6.4 二次函数
一、二次函数的定义：
一般地，形如________（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，其中________是二次项系数，________是一次项系数，________是常数项．
注意：(1)等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．
(2)二次项系数a≠________．
二、二次函数的基本形式
1./的性质：
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
________
________
________
时，随的增大而_____；时，随的增大而_____；时，有最___值0．
________
________
________
时，随的增大而____；时，随的增大而____；时，有最____值0．
2. 的性质：（上加下减）
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
________
________
________
时，随的增大而____；时，随的增大而____；时，有最小值____．
________
________
________
时，随的增大而____；时，随的增大而____；时，有最大值____．
3. 的性质：（左加右减）
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
________
________
________
时，随的增大而____；时，随的增大而____；时，有最____值0．
________
________
________
时，随的增大而____；时，随的增大而____；时，有最大值____．
4. 的性质：
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
________
________
________
时，随的增大而____；时，随的增大而____；时，有最____值．
________
________
________
时，随的增大而____；时，随的增大而____；时，有最____值．
三、二次函数的图象及性质：
二次函数(a≠0)的图象是一条________，对称轴为________，顶点坐标为________．
1、如果，抛物线开口________，当时，随的增大而________；当时，随的增大而________；当时，有最小值________．
2、当时，抛物线开口________，当时，随的增大而________；当时，随的增大而________；当时，有最大值________．
四、二次函数图象的画法
1、五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式________，确定其开口________、对称轴及________，然后在对称轴两侧，左右________地描点画图.
一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
2、画草图时应抓住以下几点：开口方向，________，顶点，与轴的________，与轴的________.
五、二次函数的解析式
1、一般式：________．
若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为，将已知条件代入，求出a、b、c的值．
2、顶点式：________．
若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，设所求二次函数为，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式．
3、两交点式：________．
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，设所求二次函数为，将第三点(m，n)的坐标(其中m、n为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式．
注意：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1、已知抛物线上三点的坐标，一般选用________；
2、已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用________；
3、已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用________；
4、已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用________．
六、二次函数的图象与系数的关系
1、二次项系数a：
|a|的大小决定抛物线的开口大小．|a|越大，抛物线的开口________，|a|越小，抛物线的开口________．
2. 一次项系数：
在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的________．
⑴ 在的前提下，
当时，，即抛物线的对称轴在轴________；
当时，，即抛物线的对称轴就是________；
当时，，即抛物线对称轴在轴的________．
⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即
当时，，即抛物线的对称轴在轴________；
当时，，即抛物线的对称轴就是________；
当时，，即抛物线对称轴在轴的________．
总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．
的符号的判定：对称轴在轴________则，在轴的________则，在轴上则ab＝________，概括的说就是“________同________异”
3、常数项c：
c的大小决定抛物线与y轴的交点位置．c＝0时，抛物线过________；c＞0时，抛物线与y轴交于________；c＜0时，抛物线与y轴交于________．
七、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标________；
⑵保持抛物线的形状________，将其顶点平移到________处，具体平移方法如下：
/
2. 平移规律
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“________加________减，________加下________”．
方法二：
⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）
⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）
八、二次函数与一元二次方程：
1、抛物线y=ax2 +bx+c，当y=________时，抛物线便转化为一元二次方程ax2 +bx+c=0
2、抛物线y=ax2 +bx+c与x轴交点的________是一元二次方程ax2 +bx+c=0（a≠0）的根。
（1）>0时，一元二次方程________实根，二次函数图像与x轴________交点；
（2）=0时，一元二次方程________实根，二次函数图像与x轴________交点；
（3）<0时，一元二次方程________实根，二次函数图像与x轴________交点
考点一：二次函数的定义
已知y=（m+2）x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为（ ）
A. ﹣2 B. 2 C. ±2 D. 0
变式跟进1如图，这是小明在阅读一本关于函数的课外读物时看到的一段文字，则被墨迹污染的二次项系数是__________．
/
考点二：二次函数基本形式的图象和性质
已知二次函数y=a（x﹣2）2+c（a＞0），当自变量x分别取、3、0时，对应的函数值分别为y1、y2、y3 ， 则y1、y2、y3的大小关系是（?? ）
A. y1＞y2＞y3??????????? B. y2＞y1＞y3?????????? C. y3＞y1＞y2??????? D. y3＞y2＞y1
变式跟进2，函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A. / B. / C. / D. /
考点三：二次函数 的图象和性质
已知二次函数y＝x2－2x－3．
(1)用配方法将表达式化为y＝(x－h)2＋k的形式；
(2)求这个函数图象与x轴的交点坐标．
变式跟进3如图，抛物线y=ax2+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标
（3）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D的坐标．
/
考点四：二次函数图象的画法
已知二次函数y=﹣x2+2x+3．
（1）画出这个函数的图象；
（2）根据图象，直接写出；
①当函数值y为正数时，自变量x的取值范围；
②当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围．
/
变式跟进4如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，D是抛物线的顶点，E是对称轴与x轴的交点．
（1）求抛物线的解析式，并在﹣4≤x≤2范围内画出此抛物线的草图；
（2）若点F和点D关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，过点P作PQ∥OF交抛物线于点Q，是否存在以点O、F、P、Q为顶点的平行四边形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
/
考点五：求二次函数的解析式
已知二次函数的图象与x轴的两个交点坐标是（﹣3，0）和（4，0），这个函数也过点（6，18），求这个二次函数的解析式．
变式跟进5如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求b、c的值；
（2）P为抛物线上的点，且满足S△PAB=8，求P点的坐标．
/
考点六：二次函数图象的平移
抛物线的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为，则、的值为（ ）
A. B. C. D.
变式跟进6已知抛物线y=﹣2x2﹣/4x+1．
（1）求这个抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）将这个抛物线平移，使顶点移到点P（2，0）的位置，写出所得新抛物线的表达式和平移的过程．
考点七：二次函数图象的位置与a、b、c的关系
已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②a﹣b+c＜0；③4a+b+c=0；④抛物线的顶点坐标为（2，b）；⑤当x＜1时，y随x增大而增大．其中结论正确的是（ ）
/
A. ①②③ B. ①④⑤ C. ①③④ D. ③④⑤
变式跟进7如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：
①ac＜0； ②方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=3
③a+b+c＞0 ④当x＞1时，y随x的增大而增大．
正确的说法有_____．
/
考点八： 二次函数的最值问题
已知二次函数，当时，y的最大值为5，则实数的值为_______.
变式跟进8如图，二次函/数y=ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）
（1）求此二次函数的解析式，并求出抛物线的顶点坐标；
（2）在抛物线上存在点P，使△AOP的面积为10？求出点P的坐标．
/
考点九： 二次函数应用题
如图，有长为24 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10 m)围成中间隔着一道篱笆的长方形花圃．
(1)现要围成面积为45 m2的花圃，则AB的长是多少米？
(2)现要围成面积为48 m2的花圃能行吗？若能行，则AB的长是多少？若不能行，请说明理由．
/
变式跟进9在黄州服装批发市场，某种品牌的时装当季节将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始保持30元的价格平稳销售；从第12周开始，当季节即将过去时，平均每周减价2元，直到第16周周末，该服装不再销售．
（1）试建立销售价y与周次x之间的函数关系式；
（2）若这种时装每件进价Z与周次x次之间的关系为Z=﹣0.125（x﹣8）2+12，1≤x≤16，且x为整数，试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大？最大利润为多少？
考点十： 二次函数综合题
综合探究：如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣+bx+8与x轴交于点A（﹣6，0）和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点P为线段AO上的一个动点，过点P作x轴的垂线l与抛物线交于点E，连接AE、EC．
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）连接AC交直线l于点D，则在点P运动过程中，当点D为EP中点时，S△ADP：S△CDE= ；
（3）如图2，当EC∥x轴时，点P停止运动，此时，在抛物线上是否存在点G，使得以点A、E、G为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点G的坐标，若不存在，说明理由．
/
变式跟进10如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC=2OA．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）直线y=kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m=，试求m的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
/
一、单选题
1.（2016?龙东）如图，直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t，正方形与三角形不重合部分的面积为s（阴影部分），则s与t的大致图象为（ ） /
A.?/?????????????/B.?/?????????????/C.?/?????????????/D.?/
2．（2016?泸州）已知二次函数??=??
??
2
??????2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a﹣b为整数时，ab的值为（ ）
A．
3
4
或1 B．
1
4
或1 C．
3
4
或
1
2
D．
1
4
或
3
4
3.（2017?襄阳）将抛物线y=2（x﹣4）2﹣1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（?? ）
A.?y=2x2+1?????????????????/B.?y=2x2﹣3?????????????????/C.?y=2（x﹣8）2+1?????????????????/D.?y=2（x﹣8）2﹣3
4.（2017?长沙）抛物线y=2（x﹣3）2+4顶点坐标是（?? ）
A.?（3，4）????????????????????????/B.?（﹣3，4）????????????????????????/C.?（3，﹣4）????????????????????????/D.?（2，4）
5.（2017?盘锦）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n），与y轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），则下列结论：①abc＞0；②3a+b＜0；③﹣
4
3
≤a≤﹣1；④a+b≥am2+bm（m为任意实数）；⑤一元二次方程ax2+bx+c=n有两个不相等的实数根，其中正确的有（?? ） /
A.?2个?????????????????????????????????B.?3个???????????????????????????C.?4个?????????????????????????????D.?5个
6．（2018?上海）下列对二次函数y=x2﹣x的图象的描述，正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．经过原点 D．在对称轴右侧部分是下降的
7．（2018?荆门）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①4a+2b+c＞0；②5a﹣b+c=0；③若方程a（x+5）（x﹣1）=﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（ ）
/
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2018?玉林）如图，一段抛物线y=﹣x2+4（﹣2≤x≤2）为C1，与x轴交于A0，A1两点，顶点为D1；将C1绕点A1旋转180°得到C2，顶点为D2；C1与C2组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l与新图象交于点P1（x1，y1），P2（x2，y2），与线段D1D2交于点P3（x3，y3），设x1，x2，x3均为正数，t=x1+x2+x3，则t的取值范围是（ ）
/
A．6＜t≤8 B．6≤t≤8 C．10＜t≤12 D．10≤t≤12
二、填空题
9．（2016?南平）写出一个y关于x的二次函数的解析式，且它的图象的顶点在y轴上： ．
10．（2016?日照）如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2 m时，水面宽度为4 m；那么当水位下降1m后，水面的宽度为_________m.
/
11.（2017?广州）当x=________时，二次函数y=x2﹣2x+6有最小值________．
12.（2017?百色）经过A（4，0），B（﹣2，0），C（0，3）三点的抛物线解析式是________．
13.（2017?贺州）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②2a+b＜0；③b2﹣4ac=0；④8a+c＜0；⑤a：b：c=﹣1：2：3，其中正确的结论有_______．
/
14．（2018?沈阳）如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），当AB=_____m时，矩形土地ABCD的面积最大．
/
15．（2018?淄博）已知抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（m＞0）个单位长度，平移后的抛物线与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，则m的值为__________．
16．（2018?遵义）如图抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为_____．
/
三、解答题
17．（2018?雅安）已知Rt△ABC中，∠B=90°，AC=20，AB=10，P是边AC上一点（不包括端点A、C），过点P作PE⊥BC于点E，过点E作EF∥AC，交AB于点F．设PC=x，PE=y．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）是否存在点P使△PEF是Rt△？若存在，求此时的x的值；若不存在，请说明理由．
/
18.（2017?湖州）如图，在平面直角坐标系 ?????? 中，已知 ?? ， ?? 两点的坐标分别为 (?4,0) ， (4,0) ， C(??,0) 是线段 ???? 上一点（与 ?? ， ?? 点不重合），抛物线
L
1
: ??=??
