【巩固练习】
1．1. 设A={(x, y)| |x+1|+(y-2)2=0}，B={-1, 2}，则必有（ ）
A、 B、 C、A=B D、A∩B=
2. 集合M={y| y=x2-1, x∈R}， N={x| y=}，则M∩N等于（ ）
A、{(-, 1), (, 1)} B、
C、 D、
3．已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是 （ ）
4．已知集合满足,那么下列各式中一定成立的是（ ）
A． AB B． BA C． D．
5．若集合，，且，则的值为( )
A．1 B．-1 C．1或-1 D．1或-1或0
6．设集合，，则( )
A． B． C． D．
7．设，则.
8．某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人.
9．若且，则 .
10．若，则= .
11．设全集，集合，，那么等于________________.
12．设集合，都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的，（），都有（表示两个数中的较小者）则的最大值是 .
13．设，其中，如果，求实数的取值范围.
14．设，集合，；若，求的值.
15．设，集合.满足以下两个条件：
（1）
（2）集合中的所有元素的和为124，其中.
求的值.
【答案与解析】
1.【答案】D
【解析】.学生易错选C。错因是未正确理解集合概念，误以为A={-1，2}，
其实{(x, y)| |x+1|+(y-2)2=0}={(-1, 2)}，A是点集而B是数集，故正确答案应选D。
2.【答案】C
【解析】 集合M中的元素是y，它表示函数y=x2-1的值域，
集合N中的元素是x，它表示函数y=的定义域。
由M={y| y≥-1}，N={x| -≤x≤}，知M∩N={t| -1≤t≤}，因此选C。
3．【答案】B
【解析】由，得，则,选B．
4．【答案】C
【解析】
5.【答案】D
【解析】当时，满足，即；当时，
而，∴；∴.
6.【答案】 B
【解析】 ；，整数的范围大于奇数的范围.
7.【答案】
【解析】.
8.【答案】26
【解析】全班分类人：设既爱好体育又爱好音乐的人数为人；仅爱好体育的人数为()人；仅爱好音乐的人数为()人；既不爱好体育又不爱好音乐的人数为人 .∴，∴.
9.【答案】
【解析】由，则，且.
10.【答案】
【解析】，.
11.【答案】
【解析】，代表在直线上，但是挖掉的点，代表直线外，但是包含点的点；
代表直线外的点，代表直线上的点，∴.
12.【答案】11
【解析】含2个元素的子集有15个，但、、只能取1个；、只能取1个；、只能取1个，故满足条件的两个元素的集合有11个.
13.【答案】
【解析】由，而，
当，即时，，符合；
当，即时，，符合；
当，即时，中有两个元素，而；
∴得
∴.
14.【答案】 或
【解析】，由，
当时，，符合；
当时，，而，∴，即
∴或.
15.【答案】
【解析】由得是完全平方数，又，
.，由可得，由可得.
设中另一元素为，
则.
又中所有元素之和为124，所以解得或（舍），
.
集合的基本关系及运算
【学习目标】
1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．在具体情境中，了解空集和全集的含义．
2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
【要点梳理】
要点一、集合之间的关系
1.集合与集合之间的“包含”关系
集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；
子集：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集(subset).记作：，当集合A不包含于集合B时，记作AB，用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：
要点诠释：
（1）“是的子集”的含义是：的任何一个元素都是的元素，即由任意的，能推出．
（2）当不是的子集时，我们记作“(或)”，读作：“不包含于”（或“不包含”）．
真子集：若集合，存在元素xB且，则称集合A是集合B的真子集(proper subset).记作：AB(或BA)
规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
2.集合与集合之间的“相等”关系
，则A与B中的元素是一样的，因此A=B
要点诠释：
任何一个集合是它本身的子集，记作．
要点二、集合的运算
1.并集
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}
Venn图表示：
要点诠释：
（1）“xA，或xB”包含三种情况：“”；“”；“”．
（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).
2.交集
一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示：
要点诠释：
（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是．
（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”．
（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合.
3.补集
全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.
补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set)，简称为集合A的补集，记作：补集的Venn图表示：
要点诠释：
（1）理解补集概念时，应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念，一个确定的集合，对于不同的集合U，补集不同．
（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则为全集；而当问题扩展到实数集时，则为全集，这时就不是全集．
（3）表示U为全集时的补集，如果全集换成其他集合（如）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即）．
4.集合基本运算的一些结论
若A∩B=A，则，反之也成立
若A∪B=B，则，反之也成立
若x(A∩B)，则xA且xB
若x(A∪B)，则xA，或xB
求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法.
