【巩固练习】
1．函数的图象( )
A．关于原点对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．不具有对称轴
2．已知函数为偶函数，则的值是( )
A. B. C. D.
3．设函数，且则等于（ ）
A.-3 B.3 C.-5 D. 5
4．如果奇函数在区间 上是增函数且最大值为，那么在区间上是( )
A．增函数且最小值是 B．增函数且最大值是
C．减函数且最大值是 D．减函数且最小值是
5．设是定义在上的一个函数，则函数，在上一定是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数.
6．定义在R上的偶函数，满足，且在区间上为递增，则( )
A． B．
C． D．
7．若是偶函数，其定义域为，且在上是减函数，则的大小关系是( )
A．> B．<
C． D．
8．若定义在上的函数满足：对任意有+1，则下列说法一定正确的是（ ）．
A．为奇函数 B． 为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数
9．已知定义在上的奇函数，当时，，那么时， .
10．若函数在上是奇函数，则的解析式为 .
11．奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为8，最小值为-1，则 .
12．已知函数为偶函数，其定义域为，则的值域 ．
13．判断下列函数的奇偶性，并加以证明．
(1)； (2)
14．已知奇函数在（-1，1）上是减函数，求满足的实数的取值范围．
15．已知是定义在上的不恒为零的函数，且对任意的都满足．
（1）求的值；
（2）判断的奇偶性，并证明你的结论．
16．设奇函数是定义在上的增函数，若不等式对于任意都成立，求实数的取值范围．
【答案与解析】
1. 【答案】B.
【解析】因为，所以是偶函数，其图象关于轴对称.
2. 【答案】B.
【解析】 奇次项系数为
3. 【答案】C.
【解析】因为是奇函数，所以，所以
.
4. 【答案】A.
【解析】 奇函数关于原点对称，左右两边有相同的单调性
5. 【答案】A.
【解析】
6. 【答案】A.
【解析】，函数的周期2，又函数是偶函数，在上是增函数，则在上减，在上增，故选A.
7. 【答案】C.
【解析】 ，
8. 【答案】C.
【解析】解法一：（特殊函数法）由条件可取，所以是奇函数.
解法二：令，则，
令，则，
，为奇函数，故选C.
9. 【答案】
【解析】 设，则，，
∵∴，
10. 【答案】
【解析】 ∵∴
即
11. 【答案】
【解析】 在区间上也为递增函数，即
12．【答案】
【解析】因为函数为上的偶函数，所以即即，所以在上的值域为．
13．【解析】(1)定义域为，，所以是奇函数．
(2)函数的定义域为，当时，，此时，．
当时，，此时，．
当时，．
综上可知对任意都有，所以为偶函数．
14．【解析】由已知，由为奇函数，所以，
又在上是减函数，
解得
15．【解析】（1）
，．
（2），
．
=
故为奇函数．
16．【解析】由得
为奇函数，．
又在上为增函数，原问题等价于对都成立，即对都成立．
令，问题又转化为：在上，
或或
解得．
综上，．
函数的奇偶性
【学习目标】
1.理解函数的奇偶性定义；
2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性；
3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用.
【要点梳理】
要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤
1．函数奇偶性的概念
偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数.
奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数.
要点诠释：
（1）奇偶性是整体性质；
（2）x在定义域中，那么-x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；
（3）f(-x)=f(x)的等价形式为：，
f(-x)=-f(x)的等价形式为：；
（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；
（5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0.
2.奇偶函数的图象与性质
（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.
（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数.
3.用定义判断函数奇偶性的步骤
（1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；
（2）结合函数的定义域，化简函数的解析式；
（3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性.
若=-，则是奇函数；
若=，则是偶函数；
若，则既不是奇函数，也不是偶函数；
若且=-，则既是奇函数，又是偶函数
要点二、判断函数奇偶性的常用方法
（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等.
（2）验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立即可.
（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称.
（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.
（5）分段函数奇偶性的判断
判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.
要点三、关于函数奇偶性的常见结论
奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性，即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是减函数（增函数）.