??
2
+
??
1
??+
??
1
（ ??<0 ）经过点 ?? ， C ，顶点为 D ，抛物线
L
2
: ??=??
??
2
+
??
2
??+
??
2
（ ??<0 ）经过点 C ， ?? ，顶点为 ?? ， ??D ， ???? 的延长线相交于点 F ． （1）若 ??=?
1
2
， ??=?1 ，求抛物线
L
1
，
L
2
的解析式；
（2）若 ??=?1 ， ??F⊥??F ，求 ?? 的值；
（3）是否存在这样的实数 ?? （ ??<0 ），无论 ?? 取何值，直线 ??F 与 ??F 都不可能互相垂直？若存在，请直接写出 ?? 的两个不同的值；若不存在，请说明理由．
/
19．（2018?南通）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线??=
??
2
?2(???1)??+
??
2
?
5
2
??(k为常数）．
（1）若抛物线经过点(1,k2)，求k的值；
（2）若抛物线经过点(2k,y1)和点(2,y2)，且y1>y2，求k的取值范围；
（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值?
3
2
，求k的值．
20．（2018?海南）如图1，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上．
①求四边形ACFD的面积；
②点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接AQ、DQ，当△AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标．
/
一、单选题
1.（2017·温州一模）已知抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，顶点坐标为（2，﹣3），那么该抛物线有（?? ）
A.?最小值﹣3???????????????????????????/B.?最大值﹣3???????????????????????????/C.?最小值2???????????????????????????/D.?最大值2
2.（2017·兰州二模拟）以x为自变量的二次函数y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是（?? ）
A.?b≥
5
4
??????????????????????????????/B.?b≥1或b≤﹣1??????????????????????????????/C.?b≥2??????????????????????????????/D.?1≤b≤2
3.（2017·承德一模）如图，对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，得出了下面五条信息：①c＞0；②b=6a；③b2﹣4ac＞0；④a+b+c＜0；⑤对于图象上的两点（﹣6，m ）、（1，n），有m＜n．其中正确信息的个数有（?? ） /
A.?2个???????????????????????????????????????B.?3个???????????????????????????????????????C.?4个???????????????????????????????????????D.?5个
4.（2017·广州一模）如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1 ， 它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2 ， 交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3 ， 交x轴于A3；…如此进行下去，若点P（2017，m）在第1009段抛物线C1009上，则m的值为（?? ） /
A.?﹣1???????????????????????????????????????/B.?0???????????????????????????????????????/C.?1???????????????????????????????????????/D.?不确定
5.（2017·济宁模拟）二次函数y=x2+bx的图象如图，对称轴为直线x=1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（?? ）
/
A.?t≥﹣1?????????????????????????????B.?﹣1≤t＜3?????????????????????????????C.?﹣1≤t＜8?????????????????????????????D.?3＜t＜8
6．（2018?慈溪模拟）将抛物线??=
1
2
(??+2)
2
+5绕着点（0，3）旋转180°以后，所得图象的解析式是（ ）．
A．??=?
1
2
(??+2)
2
+5 B．??=?
1
2
(???2)
2
?5
C．??=?
1
2
(???2)
2
+2 D．??=?
1
2
(???2)
2
+1
7．（2018?天津二模）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B，顶点为P，若△ABP组成的三角形恰为等腰直角三角形，则b2﹣4ac的值为（ ）
A．1 B．4 C．8 D．12
8．（2018?淮南模拟）若A(-1,y1)，B(-2,y2)，C(2,y3)为二次函数y=ax2-2ax+m (a＞0)的图象上的三点，则y1,y2,y3的大小关系是（ ）
A．
??
1
<
??
2
<
??
3
B．
??
2
<
??
1
<
??
3
C．
??
3
<
??
1
<
??
2
D．
??
1
<
??
3
<
??
2
9．（2018?桂林二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①c<0；②2a+b=0；③a+b+c<0；④b2-4ac<0，其中正确的有( )
/
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2018?红河州模拟）二维码已经给我们的生活带来了很大方便，它是由大小相同的黑白两色的小正方形（如图1中C）按某种规律组成的一个大正方形，现有25×25格式的正方形如图1，角上是三个7×7的A型大黑白相间正方形，中间右下一个5×5的B型黑白相间正方形，除这4个正方形外，若其他的小正方形白色块数y与黑色块数x正好满足如图2所示的函数图象，则该25×25格式的二维码共有多少块黑色的C型小正方形（ ）
/
A．153 B．218 C．100 D．216
二、填空题
11.（2017·长春一模）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（3，0）在该抛物线上，则a﹣b+c的值为________．
/
12.（2017·苏州一模）如图，二次函数Y=﹣
1
2
x2﹣
3
2
x+2象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，则四边形OCDA的面积的最大值是________．
/
13.（2017·孝感模拟）如图，某小区规划在一个长为16m、宽为9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为112m2 ， 求小路的宽度．若设小路的宽度为xm，则x满足的方程为________． /
14．（2018?鞍山模拟）隧道的截面是抛物线，且抛物线的解析式为y=，一辆车高3m， 宽4m， 该车________通过该隧道．(填“能”或“不能”)
15．（2018?长沙模拟）如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2），则求不等式x2+bx+c≤x+m的解集_____．
/
16．（2018?西安三模）如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y=
??
??
（k＞0）的图象与BC边交于点E．当常数k=_____时，△EFA的面积有最大值，其最大面积=_____．
/
三、解答题
17.（2017·天津二模）已知直线l：y=kx和抛物线C：y=ax2+bx+1． （Ⅰ）当k=1，b=1时，抛物线C：y=ax2+bx+1的顶点在直线l：y=kx上，求a的值； （Ⅱ）若把直线l向上平移k2+1个单位长度得到直线r，则无论非零实数k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点； （i）求此抛物线的解析式； （ii）若P是此抛物线上任一点，过点P作PQ∥y轴且与直线y=2交于点Q，O为原点，求证：OP=PQ．
18. （2017·深圳模拟）甲、乙两个仓库向A、B两地运送水泥，已知甲库可调出100吨水泥，乙库可调出80吨水泥，A地需70吨，B地需110吨水泥，两库到A，B两地的路程和费用如下表：（表中运费“元/吨·千米”表示每吨水泥运送1千米所需要人民币）.
路程（千米）
运费（元/吨·千米）
甲库
乙库
甲库
乙库
A地
20
15
12
12
B地
25
20
10
8
设甲库运往A地水泥x吨，总运费W元.
（1）写出w关于x的函数关系式，并求x为何值时总运费最小？
（2）如果要求运送的水泥数是10吨的整数倍，且运费不能超过38000元，则总共有几种运送方案？
19．（2018?保定三模）如图，儿童游乐场有一项射击游戏．从O处发射小球，将球投入正方形篮筐DABC．正方形篮筐三个顶点为A（2，2），B（3，2），D（2，3）．小球按照抛物线y＝﹣x2+bx+c 飞行．小球落地点P 坐标（n，0）
（1）点C坐标为 ；
（2）求出小球飞行中最高点N的坐标（用含有n的代数式表示）；
（3）验证：随着n的变化，抛物线的顶点在函数y＝x2的图象上运动；
（4）若小球发射之后能够直接入篮，球没有接触篮筐，请直接写出n的取值范围．
/
20．（2018?宝鸡二模）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，2）
(1)求抛物线的表达式；
(2)抛物线的对称轴与x轴交于点M，点D与点C关于点M对称，试问在该抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BMP与△ABD相似？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．
/
/
6.4 二次函数
一、二次函数的定义：
一般地，形如（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项．
注意：(1)等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．
(2)二次项系数a≠0．
二、二次函数的基本形式
1./的性质：
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
(0，0)
y轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值0．
向下
(0，0)
y轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值0．
2. 的性质：（上加下减）
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
(0，c)
y轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
(0，c)
y轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
3. 的性质：（左加右减）
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
x=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值0．
向下
x=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值0．
4. 的性质：
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
x=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
x=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
三、二次函数的图象及性质：
二次函数(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴为，顶点坐标为．
1、如果，抛物线开口向上，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．
2、当时，抛物线开口向下，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．
四、二次函数图象的画法
1、五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.
一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
2、画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
五、二次函数的解析式
1、一般式：．
若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为，将已知条件代入，求出a、b、c的值．
2、顶点式：．
若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，设所求二次函数为，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式．
3、两交点式：．
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，设所求二次函数为，将第三点(m，n)的坐标(其中m、n为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式．
注意：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1、已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2、已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3、已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两交点式；
4、已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
六、二次函数的图象与系数的关系
1、二次项系数a：
|a|的大小决定抛物线的开口大小．|a|越大，抛物线的开口越小，|a|越小，抛物线的开口越大．
2. 一次项系数：
在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．
⑴ 在的前提下，
当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．
⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即
当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．
总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．
的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，在轴上则ab＝0，概括的说就是“左同右异”
3、常数项c：
c的大小决定抛物线与y轴的交点位置．c＝0时，抛物线过原点；c＞0时，抛物线与y轴交于正半轴；c＜0时，抛物线与y轴交于负半轴．
七、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
/
2. 平移规律
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．
方法二：
⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）
⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）
八、二次函数与一元二次方程：
1、抛物线y=ax2 +bx+c，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax2 +bx+c=0
2、抛物线y=ax2 +bx+c与x轴交点的横坐标x1, x2 是一元二次方程ax2 +bx+c=0（a≠0）的根。
（1）>0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x轴有两个交点；
（2）=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x轴有一个交点；
（3）<0时，一元二次方程没有实根，二次函数图像与x轴没有交点
考点一：二次函数的定义
已知y=（m+2）x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为（ ）
A. ﹣2 B. 2 C. ±2 D. 0
【答案】B
【解析】解：是关于的二次函数,
解得：
故选B.
【点评】利用二次函数的定义即可得出答案.
变式跟进1如图，这是小明在阅读一本关于函数的课外读物时看到的一段文字，则被墨迹污染的二次项系数是__________．
/
【答案】－2
【解析】解：由题意得?
5
2??
=
5
4
,所以a=-2.
【点评】利用对称轴公式即可得出结果.
考点二：二次函数基本形式的图象和性质
已知二次函数y=a（x﹣2）2+c（a＞0），当自变量x分别取、3、0时，对应的函数值分别为y1、y2、y3 ， 则y1、y2、y3的大小关系是（?? ）
A. y1＞y2＞y3??????????? B. y2＞y1＞y3?????????? C. y3＞y1＞y2??????? D. y3＞y2＞y1
【答案】D
【解析】解：∵a>0，
∴二次函数图象开口向上，
又∵对称轴为直线x=2，
∴x分别取时,对应的函数值分别为最小最大，
故选D.
【点评】利用二次函数的增减性即可判断.