【典型例题】
类型一、集合间的关系
例1. 集合，集合，那么间的关系是（ ）.
A. B. C. = D.以上都不对
【答案】B
【解析】先用列举法表示集合、，再判断它们之间的关系.由题意可知，集合是非负偶数集，即.集合中的元素.而（为正奇数时）表示0或正偶数，但不是表示所有的正偶数，即.由依次得0,2,6,12，，即.
综上知，，应选.?
【总结升华】判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的.这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn图，或数形集合表示）.
举一反三：
【变式1】若集合，则（ ）.
A. B. C. = D.
【答案】C
例2. 写出集合{a，b，c}的所有不同的子集.
【解析】不含任何元素子集为，只含1个元素的子集为{a}，{b}，{c}，含有2个元素的子集有{a，b}，{a，c}，{b，c}，含有3个元素的子集为{a，b，c}，即含有3个元素的集合共有23=8个不同的子集.如果集合增加第4个元素d，则以上8个子集仍是新集合的子集，再将第4个元素d放入这8个子集中，会得到新的8个子集，即含有4个元素的集合共有24=16个不同子集，由此可推测，含有n个元素的集合共有2n个不同的子集.
【总结升华】要写出一个集合的所有子集，我们可以按子集的元素个数的多少来分别写出.当元素个数相同时，应依次将每个元素考虑完后，再写剩下的子集.如本例中要写出2个元素的子集时，先从a起，a与每个元素搭配有{a，b}，{a，c}，然后不看a，再看b可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的子集：和它本身.
举一反三：
【变式1】已知，则这样的集合有 个.
【答案】7个
【变式2】同时满足：①；②，则的非空集合有（ ）
A. 16个 B. 15个 C. 7个 D. 6个
【答案】C
【解析】时，；时，；时，；时，；时，；非空集合可能是：，共7个.故选C.
例3．集合A={x|y=x2+1}，B={y|y=x2+1}，C={(x,y)|y=x2+1}，D={y=x2+1}是否表示同一集合？
【答案】以上四个集合都不相同
【解析】集合A={x|y=x2+1}的代表元素为x，故集合A表示的是函数y=x2+1中自变量x的取值范围，即函数的定义域A=；
集合B={y|y=x2+1}的代表元素为y，故集合B表示的是函数y=x2+1中函数值y的取值范围，即函数的值域B=；
集合C={(x,y)|y=x2+1}的代表元素为点（x，y），故集合C表示的是抛物线y=x2+1上的所有点组成的集合；
集合D={y=x2+1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素：方程y=x2+1．
【总结升华】认清集合的属性，是突破此类题的关键.首先应当弄清楚集合的表示方法，是列举法还是描述法；其次对于用描述法表示的集合一定要认准代表元素，准确理解对代表元素的限制条件．
举一反三：
【变式1】 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】排除法：集合M、N都是点集，因此只能是点集，而选项A表示二元数集合，选项B表示二元等式集合，选项C表示区间（无穷数集合）或单独的一个点的坐标（不是集合），因此可以判断选D．
【变式2】 设集合，，则与的关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】集合M表示函数的定义域，有；
集合N表示函数的值域，有，故选A.
【高清课堂：集合的概念、表示及关系 377430 例2】
【变式3】 设M={x|x=a2+1，aN+}，N={x|x=b2-4b+5，bN+}，则M与N满足( )
A. M=N B. MN C. NM D. M∩N=
【答案】B
【解析】 当aN+时，元素x=a2+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当bN+时，元素x=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M中元素都在N中，但N中至少有一个元素x=1不在M中，即MN，故选B.
【高清课堂：集合的概念、表示及关系 377430 例3】
例4．已知若M=N，则= ．
A．－200 B．200 C．－100 D．0
【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性．
【答案】D
【解析】由M=N，知M，N所含元素相同.由O{0，|x|，y}可知
若x=0，则xy=0，即x与xy是相同元素，破坏了M中元素互异性，所以x≠0.