【典型例题】
类型一、判断函数的奇偶性
例1. 判断下列函数的奇偶性：
(1)； (2)f(x)=x2-4|x|+3 ；
(3)f(x)=|x+3|-|x-3|； (4)；
(5)； (6)
【思路点拨】利用函数奇偶性的定义进行判断.
【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数；（5）奇函数；（6）奇函数．
【解析】(1)∵f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；
(2)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数 ；
(3)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；
(4)
，∴f(x)为奇函数；
(5)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；
(6)，∴f(x)为奇函数.
【总结升华】判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功.如在本例（5）中若不研究定义域，在去掉的绝对值符号时就十分麻烦.
举一反三：
【变式1】判断下列函数的奇偶性：
(1)； (2)； (3)；
(4).
【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）奇函数．
【解析】(1)的定义域是，
又，是奇函数．
（2）的定义域是，
又，是偶函数．
（3）
，∴为非奇非偶函数．
（4）任取x>0则-x<0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)
任取x<0，则-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)
x=0时，f(0)=-f(0) ∴x∈R时，f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数.
【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（1）】
【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.
证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则
F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)
G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x)
∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.
【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（2）】
【变式3】设函数和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论
恒成立的是 （ ）.
A．+|g(x)|是偶函数 B．-|g(x)|是奇函数
C．|| +g(x)是偶函数 D．||- g(x)是奇函数
【答案】A
例2.已知函数，若对于任意实数都有，判断的奇偶性.
【答案】奇函数
【解析】因为对于任何实数，都有，可以令为某些特殊值，得出.
设则，.
又设，则，
，是奇函数.
【总结升华】判断抽象函数的单调性，可用特殊值赋值法来求解.在这里，由于需要判断与之间的关系，因此需要先求出的值才行.
举一反三：
【变式1】 已知函数，若对于任意实数，都有，判断函数的奇偶性.
【答案】偶函数
【解析】令得，令得
由上两式得：，即
是偶函数.
类型二、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)
例3. f(x)，g(x)均为奇函数，在上的最大值为5，则在（-）上的最小值为 ．
【答案】 -1
【解析】考虑到均为奇函数，联想到奇函数的定义，不妨寻求与的关系．
+=
，
．
当时，，
而，，
在上的最小值为-1．
【总结升华】本例很好地利用了奇函数的定义，其实如果仔细观察还可以发现也是奇函数，从这个思路出发，也可以很好地解决本题．过程如下：时，的最大值为5，时的最大值为3，时的最小值为-3，时，的最小值为-3+2=-1．
举一反三：
【变式1】已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).
【答案】-26
【解析】法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10
∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26
法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数
∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8
∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.
【总结升华】本题要会对已知式进行变形，得出f(x)+8= x5+ax3-bx为奇函数，这是本题的关键之处，从而问题便能迎刃而解.
例4. 已知是定义在R上的奇函数，当时，，求的解析式．
【答案】
【解析】是定义在R上的奇函数，
，当时，，
=
又奇函数在原点有定义，．
【总结升华】若奇函数在处有意义，则必有，即它的图象必过原点（0，0）．
举一反三：
【高清课堂：函数的奇偶性 356732 例3】
【变式1】（1）已知偶函数的定义域是R，当时，
求的解析式.
（2）已知奇函数的定义域是R，当时，
求的解析式.