变式跟进2，函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A. / B. / C. / D. /
【答案】D
【解析】解：当a＞0时，函数y=的图象位于一、三象限，y=﹣ax2+a的开口向下，交y轴的正半轴，没有符合的选项，
当a＜0时，函数y=的图象位于二、四象限，y=﹣ax2+a的开口向上，交y轴的负半轴，D选项符合；
故选D．
【点评】根据二次函数与反比例函数的图象特点对选项一一判断即可.
考点三：二次函数 的图象和性质
已知二次函数y＝x2－2x－3．
(1)用配方法将表达式化为y＝(x－h)2＋k的形式；
(2)求这个函数图象与x轴的交点坐标．
【答案】（1）(x－1)2－4；（2）图象与x轴的交点坐标为(3，0)，(－1，0)．
【解析】解：(1)y＝(x2－2x＋1)－4＝(x－1)2－4；
(2)令y＝0，得x2－2x－3＝0，
解得x1＝3，x2＝－1，
函数图象与x轴的交点坐标为(3，0)，(－1，0)．
【点评】（1）利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可；（2）令y=0，得到关于x的一元二次方程，解方程即可．
变式跟进3如图，抛物线y=ax2+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标
（3）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D的坐标．
/
【答案】（1）y=﹣x2+3x+4；（2）顶点坐标为；（3）D的坐标是（3，4）．
【解析】解：（1）把点A（﹣1，0）、C（0，4）代入y=ax2+bx﹣4a得：
/，
解得：a=﹣1，b=3，
二次函数的解析式为y=﹣x2+3x+4；
（2）y=﹣x2+3x+4，
﹣/=﹣/=/，y=﹣（/）2+3×/+4=/，
所以顶点坐标为/；
（3）把点D（m，m+1）代入解析式y=﹣x2+3x+4得：m+1=﹣m2+3m+4，
m2﹣2m﹣3=0，
解得：m=3或﹣1，
∵点D在第一象限，
∴m=3，m+1=4，
点D的坐标是（3，4）．
【点评】（1）抛物线y=ax2+bx-4a经过A（-1，0）、C（0，4）两点，利用待定系数法即可确定抛物线的解析式；（2）先根据求出顶点横坐标，再代入到解析式求出顶点纵坐标；（2）由于点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，把D的坐标代入（1）中的解析式即可求出m，从而求出点D的坐标.
考点四：二次函数图象的画法
已知二次函数y=﹣x2+2x+3．
（1）画出这个函数的图象；
（2）根据图象，直接写出；
①当函数值y为正数时，自变量x的取值范围；
②当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围．
/
【答案】(1)见解析；（2）①﹣1＜x＜3；②﹣5＜y＜4．
【解析】解：（1）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴函数图象的顶点坐标（1，4）；
函数的图象如图：
/
（2）根据图象可知：
①函数值y为正数时，自变量x的取值范围为﹣1＜x＜3；
②当﹣2＜x＜2时，函数/值y的取值范围﹣5＜y＜4．
【点评】（1）把二次函数的一般式转化成顶点式即可求得顶点坐标；根据5点画出函数的图象；
（2）①根据函数的图象即可求得；②根据函数的图象即可求得.
变式跟进4如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，D是抛物线的顶点，E是对称轴与x轴的交点．
（1）求抛物线的解析式，并在﹣4≤x≤2范围内画出此抛物线的草图；
（2）若点F和点D关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，过点P作PQ∥OF交抛物线于点Q，是否存在以点O、F、P、Q为顶点的平行四边形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
/
【答案】（1）见解析（2）P1（﹣2，0），P2（2，0），P3（﹣2，0）．
【解析】解：（1）根据题意得： ，解得： ，
∴解析式为y=﹣x2﹣2x+3．
当x=﹣=﹣1时，y=4，
∴顶点D的坐标为（﹣1，4），
∴点F的坐标为（﹣1，﹣4）．
此抛物线的草图如图所示
/
（2）若以O、F、P、Q为顶点的平行四边形存在，
则点Q（x，y）必须满足|y|=|EF|=4．
①当y=﹣4时，﹣x2﹣2x+3=﹣4，
解得，x=﹣1±2，
∴Q1（﹣1﹣2，﹣4），Q2（﹣1+2，﹣4）
∴P1（﹣2，0），P2（2，0）．
②当y=4时，﹣x2﹣2x+3=4，
解得，x=﹣1，
∴Q3（﹣1，4），
∴P3（﹣2，0），
综上所述，符合条件的点有三个即：
P1（﹣2，0），P2（2，0），P3（﹣2，0）．
【点评】（1）将A（﹣3，0）、B（1，0）两点带入二次函数表达式，即可求得二次函数解析式，以及顶点D的坐标。进而画出在﹣4≤x≤2范围内此抛物线的草图，可运用描点法画。（2）若存在以点O、F、P、Q为顶点的平行四边形，则F、Q纵坐标的绝对值相等。点F 的坐标已知，可分情况讨论，求点Q坐标，从而求得P点坐标。
考点五：求二次函数的解析式
已知二次函数的图象与x轴的两个交点坐标是（﹣3，0）和（4，0），这个函数也过点（6，18），求这个二次函数的解析式．
【答案】y=x2﹣x﹣12
【解析】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）．
根据题意，得，
解得： ，
∴二次函数的解析式为y=x2﹣x﹣12．
【点评】设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），再把函数的图象与x轴的两个交点坐标以及点（6，18）代入求出a，b，c的值即可．
变式跟进5如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求b、c的值；
（2）P为抛物线上的点，且满足S△PAB=8，求P点的坐标．
/
【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）当P点的坐标分别为 、（1，﹣4）时，S△PAB=8．
【解析】解： (1)∵抛物线与x轴的两个交点分别为A(?1,0),B(3,0)
∴
解得:
∴所求抛物线的解析式为：
(2)设点P的坐标为(x,y)，由题意，得
∴|y|=4，
∴y=±4
当y=4时,
当y=?4时,
∴x=1.
∴当P点的坐标分别为时,
【点评】（1）由题意抛物线与轴交于两点，设出函数的解析式，再根据待定系数法求出的值；（2）根据点在抛物线上设出点，然后再由，从而求出点坐标．
考点六：二次函数图象的平移
抛物线的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为，则、的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：函数y＝(x－1)2－4的顶点坐标为（1，－4），
∵是向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到，
∴1－2＝－1，－4＋3＝－1，
∴平移前的抛物线的顶点坐标为（－1，－1），
∴平移前的抛物线为y＝(x＋1)2－1，
即y＝x2＋2x，
∴b＝2，c＝0．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：上加下减，左加右减，利用顶点的变化确定函数解析式可以使计算更加简便．
变式跟进6已知抛物线y=﹣2x2﹣/4x+1．
（1）求这个抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）将这个抛物线平移，使顶点移到点P（2，0）的位置，写出所得新抛物线的表达式和平移的过程．
【答案】（1）对称轴是直线x=﹣1，顶点坐标为（﹣1，3）；（2）y=﹣2（x﹣2）2，平移过程为：向右平移3个单位，向下平移3个单位．
【解析】解：（1）y=﹣2x2﹣4x+1，
=﹣2（x2+2x+1）+2+1，
=﹣2（x+1）2+3，
所以，对称轴是直线x=﹣1，
顶点坐标为（﹣1，3）；
（2）∵新顶点P（2，0），
∴y=﹣2（x﹣2）2，
∵2﹣（﹣1）=2+1=3，
0﹣3=﹣3，
∴平移过程为：向右平移3个单位，向下平移3个单位．
【点评】（1）根据配方法的操作进行整理即可得解；（2）根据顶点写出新的顶点式形式，再根据顶点的变化确定平移方法．
考点七：二次函数图象的位置与a、b、c的关系
已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②a﹣b+c＜0；③4a+b+c=0；④抛物线的顶点坐标为（2，b）；⑤当x＜1时，y随x增大而增大．其中结论正确的是（ ）
/
A. ①②③ B. ①④⑤ C. ①③④ D. ③④⑤
【答案】C
【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标（4，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（0，0），故①正确，
当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，故②错误，
∵，得4a+b=0，b=﹣4a，
∵抛物线过点（0，0），则c=0，
∴4a+b+c=0，故③正确，
∴y=ax2+bx=a（x+）2﹣=a（x+）2﹣=a（x﹣2）2/﹣4a=a（x﹣2）2+b，
∴此函数的顶点坐标为（2，b），故④正确，
当x＜1时，y随x的增大而减小，故⑤错误，
故选C．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质.熟练应用二次函数的图象和性质进推理判断是解题的关键.
变式跟进7如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：
①ac＜0； ②方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=3
③a+b+c＞0 ④当x＞1时，y随x的增大而增大．
正确的说法有_____．
/
【答案】①②③．
【解析】解：∵抛物线的开口向下，
∴??<0，
∵与??轴的交点为在??轴的正半轴上，
∴??>0，
∴????<0， 故①正确；
∵对称轴为??=1， 抛物线与??轴的一个交点为
3，0
，
∴另一个交点为
?1，0
，
∴方程??
??
2
+????+??=0 的根是
??
1
=?1，
??
2
=3，
故②正确；
当??=1时，??=??+??+??>0，
故③正确；
∴??,??异号，即??<0，
当??>1时，??随??的增大而减小，故④错误．
∴其中正确的说法有①②③；
故答案为：①②③．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质. 解题的关键在于熟练应用二次函数的图象和性质进推理判断.
考点八： 二次函数的最值问题
已知二次函数，当时，y的最大值为5，则实数的值为_______.
【答案】或1
【解析】解：二次函数的对称轴为直线x＝＝－2，
①a＞0时，在－4≤x≤1范围内，当x＝1时，取得最大值，
a×12＋4a×1＋a2－1＝5，
整理得，a2＋5a－6＝0，
解得a1＝1，a2＝－6（舍去），
②a＜0时，当x＝－2时，取得最大值，
a×（－2）2＋4a×（－2）＋a2－1＝5，
整理得，a2－4a－6＝0，
解得a1＝2－，a2＝2＋（舍去），
所以实数a的值为2－或1．
故答案为：2－或1．
【点评】利用分类讨论的思想进行解题.
变式跟进8如图，二次函/数y=ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）
（1）求此二次函数的解析式，并求出抛物线的顶点坐标；
（2）在抛物线上存在点P，使△AOP的面积为10？求出点P的坐标．
/
【答案】（1）y=﹣x2﹣4x；（2）P坐标为（﹣5，﹣5），（1，﹣5）．
【解析】
解：（1）把（0，0）与（﹣4，0）代入得：
??=0
16??+16=0
，
解得：a=﹣1，c=0，
则抛物线解析式为y=﹣x2﹣4x；
（2）∵AO=4，S△AOP=10，
∴|yP纵坐标|=5，即yP纵坐标=5或yP纵坐标=﹣5，
把y=5代入抛物线解析式得：x2+4x+5=0，方程无解；
把y=﹣5代入抛物线解析式得：x2+4x﹣5=0，解得x=﹣5或x=1，
此时P坐标为（﹣5，﹣5），（1，﹣5）．
【点评】（1）把原点与A坐标代入解析式求出a与c的值，即可确定出解析式；
（2）由A与O坐标求出AO的长，根据三角形AOP面积为10，利用面积公式求出P纵坐标的绝对值为5，即P纵坐标为5或-5，把y=5或y=-5代入抛物线解析式求出x的值，即可确定出P坐标．
考点九： 二次函数应用题
如图，有长为24 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10 m)围成中间隔着一道篱笆的长方形花圃．
(1)现要围成面积为45 m2的花圃，则AB的长是多少米？
(2)现要围成面积为48 m2的花圃能行吗？若能行，则AB的长是多少？若不能行，请说明理由．
/
【答案】（1）AB的长为5 m；（2）不能围成面积为48 m2的花圃.
