【巩固练习】
1.有以下四个结论：①lg(lg10)=0；②ln(lne)=0；③若10=lgx，则x=10；④若e=lnx，则x=e2，其中正确的是( )
A.①③ B.②④ C.①② D.③④
2.下列等式成立的有( )
①；②；③；④；⑤；
A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②③④⑤
3.已知，那么用表示是( )
A. B. C. D.
4.已知，且等于( )
A. B. C. D.
5．若，则（ ）
A. B. C. D.
6．设a，b，c为正数，且3a=4b=6c，则有( )
A. B. C. D.
7．如果方程的两根为、，则的值为（ ）
A. B. C. D. -6
8．已知函数满足：当时，；当时，，则=（ ）
A. B. C. D.
9. 已知，则 ；
10. (1)= ；
(2)= ．
11．已知a=0.33，b=30.3， c=log30.3， d=log0.33，则a，b，c，d的大小关系是 .
12．已知，则的值等于 ．
13．计算：（1）；
（2）若，求．
14．设logac， logbc是方程x2-3x+1=0的两根，求的值.
15．2010年我国国民生产总值为亿元，如果平均每年增长8%，那么经过多少年后国民生产总值是2010年的2倍（，精确到1年）？
【答案与解析】
1. 【答案】C
【解析】由知①②正确．
2. 【答案】B
【解析】；
3. 【答案】A
【解析】原式==，故选A．
4．【答案】D
【解析】因为，所以，所以．
5．【答案】B
【解析】，因为，所以，故选B．
6．【答案】B
【解析】设3a=4b=6c=k， 则a=log3k， b=log4k， c=log6k，
∴， 同理，，
而， ∴，即.
7．【答案】C
【解析】由题意、是关于的方程的两根，，．
8．【答案】A
【解析】 由于，所以，则
==．
9．【答案】3
【解析】因为，所以，故．
10. 【答案】 (1)-3； (2)4．
11．【答案】b>a>d>c
【解析】 ∵0.3>0，3>0， ∴a=0.33>0， b=30.3>0.
∵3>1， 0<0.3<1， ∴c=log30.3<0， d=log0.33<0
又∵b=30.3>1， a=0.33<1， ∴ b>a
而， ， ∴d>c.
12．【答案】2008
【解析】2008 令，则，
，所以．
13．【答案】(1)(2)1
【解析】（1）原式=
=
=
（2）
=
=
即
=
14．【答案】
【解析】依题意得： 即 ， 即
∴.
∴.
故.
15．【答案】9
【解析】设经过年国民生产总值为2010年的2倍
经过1年，国民生产总值为，
经过2年，国民生产总值为，
…
经过年，国民生产总值为
，两边同取常用对数，得
即（年）
答：约经过9年，国民生产总值是2010年的2倍．
对数及对数运算
【学习目标】
1.理解对数的概念，能够进行指数式与对数式的互化；
2.了解常用对数与自然对数的意义；
3．能够熟练地运用对数的运算性质进行计算；
4．了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明．
5．能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用．
【要点梳理】
要点一、对数概念
1.对数的概念
如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
要点诠释：
对数式logaN=b中各字母的取值范围是：a>0 且a1， N>0， bR.
2.对数具有下列性质：
(1)0和负数没有对数，即；
(2)1的对数为0，即；
(3)底的对数等于1，即.
3．两种特殊的对数
通常将以10为底的对数叫做常用对数，.以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数， .
4．对数式与指数式的关系
由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.
由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.
要点二、对数的运算法则
已知
(1) 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；
推广：
(2) 两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数；
(3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；
要点诠释：
（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)与log2(-5)是不存在的.
（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：
loga(MN)=logaMlogaN，
loga(M·N)=logaM·logaN，
loga.
要点三、对数公式
1．对数恒等式：
2．换底公式
同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a≠1， M>0的前提下有:
(1)
令 logaM=b， 则有ab=M， (ab)n=Mn，即， 即，即:.
(2) ，令logaM=b， 则有ab=M， 则有
即， 即，即
当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论:
.