【答案】（1）；（2）
例5. 定义域在区间[－2，2]上的偶函数，当x≥0时，是单调递减的，若成立，求m的取值范围．
【思路点拨】根据定义域知1－m，m∈[―1，2]，但是1―m，m在[―2，0]，[0，2]的哪个区间内尚不明确，若展开讨论，将十分复杂，若注意到偶函数的性质：，可避免讨论．
【答案】．
【解析】
由于为偶函数，所以，．因为x≥0时，是单调递减的，故，所以，解得．
故m的取值范围是．
【总结升华】在解题过程中抓住偶函数的性质，将1―m，m转化到同一单调区间上，避免了对由于单调性不同导致1―m与m大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化．另外，需注意的是不要忘记定义域．
类型三、函数奇偶性的综合问题
例6. 已知是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，求函数的单调递增区间．
【思路点拨】本题考查复合函数单调性的求法。复合函数的单调性由内层函数和外层函数的单调性共同决定，即“同增异减”。
【答案】[0，1]和（―∞，―1]
【解析】 ∵是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，∴在（－∞，0]上是增函数．
设u=1―x2，则函数是函数与函数u=1―x2的复合函数．
∵当0≤x≤1时，u是减函数，且u≥0，而u≥0时，是减函数，根据复合函数的性质，可得是增函数．
∵当x≤－1时，u是增函数，且u≤0，而u≤0时，是增函数，根据复合函数的性质，可得是增函数．
同理可得当－1≤x≤0或x≥1时，是减函数．
∴所求的递增区间为[0，1]和（―∞，―1]．
【总结升华】（1）函数的奇偶性与单调性的综合问题主要有两类：一类是两个性质交融在一起（如本例），此时要充分利用奇偶函数的图象的对称性，从而得到其对称区间上的单调性；另一类是两个性质简单组合，此时只需分别利用函数的这两个性质解题．
（2）确定复合函数的单调性比较困难，也比较容易出错．确定x的取值范围时，必须考虑相应的u的取值范围．本例中，x≥1时，u仍是减函数，但此时u≤0，不属于的减区间，所以不能取x≥1，这是应当特别注意的．
例7. 设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.
【思路点拨】对a进行讨论，把绝对值去掉，然后把f(x)转化成二次函数求最值问题。
【答案】当a=0时，函数为偶函数；当a≠0时，函数为非奇非偶函数.
当.
【解析】当a=0时，f(x)=x2+|x|+1，此时函数为偶函数；
当a≠0时，f(x)=x2+|x-a|+1，为非奇非偶函数.
(1)当时，
①
且
②上单调递增，
上的最小值为f(a)=a2+1.
(2)当时，
①上单调递减，
上的最小值为
②上的最小值为
综上：
.
举一反三：
【变式1】 判断的奇偶性．
【答案】当时，函数既是奇函数，又是偶函数；当时，函数是奇函数．
【解析】对进行分类讨论．
若，则．
，定义域关于原点对称，函数既是奇函数，又是偶函数．
当时，，是奇函数．
综上，当时，函数既是奇函数，又是偶函数；
当时，函数是奇函数．
例8. 对于函数，若存在x0∈R，使成立，则称点（x0，x0）为函数的不动点．
（1）已知函数有不动点（1，1），（―3，―3），求a，b的值；
（2）若对于任意的实数b，函数总有两个相异的不动点，求实数a的取值范围；
（3）若定义在实数集R上的奇函数存在（有限）n个不动点，求证：n必为奇数．
【答案】（1）a=1，b=3；（2）（0，1）；（3）略．
【解析】 （1）由已知得x=1和x=―3是方程ax2+bx―b=x的根，
由违达定理a=1，b=3．
（2）由已知得：ax2+bx―b=x（a≠0）有两个不相等的实数根，
∴Δ1=(b－1)2+4ab＞0对于任意的实数b恒成立．
即b2+(4a－2)b+1＞0对于任意的实数b恒成立．
也就是函数的图象与横轴无交点．
又二次函数的图象是开口向上的抛物线，
从而Δ2=(4a―2)2―4＜0，即|4a―2|＜2，∴0＜a＜1．
∴满足题意的实数a的取值范围为（0，1）．
（3）∵是R上的奇函数，∴.
令x=0，得，∴．∴（0，0）是的一个不动点．
设（x0，x0）（x0≠0）是的一个不动点，则．
又，∴（―x0，―x0）也是的一个不动点．
又∵x0≠－x0，∴的非零不动点是成对出现的．
又（0，0）也是的一个不动点，∴若存在n个不动点，则n必为奇数．
【总结升华】本例是一个信息迁移问题，解这类问题关键在于准确理解新定义，充分利用新定义分析解决问题．本例的“不动点”实质是关于x的方程的解的问题．本例（3）的解决主要是结合奇函数关于原点的对称性从而得到有关的结论．
4
【巩固练习】
1． 函数是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
2．若函数是偶函数，则有 ( )
A. B. C. D.
3．设函数，且则等于（ ）
A.-3 B.3 C.-5 D. 5
4．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是( )
A． B．
C． D．
5．如果奇函数在区间 上是增函数且最大值为，那么在区间上是( )
A．增函数且最小值是 B．增函数且最大值是
C．减函数且最大值是 D．减函数且最小值是
6．设是定义在上的一个函数，则函数，在上一定是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数.