【解析】解：(1)设花圃的宽AB为x米,则BC=(24?3x)米，
x(24?3x)=45，
解得：
??
1
=3,
??
2
=5，
当x=3时，24?3x=15，不符合题意，
当x=5时，24?3x=9，符合题意，
答：AB的长应为5米.
(2)依题意得：x(24?3x)=48，
整理，得
(???4)
2
=0，
解得x=4.
则BC=24?3×4=14>10，
所以现要围成面积为48
??
2
的花圃，不能行..
【点评】（1）设花圃的宽AB为x米，用总长减去三个宽即为????的长，则BC=(24?3x)米，再利用矩形的面积公式列出方程求解即可．（2）根据题意列出方程，求得AB的长度，然后根据墙的最大可用长度a为10m进行判断．
变式跟进9在黄州服装批发市场，某种品牌的时装当季节将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始保持30元的价格平稳销售；从第12周开始，当季节即将过去时，平均每周减价2元，直到第16周周末，该服装不再销售．
（1）试建立销售价y与周次x之间的函数关系式；
（2）若这种时装每件进价Z与周次x次之间的关系为Z=﹣0.125（x﹣8）2+12，1≤x≤16，且x为整数，试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大？最大利润为多少？
【答案】
（1）y=；（2）第11周出售时，每件销售利润最大，最大利润为19元．
【解析】解：（1）依题意得，可建立的函数关系式为：
；
即y= ；
（2）设利润为W，则W=售价﹣进价
故W，
化简得W=
①当W=时．∵当x≥0，函数W随着x增大而增大．∵1≤x＜6，∴当x=5时，W有最大值，最大值=．
②当W=时．∵W=，当x≥8时，函数W随x增大而增大，
∴在x=11时，函数有最大值为；
③当W=时．∵W=，
∵12≤x≤16，当x≤16时，函数W随x增大而减小，
∴在x=12时，函数有最大值为18．
综上所述：当x=11时，函数有最大值为．
【点评】本题考查的是二次函数的运用，由于计算量大，考生在做这些题的时候要耐心细心．难度中上．此题是分段函数，题目所涉及的内容在求解过程中，要注意分段函数问题先分段解决，最后再整理、归纳得出最终结论，另外还要考虑结果是否满足各段的要求，这是解此类综合应用题目的特点．
考点十： 二次函数综合题
综合探究：如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣+bx+8与x轴交于点A（﹣6，0）和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点P为线段AO上的一个动点，过点P作x轴的垂线l与抛物线交于点E，连接AE、EC．
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）连接AC交直线l于点D，则在点P运动过程中，当点D为EP中点时，S△ADP：S△CDE= ；
（3）如图2，当EC∥x轴时，点P停止运动，此时，在抛物线上是否存在点G，使得以点A、E、G为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点G的坐标，若不存在，说明理由．
/
【答案】（1）C（0，8）（2）1：2（3）存在点G使得以点A，E，G为顶点的三角形为直角三角形，符合条件的G点的坐标为G（， ）或G（，﹣），
【解析】解：(1)∵点A(?6,0)在抛物线上，
∴
∴
令x=0，y=8，
∴C(0,8)
(2)设
∴P(m,0)，
∵点D为EP中点，
∴DP=DE,
∵A(?6,0),C(0,8)，
∴直线AC解析式为
∵点D在直线AC上，
∴
∴m=?6(舍)或m=?4，
∴P(?4,0)
∴AP=2，OP=4，
故答案为1:2
(3)存在点G使得以点A，E，G为顶点的三角形为直角三角形，
连接EG，AG，作GM⊥l，GN⊥x轴，
∵EC∥x轴，
∴EP=CO=8，
把y=8代入
∴
∴x=0(舍)，或x=?2，
∴P(?2,0)，
∴AP=AO?PO=4，
Ⅰ、如图1，
/
当 时，
∴
∵
∴∠MEG=∠EAP，
∵
∴△EMG∽△APE，
∴
设点
∴
MG=PN=PO+ON=2+m，
∴ ∴m=?2(舍)或
∴
Ⅱ、如图2，
/
当时，
∴
∵
∴∠NAG=∠AEP，
∵
∴△GNA∽△APE，
∴
设点
∴AN=AO+ON=6+n，
∵
∴n=?6(舍),或
∴
符合条件的G点的坐标为或
【点评】（1）用待定系数法求出抛物线解析式，令求出轴交点坐标；（2）先确定出直线 解析式为设出点E的坐标，表示出点而点D在直线AC上，列出方程求出，从而得出结论；（3）先求出点的坐标，再分两种情况计算Ⅰ、当时，判断出△EMG∽△APE，得出比例式求解即可，Ⅱ、当时，判断出△GNA∽△APE，得到比例式计算．
变式跟进10如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC=2OA．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）直线y=kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m=，试求m的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
/
【答案】（1）y=﹣（x+2）（x﹣4）或y=﹣x2+x+4或y=﹣（x﹣1）2+．（2）最大值为，此时P（2，4）．（3）（，3）或（6，﹣3）．
【解析】解：（1）因为抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，设y=a（x+2）（x﹣4），
∵OC=2OA，OA=2，
∴C（0，4），代入抛物线的解析式得到a=﹣/，
∴y=﹣/（x+2）（x﹣4）或y=﹣/x2+x+4或y=﹣/（x﹣1）2+/．
（2）如图1中，作PE⊥x轴于E，交BC于F．
/
∵CD∥PE，
∴△CMD∽△FMP，
∴m=/=/，
∵直线y=kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1），
∵BC的解析式为y=﹣x+4，
设P（n，﹣/n2+n+4），则F（n，﹣n+4），
∴PF=﹣/n2+n+4﹣（﹣n+4）=﹣/（n﹣2）2+2，
∴m=/=﹣/（n﹣2）2+/，
∵﹣/＜0，
∴当n=2时，m有最大值，最大值为/，此时P（2，4）．
（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．
①当DP是矩形的边时，有两种情形，
a、如图2﹣1中，四边形DQNP是矩形时，
/
有（2）可知P（2，4），代入y=kx+1中，得到k=/，
∴直线DP的解析式为y=/x+1，可得D（0，1），E（﹣/，0），
由△DOE∽△QOD可得/=/，
∴OD2=OE?OQ，
∴1=/?OQ，
∴OQ=/，
∴Q（/，0）．
根据矩形的性质，将点P向右平移/个单位，向下平移1个单位得到点N，
∴N（2+/，4﹣1），即N（/，3）
b、如图2﹣2中，四边形PDNQ是矩形时，
/
∵直线PD的解析式为y=/x+1，PQ⊥PD，
∴直线PQ的解析式为y=﹣/x+/，
∴Q（8，0），
根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，
∴N（0+6，1﹣4），即N（6，﹣3）．
②当DP是对角线时，设Q（x，0），则QD2=x2+1，QP2=（x﹣2）2+42，PD2=13，
∵Q是直角顶点，
∴QD2+QP2=PD2，
∴x2+1+（x﹣2）2+16=13，
整理得x2﹣2x+4=0，方程无解，此种情形不存在，
综上所述，满足条件的点N坐标为（/，3）或（6，﹣3）．
【点评】试题分析：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣4），根据已知条件求得点C的坐标代入解析式求得a值，即可得抛物线的解析式；（2）作PE⊥x轴于E，交BC于F，易证△CMD∽△FMP，根据相似三角形的性质可得m=，设P（n，﹣n2+n+4），则F（n，﹣n+4），用n表示出PF的长，从而得到m、n的二次函数关系式，利用二次函数的性质解决问题即可；（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形，分DP是矩形的边和DP是矩形的对角线两种情况求点N的坐标.
一、单选题
1.（2016?龙东）如图，直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t，正方形与三角形不重合部分的面积为s（阴影部分），则s与t的大致图象为（ ） /
A.?/?????????????/B.?/?????????????/C.?/?????????????/D.?/
【答案】A
【解析】解：∵直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t，正方形与三角形不重合部分的面积为s， ∴s关于t的函数大致图象应为：三角形进入正方形以前s增大， 当0≤t≤
2
时，s=
1
2
×1×1+2×2﹣
1
2
×
??
2
=
9
2
﹣
1
2
t2； 当
2
＜t≤2时，s=
2
2
?
1
2
×12=
7
2
； 当2＜t≤3时，s=
9
2
﹣
1
2
（3﹣t）2= ?
1
2
t2﹣3t， ∴A符合要求，故选A． 【点评】根据直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形可知，当0≤t≤
2
时，以及当
2
＜t≤2时，当2＜t≤3时，求出函数关系式，即可得出答案．此题主要考查了函数图象中动点问题，根据移动路线以及图形边长即可得出函数关系式情况是解决问题的关键．
2．（2016?泸州）已知二次函数??=??
??
2
??????2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a﹣b为整数时，ab的值为（ ）
A．
3
4
或1 B．
1
4
或1 C．
3
4
或
1
2
D．
1
4
或
3
4
【答案】A
【解析】首先根据题意确定a、b的符号，然后进一步确定a的取值范围，根据a﹣b为整数确定a、b的值，从而确定答案．
解：依题意知a＞0，
??
2??
＞0，a+b﹣2=0，
故b＞0，且b=2﹣a，
a﹣b=a﹣（2﹣a）=2a﹣2，
于是0＜a＜2，
∴﹣2＜2a﹣2＜2，
又a﹣b为整数，
∴2a﹣2=﹣1，0，1，
故a=
1
2
，1，
3
2
，
b=
3
2
，1，
1
2
，
∴ab=
3
4
或1，故选A．
【点评】根据开口和对称轴可以得到b的范围。按照左同右异规则。当对称轴在y轴的左侧，则a,b符号相同，在右侧则a,b符号相反。
3.（2017?襄阳）将抛物线y=2（x﹣4）2﹣1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（?? ）
A.?y=2x2+1?????????????????/B.?y=2x2﹣3?????????????????/C.?y=2（x﹣8）2+1?????????????????/D.?y=2（x﹣8）2﹣3
【答案】A
【解析】解：抛物线y=2（x﹣4）2﹣1先向左平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为y=2（x﹣4+4）2﹣1，即y=2x2﹣1，再向上平移2个单位长度得到的抛物线解析式为y=2x2﹣1+2，即y=2x2+1； 故选A． 【点评】根据平移的规律即可得到平移后函数解析式．
4.（2017?长沙）抛物线y=2（x﹣3）2+4顶点坐标是（?? ）
A.?（3，4）????????????????????????/B.?（﹣3，4）????????????????????????/C.?（3，﹣4）????????????????????????/D.?（2，4）
【答案】A
【解析】解：y=2（x﹣3）2+4是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，4）． 故选A． 【点评】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标．
5.（2017?盘锦）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n），与y轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），则下列结论：①abc＞0；②3a+b＜0；③﹣
4
3
≤a≤﹣1；④a+b≥am2+bm（m为任意实数）；⑤一元二次方程ax2+bx+c=n有两个不相等的实数根，其中正确的有（?? ） /
A.?2个?????????????????????????????????B.?3个???????????????????????????C.?4个?????????????????????????????D.?5个
【答案】B
【解析】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵顶点坐标（1，n）， ∴对称轴为直线x=1， ∴﹣
??