若x·y=0，则x=0或y=0，其中x=0以上讨论不成立，所以y=0，即N中元素0，y是相同元素，破坏了N中元素的互异性，故xy≠0
若，则x=y，M，N可写为
M={x，x2，0}，N={0，|x|，x}
由M=N可知必有x2=|x|，即|x|2=|x|
∴|x|=0或|x|=1
若|x|=0即x=0，以上讨论知不成立
若|x|=1即x=±1
当x=1时，M中元素|x|与x相同，破坏了M中元素互异性，故 x≠1
当x=-1时，M={-1，1，0}，N={0，1，-1}符合题意，综上可知，x=y=-1
=-2+2-2+2+…+2=0
【总结升华】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征，而找不到题目的突破口．因此，集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点．
举一反三：
【变式1】设a，bR，集合，则b-a=( )
【答案】2
【解析】由元素的三要素及两集合相等的特征：
∴当b=1时，a=-1，
当时，∴b=a且a+b=0，∴a=b=0(舍)
∴综上：a=-1，b=1，∴b-a=2.
类型二、集合的运算
例5. 设集合，，，求.
【答案】,
【解析】先将集合、、、转化为文字语言叙述，以便弄清楚它们的构成，再求其交集即可.
集合表示3的倍数所组成的集合；
集合表示除以3余1的整数所组成的集合；
集合表示除以3余2的整数所组成的集合；
集合表示除以6余1的整数所组成的集合；
,.
【总结升华】求两个集合的交集或并集，关键在于弄清两个集合由哪些元素所构成的，因而有时需要对集合进行转化，或具体化、形象化.如本例中转化为用自然语言来描述这些集合，有利于弄清集合的元素的构成.类似地，若一个集合元素的特征由不等式给出时，利用数轴就能使问题直观形象起来.
举一反三：
【变式1】已知集合M={y|y=x2-4x+3，xR}，N={y|y=-x2-2x+8，xR}，则M∩N等于( )
A. B. R C. {-1，9} D. [-1，9]
【答案】D
【解析】集合M、N均表示构成相关函数的因变量取值范围，故可知：M={y|y≥-1}，N={y|y≤9}，所以M∩N={y|-1≤y≤9}，选D.
例6. 设集合M={3，a}，N={x|x2-2x<0，xZ}，M∩N={1}，则M∪N为( )
A. {1，3，a} B. {1，2，3，a} C. {1，2，3} D. {1，3}
【思路点拨】先把集合N化简，然后再利用集合中元素的互异性解题．
【答案】D
【解析】由N={x|x2-2x<0，xZ}可得：N={x|0举一反三：
【变式1】（1）已知：M={x|x≥2}，P={x|x2-x-2=0}，求M∪P和M∩P；
（2）已知：A={y|y=3x2}， B={y|y=-x2+4}， 求：A∩B，A∪B；
（3）已知集合A={-3， a2 ，1+a}， B={a-3， a2+1， 2a-1}， 其中aR，若A∩B={-3}，求A∪B.
【答案】（1）{x|x≥2或x=-1}，{2}；（2）{y|0≤y≤4}，R；（3）{-4，-3，0，1，2}.
【解析】（1）P={2，-1}，M∪P={x|x≥2或x=-1}，M∩P={2}.
（2）∵A={y|y≥0}， B={y|y≤4}， A∩B={y|0≤y≤4}， A∪B=R.
（3）∵A∩B={-3}，-3B，则有：
①a-3=-3a=0， A={-3，0，1}， B={-3，1，-1}A∩B={-3，1}，与已知不符，∴a≠0；
②2a-1=-3a=-1， ∴ A={-3，1，0}， B={-4，2，-3}， 符合题设条件，∴A∪B={-4，-3，0，1，2}.
【总结升华】此例题既练习集合的运算，又考察了集合元素的互异性.其中（1）易错点为求并集时，是否意识到要补上孤立点-1；而（2）中结合了二次函数的值域问题；（3）中根据集合元素的互异性，需要进行分类讨论，当求出a的一个值时，又要检验是否符合题设条件.
【高清课堂：集合的运算 377474 例5】
【变式2】设集合A={2，a2-2a，6}，B={2，2a2，3a-6}，若A∩B={2，3}，求A∪B.
