双曲线于F，
当y=3时，3=，即x=，
∴点E的横坐标为，
由点C的横坐标为4，可得F的横坐标为4，
∵一次函数y=mx+3﹣4m的图象一定过点C（4，3），且y随x的增大而增大，
∴直线y=mx+3﹣4m与双曲线的交点P落在EF之间的双曲线上，
∴点P的横坐标的取值范围是＜x＜4．
【点评】（1）利用平行四边形幸会，求D点坐标，待定系数法求解析式.(2)过定点问题，给一次函数变形，给x赋值.(3) 过C（4，3）作y轴的垂线，交双曲线于E，作x轴的垂线，交双曲线于F,求交点坐标,根据一次函数的位置关系求P点坐标.
一、单选题
1．（2016?兰州）反比例函数是y=2x的图象在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限
【答案】B
【解析】∵反比例函数是y=-2x中，k=-2<0， ∴此函数图象的两个分支分别位于二、四象限． 故选D．
2．（2016?临沂）如图，直线y=﹣x+5与双曲线y=kx（x＞0）相交于A，B两点，与x轴相交于C点，△BOC的面积是52．若将直线y=﹣x+5向下平移1个单位，则所得直线与双曲线y=kx（x＞0）的交点有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．0个，或1个，或2个
【答案】B
【解析】令直线y=﹣x+5与y轴的交点为点D，过点O作OE⊥直线AC于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，如图所示．
令直线y=﹣x+5中x=0，则y=5，即OD=5；
令直线y=﹣x+5中y=0，则0=﹣x+5，解得：x=5，即OC=5．
在Rt△COD中，∠COD=90°，OD=OC=5，∴tan∠DCO==1，∠DCO=45°．
∵OE⊥AC，BF⊥x轴，∠DCO=45°，∴△OEC与△BFC都是等腰直角三角形，又∵OC=5，∴OE=．∵S△BOC=52BC?OE=BC=，∴BC=，∴BF=FC=BC=1，∵OF=OC﹣FC=5﹣1=4，BF=1，∴点B的坐标为（4，1），∴k=4×1=4，即双曲线解析式为y=4x．
将直线y=﹣x+5向下平移1个单位得到的直线的解析式为y=﹣x+5﹣1=﹣x+4，将y=﹣x+4代入到y=4x中，得：，整理得：，∵△=16﹣4×4=0，∴平移后的直线与双曲线y=4x只有一个交点．故选B．
3.（2017?长春）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A的坐标为（﹣4，0），顶点B在第二象限，∠BAO=60°，BC交y轴于点D，DB：DC=3：1．若函数y= kx （k＞0，x＞0）的图象经过点C，则k的值为（?? ）
A.?33??????????????????????????????????????B.?32??????????????????????????????????????C.?233??????????????????????????????????????D.?3
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，点A的坐标为（﹣4，0）， ∴BC=4， ∵DB：DC=3：1， ∴B（﹣3，OD），C（1，OD）， ∵∠BAO=60°， ∴∠COD=30°， ∴OD= 3 ， ∴C（1， 3 ）， ∴k= 3 ， 故答案为：D． 【点评】要求k值，只需求出双曲线上一点C的坐标，由平行四边形的性质可知对边相等，OA=BC，CD=14BC,可有tan60°=ODDC=3,求出OD即可.
4.（2017?青岛）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过A（﹣1，﹣4），B（2，2）两点，P为反比例函数y= kbx 图象上一动点，O为坐标原点，过点P作y轴的垂线，垂足为C，则△PCO的面积为（?? ）
A.?2?????????????????????????????????????????B.?4?????????????????????????????????????????C.?8?????????????????????????????????????????D.?不确定
【答案】A
【解析】解：将A（﹣1，﹣4），B（2，2）代入函数解析式，得 {?k+b=?42k+b=2 ， 解得 {k=2b=?2 ， P为反比例函数y= kbx 图象上一动点， 反比例函数的解析式y= ?4x ， P为反比例函数y= kbx 图象上一动点，O为坐标原点，过点P作y轴的垂线，垂足为C， 则△PCO的面积为 12 |k|=2， 故选：A． 【点评】根据待定系数法，可得k，b，根据反比例函数图象上的点垂直于坐标轴得到的三角形的面积等于|k|的一半，可得答案．
5.（2017?海南）如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，2），C（4，4）．若反比例函数y= kx 在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（?? ）