2??
=1， ∴b=﹣2a＞0， ∵与y轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点）， ∴3≤c≤4， ∴abc＜0，故①错误， 3a+b=3a+（﹣2a）=a＜0，故②正确， ∵与x轴交于点A（﹣1，0）， ∴a﹣b+c=0， ∴a﹣（﹣2a）+c=0， ∴c=﹣3a， ∴3≤﹣3a≤4， ∴﹣
4
3
≤a≤﹣1，故③正确， ∵顶点坐标为（1，n）， ∴当x=1时，函数有最大值n， ∴a+b+c≥am2+bm+c， ∴a+b≥am2+bm，故④正确， 一元二次方程ax2+bx+c=n有两个相等的实数根x1=x2=1，故⑤错误， 综上所述，结论正确的是②③④共3个． 故答案为：B． 【点评】根据抛物线开口向下，得到a＜0，对称轴为直线x=1，得到b=﹣2a＞0，抛物线与y轴的交点在（0，3），（0，4）之间，得到c＞0，故abc＜0，由3a+b=3a+（﹣2a）=a＜0，故②正确，与x轴交于点A（﹣1，0），得到③正确，根据顶点坐标为（1，n），得到函数有最大值，故④正确，根据一元二次方程有两个相等的实数根x1=x2=1，故⑤错误，逐步分析得出正确结论.
6．（2018?上海）下列对二次函数y=x2﹣x的图象的描述，正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．经过原点 D．在对称轴右侧部分是下降的
【答案】C
【解析】根据抛物线的开口方向、对称轴公式以及二次函数性质逐项进行判断即可得答案.
解：A、∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，选项A不正确；
B、∵﹣
??
2??
=
1
2
，∴抛物线的对称轴为直线x=
1
2
，选项B不正确；
C、当x=0时，y=x2﹣x=0，∴抛物线经过原点，选项C正确；
D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线x=
1
2
，
∴当x＞
1
2
时，y随x值的增大而增大，选项D不正确，
故选C．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），对称轴直线x=-
??
2??
，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，c=0时抛物线经过原点，熟练掌握相关知识是解题的关键.
7．（2018?荆门）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①4a+2b+c＞0；②5a﹣b+c=0；③若方程a（x+5）（x﹣1）=﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（ ）
/
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】根据抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a），根据顶点坐标公式可求得b=4a，c=-5a，从而可得抛物线的解析式为y=ax2+4ax﹣5a，然后根据二次函数的性质一一判断即可．
解：∵抛物线的开口向上，
∴a>0，
∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a），
∴﹣
??
2??
=﹣2，
4?????
??
2
4??
=﹣9a，
∴b=4a，c=-5a，
∴抛物线的解析式为y=ax2+4ax﹣5a，
∴4a+2b+c=4a+8a﹣5a=7a＞0，故①正确，
5a﹣b+c=5a﹣4a﹣5a=﹣4a＜0，故②错误，
∵抛物线y=ax2+4ax﹣5a交x轴于（﹣5，0），（1，0），
∴若方程a（x+5）（x﹣1）=﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1，正确，故③正确，
若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣8，故④错误，
故选B．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上的点的特征、抛物线与坐标轴的交点问题等知识，根据顶点坐标确定出抛物线的解析式为y=ax2+4ax﹣5a是解题的关键.
8．（2018?玉林）如图，一段抛物线y=﹣x2+4（﹣2≤x≤2）为C1，与x轴交于A0，A1两点，顶点为D1；将C1绕点A1旋转180°得到C2，顶点为D2；C1与C2组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l与新图象交于点P1（x1，y1），P2（x2，y2），与线段D1D2交于点P3（x3，y3），设x1，x2，x3均为正数，t=x1+x2+x3，则t的取值范围是（ ）
/
A．6＜t≤8 B．6≤t≤8 C．10＜t≤12 D．10≤t≤12
【答案】D
【解析】首先证明x1+x2=8，由2≤x3≤4，推出10≤x1+x2+x3≤12即可解决问题.
解：翻折后的抛物线的解析式为y=（x﹣4）2﹣4=x2﹣8x+12，
∵设x1，x2，x3均为正数，
∴点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在第四象限，
根据对称性可知：x1+x2=8，
∵2≤x3≤4，
∴10≤x1+x2+x3≤12，
即10≤t≤12，
故选D．
【点评】本题考查二次函数与x轴的交点，二次函数的性质，抛物线的旋转等知识，熟练掌握和灵活应用二次函数的相关性质以及旋转的性质是解题的关键.
二、填空题
9．（2016?南平）写出一个y关于x的二次函数的解析式，且它的图象的顶点在y轴上： ．
【答案】??=
??
2
（答案不唯一）．
【解析】由题意可得：??=
??
2
（答案不唯一）．故答案为：??=
??
2
（答案不唯一，只要??=??
??
2
+????+??中a≠0，b=0即可）．
10．（2016?日照）如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2 m时，水面宽度为4 m；那么当水位下降1m后，水面的宽度为_________m.
/
【答案】2
6
【解析】如图，建立平面直角坐标系，
/
设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式??=??
??
2
+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为??=?0.5
??
2
+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：?1=?0.5
??
2
+2，解得：x=±
6
，所以水面宽度增加到2
6
米，故答案为：2
6
米．
11.（2017?广州）当x=________时，二次函数y=x2﹣2x+6有最小值________．
【答案】1；5
【解析】解：∵y=x2﹣2x+6=（x﹣1）2+5， ∴当x=1时，二次函数y=x2﹣2x+6有最小值5． 故答案为：1、5． 【点评】把x2﹣2x+6化成（x﹣1）2+5，即可求出二次函数y=x2﹣2x+6的最小值是多少．
12.（2017?百色）经过A（4，0），B（﹣2，0），C（0，3）三点的抛物线解析式是________．
【答案】y=﹣
3
8
x2+
3
4
x+3
【解析】解：根据题意设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4）， 把C（0，3）代入得：﹣8a=3，即a=﹣
3
8
， 则抛物线解析式为y=﹣
3
8
（x+2）（x﹣4）=﹣
3
8
x2+
3
4
x+3， 故答案为y=﹣
3
8
x2+
3
4
x+3． 【点评】根据A与B坐标特点设出抛物线解析式为y=a（x﹣2）（x﹣4），把C坐标代入求出a的值，即可确定出解析式．
13.（2017?贺州）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②2a+b＜0；③b2﹣4ac=0；④8a+c＜0；⑤a：b：c=﹣1：2：3，其中正确的结论有_______．
/
【答案】①④⑤
【解析】解：①∵开口向下 ∴a＜0 ∵与y轴交于正半轴 ∴c＞0 ∵对称轴在y轴右侧 ∴b＞0 ∴abc＜0，①符合题意； ∵二次函数的对称轴是直线x=1，即二次函数的顶点的横坐标为x=﹣
??
2??
=1， ∴2a+b=0，②不符合题意； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，③不符合题意； ∵b=﹣2a， ∴可将抛物线的解析式化为：y=ax2﹣2ax+c（a≠0）； 由函数的图象知：当x=﹣2时，y＜0；即4a﹣（﹣4a）+c=8a+c＜0，④符合题意；； ∵二次函数的图象和x轴的一个交点是（﹣1，0），对称轴是直线x=1， ∴另一个交点的坐标是（3，0）， ∴设y=ax2+bx+c=a（x﹣3）（x+1）=ax2﹣2ax﹣3a， 即a=a，b=﹣2a，c=﹣3a， ∴a：b：c=a：（﹣2a）：（﹣3a）=﹣1：2：3，⑤符合题意； 故答案为：①④⑤． 【点评】本题主要二次函数与系数的关系，根据图象的开口可确定a，结合对称轴可确定b，根据图象与y轴的交点位置可确定c，根据图象与x轴的交点个数可确定△；根据当x=-2时，y＜0；抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），分别进行判别即可得出所求答案．
14．（2018?沈阳）如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），当AB=_____m时，矩形土地ABCD的面积最大．
/
【答案】150
【解析】根据题意可以用相应的代数式表示出矩形绿地的面积，利用函数的性质即可解答本题．
解：设AB=xm，则BC=
1
2
（900﹣3x），
由题意可得，S=AB×BC=
1
2
（900﹣3x）x=﹣
3
2
（x2﹣300x）=﹣
3
2
（x﹣150）2+33750，
∴当x=150时，S取得最大值，此时，S=33750，
∴AB=150m，
故答案为：150．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质求出最值．
15．（2018?淄博）已知抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（m＞0）个单位长度，平移后的抛物线与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，则m的值为__________．
【答案】2
【解析】先根据三等分点的定义得：AC=BC=BD，由平移m个单位可知：AC=BD=m，计算点A和B的坐标可得AB的长，从而得结论．
解：如图，∵B，C是线段AD的三等分点，
∴AC=BC=BD，
由题意得：AC=BD=m，
当y=0时，x2+2x﹣3=0，
（x﹣1）（x+3）=0，
x1=1，x2=﹣3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB=3+1=4，
∴AC=BC=2，
∴m=2，
故答案为：2．
/
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题、抛物线的平移及解一元二次方程的问题，利用数形结合的思想和三等分点的定义解决问题是关键．
16．（2018?遵义）如图抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为_____．
/
【答案】
3
2
2
【解析】连接AC,与对称轴交于点P, 此时DE+DF最小，求解即可.
解：连接AC,与对称轴交于点P,
/
此时DE+DF最小，
∵点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，
∴????=
1
2
????,????=
1
2
????,
在二次函数y=x2+2x﹣3中，当??=0时，??=?3,
当??=0时，??=?3或??=1.
即??
?3,0
,??
1,0
,??
0,?3
.
????=????=3,
????=
3
2
+
3
2
=3
2
,
点P是抛物线对称轴上任意一点，
则PA=PB,
PA+PC=AC,
PB+PC=3
2
,
DE+DF的最小值为：
1
2
????+????
=
3
2
2
.
故答案为：
3
2
2
.
【点评】考查二次函数图象上点的坐标特征，三角形的中位线，勾股定理等知识点，找出点P的位置是解题的关键.
三、解答题
17．（2018?雅安）已知Rt△ABC中，∠B=90°，AC=20，AB=10，P是边AC上一点（不包括端点A、C），过点P作PE⊥BC于点E，过点E作EF∥AC，交AB于点F．设PC=x，PE=y．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）是否存在点P使△PEF是Rt△？若存在，求此时的x的值；若不存在，请说明理由．
/
【答案】（1）??=
1
2
??（0＜x＜20）；（2）当x=10或x=16，存在点P使△PEF是Rt△．
【解析】（1）在Rt△ABC中，根据三角函数可求y与x的函数关系式；
（2）分三种情况：①如图1，当∠FPE=90°时，②如图2，当∠PFE=90°时，③当∠PEF=90°时，进行讨论可求x的值．
解：（1）在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=20，AB=10，∴sinC=
1
2
，∵PE⊥BC于点E，∴sinC=
????