【答案】｛2，3，6，18｝
【解析】由A∩B={2，3}，知元素2，3是A，B两个集合中所有的公共元素，所以3｛2，a2-2a，6｝，则必有a2-2a=3，解方程a2-2a-3=0得a=3或a=-1
当a=3时，A={2，3，6}，B={2，18，3}
∴A∪B={2，3，6}∪｛2，18，3｝=｛2，3，6，18｝
当a=-1时，A={2，3，6}，B={2，2，-9}
这既不满足条件A∩B={2，3}，也不满足B中元素具有互异性，故a=-1不合题意，应舍去.
综上A∪B=｛2，3，6，18｝
例7.已知全集，求CuA.
【思路点拨】CuA隐含了，对于，注意不要忘记的情形.
【答案】 当时，CuA=；当时，CuA=；当时，CuA=.
【解析】
当时，方程无实数解.
此时.CuA=
当时，二次方程的两个根，必须属于.
因为，所以只可能有下述情形：
当时，，此时 CuA=；
当时，，此时 CuA=.
综上所述，当时，CuA=；
当时，CuA=；
当时，CuA=.
【总结升华】求集合的补集，只需在全集中剔除集合的元素后组成一个集合即可.由于本题中集合的元素不确定，因此必须分类讨论才行.
举一反三：
【变式1】 设全集U={xN+|x≤8}，若A∩(CuB)={1，8}，(CuA)∩B={2，6}，(CuA)∩(CuB)={4，7}，求集合A，B.
【答案】{1，3，5，8}，{2，3，5，6}.
【解析】全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}
由A∩(CuB)={1，8}知，在A中且不在B中的元素有1，8；由(CuA)∩B={2，6}，知不在A中且在B中的元素有2，6；由(CuA)∩(CuB)={4，7}，知不在A中且不在B中的元素有4，7，则元素3，5必在A∩B中.
由集合的图示可得
A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}.
类型三、集合运算综合应用
例8．已知全集A={x|-2≤x≤4}， B={x|x>a}.
（1）若A∩B≠，求实数 a的取值范围；
（2）若A∩B≠A，求实数a的取值范围；
（3）若A∩B≠且A∩B≠A，求实数a的取值范围．
【思路点拨】（1）画数轴；（2）注意是否包含端点.
【答案】（1）a<4；（2）a≥-2；（3）-2≤a<4．
【解析】
(1)∵A={x|-2≤x≤4}， B={x|x>a}，又A∩B≠，如图，a<4；
(2)画数轴同理可得：a≥-2；
(3)画数轴同理可得：如图，-2≤a<4.
【总结升华】此问题从题面上看是集合的运算，但其本质是一个定区间，和一个动区间的问题.思路是，使动区间沿定区间滑动，数形结合解决问题.
举一反三：
【变式1】已知集合P=｛x︱x2≤1｝,M=｛a｝.若P∪M=P,则a的取值范围是（ ）
A．(-∞, -1] B．[1, +∞）
C．[-1，1] D．（-∞，-1] ∪[1，+∞）
【答案】C
【解析】｛︱｝又 ， ∴，∴
故选C．
例9. 设集合.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
【思路点拨】明确、的含义，根据问题的需要，将其转化为等价的关系式和，是解决本题的关键.同时，在包含关系式中，不要漏掉的情况.
【答案】（1）或；（1）2．
【解析】首先化简集合，得.
（1）由，则有，可知集合为，或为、，或为.
①若时，，解得.
②若,代入得.
当时，符合题意；
当时，也符合题意.
③若，代入得，解得或.
当时，已讨论，符合题意；
当时，，不符合题意.
由①②③，得或.
（2）.又，而至多只有两个根，因此应有，由（1）知.
【总结升华】两个等价转化：非常重要，注意应用.另外，在解决有条件的集合问题时，不要忽视的情况.
举一反三：
【变式1】已知集合，若,求实数的取值范围.
【答案】或
【解析】,.
①当时，此时方程无解，由，解得或.
②当时，此时方程有且仅有一个实数解-2，
，且，解得.
综上，实数的取值范围是或.
【变式2】设全集，集合，若CuA，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】 CuA=，.
CuA，，即.实数的取值范围是.
PAGE
【巩固练习】
1．设，，，则（ ）A． B．
C． D．
2．已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是 （ ）
3．若集合，，且，则的值为( )
A．1 B．-1 C．1或-1 D．1或-1或0
4．已知集合满足,那么下列各式中一定成立的是（ ）
A． AB B． BA C． D．
5．若全集，则集合的真子集共有( )
A．3个 B．5个 C．7个 D．8个
6．设集合，，则( )
A． B． C． D．
7．用适当的符号填空：
（1） ；（2） ；（3） .
