1.2 直角三角形（1）-试卷

1.2 直角三角形（1）同步练习
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题8分）
1．下列四句话中，正确的是（ ）
A．任何一个命题都有逆命题。 B．任何一个定理都有逆定理。
C．若原命题为真，则其逆命题也为真。 D．若原命题为假，则其逆命题也假。
2．一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么x为（ ）
A．
13
B．
5
C．
13
或
5
D．无法确定
3．如图，∠BAC=90°，AB丄BC，则图中互余的角有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
4．下列命题中是假命题的是（ ）
A．△ABC中，若∠B=∠C﹣∠A，则△ABC是直角三角形
B．△ABC中，若a2=(b+c)(b﹣c)，则△ABC是直角三角形
C．△ABC中，若∠A：∠B：∠C=3：4：5，则△ABC是直角三角形
D．△ABC中，若a：b：c=5：4：3，则△ABC是直角三角形
5．如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）
A．25海里 B．30海里 C．40海里 D．50海里
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第3题图 第5题图 第8题图 第9题图
二．填空题（共4小题，每题5分）
6．命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是_______________，这个逆命题是____命题．
7．一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为_____________，此三角形的形状为____________.
8．如图，在6×6正方形网格（每个小正方形的边长为1cm）中，网格线的交点称为格点，△ABC的顶点都在格点处，则AC边上的高的长度为_____cm．
9．如图，棱长为1的正方体形盒中，一只蚂蚁从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，蚂蚁爬行的最短路程是________．
三．解答题（共3小题，第10题10分，第11、12题各15分）
10．已知a，b，c为△ABC的三条边的长，且满足b2+2ab=c2+2ac.
(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)若a=6，b=5，求△ABC的面积.
11．小敏通过学习，知道了“在直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”，她猜想这个命题的逆命题为“在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”．为了证明这个命题的正确性，她画出了如图所示的图形．她又结合图形把这个命题理解为“在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直角边BC的长等于斜边AB长的一半时，BC所对的锐角∠A的度数等于30°”．请你根据小敏的图形和理解，补全已知和求证，并完成证明．
已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，　 　．
求证：　 　．
小敏把自己的猜想与数学小组的同学们进行了交流，经过充分交流、研讨，得出了以下两种想法：
想法一：取AB中点D，连结CD，利用直角三角形斜边中线的性质使问题得到解决；
想法二：沿AC翻折△ABC，得△ADC，构造特殊的三角形，使问题得到解决．
请选择其中一种想法，帮助小敏完成解答过程．
/
12．如图，已知????????????中，∠??=90°，∠??=60°，????=3????，????=6????.点??在线段????上以1????/??的速度由点??向点??运动，同时，点??在线段????上以2????/??由点??向点??运动，设运动时间为??(??).
（1）当??=1时，判断????????的形状（可直接写出结论）；
（2）是否存在时刻??，使????????与????????全等？若存在，请求出??的值，并加以证明；若不存在，请说明理由；
（3）若点??、??以原来的运动速度分别从点??、??出发，都顺时针沿????????三边运动，则经过几秒后（结果可带根号），点??与点??第一次在哪一边上相遇？并求出在这条边的什么位置.
/
试题解析
/
2．C
【解析】分类讨论当3为斜边时和x为斜边时,利用勾股定理列出等式即可解题.
解：当3为斜边时,
32=22+x2,解得：x=
5
,
当x为斜边时,
x2=32+22,解得：x=
13
,
∴x为
13
或
5
,
故选C.
3．C
【解析】根据在直角三角形中两锐角互余，得到互余的角.
解: 由∠BAC=90°可得∠B+∠C=90°①；∠BAD+∠CAD=90°②；再由AD⊥BC，可得∠BDA=∠CDA=90°，所以∠B+∠BAD=90°③；∠C+∠CAD=90°④．所以图中互余的角共4对．
故答案为：C．
4．C
【解析】有一个角是直角的三角形是直角三角形，两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，逐一分析即可．
解：A、∠B+∠A=∠C，所以∠C=90°，所以△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意．B、若a2=（b+c）（b-c），所以a2+c2=b2，所以△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意．C、若∠A：∠B：∠C=3：4：5，最大角为75°，故本选项符合题意．D、若a：b：c=5：4：3，则△ABC是直角三角形，故本选不项符合题意．故选：C．
5．C
【解析】首先根据路程=速度×时间可得AC、AB的长，然后连接BC，再利用勾股定理计算出BC长即可．
解：连接BC，
/
由题意得：AC=16×2=32（海里），AB=12×2=24（海里），
CB=
??
??
2
+??
??