A.?1≤k≤4??????????????????????????????B.?2≤k≤8??????????????????????????????C.?2≤k≤16??????????????????????????????D.?8≤k≤16
【答案】C
【解析】解：∵△ABC是直角三角形， ∴当反比例函数y= kx 经过点A时k最小，经过点C时k最大， ∴k最小=1×2=2，k最大=4×4=16， ∴2≤k≤16． 故选C． 【点评】由于△ABC是直角三角形，所以当反比例函数y= kx 经过点A时k最小，进过点C时k最大，据此可得出结论．
6．（2018?遂宁）已知一次函数y1=kx+b((k≠0)与反比例函数y2=mx(m＞0)的图象如图所示， 则当y1>y2时， 自变量x满足的条件是( )
A．11 D．x<3
【答案】A
【解析】利用两函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可
解： 当1y2．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题： 求反比例函数与一次函数的交点坐标， 把两个函数关系式联立成方程组求解， 若方程组有解则两者有交点， 方程组无解， 则两者无交点 ．
7．（2018?广州）一次函数y＝ax+b和反比例函数y=a?bx在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先由一次函数的图象确定a、b的正负，再根据a-b判断双曲线所在的象限．能统一的是正确的，矛盾的是错误的．
解：图A、B直线y=ax+b经过第一、二、三象限，
∴a＞0、b＞0，
∵y=0时，x=-ba，即直线y=ax+b与x轴的交点为（-ba，0）
由图A、B的直线和x轴的交点知：-ba＞-1，
即b＜a，
所以b-a＜0，
∴a-b＞0，
此时双曲线在第一、三象限，故选项B不成立，选项A正确；
图C、D直线y=ax+b经过第二、一、四象限，
∴a＜0，b＞0，
此时a-b＜0，双曲线位于第二、四象限，
故选项C、D均不成立；
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数、反比例函数的性质．解决本题用排除法比较方便．
8．（2018?宜昌）如图，一块砖的A，B，C三个面的面积比是4：2：1．如果A，B，C面分别向下放在地上，地面所受压强为p1，p2，p3，压强的计算公式为p=FS，其中P是压强，F是压力，S是受力面积，则p1，p2，p3，的大小关系正确的是（ ）
A．p1＞p2＞p3 B．p1＞p3＞p2 C．p2＞p1＞p3 D．p3＞p2＞p1
【答案】D
【解析】直接利用反比例函数的性质进而分析得出答案．
解：∵p=FS，F＞0，
∴p随S的增大而减小，
∵A，B，C三个面的面积比是4：2：1，
∴p1，p2，p3的大小关系是：p3＞p2＞p1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确把握反比例函数的性质是解题关键．
二、填空题
9．（2016?甘孜州）在平面直角坐标系xOy中，P为反比例函数y=2x（x＞0）的图象上的动点，则线段OP长度的最小值是 ．
【答案】2．
【解析】根据题意可得：当P为直线y=x与反比例函数y=2x（x＞0）的交点时则线段OP长度的最小，由y=2xy=x得：x=2y=2或x=?2y=?2（舍去），则P点的坐标为（2，2），则线段OP=(2)2+(2)2=2，故答案为：2．
10．（2016?江西）如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝k1x(x＞0)及y2＝k2x(x＞0)的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为2，则k1－k2＝________.
【答案】4
【解析】∵反比例函数y1=k1x（x＞0）及y2=k2x（x＞0）的图象均在第一象限内，∴k1＞0，k2＞0．
∵AP⊥x轴，∴S△OAP=12k1，S△OBP=12k2，∴S△OAB=S△OAP﹣S△OBP=12(k1?k2)=2，解得：k1?k2=4．故答案为：4．
11.（2017?绍兴）如图，Rt△ABC的两个锐角顶点A，B在函数y= kx （x>0）的图象上，AC//x轴，AC=2.若点A的坐标为（2,2），则点B的坐标为________.
【答案】（4,1）
【解析】解：因为点A（2,2）在函数y= kx （x>0）的图象上， 所以k=2×2=4. 则反比函数y= 4x （x>0）， 因为AC//x轴，AC=2， 所以C（4,2）. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 所以B的横坐标与C的横坐标相同，为4， 当x=4时，y= 44 =1， 则B（4,1）. 故答案为（4,1）. 【点评】运用待定系数法求出k的值，而点B也在反比例函数上，所以只要求出B的横坐标或纵坐标代入函数解析式即可解出，由AC//x轴，AC=2，得到C（4,2），不难得到B的横坐标与C的横坐标相同，可得B的横坐标.
