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6.3实数
学习目标：
1、了解无理数和实数的概念,会将实数按一定的标准进行分类.
2、通过学习“实数与数轴上的点的一一对应关系”，渗透“数形结合”思想.
3、从分类、集合的思想中领悟数学的内涵,激发兴趣.
学习重点：正确理解实数的概念.
学习难点：对“实数与数轴上的点一一对应关系”的理解.
学习过程：
一、新知引入
同学们，前面我们学习过有理数的分类，你还就记得吗？
毕达哥拉斯曾说“万物皆为数”我们学过的还是我们学习过的有理数码？不是的话它们又是什么数？还有这样的数吗？今天我们一起来解决这个问题。
二、新知讲解
探究 使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？
3=______ =_______ _________
______ =________ =__________
结论：我们发现，上面的有理数都可以写成________小数或者_________小数的形式
事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是_______数.
疑问：所有的数都可以写成有限小数和无限循环小数的形式吗？
把下列各数写成小数的形式，它是我们学过的哪一类数？
______
●归纳：无限不循环小数，叫做_____。
我们知道，有理数有正负之分，那无理数呢？事实上，无理数也有正负之分，例如：
正无理数：
负无理数：
练习:判断下列数哪些是有理数？哪些是无理数？
有理数是：__________________无理数是：____________________
疑问：到底怎样识别无理数呢？你有没有什么捷径呢？
●归纳：无理数的特征
无理数有三类:
１．圆周率及一些含有的数；如：____________________
２．开不尽方的数：如:____________________
３．有一定的规律，但不循环的无限小数.（注意:带根号的数不一定是无理数 如，）
如：____________________
巩固练习：
1判断下列说法是否正确
（1）实数不是有理数就是无理数。（ ）
（2）无理数都是无限不循环小数。（ ）
（3）带根号的数都是无理数。（ ）
（4）无理数一定都带根号。（ ）
（5）无理数都是无限小数。（ ）
（6）无限小数都是无理数。（ ）
现在老师给出了一些数、你让它们对号入座吗？
思考:
1.如何把实数分类?
2.用根号形式表示的数一定是无理数吗?
●归纳：实数分类表:
巩固练习：
1. 把下列各数填入相应的集合内：
问题1：你能在数轴上表示出π吗？
如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O′，点O′表示的数是什么？由这个图示你能想到什么？
把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，得到一个大正方形，大正方形的边长为从而说明边长为1的小正方形的对角线为。
问题2：你能在数轴上表示出和吗？
如下图，以一个单位长度为边长画一个正方形,以原点为圆心,正方形对角线为半径画弧,与正、负半轴的交点分别为点A和点B，数轴上A点和B点对应的数是什么？
（2）如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴填满吗？
●归纳：数轴上的数与实数之间的关系
每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来,数轴上的点有些表示有理数,有些表示无理数.实数与数轴上的点是________的.
巩固练习：
1.（1）请将数轴上是各点与下列实数对应起来：
（2）比较它们的大小（用“＜”号连接）
思考：的相反数是____ -π的相反数是______ 0的相反数是______
____________ ____________ |0|____________
通过你的填写那你发现什么结论？
结论：有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数：
1、数a的相反数是____，这里表示任意一个______.
2、一个正实数的绝对值________；一个负实数的绝对值是___________；0的绝对值是____．即:
其中a为一切实数
三、例题讲解
例1、（1）分别写出的相反数
（2）指出-分别是什么数的相反数
（3）求
（4）已知一个数的绝对值是，求这个数
巩固练习：
１、正实数的绝对值是___________，０的绝对值是___________，负实数的绝对值是___________.
２、的相反数是___________，绝对值是___________．
３、绝对值等于的数是___________，-的平方是___________．
4、比较大小：－７___________-
5、一个数的绝对值是，则这个数是___________.
例2： 计算下列各式的值：
（1） （2）3+2
巩固练习：
计算
（1） （2）
例3、 计算：（结果保留小数点后两位）：
（2）
巩固练习：
计算：
（精确到0.0001） （2）15-2（5+）（结果保留三位小数）
点A在数轴上对应的数为2，点B在数轴上对应的数为-3，则A，B两点的距离为______．
3、的整数部分与小数部分的差是多少？（结果保留3位小数）
4、实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，其中点c是点a与点b的中点．
试化简：
四、课堂小结
通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识？你还有哪些问题，与同伴交流.
布置作业
教材37页3、4、5题
当堂测评
1、下列各组数中，互为相反数的一组是( )
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
2、下列关于的说法错误的是( ).