7．设函数的图象关于轴对称，且，则 .
8．如果函数为奇函数，那么= .
9．设函数是定义在R上的奇函数，且，在上单调递减，在上单调递减，则不等式的解集为 ．
10．若函数是偶函数，则的递减区间是____________.
11．函数在R上为奇函数，且，则当，____________.
12．已知函数，，试判断的奇偶性.
13．设函数是偶函数，且在上是增函数，判断在上的单调性，并加以证明.
14．定义在上的偶函数满足：对任意 ，有成立，试比较的大小.
【答案与解析】
1. 【答案】A.
2. 【答案】D.
【解析】 因为函数是偶函数，所以，即，整理得，故选D.
3. 【答案】C.
【解析】 因为是奇函数，所以，所以
.
4. 【答案】D.
【解析】
5. 【答案】A.
【解析】奇函数关于原点对称，左右两边有相同的单调性
6. 【答案】 A.
【解析】
7. 【答案】
【解析】因为是偶函数，所以，所以.
8. 【答案】0
【解析】因为为奇函数，所以，所以，所以.
9. 【答案】
【解析】 奇函数关于原点对称，补足左边的图象，可知的解集．
10. 【答案】
【解析】
11. 【答案】.
12．【解析】 ，
画出的图象可观察到它关于原点对称或当时，，
则
当时，，则
都是奇函数.
13．【解析】结论：在上是减函数.
证明：任取，且.
由是偶函数，所以.
，且在上是增函数，.
，故在上是减函数.
14．【解析】，，
当时，，
在为单调减函数，.
又偶函数，.
故.
函数的奇偶性
【学习目标】
1.理解函数的奇偶性定义；
2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性；
3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用.
【要点梳理】
要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤
1．函数奇偶性的概念
偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数.
奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数.
要点诠释：
（1）奇偶性是整体性质；
（2）x在定义域中，那么-x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；
（3）f(-x)=f(x)的等价形式为：，
f(-x)=-f(x)的等价形式为：；
（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；
（5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0.
2.奇偶函数的图象与性质
（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.
（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数.
3.用定义判断函数奇偶性的步骤
（1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；
（2）结合函数的定义域，化简函数的解析式；
（3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性.
若=-，则是奇函数；
若=，则是偶函数；
若，则既不是奇函数，也不是偶函数；
若且=-，则既是奇函数，又是偶函数
要点二、判断函数奇偶性的常用方法
（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等.
（2）验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立即可.
（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称.
（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.
（5）分段函数奇偶性的判断
判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.
要点三、关于函数奇偶性的常见结论
奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性，即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是减函数（增函数）.
【典型例题】
类型一、判断函数的奇偶性
例1. 判断下列函数的奇偶性：
(1)； (2)f(x)=x2-4|x|+3 ；
(3)f(x)=|x+3|-|x-3|； (4)；
(5)； (6)．
【思路点拨】利用函数奇偶性的定义进行判断.
【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数；（5）奇函数；（6）奇函数．
【解析】(1)∵f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；
(2)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数 ；
(3)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；
(4)
，∴f(x)为奇函数；
(5)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；
(6)，∴f(x)为奇函数.
【总结升华】判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功.如在本例（4）中若不研究定义域，在去掉的绝对值符号时就十分麻烦.
举一反三：
【变式1】判断下列函数的奇偶性：
(1)； (2)； (3)；
(4).
【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）奇函数．
【解析】(1)的定义域是，
又，是奇函数．
（2）的定义域是，
又，是偶函数．
（3）函数定义域为，定义域不关于原点对称，∴为非奇非偶函数．
（4）任取x>0则-x<0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)
任取x<0，则-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)
x=0时，f(0)=-f(0) ∴x∈R时，f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数.