12.（2017?通辽）如图，直线y=﹣ 33 x﹣ 3 与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y= kx 的图象在第二象限交于点C，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点D．若AD=AC，则点D的坐标为________．
【答案】（﹣3，4 3 ﹣2）
【解析】解：过C作CE⊥x轴于E，
∵直线y=﹣ 33 x﹣ 3 与x，y轴分别交于点A，B， ∴A（﹣3，0），B（0，﹣ 3 ）， ∴tan∠OAB= OBOA = 33 ， ∴∠OAB=30°，∴∠CAE=30°， 设D（﹣3， k?3 ）， ∵AD⊥x轴，∴AD= k?3 ， ∵AD=AC，∴AC= k?3 ， ∴CE= k?6 ，AE= 3k?6 ， ∴C（﹣ 3 + 3k6 ，﹣ k6 ）， ∵C在反比例函数y= kx 的图象上， ∴（﹣ 3 + 3k6 ）?（﹣ k6 ）=k， ∴k=6﹣12 3 ， ∴D（﹣3，4 3 ﹣2）， 故答案为：（﹣3，4 3 ﹣2）． 【点评】过C作CE⊥x轴于E，求得A（﹣3，0），B（0，﹣ 3 ），解直角三角形得到∠OAB=30°，求得∠CAE=30°，设D（﹣3， k?3 ），得到AD= k?3 ，AC= k?3 ，于是得到C（﹣ 3 + 3k6 ，﹣ k6 ），列方程即可得到结论．
13.（2017?扬州）如图，已知点A是反比例函数y=﹣ 2x 的图象上的一个动点，连接OA，若将线段O A绕点O顺时针旋转90°得到线段OB，则点B所在图象的函数表达式为________．
【答案】y= 2x
【解析】解：∵点A是反比例函数y=﹣ 2x 的图象上的一个动点， 设A（m，n）， 过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D， ∴AC=n，OC=﹣m， ∴∠ACO=∠ADO=90°， ∵∠AOB=90°， ∴∠CAO+∠AOC=∠AOC+∠BOD=90°， ∴∠CAO=∠BOD， 在△ACO与△ODB中 {∠ACO=∠ODB∠CAO=∠BODAO=BO ， ∴△ACO≌△ODB， ∴AC=OD=n，CO=BD=﹣m， ∴B（n，﹣m）， ∵mn=﹣2， ∴n（﹣m）=2， ∴点B所在图象的函数表达式为y= 2x ， 故答案为：y= 2x ． 【点评】设A（m，n），过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，得到AC=n，OC=﹣m，根据全等三角形的性质得到AC=OD=n，CO=BD=﹣m，于是得到结论．
14．（2018?南通）在平面直角坐标系xOy中，已知A(2t,0)，B(0,-2t)，C(2t,4t)三点，其中t>0，函数y=t2x的图象分别与线段BC，AC交于点P，Q．若S△PAB-S△PQB=t，则t的值为__．
【答案】4
【解析】用t分别表示出S△PAB和S△PQB 即可求解.
解：
解：如图所示，
∵A（2t，0），C（2t，4t），
∴AC⊥x轴，
当x=2t时，y=t22t=t2，
∴Q（2t，t2），
∵B（0，﹣2t），C（2t，4t），
易得直线BC的解析式为：y=3x﹣2t，
则3x﹣2t=t2x，
解得：x1=t，x2=?13t（舍），
∴P（t，t），
∵S△PAB=S△BAC﹣S△APC，S△PQB=S△BAC﹣S△ABQ﹣S△PQC，
∵S△PAB﹣S△PQB=t，
∴（S△BAC﹣S△APC）﹣（S△BAC﹣S△ABQ﹣S△PQC）=t，
S△ABQ+S△PQC﹣S△APC=12?t2?2t+12?(4t?t2)?t?12?4t?t=t，
t=4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的知识点是待定系数法求一次函数解析式、反比例函数的图像及其性质以及三角形的面积公式，解题关键是利用双曲线函数图像解题.
15．（2018?盐城）如图，点D为矩形OABC的AB边的中点，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点D，交BC边于点E.若△BDE的面积为1，则k =________
【答案】4
【解析】设D（a，ka），利用点D为矩形OABC的AB边的中点得到B（2a，ka），则E（2a，k2a），然后利用三角形面积公式得到12?a?（ka-k2a）=1，最后解方程即可．
解：设D（a，ka）， ∵点D为矩形OABC的AB边的中点， ∴B（2a，ka）， ∴E（2a，k2a）， ∵△BDE的面积为1， ∴12?a?（ka-k2a）=1，解得k=4． 故答案为4．
【点评】本题考查了反比例函数解析式的应用，根据解析式设出点的坐标，结合矩形的性质并利用平面直角坐标系中点的特征确定三角形的两边长，进而结合三角形的面积公式列出方程求解，可确定参数k的取值．