2
=40（海里），
故选C．
6．如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形；真
【解析】等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形，这个逆命题是真命题．
故答案为：如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形； 真
7．6米，8米，10米 直角三角形
【解析】根据题意三边长为三个连续偶数，可设三边分别为：n-2，n，n+2，然后根据周长为24，列出关系式即可求出三边的长，然后由勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状为直角三角形．
解：根据题意得：设三边分别为：n-2，n，n+2，则n-2+n+n+2=24，解得：n=8，所以n-2=6，n+2=10，所以三边长分别为：6，8，10；∵62+82=102，∴此三角形的形状是直角三角形．故答案是：6米，8米，10米；直角三角形．
8．2
2
【解析】在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC的长度，然后利用等面积法求得AC边上的高的长度.
解：如图，在Rt△ABC中，AB＝4cm，BC＝4cm，
由勾股定理知，AC＝
??
??
2
+??
??
2
=
4
2
+
4
2
=4
2
．
设AC边上的高的长度为hcm，则
1
2
AB?BC＝
1
2
AC?h，
∴?=
?????????
????
=
4×4
4
2
=2
2
（cm）．
故答案是：2
2
．
9．
5

【解析】由题意可知，蚂蚁从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，将正方体盒展开，构成一个直角三角形，由勾股定理即可求得AB的长.
解：如图，
/
∵AB=
2
2
+
1
2
=
5
，
∴蚂蚁爬行的最短路程是
5
.
故答案为：
5
.
10．(1)△ABC是等腰三角形，理由见解析；(2)12.
【解析】（1）由已知条件得出b2-c2+2ab-2ac=0，用分组分解法进行因式分解得出（b-c）（b+c+2a）=0，得出b-c=0，因此b=c，即可得出结论；（2）作△ABC底边BC上的高AD．根据等腰三角形三线合一的性质得出BD=DC=
1
2
BC=3，利用勾股定理求出AD=
??
??
2
???
??
2
=4，再根据三角形的面积公式即可求解．
解：(1)△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵a，b，c为△ABC的三条边的长，b2+2ab=c2+2ac，
∴b2﹣c2+2ab﹣2ac=0，因式分解得：(b﹣c)(b+c+2a)=0，
∴b﹣c=0，
∴b=c，
∴△ABC是等腰三角形；
(2)如图，作△ABC底边BC上的高AD.
/
∵AB=AC=5，AD⊥BC，
∴BD=DC=
1
2
BC=3，
∴AD=
??
??
2
???
??
2
=4，
∴△ABC的面积=
1
2
BC?AD=
1
2
×6×4=12.
11．BC=
1
2
AB；∠A=30°
【解析】想法一：根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到 ????=????=????=
1
2
????．根据已知条件????=
1
2
????，得到????=????=????．求出∠??=60°．即可求出∠??的度数,
想法二：沿????翻折△??????，得△??????，根据折叠的性质得到△??????≌△??????．判定????=????=????，得到∠??=60°．即可求出∠??的度数,
解：想法一证明：取????中点D，连结????．
∵∠??????=90°，
∴????=????=????=
1
2
????．
∵????=
1
2
????，
∴????=????=????．
∴∠??=60°．
∴∠??=30°．
想法二证明：沿????翻折△??????，得△??????，
∴△??????≌△??????．
∴????=????，????=????，∠??????=∠??????=90°,
∴∠??????+∠??????=180°．
∴??，??，??三点在同一条直线上．
∵????=
1
2
????，
∴????=????=????，
∴∠??=60°．
∴∠??????=30°．
/
12．（1）????????是等边三角形，证明见解析；（2）存在时间??，使????????和????????全等，时间??=1.5??；证明见解析；（3）经过(6+3
3
)秒点??与点??第一次在边????上距??点3????处相遇.
【解析】（1）分别求出AP、AQ的长，根据等边三角形的判定推出即可；
（2）根据全等的条件和已知分别求出AP、CP、AQ、CQ的长，根据全等三角形的判定推出即可；
（3）根据勾股定理求出BC，根据已知得出方程2t-t=AB+BC，求出t的值即可．
解：（1）????????是等边三角形，证明如下：
∵??=1，
∴????=3?1×1=2，????=2×1=2，
∵∠??=
60
°
，
∴????????是等边三角形；
（2）存在??，使????????和????????全等，
∵点??的速度为1????/??，点??的速度为2????/??，
∴当??=1.5??时，????=????=1.5????，????=3????，
∴????=????，
又∵∠??=
60
°
，
∴????????是等边三角形，
∴????=????，
在????????和????????中
????=????
????=????
????=????
，
∴?????????????????，
即存在时间??，使????????和????????全等，时间??=1.5??；
（3）在????????????中，????=
??
??
2
???
??
2
=
6
2
?
3
2
=3
3
，
由题意得：2?????=????+????，即??=6+3
3
，
∴点??运动的路程是(6+3
3
)????，
∵3+6<6+3
3
<3+6+3
3
，
∴第一次相遇在????边上，又(9+3
3
)?(6+3
3
)=3，
∴经过(6+3
3
)秒点??与点??第一次在边????上距??点3????处相遇.
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