A. B.
C. D. 是一个无限不循环小数
3、下列说法中：
①无限小数是无理数
②无理数是无限小数
③无理数和无理数的和一定是无理数
④实数和数轴上的点是一一对应的
⑤无理数与有理数的乘积一定是无理数
其中，正确的是______．
4、数轴上，两点表示的数分别是和，则，两点间表示的整数的点共有 个．
5、把下列各数填在相应的大括号内：
，，，，，，，，，，(每两个之间依次多一个)．
自然数集合：； 有理数集合：；
正数集合：； 整数集合：；
非负整数集合：； 分数集合：．
6、化简：．
7、若的整数部分为，小数部分为，求的值．
8、如图，数轴上与，对应的点分别是，，点也在数轴上，且，设点表示的数为，求的值．
9、如图，数轴上点表示的数为，点在数轴上向左平移个单位到达点，点表示的数为．
化简：．
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6.3实数
教学目标：
1、了解无理数和实数的概念,会将实数按一定的标准进行分类.
2、通过学习“实数与数轴上的点的一一对应关系”，渗透“数形结合”思想.
3、从分类、集合的思想中领悟数学的内涵,激发兴趣.
教学重点：正确理解实数的概念.
教学难点：对“实数与数轴上的点一一对应关系”的理解.
教学过程：
一、新知引入
同学们，前面我们学习过有理数的分类，你还就记得吗？（让学生回忆、然后举出一两个数让学生判别）
毕达哥拉斯曾说“万物皆为数”我们学过的还是我们学习过的有理数码？不是的话它们又是什么数？还有这样的数吗？今天我们一起来解决这个问题（板书课题）
二、新知讲解
探究 使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？
3=______ =_______ _________
______ =________ =__________
结论：我们发现，上面的有理数都可以写成________小数或者_________小数的形式
事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是_______数.
答案：有限、无限循环、有理
疑问：所有的数都可以写成有限小数和无限循环小数的形式吗？（同学举例，解答与疑惑）
把下列各数写成小数的形式，它是我们学过的哪一类数？
______
●归纳：无限不循环小数，叫做无理数。
我们知道，有理数有正负之分，那无理数呢？事实上，无理数也有正负之分，例如：
正无理数：
负无理数：
练习:判断下列数哪些是有理数？哪些是无理数？
有理数是：
无理数是：
疑问：到底怎样识别无理数呢？你有没有什么捷径呢？
●归纳：无理数的特征
无理数有三类:（让学生举例，然后归类）
１．圆周率及一些含有的数；
２．开不尽方的数：
３．有一定的规律，但不循环的无限小数.（注意:带根号的数不一定是无理数 如，）
0.1010010001…〔两个1之间依次多一个0〕
—168.3232232223…〔两个3之间依次多一个2〕
0.12345678910111213 …〔小数部分由相继的正整数组成〕…
同学们，相信你们对数已经有一个很好的认识了，接下来完成这个练习，证明你们的实力！
巩固练习：
1判断下列说法是否正确
（1）实数不是有理数就是无理数。（ ）
（2）无理数都是无限不循环小数。（ ）
（3）带根号的数都是无理数。（ ）
（4）无理数一定都带根号。（ ）
（5）无理数都是无限小数。（ ）
（6）无限小数都是无理数。（ ）
√ √ × × √ ×
现在老师给出了一些数、你让它们对号入座吗？
由学生共同完成上述问题后,要求学生思考:
1.如何把实数分类?
2.用根号形式表示的数一定是无理数吗?
●归纳：实数分类表:
注意：指导学生认识两种分类方式的异同,并特别强调“0”在表中的位置，考虑问题时不能忘记特殊数——0.
巩固练习：
1. 把下列各数填入相应的集合内：
现在我们引进了新的数：无理数，我们以前研究有理数的工具是数轴、想想无理数是否也能借助数轴来研究，下面我们一起来解答两个疑问，就可以解决同学们的疑惑了：
问题1：你能在数轴上表示出π吗？
如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O′，点O′表示的数是什么？由这个图示你能想到什么？
解：由图可知，OO′的长是这个圆的周长π，所以O′点表示的数是π，由此可知，数轴上的点可以表示无理数.
结论：无理数可以用数轴上的点来表示.
把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，得到一个大正方形，大正方形的边长为从而说明边长为1的小正方形的对角线为。
问题2：你能在数轴上表示出和吗？（学生思考，最后教师动态演示ppt）
（1）如下图，以一个单位长度为边长画一个正方形,以原点为圆心,正方形对角线为半径画弧,与正、负半轴的交点分别为点A和点B，数轴上A点和B点对应的数是什么？
（2）如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴填满吗？
通过观察发现：数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数.事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示出来。
●归纳：数轴上的数与实数之间的关系
每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来,数轴上的点有些表示有理数,有些表示无理数.实数与数轴上的点是一一对应的.