16．（2018?韶关）如图，已知等边△OA1B1，顶点A1在双曲线y=3x(x>0)上，点B1的坐标为(2,0)．过B1作B1A2//OA1交双曲线于点A2，过A2作A2B2//A1B1交x轴于点B2，得到第二个等边△B1A2B2；过B2作B2A3//B1A2交双曲线于点A3，过A3作A3B3//A2B2交x轴于点B3，得到第三个等边△B2A3B3；以此类推，…，则点B6的坐标为__．
【答案】（26，0）．
【解析】根据等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征分别求出B2、B3、B4的坐标，得出规律，进而求出点B6的坐标．
解：
如图，作A2C⊥x轴于点C，
设B1C=a，则A2C=3a，
∴OC=OB1+B1C=2+a，A2(2+a,3a)．
∵点A2在双曲线y=3x(x>0)上，
∴(2+a)?3a=3，
解得a1=?1+2，a2=?1?2（不符题意舍去），
∴OB2=OB1+2B1C=2+22?2=22，
∴点B2的坐标为(22,0)；
作A3D⊥x轴于点D，设B2D=b，则A3D=3b，
∴OD=OB2+B2D=22+b，A3(22+b,3b)．
∵点A3在双曲线y=3x(x>0)上，
∴(22+b)?3b=3，
解得b1=?2+3，b2=?2?3（不符题意舍去），
∴OB3=OB2+2B1D=22?22+23=23，
∴点B3的坐标为(23,0)；
同理可得点B4坐标为(24,0)；
以此类推…，
∴点Bn的坐标为(2n,0)，
∴点B6的坐标为(26,0)．
故答案为(26,0)．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质等知识. 正确求出B2、B3、B4的坐标进而得出点Bn的规律是解题的关键．
三、解答题
17．（2016?茂名）如图，一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象交于点A（﹣1，4）和点B（a，1）．
（1）求反比例函数的表达式和a、b的值；
（2）若A、O两点关于直线l对称，请连接AO，并求出直线l与线段AO的交点坐标．
【答案】（1）y=?4x，a=?4，b=5；（2）（?12，2）．
【解析】（1）由点A的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出k值，从而得出反比例函数解析式；再将点A、B坐标分别代入一次函数y=x+b中得出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；（2）连接AO，设线段AO与直线l相交于点M．由A、O两点关于直线l对称，可得出点M为线段AO的中点，再结合点A、O的坐标即可得出结论．
解：（1）∵点A（﹣1，4）在反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象上，
∴k=﹣1×4=﹣4， ∴反比例函数解析式为y=﹣
把点A（﹣1，4）、B（a，1）分别代入y=x+b中，
得：，解得：．
（2）连接AO，设线段AO与直线l相交于点M，如图所示．
∵A、O两点关于直线l对称，
∴点M为线段OA的中点， ∵点A（﹣1，4）、O（0，0）， ∴点M的坐标为（﹣，2）．
∴直线l与线段AO的交点坐标为（﹣，2）．
18.（2017·嘉兴）如图，一次函数 y=k1x+b （ k1≠0 ）与反比例函数 y=k2x （ k2≠0 ）的图象交于点 A(?1,2) ， B(m,?1) ．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）在 x 轴上是否存在点 P(n,0) (n>0) ，使 ΔABP 为等腰三角形？若存在，求 n 的值；若不存在，说明理由．
【答案】答案见解析
【解析】（1）解：把A（-1,2）代入y=k2x，得k2=-2， ∴反比例函数的表达式为y=?2x。 ∵B（m,-1）在反比例函数的图象上， ∴m=2。 由题意得?k1+b=22k1+b=?1，解得k1=?1b=1 ∴一次函数的表达式为y=-x+1。 （2）解：由A（-1,2）和B（2，-1），则AB=32 ①当PA=PB时，（n+1）2+4=(n-2)2+1, ∵n>0，∴n=0（不符合题意，舍去） ②当AP=AB时，22+（n+1）2=(32)2 ∵n>0，∴n=-1+14 ③当BP=BA时，12+（n-2）2=(32)2 ∵n>0，∴n=2+17 所以n=-1+14或n=2+17。
【点评】（1）将点A代入反比例函数解析式可先求出k2,再求出点B的坐标，再运用待定系数法求k1和b的值；（2）需要分类讨论，PA=PB，AP=AB，BP=BA，运用勾股定理求它们的长，构造方程求出n的值.