【典型例题】
类型一、指数式与对数式互化及其应用
例1.将下列指数式与对数式互化：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).
【解析】运用对数的定义进行互化.
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).
【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.
举一反三：
【变式1】求下列各式中x的值：
(1) (2) (3)lg1000=x (4)
【答案】（1）；（2）；（3）3；（4）-4．
【解析】将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.
(1)；
(2)；
(3)10x=1000=103，于是x=3；
(4)由.
高清课程：对数及对数运算 例1
【变式2】计算：并比较．
【答案】2 3 5
【解析】
．
类型二、利用对数恒等式化简求值
例2．求值：
【答案】35
【解析】.
【总结升华】对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.
举一反三：
【变式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)
【答案】
【解析】将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.
.
类型三、积、商、幂的对数
高清课程：对数及对数运算例3
例3. 表示下列各式
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）=．
【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算．
举一反三：
【变式1】求值
(1) (2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2
【答案】（1）22；（2）1；（3）2．
【解析】(1)
(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1
(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2
=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.
【变式2】（1）设，求的值．
（2）已知，求．
【答案】（1）1；（2）
【解析】（1）由已知分别求出和，
，
由换底公式得：
=
=
（2），，又，故
故，又，从而，
故．
类型四、换底公式的运用
例4.已知，求．
【答案】
【解析】
解法一：，，
于是．
解法二：，，
于是
解法三：，，
．
解法四：，
又．
令，则，
即
．
【总结升华】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质．
（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式．
（3）解决这类问题要注意隐含条件“”的灵活运用．
举一反三：
【变式1】求值：(1)；(2)；(3).
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】(1)
；
(2)；
(3)法一：
法二：.
类型五、对数运算法则的应用
例5.求值
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】（1）-10；（2）0；（3）3；（4）13
【解析】(1)原式=
(2) 原式=
=
(3)原式=
(4)原式
举一反三：
【变式1】求值：
【答案】2
【解析】
另解：设 =m (m>0).∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ lg2=lgm， ∴ 2=m，即.
例6.若方程的两根是a，b，求ab的值．
【答案】
【解析】设，则
是原方程的两个根，
【总结升华】解决本题的关键是要分清楚a，b是哪个方程的根，所以首先利用换元法把方程化成一元二次方程，这样就可以得到原方程的两根是．
举一反三：
【变式1】若是方程的两个实根，求的值．
【答案】12
【解析】原方程可化为，设，则原方程化为．．
由已知是原方程的两个根，
则，即，
=
=
=．
即．
【巩固练习】
1.下列说法中错误的是( )
A.零和负数没有对数 B.任何一个指数式都可化为对数式
C.以10为底的对数叫做常用对数 D.以e为底的对数叫做自然对数
2.有以下四个结论：①lg(lg10)=0；②ln(lne)=0；③若10=lgx，则x=10；④若e=lnx，则x=e2，其中正确的是( )
A.①③ B.②④ C.①② D.③④
3.下列等式成立的有( )
①；②；③；④；⑤；
A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②③④⑤
4．对数式中，实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5．若，则下列说法正确的是（ ）
①若，则；②，则；
③，则；④若，则。
A.①③ B.②④ C. ② D. ①②③④
6.已知，那么用表示是( )
A. B. C. D.
7.已知，且等于( )
A. B. C. D.
8．若，则（ ）
A. B. C. D.
9.3的 次幂等于8.
10.若，则x= 。
11. 若 ；
12．若，则 。
13．（1）设，求；
（2）已知，用表示。
14．计算.