8. 若集合，，，则的非空子集的个数为 .
9．若集合，，则_____________．
10．设集合，，且，则实数的取值范围是 .
11．已知，则_________.
12．已知集合，若，请写出满足上述条件得集合.
13．已知，，，求的取值范围.
14．已知集合，且,求实数的值．
15．设全集，，.
【答案与解析】
1．【答案】B
【解析】对于，因此．
2．【答案】B
【解析】由，得，则,选B．
3.【答案】D
【解析】当时，满足，即；当时，而，∴；∴.
4.【答案】 C
【解析】
5.【答案】 C
【解析】 ，真子集有.
6.【答案】 B
【解析】 ；，整数的范围大于奇数的范围.
7.【答案】（1） ；（2） ；（3） .
8.【答案】15
【解析】 ，，非空子集有.
9.【答案】
【解析】 ，显然.
10.【答案】
【解析】，则得.
11.【答案】
【解析】，，，.
12.【答案】满足条件的集合是，，，，，，.
13.【答案】
【解析】当，即时，满足，即；
当，即时，满足，即；
当，即时，由，得，得，即；
∴综上得.
14.【答案】
【解析】显然又,，即0-0+=0，.
由解得或1
，可解得.于是，解得或1.
.
15.【答案】
【解析】当时，，即；
当时，即，且
∴，∴
而对于，即，∴
∴.
集合的基本关系及运算
【学习目标】
1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．在具体情境中，了解空集和全集的含义．
2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
【要点梳理】
要点一、集合之间的关系
1.集合与集合之间的“包含”关系
集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；
子集：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集(subset).记作：，当集合A不包含于集合B时，记作AB，用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：
要点诠释：
（1）“是的子集”的含义是：的任何一个元素都是的元素，即由任意的，能推出．
（2）当不是的子集时，我们记作“(或)”，读作：“不包含于”（或“不包含”）．
真子集：若集合，存在元素xB且，则称集合A是集合B的真子集(proper subset).记作：AB(或BA)
规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
2.集合与集合之间的“相等”关系
，则A与B中的元素是一样的，因此A=B
要点诠释：
任何一个集合是它本身的子集，记作．
要点二、集合的运算
1.并集
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}
Venn图表示：
要点诠释：
（1）“xA，或xB”包含三种情况：“”；“”；“”．
（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).
2.交集
一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示：
要点诠释：
（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是．
（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”．
（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合.
3.补集
全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.
补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set)，简称为集合A的补集，记作：补集的Venn图表示：
要点诠释：
（1）理解补集概念时，应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念，一个确定的集合，对于不同的集合U，补集不同．
（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则为全集；而当问题扩展到实数集时，则为全集，这时就不是全集．
（3）表示U为全集时的补集，如果全集换成其他集合（如）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即）．
4.集合基本运算的一些结论：
若A∩B=A，则，反之也成立
若A∪B=B，则，反之也成立
若x(A∩B)，则xA且xB
若x(A∪B)，则xA，或xB
求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法.
【典型例题】
类型一：集合间的关系
例1. 请判断①0{0} ；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧，正确的有哪些？
【答案】②③④⑧
【解析】①错误，因为0是集合中的元素，应是；②③中都是元素与集合的关系，正确；④⑧正确，因为是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，而④中的为非空集合；⑤⑥⑦错误，是没有任何元素的集合．
【总结升华】集合的符号语言十分简洁，因而被广泛用于现代数学之中，但往往容易混淆，其障碍在于这些符号与具体意义之间没有直接的联系，突破方法是熟练地掌握这些符号的具体含义.
举一反三：
【变式1】用适当的符号填空：
(1) {x||x|≤1} {x|x2≤1}；
(2){y|y=2x2} {y|y=3x2-1}；
(3){x||x|>1} {x|x>1}；
(4){(x，y)|-2≤x≤2} {(x，y)|-1【答案】 (1)= (2) (3) (4)
【总结升华】区分元素与集合间的关系 ，集合与集合间的关系.
例2. 写出集合{a，b，c}的所有不同的子集.