19．（2018?岳阳）如图，某反比例函数图象的一支经过点A（2，3）和点B（点B在点A的右侧），作BC⊥y轴，垂足为点C，连结AB，AC．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若△ABC的面积为6，求直线AB的表达式．
【答案】（1）y=6x；（2）y=?12x+4．
【解析】(1)把A的坐标代入反比例函数的解析式即可求得；
(2)作AD⊥BC于D，则D(2，b)，即可利用a表示出AD的长，然后利用三角形的面积公式即可得到一个关于b的方程，求得b的值，进而求得a的值，根据待定系数法，可得答案．
解：(1)由题意得：k＝xy＝2×3＝6，
∴反比例函数的解析式为y=6x；
(2)设B点坐标为(a，b)，如图，作AD⊥BC于D，则D(2，b)，
∵反比例函数y=6x的图象经过点B(a，b)，
∴b=6a，
∴AD＝3?6a，
∴S△ABC=12BC?AD=12a(3?6a)＝6，
解得a＝6，
∴b=6a=1，
∴B(6，1)，
设AB的解析式为y＝kx+b，将A(2，3)，B(6，1)代入函数解析式，得
2k+b=36k+b=1，解得：k=?12b=4，
所以直线AB的解析式为y=?12x+4．
【点评】本题考查了利用待定系数法求反比例函数以及一次函数解析式，熟练掌握待定系数法以及正确表示出BC，AD的长是解题的关键．
20．（2018?乐山）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y （℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式；
（2）求恒温系统设定的恒定温度；
（3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？
【答案】（1）y关于x的函数解析式为y=2x+10(0≤x<5)20(5≤x<10)200x(10≤x≤24)；（2）恒温系统设定恒温为20°C；（3）恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．
【解析】（1）应用待定系数法分段求函数解析式；
（2）观察图象可得；
（3）代入临界值y=10即可．
解：（1）设线段AB解析式为y=k1x+b（k≠0）
∵线段AB过点（0，10），（2，14）
代入得b＝102k1+b＝14
解得k1＝2b＝10
∴AB解析式为：y=2x+10（0≤x＜5）
∵B在线段AB上当x=5时，y=20
∴B坐标为（5，20）
∴线段BC的解析式为：y=20（5≤x＜10）
设双曲线CD解析式为：y=k2x（k2≠0）
∵C（10，20）
∴k2=200
∴双曲线CD解析式为：y=200x（10≤x≤24）
∴y关于x的函数解析式为：y=2x+10(0≤x<5)20(5≤x<10)200x(10≤x≤24)
（2）由（1）恒温系统设定恒温为20°C
（3）把y=10代入y=200x中，解得，x=20
∴20-10=10
答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．
【点评】本题为实际应用背景的函数综合题，考查求得一次函数、反比例函数和常函数关系式．解答时应注意临界点的应用．
一、单选题
1.（2017·长沙一模）下列函数表达式中，y不是x的反比例函数的是（?? ）
A.?y= 3x?????????????????????????????????B.?y= x3?????????????????????????????????C.?y= 12x?????????????????????????????????D.?xy= 12
【答案】B
【解析】A、y= 3x 是反比例函数，A不符合题意； B、y= x3 是正比例函数，B符合题意； C、y= 12x 是反比例函数，C不符合题意； D、xy= 12 是反比例函数，D不符合题意． 故答案为：B． 【点评】根据反比例函数的定义进行判别，即可得到所求的答案．
2.（2017·天津模拟）一个圆柱的侧面展开图是一个面积为10的矩形，这个圆柱的母线长l与这个圆柱的底面半径r之间的函数关系为（?? ）
A.?正比例函数????? B.?反比例函数????? C.?一次函数????? D.?二次函数
【答案】B
【解析】解：根据题意，2πr?l=10， 所以l= 102πr ． 故l与r的函数关系为反比例函数． 故答案为：B． 【点评】根据圆柱的侧面展开图是一个面积为10的矩形，得到母线长l与这个圆柱的底面半径r的关系是2πr?l=10，故l与r的函数关系为反比例函数．
3.（2017·西安二模）已知直线y=kx（k＞0）与双曲线y= 3x 交于点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）两点，则x1y2+x2y1的值为（?? ）
A.?﹣6?????????????????????????????????????????B.?﹣9?????????????????????????????????????????C.?0?????????????????????????????????????????D.?9
【答案】A
【解析】解：∵点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）是双曲线y= 3x 上的点 ∴x1?y1=x2?y2=3①， ∵直线y=kx（k＞0）与双曲线y= 3x 交于点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）两点， ∴x1=﹣x2 ， y1=﹣y2②， ∴原式=﹣x1y1﹣x2y2=﹣3﹣3=﹣6． 故答案为：A． 【点评】根据点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）是双曲线上的点，得到x1?y1=x2?y2=3，直线y=kx（k＞0）与双曲线 交于点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）两点，得到A、B关于原点对称，即x1=﹣x2 ， y1=﹣y2 ， 得出结论.
4.（2017·重庆模拟）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则y与x的函数关系式为（?? ）
A.?y=400x????????????????????????????B.?y=14x????????????????????????????C.?y=100x????????????????????????????D.?y= 1400x
【答案】C
【解析】设y= kx ， 400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m， ∴k=0.25×400=100， ∴y= 100x ． 故答案为：C． 【点评】先设反比例函数的解析式为y=kx，然后将y=400，x=0.25代入求得k的值即可.