【答案与解析】
1. 【答案】 B
【解析】 由对数的概念知，指数式中，只有，且的指数式才可以化为对数式。
2. 【答案】C
【解析】 由知①②正确。
3. 【答案】B
【解析】 ；
4. 【答案】C
【解析】 由对数的定义可知所以且，故选C。
5. 【答案】 C
【解析】 注意使成立的条件是M、N必须为正数，所以①③④不正确，而②是正确的，故选C。
6. 【答案】A
【解析】 原式==，故选A。
7．【答案】D
【解析】因为，所以，所以。
8．【答案】B
【解析】，因为，所以，故选B。
9. 【答案】
【解析】 由对数的恒等式可得；
10. 【答案】 -13
【解析】 由指数式与对数式互化，可得，解得。
11. 【答案】 12
【解析】 。
12. 【答案】1
【解析】 因为所以，又因为所以，所以原式=。
13．【答案】 (1)9 (2)
【解析】（1）利用换底公式得：，得。
（2）由对数换底公式得：
=2（）=。
14．【答案】1
【解析】原式=
=
对数及对数运算
【学习目标】
1.理解对数的概念，能够进行指数式与对数式的互化；
2.了解常用对数与自然对数的意义；
3．能够熟练地运用对数的运算性质进行计算；
4．了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明．
5．能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用．
【要点梳理】
要点一、对数概念
1.对数的概念
如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
要点诠释：
对数式logaN=b中各字母的取值范围是：a>0 且a1， N>0， bR.
2.对数具有下列性质：
(1)0和负数没有对数，即；
(2)1的对数为0，即；
(3)底的对数等于1，即.
3．两种特殊的对数
通常将以10为底的对数叫做常用对数，.以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数， .
4．对数式与指数式的关系
由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.
由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.
要点二、对数的运算法则
已知
(1) 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；
推广：
(2) 两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数；
(3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；
要点诠释：
（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)与log2(-5)是不存在的.
（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：
loga(MN)=logaMlogaN，
loga(M·N)=logaM·logaN，
loga.
要点三、对数公式
1．对数恒等式：
2．换底公式
同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a≠1， M>0的前提下有:
(1)
令 logaM=b， 则有ab=M， (ab)n=Mn，即， 即，即:.
(2) ，令logaM=b， 则有ab=M， 则有
即， 即，即
当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论:
.
【典型例题】
类型一、对数的概念
例1.求下列各式中的取值范围：
（1）；（2）；（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）且
【解析】（1）由题意，，即为所求．
（2）由题意
即．
（3）由题意
解得且．
【总结升华】在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1．
举一反三：
【变式1】函数的定义域为 ．
【答案】
类型二、指数式与对数式互化及其应用
例2.将下列指数式与对数式互化：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).
【解析】运用对数的定义进行互化.
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).
【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.
举一反三：
【变式1】求下列各式中x的值：
(1) (2) (3)lg1000=x (4)
【答案】（1）；（2）；（3）3；（4）-4．
【解析】将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.
(1)；
(2)；
(3)10x=1000=103，于是x=3；
(4)由.
高清课程：对数及对数运算 例1
【变式2】计算：并比较．
【解析】
．
类型三、利用对数恒等式化简求值
例3．求值：
【答案】35
【解析】.
【总结升华】对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.
举一反三：
【变式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)
【答案】
【解析】将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.
.
类型四、积、商、幂的对数
高清课程：对数及对数运算例3
例4. 表示下列各式
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）=．
【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算．
举一反三：
【变式1】求值
(1) (2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2
【答案】（1）22；（2）1；（3）2．
【解析】(1)
(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1
(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2
=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.
类型五、换底公式的运用
例5.已知，求．
【答案】
【解析】
解法一：，，
于是．
解法二：，，
于是
解法三：，，
．
解法四：，
又．
令，则，
即
．
【总结升华】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质．
（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式．
（3）解决这类问题要注意隐含条件“”的灵活运用．
举一反三：
【变式1】求值：(1)；(2)；(3).
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】(1)
；
(2)；
(3)法一：
法二：.
类型六、对数运算法则的应用
例6.求值
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】（1）-10；（2）0；（3）3；（4）13
【解析】(1)原式=
(2) 原式=
=
(3)原式=
(4)原式
举一反三：
【变式1】计算下列各式的值
（1）；（2）．
【答案】（1）3；（2）1．
【解析】（1）原式==2=2+1=3；
（2）原式=+=
=．
【变式2】求值：
【答案】2
【解析】
另解：设 =m (m>0).∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ lg2=lgm， ∴ 2=m，即.