【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（1）】
【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.
证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则
F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)
G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x)
∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.
【高清课堂：函数的奇偶性 356732 例2（2）】
【变式3】设函数和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论
恒成立的是 （ ）.
A．+|g(x)|是偶函数 B．-|g(x)|是奇函数
C．|| +g(x)是偶函数 D．||- g(x)是奇函数
【答案】A
类型二、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)
例2.已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).
【答案】-26
【解析】法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10
∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26
法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数
∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8
∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.
【总结升华】本题要会对已知式进行变形，得出f(x)+8= x5+ax3-bx为奇函数，这是本题的关键之处，从而问题便能迎刃而解.
举一反三：
【变式1】已知为奇函数，，则为（ ）．
【答案】6
【解析】，又为奇函数，所以．
例3.已知是定义在R上的奇函数，当时，，求的解析式．
【答案】
【解析】是定义在R上的奇函数，
，当时，，
=
又奇函数在原点有定义，．
【总结升华】若奇函数在处有意义，则必有，即它的图象必过原点（0，0）．
举一反三：
【高清课堂：函数的奇偶性356732 例3】
【变式1】（1）已知偶函数的定义域是R，当时，求的解析式.
（2）已知奇函数的定义域是R，当时，，求的解析式.
【答案】（1）；（2）
例4.设定义在[-2，2]上的偶函数f(x)在[0，2]上是单调递增，当时，求的取值范围.
【答案】
【解析】∵f(a-1)而|a+1|，|a|∈[0，2]
.
【总结升华】若一个函数是偶函数，则一定有，这样就减少了讨论的麻烦．
类型三、函数奇偶性的综合问题
例5．设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.
【思路点拨】对a进行讨论，把绝对值去掉，然后把f(x)转化成二次函数求最值问题。
【答案】当a=0时，函数为偶函数；当a≠0时，函数为非奇非偶函数. 当当.
【解析】当a=0时，f(x)=x2+|x|+1，此时函数为偶函数；
当a≠0时，f(x)=x2+|x-a|+1，为非奇非偶函数.
(1)当时，
① 且
②上单调递增，
上的最小值为f(a)=a2+1.
(2)当时，
①上单调递减，上的最小值为
②上的最小值为
综上：
.
举一反三：
【变式1】 判断的奇偶性．
【答案】当时，函数既是奇函数，又是偶函数；
当时，函数是奇函数．
【解析】对进行分类讨论．
若，则．
，定义域关于原点对称，函数既是奇函数，又是偶函数．
当时，，是奇函数．
综上，当时，函数既是奇函数，又是偶函数；
当时，函数是奇函数．
例6. 已知是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，求函数的单调递增区间．
【思路点拨】本题考查复合函数单调性的求法。复合函数的单调性由内层函数和外层函数的单调性共同决定，即“同增异减”。
【答案】[0，1]和（―∞，―1]
【解析】 ∵是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，∴在（－∞，0]上是增函数．
设u=1―x2，则函数是函数与函数u=1―x2的复合函数．
∵当0≤x≤1时，u是减函数，且u≥0，而u≥0时，是减函数，根据复合函数的性质，可得是增函数．
∵当x≤－1时，u是增函数，且u≤0，而u≤0时，是增函数，根据复合函数的性质，可得是增函数．
同理可得当－1≤x≤0或x≥1时，是减函数．
∴所求的递增区间为[0，1]和（―∞，―1]．
【总结升华】（1）函数的奇偶性与单调性的综合问题主要有两类：一类是两个性质交融在一起（如本例），此时要充分利用奇偶函数的图象的对称性，从而得到其对称区间上的单调性；另一类是两个性质简单组合，此时只需分别利用函数的这两个性质解题．
（2）确定复合函数的单调性比较困难，也比较容易出错．确定x的取值范围时，必须考虑相应的u的取值范围．本例中，x≥1时，u仍是减函数，但此时u≤0，不属于的减区间，所以不能取x≥1，这是应当特别注意的．
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