5.（2017·扬州二模）若点A（﹣1，2），B（2，﹣3）在直线y=kx+b上，则函数y= kx 的图象在（?? ）
A.?第一、三象限??????????????????B.?第一、二象限??????????????????C.?第二、四象限??????????????????D.?第二、三象限
【答案】C
【解析】解：根据题意，将点A（﹣1，2），B（2，﹣3）代入直线y=kx+b， 得： {?k+b=22k+b=?3 ， 解得： {k=?53b=13 ， ∴由反比例函数的性质可知，k=﹣ 53 ＜0时，函数y= kx 的图象在第二、四象限， 故选：C． 【点评】待定系数法求得k、b的值，根据反比例函数的图象与性质即可判断．
6．（2018·韶关模拟）如图，是一次函数y=kx+b与反比例函数y=2x的图象，则关于x的不等式kx+b＞2x的解集为
A．x＞1 B．﹣2＜x＜1 C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．x＜﹣2
【答案】C
【解析】根据反比例函数与一次函数在同一坐标系内的图象可直接解答．
解：观察图象，两函数图象的交点坐标为（1，2），（-2，-1），kx+b＞2x的解就是一次函数y=kx+b图象在反比例函数y=2x的图象的上方的时候x的取值范围， 由图象可得：-2＜x＜0或x＞1， 故选：C．
【点评】本题考查的是反比例涵数与一次函数图象在同一坐标系中二者的图象之间的关系．一般这种类型的题不要计算反比计算表达式，解不等式，直接从从图象上直接解答．
7．（2018?天津二模）已知点P（m，n），为是反比例函数y=﹣3x图象上一点，当﹣3≤n＜﹣1时，m的取值范围是（ ）
A．1≤m＜3 B．﹣3≤m＜﹣1 C．1＜m≤3 D．﹣3＜m≤﹣1
【答案】A
【解析】直接把n的值代入求出m的取值范围．
解：∵点P（m，n），为是反比例函数y=-3x图象上一点，
∴当-3≤n＜-1时，
∴n=-3时，m=1，n=-1时，m=3，
则m的取值范围是：1≤m＜3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标性质，正确把n的值代入是解题关键．
8．（2018?枣庄模拟）如图，线段AB是直线y=4x+2的一部分，点A是直线与y轴的交点，点B的纵坐标为6，曲线BC是双曲线y=kx的一部分，点C的横坐标为6，由点C开始不断重复“A﹣B﹣C”的过程，形成一组波浪线．点P（2017，m）与Q（2020，n）均在该波浪线上，分别过P、Q两点向x轴作垂线段，垂足为点D和E，则四边形PDEQ的面积是（ ）
A．10 B．212 C．454 D．15
【答案】C
【解析】A，C之间的距离为6，点Q与点P的水平距离为3，进而得到A，B之间的水平距离为1，且k=6，根据四边形PDEQ的面积为6+1.5×32=454，即可得到四边形PDEQ的面积．
解：A，C之间的距离为6，
2017÷6=336…1，故点P离x轴的距离与点B离x轴的距离相同，
在y=4x+2中，当y=6时，x=1，即点P离x轴的距离为6，
∴m=6，
2020﹣2017=3，故点Q与点P的水平距离为3，
∵6=k1,
解得k=6，
双曲线y=6x,
1+3=4，
y=64=32, 即点Q离x轴的距离为32，
∴n=32，
∵四边形PDEQ的面积是6+1.5×32=454．
故选：C．
【点评】考查了反比例函数的图象与性质，平行四边形的面积，综合性比较强，难度较大.
9．（2018?连云港模拟）如图，点P（x，y）（x＞0）是反比例函数y=kx（k＞0）的图象上的一个动点，以点P为圆心，OP为半径的圆与x轴的正半轴交于点A．若△OPA的面积为S，则当x增大时，S的变化情况是（ ）
A．S的值增大 B．S的值减小
C．S的值先增大，后减小 D．S的值不变
【答案】D
【解析】作PB⊥OA于B，如图，根据垂径定理得到OB=AB，则S△POB=S△PAB，再根据反比例函数k的几何意义得到S△POB=12|k|，所以S=2k，为定值．
解：作PB⊥OA于B，如图，则OB=AB，∴S△POB=S△PAB．
∵S△POB=12|k|，∴S=2k，∴S的值为定值．
故选D．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
10．（2018?鄂州模拟）一次函数y=kx?k与反比例函数y=kx(k≠0)在同一个坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当k＞0时，一次函数y=kx﹣k的图象过一、三、四象限，反比例函数y=kx的图象在一、三象限，∴A、C不符合题意，B符合题意；当k＜0时，一次函数y=kx﹣k的图象过一、二、四象限，反比例函数y=kx的图象在二、四象限，∴D不符合题意．
故选B．
二、填空题
11.（2017·武威一模）若函数y= (k?2)xk2?5 是反比例函数，则k=________．
【答案】﹣2
【解析】解：若函数y= (k?2)xk2?5 是反比例函数， 则 {k2?5=?1k?2≠0 ， 解得k=﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】根据反比例函数的定义列出方程 {k2?5=?1k?2≠0 ，解出k的值即可．
12.（2017·上海二模）已知反比例函数y= k?1x 的图象经过一、三象限，则实数k的取值范围是________．
【答案】k＞1
【解析】解：∵反比例函数y= k?1x 的图象经过一、三象限， ∴k﹣1＞0，即k＞1． 故答案为：k＞1． 【点评】根据反比例函数y= k?1x 的图象经过一、三象限得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
13.（2017·包头二模）如图，在Rt△AOB中，直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将△AOB绕点B逆时针旋转90°后，得到△A′O′B，且反比例函数y= kx 的图象恰好经过斜边A′B的中点C，若SABO=4，tan∠BAO=2，则k=________．
【答案】6
【解析】解：设点C坐标为（x，y），作CD⊥BO′交边BO′于点D， ∵tan∠BAO=2， ∴ BOAO =2， ∵S△ABO= 12 ?AO?BO=4， ∴AO=2，BO=4， ∵△ABO≌△A'O'B， ∴AO=A′O′=2，BO=BO′=4， ∵点C为斜边A′B的中点，CD⊥BO′， ∴CD= 12 A′O′=1，BD= 12 BO′=2， ∴x=BO﹣CD=4﹣1=3，y=BD=2， ∴k=x?y=3?2=6． 故答案为6． 【点评】先根据S△ABO=4，tan∠BAO=2求出AO、BO的长度，再根据点C为斜边A′B的中点，求出点C的坐标，点C的横纵坐标之积即为k值．
14．（2018?盐城期中）设函数y=2x与y=x-1的图象的交点坐标为(a,b),则1a?1b的值为____.