巩固练习：
1.（1）请将数轴上是各点与下列实数对应起来：
（2）比较它们的大小（用“＜”号连接）
现在同学们现在你们对实数有了跟进一步步的认识了吧，想一想有理数的绝对值是否对实数也实用呢？
思考：的相反数是____ -π的相反数是______ 0的相反数是______
____________ ____________ |0|____________
通过你的填写那你发现什么结论？
结论：有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数：
1、数a的相反数是____，这里表示任意一个______.
2、一个正实数的绝对值________；一个负实数的绝对值是___________；0的绝对值是____．即:
其中a为一切实数
同学们这节课的新知识学习已经结束了，以后初中阶段我们所谈到的数都指有理数。下面我们来做一些习题，加深对实数的理解！
三、例题讲解
例1、（1）分别写出的相反数
（2）指出-分别是什么数的相反数
（3）求
（4）已知一个数的绝对值是，求这个数
答案：（1） （2）（3） 4 （4）
巩固练习：
１、正实数的绝对值是___________，０的绝对值是___________，负实数的绝对值是___________.（答案：它本身、0、它的相反数）
２、的相反数是___________，绝对值是___________．（答案：、）
３、绝对值等于的数是___________，-的平方是___________．（答案：、7）
4、比较大小：－７___________-（答案：<）
5、一个数的绝对值是，则这个数是___________.（答案：）
例2： 计算下列各式的值：
（1） （2）3+2
答案：
小结：在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
巩固练习：
计算
（1） （2）
答案：（1）-4 （2）0 （3）-29 （4）5 （5） （6）
例3、 计算：（结果保留小数点后两位）：
（2）
注意：计算的过程一般比要求保留的小数点位数多一位.
答案：（1）5.38 （2）2.45
巩固练习：
计算：
（精确到0.0001） （2）15-2（5+）（结果保留三位小数）
答案：（1）0.6740 （2）0.528
2、点A在数轴上对应的数为2，点B在数轴上对应的数为-3，则A，B两点的距离为______．（答案：5）
3、的整数部分与小数部分的差是多少？（结果保留3位小数）
（答案：0.268）
4、实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，其中点c是点a与点b的中点．
试化简：
（答案：-a-2c）
学生自主完成，教师巡视，然后集体订正
四、课堂小结
通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识？你还有哪些问题，与同伴交流.
布置作业
教材37页3、4、5题
当堂测评
1、下列各组数中，互为相反数的一组是( )
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
A 解：，，故与互为相反数；
，，故与不是相反数；
，故与不是相反数；
，，故与不是相反数．
2、下列关于的说法错误的是( ).
A. B.
C. D. 是一个无限不循环小数
C 解：，，故正确；
，正确；
是一个无理数，错误(应该是)；
是一个无理数，即是一个无限不循环小数正确．
故答案为：.
3、下列说法中：
①无限小数是无理数
②无理数是无限小数
③无理数和无理数的和一定是无理数
④实数和数轴上的点是一一对应的
⑤无理数与有理数的乘积一定是无理数
其中，正确的是______．
②④ 解：
①无限小数是无理数．无限循环小数是有理数，所以此选项错误；
②无理数是无限小数，此选项正确；
③无理数和无理数的和一定是无理数．无理数和无理数的和不一定是无理数，如：，所以此选项错误；
④实数和数轴上的点是一一对应的，此选项正确；
⑤无理数与有理数的乘积一定是无理数，无理数与有理数的乘积不一定是无理数，如：，所以此选项错误．
所以正确选项有：②④．
4、数轴上，两点表示的数分别是和，则，两点间表示的整数的点共有????????????个．
4 解：，，
两点间表示的整数的点共有个：．
5、把下列各数填在相应的大括号内：
，，，，，，，，，，(每两个之间依次多一个)．
自然数集合：；有理数集合：；
正数集合：；整数集合：；
非负整数集合：；分数集合：．
解：，，．
故自然数集合；
有理数集合；
正数集合；
整数集合；
非负整数集合；
分数集合．
6、化简：．
解：
7、若的整数部分为，小数部分为，求的值．
解：，
，
，，
．
8、如图，数轴上与，对应的点分别是，，点也在数轴上，且，设点表示的数为．
求的值．
解：设点表示，
数轴上，两点表示的数分别为，，且，
，解得．
9、如图，数轴上点表示的数为，点在数轴上向左平移个单位到达点，点表示的数为．
化简：．
解：，
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