????
=
1
2
，∵PC=x，PE=y，∴??=
1
2
??（0＜x＜20）；
（2）存在点P使△PEF是Rt△，①如图1，当∠FPE=90°时，四边形PEBF是矩形，BF=PE=
1
2
x，四边形APEF是平行四边形，PE=AF=
1
2
x，∵BF+AF=AB=10，∴x=10；
②如图2，当∠PFE=90°时，Rt△APF∽Rt△ABC，∠ARP=∠C=30°，AF=40﹣2x，平行四边形AFEP中，AF=PE，即：40﹣2x=
1
2
x，解得x=16；
③当∠PEF=90°时，此时不存在符合条件的Rt△PEF．
/
综上所述，当x=10或x=16，存在点P使△PEF是Rt△．
18.（2017?湖州）如图，在平面直角坐标系 ?????? 中，已知 ?? ， ?? 两点的坐标分别为 (?4,0) ， (4,0) ， C(??,0) 是线段 ???? 上一点（与 ?? ， ?? 点不重合），抛物线
L
1
: ??=??
??
2
+
??
1
??+
??
1
（ ??<0 ）经过点 ?? ， C ，顶点为 D ，抛物线
L
2
: ??=??
??
2
+
??
2
??+
??
2
（ ??<0 ）经过点 C ， ?? ，顶点为 ?? ， ??D ， ???? 的延长线相交于点 F ． （1）若 ??=?
1
2
， ??=?1 ，求抛物线
L
1
，
L
2
的解析式；
（2）若 ??=?1 ， ??F⊥??F ，求 ?? 的值；
（3）是否存在这样的实数 ?? （ ??<0 ），无论 ?? 取何值，直线 ??F 与 ??F 都不可能互相垂直？若存在，请直接写出 ?? 的两个不同的值；若不存在，请说明理由．
/
【答案】答案见解析
【解析】（1）解：依题可得：
?
1
2
×
?1
2
?
??
1
+
??
1
=0
?
1
2
×
?4
2
?4
??
1
+
??
1
=0
解得? ：
??
1
=?
5
2
??
1
=?2
所以抛物线L1的解析式为y=-
1
2
x2-
5
2
x-2. 同理，
?
1
2
×
?1
2
?
??
2
+
??
2
=0
?
1
2
×
4
2
+4
??
2
+
??
2
=0
解得? ：
??
2
=
3
2
??
2
=2
所以抛物线L2的解析式为y=?-
1
2
x2+
3
2
x+2. （2）解：如图，过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H. 依题可得：
0=?16?4
??
1
+
??
1
0=?
??
2
+
??
1
??+
??
1
解得
??
1
=???4
??
1
=4??
∴抛物线L1的解析式为y=-x2+（m-4）x+4m. ∴点D的坐标为（-
???4
2
,
??
2
+8??+16
4
）. ∴DG=
??
2
+8??+16
4
=
??+4
2
4
,AG=
??+4
2
. 同理可得，抛物线L2的解析式为y=-x2+（m+4）x-4m EH=
??
2
?8??+16
4
=
???4
2
4
，BH=
4???
2
. ∵AF⊥BF，DG⊥x轴，EH⊥x轴 ∴∠AFB=∠AGD=∠EHB=90° ∴∠ADG=∠ABF=90°-∠BAF ∴△ADG∽△EBH ∴
????
????
=
????
????
. ∴
??+4
2
4
4???
2
=
??+4
2
???4
2
4
∴m=2
3
或m=-2
3
. / （3）解：存在，例如a=-
1
3
,a=-
1
4
.
【点评】（1）把a、m代入得到已知点，把点代入函数解析式构成方程组，根据待定系数法可求出函数解析式.（2）如图，过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，把a=-1代入函数解析式，然后结合（m,0）和（-4，0）代入可解出函数解析式L1 ， 然后分别求出D点坐标，得到DG,AG的长，同理得到L2;求得EH,BH的长，再根据三角形相似的判定与性质构造方程求解即可.（3）根据前面的解答，直接写出即可.
19．（2018?南通）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线??=
??
2
?2(???1)??+
??
2
?
5
2
??(k为常数）．
（1）若抛物线经过点(1,k2)，求k的值；
（2）若抛物线经过点(2k,y1)和点(2,y2)，且y1>y2，求k的取值范围；
（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值?
3
2
，求k的值．
【答案】(1)
2
3
;(2)k>1；（3）1或3.
【解析】（1）把（1，k2）代入抛物线解析式中并求解即可；
（2）将点分别代入抛物线解析式中，由y1＞y2列出关于k的不等式，求解即可；
（3）先求出新抛物线的解析式，然后分1≤k≤2，k＞2以及k＜1三种情况讨论，根据二次函数的顶点及增减性，分别确定三种情况下各自对应的最小值，然后列出方程并求出满足题意的k值即可．
解：（1）把点(1,
??
2
)代入抛物线??=
??
2
?2(???1)??+
??
2
?
5
2
??，得
??
2
=
1
2
?2(???1)+
??
2
?
5
2
??
解得??=
2
3
（2）把点(2??,
??
1
)代入抛物线??=
??
2
?2(???1)??+
??
2
?
5
2
??，得
??
1
=
(2??)
2
?2(???1)·2??+
??
2
?
5
2
??=
??
2
+
3
2
??
把点(2,
??
2
)代入抛物线??=
??
2
?2(???1)??+
??
2
?
5
2
??，得
??
2
=
2
2
?2(???1)×2+
??
2
?
5
2
??=
??
2
?
13
2
??+8
∵
??
1
>
??
2
∴
??
2+
3
2
??>
??
2
?
13
2
??+8
解得??>1
（3）抛物线??=
??
2
?2(???1)??+
??
2
?
5
2
??解析式配方得
??=
(?????+1)
2
+(?
1
2
???1)
将抛物线向右平移1个单位长度得到新解析式为
??=
(?????)
2
+(?
1
2
???1)
当??<1时，1????2对应的抛物线部分位于对称轴右侧，??随??的增大而增大，
∴??=1时，
??
最小
=
(1???)
2
?
1
2
???1=
??
2
?
5
2
??，
∴
??
2
?
5
2
??=?
3
2
，解得
??
1
=1，
??
2
=
3
2
都不合题意，舍去；
当1????2时，
??
最小
=?
1
2
???1，
∴?
1
2
???1=?
3
2
解得??=1；
当??>2时，1????2对应的抛物线部分位于对称轴左侧，??随??的增大而减小，
∴??=2时，
??
最小
=
(2???)
2
?
1
2
???1=
??
2
?
9
2
??+3，
∴
??
2
?
9
2
??+3=?
3
2
解得
??
1
=3，
??
2
=
3
2
（舍去）
综上，??=1或3．
【点评】本题考査的知识点是二次函数的代入点求值、二次函数的最值、二次函数与一元二次不等式、方程的关系以及函数平移的问题，解题关键是熟练掌握二次函数的相关知识．
20．（2018?海南）如图1，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上．
①求四边形ACFD的面积；
②点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接AQ、DQ，当△AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标．
/
【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）①S四边形ACFD= 4；②Q点坐标为（1，4）或（
3?
5
2
，
5+
5
2
）或（
3+
5
2
，
5?
5
2
）．
【解析】此题涉及的知识点是抛物线的综合应用，难度较大，需要有很好的逻辑思维，解题时先根据已知点的坐标列方程求出函数解析式，然后再根据解析式和已知条件求出四边形的面积和点的坐标。
解：（1）由题意可得/，解得/，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）①∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴F（1，4），
∵C（0，3），D（2，3），
∴CD=2，且CD∥x轴，
∵A（﹣1，0），
∴S四边形ACFD=S△ACD+S△FCD=/×2×3+/×2×（4﹣3）=4；
②∵点P在线段AB上，
∴∠DAQ不可能为直角，
∴当△AQD为直角三角形时，有∠ADQ=90°或∠AQD=90°，
i．当∠ADQ=90°时，则DQ⊥AD，
∵A（﹣1，0），D（2，3），
∴直线AD解析式为y=x+1，
∴可设直线DQ解析式为y=﹣x+b′，
把D（2，3）代入可求得b′=5，
∴直线DQ解析式为y=﹣x+5，
联立直线DQ和抛物线解析式可得/，解得/或/，
∴Q（1，4）；
ii．当∠AQD=90°时，设Q（t，﹣t2+2t+3），
设直线AQ的解析式为y=k1x+b1，
把A、Q坐标代入可得/，解得k1=﹣（t﹣3），
设直线DQ解析式为y=k2x+b2，同理可求得k2=﹣t，
∵AQ⊥DQ，
∴k1k2=﹣1，即t（t﹣3）=﹣1，解得t=/，
当t=/时，﹣t2+2t+3=/，
当t=/时，﹣t2+2t+3=/，
∴Q点坐标为（/，/）或（/，/）；
综上可知Q点坐标为（1，4）或（/，/）或（/，/）．
【点评】此题重点考察学生对于抛物线的综合应用能力，熟练抛物线的图像和性质，四边形面积的计算方法，点坐标的求解方式是解答本题的关键。
一、单选题
1.（2017·温州一模）已知抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，顶点坐标为（2，﹣3），那么该抛物线有（?? ）
A.?最小值﹣3???????????????????????????/B.?最大值﹣3???????????????????????????/C.?最小值2???????????????????????????/D.?最大值2
【答案】B
【解析】解：因为抛物线开口向下和其顶点坐标为（2，﹣3）， 所以该抛物线有最大值﹣3． 故选B． 【点评】根据抛物线开口向下和其顶点坐标为（2，﹣3），可直接做出判断．
2.（2017·兰州二模拟）以x为自变量的二次函数y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是（?? ）
A.?b≥
5
4
??????????????????????????????/B.?b≥1或b≤﹣1??????????????????????????????/C.?b≥2??????????????????????????????/D.?1≤b≤2
【答案】A
【解析】解：∵二次函数y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限， ∵二次项系数a=1， ∴抛物线开口方向向上， 当抛物线的顶点在x轴上方时， 则b2﹣1≥0，△=[2（b﹣2）]2﹣4（b2﹣1）≤0， 解得b≥
5
4
； 当抛物线的顶点在x轴的下方时， 设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1 ， x2 ， ∴x1+x2=2（b﹣2）＞0，b2﹣1＞0， ∴△=[2（b﹣2）]2﹣4（b2﹣1）＞0，① b﹣2＞0，② b2﹣1＞0，③ 由①得b＜
5
4
，由②得b＞2， ∴此种情况不存在， ∴b≥
5
4
， 故选A． 【点评】由于二次函数y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限，所以抛物线的顶点在x轴的上方或在x轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口方向向上，由此可以确定抛物线与x轴有无交点，抛物线与y轴的交点的位置，由此即可得出关于b的不等式组，解不等式组即可求解．
3.（2017·承德一模）如图，对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，得出了下面五条信息：①c＞0；②b=6a；③b2﹣4ac＞0；④a+b+c＜0；⑤对于图象上的两点（﹣6，m ）、（1，n），有m＜n．其中正确信息的个数有（?? ） /
A.?2个???????????????????????????????????????B.?3个???????????????????????????????????????C.?4个???????????????????????????????????????D.?5个
【答案】C
【解析】解：因为函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴可知， 所以c＞0，∴①正确； ∵函数的对称轴为x=﹣
??