【答案】-12
【解析】∵函数y=1x与y=x?1的图象的交点坐标为(a,b)，
∴ab=1，b-a=?1，
1a?1b=b?aab=-1
故答案为：-1.
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点 ：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解，则两者有交点，方程组无解，则两者无交点；两函数的交点坐标同时满足两解析式.
15．（2018?上海二模）近视眼镜的度数度与镜片焦距米呈反比例，其函数关系式为如果近似眼镜镜片的焦距米，那么近视眼镜的度数y为______．
【答案】400
【解析】把代入，即可算出y的值．
解：把代入， ， 故答案为：400． 【点评】此题主要考查了反比例函数的定义，本题实际上是已知自变量的值求函数值的问题，比较简单．
16．（2018?宁波月考）如图所示，点A1，A2，A3在x轴上，且OA1=A1A2=A2A3，分别过点A1，A2，A3作y轴的平行线，与反比例函数y=8x（x＞0）的图象分别交于点B1，B2，B3，分别过点B1，B2，B3作x轴的平行线，分别于y轴交于点C1，C2，C3，连接OB1，OB2，OB3，那么图中阴影部分的面积之和为 ．
【答案】．
【解析】
试题分析：先根据反比例函数上的点向x轴、y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数y=8x的|k|=8，得到S△OB1C1=S△OB2C2=S△OB3C3=12|k|=4，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得到3个阴影部分的三角形的面积从而求得面积和:
根据题意可知S△OB1C1=S△OB2C2=S△OB3C3=12|k|=4，
设图中阴影部分的面积从左向右依次为s1，s2，s3，∴s1=12|k|=4，
∵OA1=A1A2=A2A3，A1B1∥A2B2∥A3B3∥y轴，
∴s2：S△OB2C2=1：4，s3：S△OB3C3=1：9.
∴图中阴影部分的面积分别是s1=4，s2=1，s3=49.
∴图中阴影部分的面积之和=4+1+49=549．
三、解答题
17.（2017·深圳调研）某电器商场销售甲、乙两种品牌空调，已知每台乙种品牌空调的进价比每台甲种品牌空调的进价高20％，用7200元购进的乙种品牌空调数量比用3000元购进的甲种品牌空调数量多2台．
（1）求甲、乙两种品牌空调的进货价；
（2）该商场拟用不超过16000元购进甲、乙两种品牌空调共10台进行销售，其中甲种品牌空调的售价为2500元／台，乙种品牌空调的售价为3500元／台．请您帮该商场设计一种进货方案，使得在售完这10台空调后获利最大，并求出最大利润．
【答案】答案见解析
【解析】（1）解：由（1）设甲种品牌的进价为x元，则乙种品牌空调的进价为（1+20%）x元， 由题意，得 7200(1+20%)x=3000x+2 ， 解得x=1500, 经检验，x=1500是原分式方程的解. 乙种品牌空调的进价为（1+20%）×1500=1800（元）. 答案：甲种品牌的进价为1500元，乙种品牌空调的进价为1800元. （2）解：设购进甲种品牌空调a台，则购进乙种品牌空调（10-a）台， 由题意，得1500a+1800（10-a）≤16000， 解得 203 ≤a， 设利润为w，则w=（2500-1500）a+（3500-1800）（10-a）=-700a+17000， 因为-700<0，则w随a的增大而减少，当a=7时，w最大，最大为12100元. 答：当购进甲种品牌空调7台，乙种品牌空调3台时，售完后利润最大，最大为12100元.
【点评】（1）列分式方程解答，可设甲种品牌的进价为x元，数量关系： 7200乙种品牌的进价=3000甲种品牌的进价+2 ；（2）设购进甲种品牌空调a台，先根据“成本价”求出a的取值范围；再用含a的代数式表示利润的式子，并分析最值.