【解析】不含任何元素子集为，只含1个元素的子集为{a}，{b}，{c}，含有2个元素的子集有{a，b}，{a，c}，{b，c}，含有3个元素的子集为{a，b，c}，即含有3个元素的集合共有23=8个不同的子集.如果集合增加第4个元素d，则以上8个子集仍是新集合的子集，再将第4个元素d放入这8个子集中，会得到新的8个子集，即含有4个元素的集合共有24=16个不同子集，由此可推测，含有n个元素的集合共有2n个不同的子集.
【总结升华】要写出一个集合的所有子集，我们可以按子集的元素个数的多少来分别写出.当元素个数相同时，应依次将每个元素考虑完后，再写剩下的子集.如本例中要写出2个元素的子集时，先从a起，a与每个元素搭配有{a，b}，{a，c}，然后不看a，再看b可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的子集：和它本身.
举一反三：
【变式1】已知，则这样的集合有 个.
【答案】7个
【变式2】同时满足：①；②，则的非空集合有（ ）
A. 16个 B. 15个 C. 7个 D. 6个
【答案】C
【解析】时，；时，；时，；时，；时，；非空集合可能是：，共7个.故选C.
【变式3】已知集合A={1，3，a}， B={a2}，并且B是A的真子集，求实数a的取值.
【答案】 a=-1， a=或a=0
【解析】∵， ∴a2A，
则有：
（1）a2=1a=±1，当a=1时与元素的互异性不符，∴a=-1；
（2）a2=3a=
（3）a2=aa=0， a=1，舍去a=1，则a=0
综上：a=-1， a=或a=0.
注意：根据集合元素的互异性，需分类讨论.
【高清课堂：集合的概念、表示及关系377430 例2】
例3. 设M={x|x=a2+1，aN+}，N={x|x=b2-4b+5，bN+}，则M与N满足( )
A. M=N B. MN C. NM D. M∩N=
【答案】B
【解析】当aN+时，元素x=a2+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当bN+时，元素x=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M中元素都在N中，但N中至少有一个元素x=1不在M中，即MN，故选B.
例4．已知若M=N，则= ．
A．－200 B．200 C．－100 D．0
【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性．
【答案】D
【解析】由M=N，知M，N所含元素相同.由0{0，|x|，y}可知
若x=0，则xy=0，即x与xy是相同元素，破坏了M中元素互异性，所以x≠0.
若x·y=0，则x=0或y=0，其中x=0以上讨论不成立，所以y=0，即N中元素0，y是相同元素，破坏了N中元素的互异性，故xy≠0
若，则x=y，M，N可写为
M={x，x2，0}，N={0，|x|，x}
由M=N可知必有x2=|x|，即|x|2=|x|
∴|x|=0或|x|=1
若|x|=0即x=0，以上讨论知不成立
若|x|=1即x=±1
当x=1时，M中元素|x|与x相同，破坏了M中元素互异性，故 x≠1
当x=-1时，M={-1，1，0}，N={0，1，-1}符合题意，综上可知，x=y=-1
=-2+2-2+2+…+2=0
【总结升华】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征，而找不到题目的突破口．因此，集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点．
举一反三：
【变式1】设a，bR，集合，则b-a=( )
【答案】2
【解析】由元素的三要素及两集合相等的特征：
∴当b=1时，a=-1，
当时，∴b=a且a+b=0，∴a=b=0(舍)
∴综上：a=-1，b=1，∴b-a=2.
类型二：集合的运算
例5. （1）已知集合M={y|y=x2-4x+3，xR}，N={y|y=-x2+2x+8，xR}，则M∩N等于( )．
A. B. R C. {-1，9} D. {y|-1≤y≤9}
（2）设集合M={3，a}，N={x|x2-2x<0，xZ}，M∩N={1}，则M∪N为( )．
A. {1，2，a} B. {1，2，3，a} C. {1，2，3} D. {1，3}
【思路点拨】（1）先把集合M、N进行化简，在利用数轴进行相应的集合运算．（2）先把集合N化简，然后再利用集合中元素的互异性解题．
【答案】（1）D （2）D
【解析】（1）集合M、N均表示构成相关函数的因变量取值范围，故可知：M={y|y≥-1}，N={y|y≤9}，所以M∩N={y|-1≤y≤9}，选D.