2??
=
?1?6
2
=﹣3， ∴b=6a，∴②正确； 抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，∴③正确； 当x=1时，y＞0， ∴a+b+c＞0，∴④错误； ∵对称轴为x=﹣3，|﹣6﹣（﹣3）|=3，|1﹣（﹣3）|=4， ∴m＜n，∴⑤正确． 其中正确信息的有①②③⑤， 故答案为：C． 【点评】c是确定抛物线与y轴交点情况，当c＞0时，抛物线与y轴交于正半轴，可得①正确，对称轴是直线x=3=-
??
2??
，即可得出②正确；抛物线与x轴的交点情况，由b2-4ac的取值确定，可判断③正确；a+b+c的符号是由x=1确定，得出④错误。即可求出正确的信息。
4.（2017·广州一模）如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1 ， 它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2 ， 交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3 ， 交x轴于A3；…如此进行下去，若点P（2017，m）在第1009段抛物线C1009上，则m的值为（?? ） /
A.?﹣1???????????????????????????????????????/B.?0???????????????????????????????????????/C.?1???????????????????????????????????????/D.?不确定
【答案】C
【解析】解：∵一段抛物线C1：y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）， ∴图象C1与x轴交点坐标为：（0，0），（2，0）， ∵将C1绕点A1旋转180°得C2 ， 交x轴于点A2；， ∴抛物线C2：y=（x﹣2）（x﹣4）（2≤x≤4）， 将C2绕点A2旋转180°得C3 ， 交x轴于点A3； … ∴P（2017，m）在抛物线C1009上， ∵n=1009是奇数， ∴P（2017，m）在x轴的上方，m=1， ∴当x=2017时，m=1． 故答案为：C， 【点评】先求出图象C1与x轴交点坐标，再利用旋转的性质得到抛物线C2与x轴的交点坐标，于是可以推出横坐标为偶数时，纵坐标为0；横坐标为奇数时，纵坐标为1，即可得出正确选项。
5.（2017·济宁模拟）二次函数y=x2+bx的图象如图，对称轴为直线x=1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（?? ）
/
A.?t≥﹣1?????????????????????????????B.?﹣1≤t＜3?????????????????????????????C.?﹣1≤t＜8?????????????????????????????D.?3＜t＜8
【答案】C
【解析】解：对称轴为直线x=﹣
??
2×1
=1， 解得b=﹣2， 所以，二次函数解析式为y=x2﹣2x， y=（x﹣1）2﹣1， x=﹣1时，y=1+2=3， x=4时，y=16﹣2×4=8， ∵x2+bx﹣t=0相当于y=x2+bx与直线y=t的交点的横坐标， ∴当﹣1≤t＜8时，在﹣1＜x＜4的范围内有解． 故选：C． 【点评】根据对称轴求出b的值，从而得到x=﹣1、4时的函数值，再根据一元二次方程x2+bx﹣t=0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解相当于y=x2+bx与y=t在x的范围内有交点解答．
6．（2018?慈溪模拟）将抛物线??=
1
2
(??+2)
2
+5绕着点（0，3）旋转180°以后，所得图象的解析式是（ ）．
A．??=?
1
2
(??+2)
2
+5 B．??=?
1
2
(???2)
2
?5
C．??=?
1
2
(???2)
2
+2 D．??=?
1
2
(???2)
2
+1
【答案】D
【解析】将抛物线??=
1
2
(??+2)
2
+5绕着点（0，3）旋转180°以后，a的值变为原来的相反数，根据中心对称的性质求出旋转后的顶点坐标即可得到旋转180°以后所得图象的解析式.
解：由题意得，a=-
1
2
.
设旋转180°以后的顶点为（x′，y′），
则x′=2×0-(-2)=2，y′=2×3-5=1,
∴旋转180°以后的顶点为(2,1)，
∴旋转180°以后所得图象的解析式为：??=?
1
2
(???2)
2
+1.
故选D.
【点评】本题考查了二次函数图象的旋转变换，在绕抛物线某点旋转180°以后，二次函数的开口大小没有变化，方向相反；设旋转前的的顶点为（x，y），旋转中心为（a，b），由中心对称的性质可知新顶点坐标为（2a-x，2b-y），从而可求出旋转后的函数解析式.
7．（2018?天津二模）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B，顶点为P，若△ABP组成的三角形恰为等腰直角三角形，则b2﹣4ac的值为（ ）
A．1 B．4 C．8 D．12
【答案】B
【解析】设抛物线与x轴的两交点A、B坐标分别为（x1，0），（x2，0），利用二次函数的性质得到P（-
??
2??
，
4?????
??
2
4??
），利用x1、x2为方程ax2+bx+c=0的两根得到x1+x2=-
??
??
，x1?x2=
??
??
，则利用完全平方公式变形得到AB=|x1-x2|=
??
2
?4????
|??|
，接着根据等腰直角三角形的性质得到|
4?????
??
2
4??
|=
1
2
?
??
2
?4????
|??|
，然后进行化简可得到b2-4ac的值．
解：设抛物线与x轴的两交点A、B坐标分别为（x1，0），（x2，0），顶点P的坐标为（-
??
2??
，
4?????
??
2
4??
），
则x1、x2为方程ax2+bx+c=0的两根，
∴x1+x2=-
??
??
，x1?x2=
??
??
，
∴AB=|x1-x2|=
(
??
1
?
??
2
)
2
=
(
??
1
+
??
2
)
2
?4
??
1
??
2
=
(?
??
??
)
2
?4?
??
??
=
??
2
?4????
|??|
，
∵△ABP组成的三角形恰为等腰直角三角形， ∴|
4?????
??
2
4??
|=
1
2
?
??
2
?4????
|??|
，
(
??
2
?4????)
2
16
??
2
=
??
2
?4????
4
??
2
，
∴b2-4ac=4．
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和等腰直角三角形的性质．
8．（2018?淮南模拟）若A(-1,y1)，B(-2,y2)，C(2,y3)为二次函数y=ax2-2ax+m (a＞0)的图象上的三点，则y1,y2,y3的大小关系是（ ）
A．
??
1
<
??
2
<
??
3
B．
??
2
<
??
1
<
??
3
C．
??
3
<
??
1
<
??
2
D．
??
1
<
??
3
<
??
2
【答案】C
【解析】把x=-1、-2、2分别代入y=ax2-2ax+m (a＞0)，计算出对应的函数值，然后比较大小即可．
解：当x=-1时，y=a+2a+m=3a+m；当x=-2时，y=4a+4a+m=8a+m；当x=2时，y=4a-4a+m=m.
∵a>0，
∴
??
3
<
??
1
<
??
2
.
故选C.
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
9．（2018?桂林二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①c<0；②2a+b=0；③a+b+c<0；④b2-4ac<0，其中正确的有( )
/
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：①如图所示，抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0，
故①正确；
②如图所示，对称轴x=-
b
2a
=1，则2a+b=0．
故②正确；
③如图所示，当x=1时，y＜0，即：a+b+c＜0．
故③正确；
④如图所示，抛物线与x轴有两个不同的交点，则b2-4ac＞0．
故④错误．
综上所述，正确的结论有3个．
故选：C．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
10．（2018?红河州模拟）二维码已经给我们的生活带来了很大方便，它是由大小相同的黑白两色的小正方形（如图1中C）按某种规律组成的一个大正方形，现有25×25格式的正方形如图1，角上是三个7×7的A型大黑白相间正方形，中间右下一个5×5的B型黑白相间正方形，除这4个正方形外，若其他的小正方形白色块数y与黑色块数x正好满足如图2所示的函数图象，则该25×25格式的二维码共有多少块黑色的C型小正方形（ ）
/
A．153 B．218 C．100 D．216
【答案】C
【解析】根据函数图象中的数据可以求得二次函数的解析式，从而可以得到x与y的关系，再根据题意即可得到关于x的方程，从而可以求得x的值，本题得以解决．
解：设函数解析式为y=ax2+bx+c，
则
??=153
400??+20??+??=33
900??+30??+??=3
，
解得
??=0.1
??=?8
??=153
，
∴y=0.1x2-8x+153，
∵C型小正方形白色块数与黑色块数之和是：25×25-7×7×3-5×5=453，
∴x+（0.1x2-8x+153）=453，
解得，x1=100，x2=-30（舍去），
∴y=0.1×1002-8×100+153=353，
即C型小正方形黑色块数为100．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
二、填空题
11.（2017·长春一模）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（3，0）在该抛物线上，则a﹣b+c的值为________．
/
【答案】0
【解析】解：由题意可知：对称轴为x=1， ∴（3，0）关于x=1的对称点坐标为（﹣1，0）， 将（﹣1，0）代入y=ax2+bx+c， ∴a﹣b+c=0， 故答案为：0 【点评】由题意可知：对称轴x=1，从而可知（3，0）的关于x=1的对称点坐标为（﹣1，0），将（﹣1，0）代入抛物线的解析式即可求出答案．
12.（2017·苏州一模）如图，二次函数Y=﹣
1
2
x2﹣
3
2
x+2象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，则四边形OCDA的面积的最大值是________．
/
【答案】8
【解析】解：在y=﹣
1
2
x2﹣
3
2
x+2中，当x=0时，y=2， ∴C（0，2）， 当y=0时，有﹣
1
2
x2﹣
3
2
x+2=0，解得：x=﹣4或x=1， ∴点A（﹣4，0）、B（1，0）， / ∵点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点， ∴D（m，﹣
1
2
m2﹣
3
2
m+2）， 过点D作DH⊥x轴于点H，则DH=﹣
1
2
m2﹣
3
2
m+2，AH=m+4，HO=﹣m， ∵四边形OCDA的面积=△ADH的面积+四边形OCDH的面积， ∴S=
1
2
（m+4）×（﹣
1
2
m2﹣
3
2
m+2）+
1
2
（﹣
1
2
m2﹣
3
2
m+2+2）×（﹣m）， =﹣m2﹣4m+4 =﹣（m+2）2+8，（﹣4＜m＜0）； 则m=﹣2时，S取得最大值，最大值为8， 故答案为：8． 【点评】根据解析式求得点A、C坐标，过点D作DH⊥x轴于点H，运用割补法即可得到：四边形OCDA的面积=△ADH的面积+四边形OCDH的面积，据此列式计算化简就可求得S关于m的函数关系，配方成顶点式可得其最值情况．
13.（2017·孝感模拟）如图，某小区规划在一个长为16m、宽为9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为112m2 ， 求小路的宽度．若设小路的宽度为xm，则x满足的方程为________． /
【答案】（16﹣2x）（9﹣x）=112
【解析】解：设小路的宽度为xm， 那么草坪的总长度和总宽度应该为16﹣2x，9﹣x； 根据题意即可得出方程为：（16﹣2x）（9﹣x）=112， 故答案为：（16﹣2x）（9﹣x）=112． 【点评】如果设小路的宽度为xm，那么草坪的总长度和总宽度应该为16﹣2x，9﹣x；那么根据题意即可得出方程．
14．（2018?鞍山模拟）隧道的截面是抛物线，且抛物线的解析式为y=，一辆车高3m， 宽4m， 该车________通过该隧道．(填“能”或“不能”)
【答案】不能
【解析】试题解析: 根据题意，当函数值等于3时，3=—，可以解得到， ， ｜｜=2<4m，故车不能通过.