18.（2017·菏泽二模）如图，OA⊥OB，AB⊥x轴于C，点A（ 3 ，1）在反比例函数y= kx 的图象上．
（1）求反比例函数y= kx 的表达式；
（2）在x轴的负半轴上存在一点P，使S△AOP= 12 S△AOB ， 求点P的坐标．
【答案】答案见解析
【解析】（1）解：把A（ 3 ，1）代入反比例函数y= kx 得：k=1× 3 = 3 ， 所以反比例函数的表达式为y= 3x ； （2）解：∵A（ 3 ，1），OA⊥AB，AB⊥x轴于C， ∴OC= 3 ，AC=1， OA= OC2+AC2 = (3)2+12 =2， ∵tanA= OCAC = 3 ， ∴∠A=60°， ∵OA⊥OB， ∴∠AOB=90°， ∴∠B=30°， ∴OB=2OC﹣2 3 ， ∴S△AOB= 12OA?OB = 12×2×23 =2 3 ， ∵S△AOP= 12 S△AOB ， ∴ 12×OP×AC=12×23 ， ∵AC=1， ∴OP=2 3 ， ∴点P的坐标为（﹣2 3 ，0）．
【点评】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出答案；（2）求出∠A=60°，∠B=30°，求出线段OA和OB，求出△AOB的面积，根据已知S△AOP= 12 S△AOB ， 求出OP长，即可求出答案．
19．（2018?泉州摸底）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝mx（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC＝BC．
（1）求一次函数、反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出kx+b＜mx的x的取值范围；
（3）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．
【答案】（1）y＝14x+1；y＝8x；（2）0＜x＜4；（3）存在；D（8，1）．
【解析】（1）先根据题意得出P点坐标，再将A、P两点的坐标代入y=kx+b求出kb的值，故可得出一次函数的解析式，把点P（4，2）代入反比例函数y=mx即可得出m的值，进而得出结论；
（2）利用图象法，写出反比例函数图象想一次函数图象的上方的自变量的取值范围即可；
（3）根据PB为菱形的对角线与PC为菱形的对角线两种情况进行讨论即可．
解：（1）∵AC＝BC，CO⊥AB，A（﹣4，0），
∴O为AB的中点，即OA＝OB＝4，
∴P（4，2），B（4，0），
将A（﹣4，0）与P（4，2）代入y＝kx+b得：?4k+b=04k+b=2，
解得：k=14b=1，
∴一次函数解析式为y＝14x+1，
将P（4，2）代入反比例解析式得：m＝8，即反比例解析式为y＝8x．
（2）观察图象可知，kx+b＜mx时，x的取值范围0＜x＜4．
（3）如图所示，
∵点C（0，1），B（4，0）
∴BC＝42+12=17，PC＝17，
∴以BC、PC为边构造菱形，
当四边形BCPD为菱形时，
∴PB垂直且平分CD，
∵PB⊥x轴，P（4，2），
∴点D（8，1）．
把点D（8，1）代入y＝8x，得左边＝右边，
∴点D在反比例函数图象上．，
∵BC≠PB，
∴以BC、PB为边不可能构造菱形，
同理，以PC、PB为边也不可能构造菱形．
综上所述，点D（8，1）．
【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
20．（2018?枣庄模拟）为预防“手足口病”，某校对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为8mg．据以上信息解答下列问题：
（1）从消毒开始，经多长时间，教室内每立方米空气含药量为4mg．
（2）当每立方米空气中含药量低于1.6mg时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，经多长时间学生才可以回教室？
【答案】（1）从消毒开始，经5分钟和20分钟，教室内每立方米空气含药量为4mg；（2）从消毒开始经过50分钟学生才可返回教室．
【解析】（1）首先根据题意，药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y与燃烧时间x成正比例；燃烧后，y与x成反比例，且其图象都过点（10，8），将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式，分别求出函数解析式，再计算出y=4时，x的值即可；
（2）根据题意可知得80x＜1.6，解不等式即可．
解：（1）设药物燃烧阶段函数解析式为y=k1x（k1≠0），由题意得：8=10k1，
∴k1=45，
∴此阶段函数解析式为y=45x（0≤x≤10）．
当y=4时，x=5；
设药物燃烧结束后函数解析式为y=k2x（k2≠0），由题意得：k210 =8，
∴k2=80，
∴此阶段函数解析式为y=80x（x≥10）．，
当y=4时，x=20，
答：从消毒开始，经5分钟和20分钟，教室内每立方米空气含药量为4mg；
（2）当y＜1.6时，得80x＜1.6，
∵x＞0，
∴1.6x＞80，
解得x＞50．
答：从消毒开始经过50分钟学生才可返回教室．
【点评】本题主要考查了一次函数、反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