（2）由N={x|x2-2x<0，xZ}可得：N={x|0举一反三：
【变式1】设A、B分别是一元二次方程2x2+px+q=0与6x2+(2-p)x+5+q=0的解集，且A∩B={}，求A∪B.
【答案】{， ，-4}
【解析】∵A∩B={}，
∴是方程2x2+px+q=0的解，则有：
(1)，同理有：6()2+(2-p)·+5+q=0(2)
联立方程(1)(2)得到：
∴方程(1)为2x2+7x-4=0，
∴方程的解为：x1=， x2=-4， ∴ ，
由方程(2) 6x2-5x+1=0，解得：x3=， x4=，
∴B={， }，则A∪B={， ，-4}.
【高清课堂：集合的运算377474 例5】
【变式2】设集合A={2，a2-2a，6}，B={2，2a2，3a-6}，若A∩B={2，3}，求A∪B.
【答案】 ｛2，3，6，18｝
【解析】由A∩B={2，3}，知元素2，3是A，B两个集合中所有的公共元素，所以3｛2，a2-2a，6｝，则必有a2-2a=3，解方程a2-2a-3=0得a=3或a=-1
当a=3时，A={2，3，6}，B={2，18，3}
∴A∪B={2，3，6}∪｛2，18，3｝=｛2，3，6，18｝
当a=-1时，A={2，3，6}，B={2，2，-9}
这既不满足条件A∩B={2，3}，也不满足B中元素具有互异性，故a=-1不合题意，应舍去.
综上A∪B=｛2，3，6，18｝．
【高清课堂：集合的运算 377474 例6】
例6. 设全集U={xN+|x≤8}，若A∩(CuB)={1，8}，(CuA)∩B={2，6}，(CuA)∩(CuB)={4，7}，求集合A，B.
【答案】A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}
【解析】全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}
由A∩(CuB)={1，8}知，在A中且不在B中的元素有1，8；由(CuA)∩B={2，6}，知不在A中且在B中的元素有2，6；由(CuA)∩(CuB)={4，7}，知不在A中且不在B中的元素有4，7，则元素3，5必在A∩B中.
由集合的图示可得
A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}.
类型三：集合运算综合应用
例7．已知全集A={x|-2≤x≤4}， B={x|x>a}.
（1）若A∩B≠，求实数 a的取值范围；
（2）若A∩B≠A，求实数a的取值范围；
（3）若A∩B≠且A∩B≠A，求实数a的取值范围．
【思路点拨】（1）画数轴；（2）注意是否包含端点.
【答案】（1）a<4 （2）a≥-2 （3）-2≤a<4
【解析】
(1)∵A={x|-2≤x≤4}， B={x|x>a}，又A∩B≠，如图，a<4；
(2)画数轴同理可得：a≥-2；
(3)画数轴同理可得：如图，-2≤a<4.
【总结升华】此问题从表面上看是集合的运算，但其本质是一个定区间，和一个动区间的问题.思路是，使动区间沿定区间滑动，数形结合解决问题.
举一反三：
【变式1】已知集合P=｛x︱x2≤1｝,M=｛a｝.若P∪M=P,则a的取值范围是（ ）
A．(-∞, -1] B．[1, +∞）
C．[-1，1] D．（-∞，-1] ∪[1，+∞）
【答案】C
【解析】｛︱｝又 ， ∴，∴
故选C．
例8. 设集合.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
【思路点拨】明确、的含义，根据的需要，将其转化为等价的关系式和，是解决本题的关键.同时，在包含关系式中，不要漏掉的情况.
【答案】（1）或；（2）．
【解析】 首先化简集合，得.
（1）由，则有，可知集合为，或为、，或为.
①若时，，解得.
②若,代入得.
当时，符合题意；
当时，也符合题意.
③若，代入得，解得或.
当时，已讨论，符合题意；
当时，，不符合题意.
由①②③，得或.
（2）.又，而至多只有两个根，因此应有，由（1）知.
【总结升华】两个等价转化：非常重要，注意应用.另外，在解决有条件的集合问题时，不要忽视的情况.
举一反三：
【变式1】已知集合，若,求实数的取值范围.
【答案】或
【解析】,.
①当时，此时方程无解，由，解得或.
②当时，此时方程有且仅有一个实数解-2，
，且，解得.
综上，实数的取值范围是或.
PAGE