故答案为：不能.
15．（2018?长沙模拟）如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2），则求不等式x2+bx+c≤x+m的解集_____．
/
【答案】1≤x≤3
【解析】利用函数图象与不等式的关系可以求得不等式的解集.
解：数形结合知，二次函数比一次函数高的部分是1≤x≤3.
【点评】利用一次函数图象和二次函数图象性质数形结合解不等式：
形如式??
??
2
+????+??>????+??不等式，构造函数
??
1
=??
??
2
+????+??，
??
2
=????+??，如果
??
1
>
??
2
,找出
??
1
比
??
2
,高的部分对应的x的值,
??
1
<
??
2
,找出
??
1
比
??
2
,低的部分对应的x的值.
16．（2018?西安三模）如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y=
??
??
（k＞0）的图象与BC边交于点E．当常数k=_____时，△EFA的面积有最大值，其最大面积=_____．
/
【答案】3
3
4
【解析】根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k的二次函数，利用二次函数求出最值即可．
解：由题意知E，F两点坐标分别为E（
??
2
，2），F（3，
??
3
），
∴S△EFA=
1
2
AF?BE=
1
2
×
??
3
3?
??
2
=
1
2
k﹣
1
12
k2
=﹣
1
12
（k﹣3）2+
3
4
，
F在边AB上，F不与A，B重合，即0＜
??
3
＜2，解得0＜k＜6，
∴当k=3时，S有最大值，
S最大值=
3
4
，
故答案为：3，
3
4
．
【点评】本题考查了坐标与图形性质、反比例函数的性质，利用参数正确表示出△EFA的面积是解本题的关键．
三、解答题
17.（2017·天津二模）已知直线l：y=kx和抛物线C：y=ax2+bx+1． （Ⅰ）当k=1，b=1时，抛物线C：y=ax2+bx+1的顶点在直线l：y=kx上，求a的值； （Ⅱ）若把直线l向上平移k2+1个单位长度得到直线r，则无论非零实数k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点； （i）求此抛物线的解析式； （ii）若P是此抛物线上任一点，过点P作PQ∥y轴且与直线y=2交于点Q，O为原点，求证：OP=PQ．
【答案】答案见解析
【解析】
解：（Ⅰ）将k=1，b=1代入代入得：抛物线的解析式为y=ax2+x+1，直线的解析式为y=x． ∵y=ax2+x+1=a（x+
1
2??
）2+1﹣
1
4??
， ∴抛物线的顶点为（﹣
1
2??
，1﹣
1
4??
）． ∵抛物线的顶点在直线y=x上， ∴﹣
1
2??
=1﹣
1
4??
，解得：a=﹣
1
4
． （Ⅱ）（i）将直线y=kx向上平移k2+1个单位，所得直线的解析式为y=kx+k2+1． ∵无论非零实数k取何值，直线与抛物线都只有一个交点， ∴方程kx+k2+1=ax2+bx+1有两个相等的实数根，即ax2+（b﹣k）x﹣k2=0有两个相等的实数根， ∴△=（b﹣k）2+4ak2=（4a+1）k2﹣2bk+b2=0． ∵无论非零实数k取何值时，（4a+1）k2﹣2bk+b2=0恒成立， ∴4a+1=0且b=0， ∴a=﹣
1
4
，b=0． ∴抛物线的解析式为y=﹣
1
4
x2+1． （ii）证明：根据题意，画出图象如图所示： / 设点P的坐标为（x，﹣
1
4
x2+1）则点Q的坐标为（x，2），D（x，0）． ∴PD=|﹣
1
4
x2+1|，OD=|x|，QP=2﹣（﹣
1
4
x2+1）=
1
4
x2+1． 在Rt△OPD中，依据勾股定理得：OP=
??
2
+
(?
1
4
??
2
+1)
2
=
1
16
??
4
+
1
2
??
2
+1
=
1
4
x2+1． ∴OP=PQ
【点评】（1）利用配方法求出顶点坐标，代入y=x中即可;（2）可联立直线和抛物线解析式得到的方程判别式恒等于0，可得出a、b的值；（3）可表示出OP,PQ,证得二者相等.
18. （2017·深圳模拟）甲、乙两个仓库向A、B两地运送水泥，已知甲库可调出100吨水泥，乙库可调出80吨水泥，A地需70吨，B地需110吨水泥，两库到A，B两地的路程和费用如下表：（表中运费“元/吨·千米”表示每吨水泥运送1千米所需要人民币）.
路程（千米）
运费（元/吨·千米）
甲库
乙库
甲库
乙库
A地
20
15
12
12
B地
25
20
10
8
设甲库运往A地水泥x吨，总运费W元.
（1）写出w关于x的函数关系式，并求x为何值时总运费最小？
（2）如果要求运送的水泥数是10吨的整数倍，且运费不能超过38000元，则总共有几种运送方案？
【答案】答案见解析
【解析】（1）解：设甲库运往A地粮食x吨，则甲库运到B地（100-x）吨，乙库运往A地（70-x）吨，乙库运到B地 [80-（70-x）]=（10+x）吨． 根据题意得：w=12×20x+10×25（100-x）+12×15（70-x）+8×20（10+x） =-30x+39200(0≤x≤70)． ∴总运费w（元）关于x（吨）的函数关系式为w=-30x+39200(0≤x≤70)． ∵一次函数中w=-30x+39200中，k=-30＜0 ∴w的值随x的增大而减小 ∴当x=70吨时，总运费w最省， 最省的总运费为：-30×70+39200=37100（元） 答：从甲库运往A地70吨粮食，往B地运送30吨粮食，从乙库运往B地80吨粮食时，总运费最省为37100元． （2）解： 因为运费不能超过38000元， 所以w=-30x+39200≤38000， 所以x≥40. 又因为40≤x≤70， 所以满足题意的x值为40,50,60,70， 所以总共有4种方案.
【点评】（1）设甲库运往A地粮食x吨，则甲库剩下（100-x）要送到B地，所以A地还需要（70-x）吨要从乙库运过来，所以从乙库运送[80-（70-x）]=（10+x）吨到B地，根据数量关系：总运费=某库到某地的路程×运的吨数×每吨每千米的运费；（2）由题可得w=-30x+39200≤38000，解出x的取值范围，再取其中x为10的整数倍的数.
19．（2018?保定三模）如图，儿童游乐场有一项射击游戏．从O处发射小球，将球投入正方形篮筐DABC．正方形篮筐三个顶点为A（2，2），B（3，2），D（2，3）．小球按照抛物线y＝﹣x2+bx+c 飞行．小球落地点P 坐标（n，0）
（1）点C坐标为 ；
（2）求出小球飞行中最高点N的坐标（用含有n的代数式表示）；
（3）验证：随着n的变化，抛物线的顶点在函数y＝x2的图象上运动；
（4）若小球发射之后能够直接入篮，球没有接触篮筐，请直接写出n的取值范围．
/
【答案】（1）（3，3）；（2）顶点 N 坐标为（
??
2
，
??
2
4
）；（3）详见解析；（4）
7
2
＜n＜
11
3
．
【解析】（1）由正方形的性质及A、B、D三点的坐标求得AD=BC=1即可得；
（2）把（0，0）（n，0）代入y=-x2+bx+c求得b=n、c=0，据此可得函数解析式，配方成顶点式即可得出答案；
（3）将点N的坐标代入y=x2，看是否符合解析式即可；
（4）根据“小球发射之后能够直接入篮，球没有接触篮筐”知：当x=2时y＞3，当x=3时y＜2，据此列出关于n的不等式组，解之可得．
解：（1）∵A（2，2），B（3，2），D（2，3），
∴AD＝BC＝1， 则点 C（3，3），
故答案为：（3，3）；
（2）把（0，0）（n，0）代入 y＝﹣x2+bx+c 得：
??=0
?
??
2
+????+??=0
，
解得：
??=??
??=0
，
∴抛物线解析式为 y＝﹣x2+nx＝﹣（x﹣
??
2
）2+
??
2
4
，
∴顶点 N 坐标为（
??
2
，
??
2
4
）；
（3）由（2）把 x＝
??
2
代入 y＝x2＝（
??
2
）2＝
??
2
4
，
∴抛物线的顶点在函数 y＝x2的图象上运动；
（4）根据题意，得：当 x＝2 时 y＞3，当 x＝3 时 y＜2， 即
?4+2??＞3
?9+3??＜2
，
解得：
7
2
11
3
．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及将实际问题转化为二次函数的问题能力．
20．（2018?宝鸡二模）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，2）
(1)求抛物线的表达式；
(2)抛物线的对称轴与x轴交于点M，点D与点C关于点M对称，试问在该抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BMP与△ABD相似？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．
/
【答案】(1)y=﹣
1
2
x2+
3
2
x+2；(2)满足条件的点P的坐标为（
3
2
，
5
4
）或（
3
2
，﹣
5
4
）或（
3
2
，5）或（
3
2
，﹣5）．
【解析】（1）利用待定系数法求抛物线的表达式；
（2）使△BMP与△ABD相似的有三种情况，分别求出这三个点的坐标.
解：(1)∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），
∴设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4），
∵抛物线与y轴交于点C（0，2），
∴a×1×（﹣4）=2，
∴a=﹣
1
2
/，
∴抛物线的解析式为y=﹣
1
2
（x+1）（x﹣4）=﹣
1
2
x2+
3
2
x+2；
(2)如图1，连接CD，∵抛物线的解析式为y=﹣
1
2
x2+
3
2
x+2，
∴抛物线的对称轴为直线x=
3
2
，
∴M（
3
2
，0），∵点D与点C关于点M对称，且C（0，2），
∴D（3，﹣2），
∵MA=MB，MC=MD，
∴四边形ACBD是平行四边形，
∵A（﹣1，0），B（4，0），C（3，﹣22），
∴AB2=25，BD2=（4﹣1）2+22=5，AD2=（3+1）2+22=20，
∴AD2+BD2=AB2，
∴△ABD是直角三角形，
∴∠ADB=90°，
设点P（
3
2
，m），
∴MP=|m|，
∵M（
3
2
，0），B（4，0），
∴BM=
5
2
，
∵△BMP与△ABD相似，
∴①当△BMP∽ADB时，
∴
????
????
=
????
????
，
∴
5
2
2
5
=
??
5
，
∴m=±
5
4
，
∴P（
3
2
，
5
4
）或（
3
2
，﹣
5
4
），
②当△BMP∽△BDA时，
????
????
=
????
????
，
∴
5
2
5
=
??
2
5
，
∴m=±5，
∴P（
3
2
，5）或（
3
2
，﹣5），
即：满足条件的点P的坐标为P（
3
2
，
5
4
）或（
3
2
，﹣
5
4
）或（
3
2
，5）或（
3
2
，﹣5）．
/
【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练的掌握二次函数的应用.
/
