集合与函数综合
【巩固练习】
1. 已知集合，则集合等于( )
A. {2} B. {3} C. {-2,3} D. {-3,2}
2.已知{a，b}，则满足条件的集合A的个数为( )
A. 8 B. 7 C. 4 D. 3
3. 已知集合M={x|-1≤x＜2}，N={x|x≤a}，若，那么实数a的取值范围是( )
A. {a|a＜2} B. {a|a＞-1} C. {a|-1≤a≤1} D. {a|a≥-1}
4.函数的定义域为（ ）
A. B. Ｃ. Ｄ.
5.设集合，则从A到B的对应法则是映射的是（ ）
A. B. C. D.
6.设为常数，函数．若为偶函数，则等于( )
A.-2 B. 2 C. -1 D. 1
7.若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是( )
A. B.
C. D.
8. 设函数 若，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
9.已知集合A={x||2x-3|≤7}，B=，若AB=B，则实数的取值范围为 .
10.已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，则f(2)= .
11.设，则 ， .
12.函数在区间上是增函数，则的取值范围是 .
13. 设A={x|4ax2+(a+3)x+1=0}，B={x|x>0}，若，求实数a的取值范围．
14．已知函数.
① 当时，求函数的最大值和最小值；
② 求实数的取值范围，使在区间上是单调函数．
【答案与解析】
1. 【答案】A
【解析】化简集合，故
2. 【答案】B
【解析】集合A中一定有元素，所以含有三个元素的A有三个，含有四个元素的A也有三个，含有五个元素的A有一个，所以共有7个．
3. 【答案】D
【解析】 如右图所示，欲使，，故选D
4. 【答案】D
【解析】要使式子有意义，则解之得或，故选D．
5. 【答案】D
【解析】 由映射的定义知D正确．
6. 【答案】B
【解析】因为为偶函数，即=为偶函数，所以，解得．
7. 【答案】D
【解析】因为偶函数，所以．又因为在上是增函数，所以在上是减函数，所以，故选D．
8. 【答案】B
【解析】若，解得或，即；若，解得，故选B．
9. 【答案】(5，+∞)
【解析】因为AB=B，所以,化简集合，故．
10. 【答案】-26
【解析】把代入，比较两个式子，即可求得．
11. 【答案】 ，
【解析】分段代入求值即得．
12. 【答案】
【解析】据区间定义中有：①；又，时，是区间上的增函数②；由①②得．
13.【解析】 (1)a=0时，，符合题意；
(2)a≠0且△<0时，1
(3)；
综上，a≥0.
14．【解析】对称轴
∴
（2）对称轴当或时，在上单调
∴或．
集合与函数综合
【学习目标】
1.集合
（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；
（2）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
（3）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
（4）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
2.函数
(1)会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.
(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；
(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用；
（4）理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；集合具体函数了解奇偶性的含义；
（5）能运用函数的图象理解和研究函数的性质.
【知识网络】
【要点梳理】
一、集合
1．集合含义与表示
（1）某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集．其中每个对象叫做元素．集合中的元素具有确定性、互异性和无序性．
（2）集合常用的表示方法有：列举法、描述法、图示法．它们各有优点，要根据具体需要选择恰当的方法．
2．集合间的关系
（1）若集合中A的任何元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集，记为“AB”或“BA”．
（2）若AB，且B中至少存在一个元素不是A的元素，则A是B的真子集，记为“AB”或“BA”．
（3）若两个集合的元素完全一样，则这两个集合相等，记为“A=B”．判断集合相等还可以用下面两种方法：且A=B；．
要点诠释：
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．换言之，任何集合至少有一个子集．
3．集合的基本运算
（1）由所有属于集合A或属于集合B的元素构成的集合，叫A与B的并集，记作“A∪B”．用数学语言表示为A∪B={x|x∈A，且x∈B}．
（2）由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，叫A与B的交集，记作“A∩B”．用数学语言表示为A∩B={x|x∈A，且x∈B}．
（3）若已知全集U，A是U的子集，则由所有U中不属于A的元素构成的集合称为集合A在U中的补集．记作“”．用数学语言表示为．
要点诠释：
；．
二、函数及其表示
1．两个函数相等的条件
用集合与对应的语言刻画函数，与初中的“用变量的观点描述函数”实质上是一致的．函数有三要素——定义域、值域、对应关系，它们是不可分割的一个整体．当且仅当两个函数的三要素完全相同时，这两个函数相等．
2．函数的常用表示方法
函数的常用表示方法有：图象法、列表法、解析法．注意领会在实际情境中根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．
3．映射
设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x（原象），在集合B中都有唯一确定的元素（象）与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．由映射定义知，函数是一种特殊的映射，即函数是两个非空的数集间的映射．
三、函数的性质
1．函数的单调性
（1）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有，那么就说函数在区间D上是增函数．
（2）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有，那么就说函数在区间D上是减函数．
（3）若函数在某个区间上总是递增（或递减）的，则该区间是函数的一个单调增（或减）区间．若函数在整个定义域上总是递增（或递减）的，则称该函数为单调增（或减）函数．
2．函数的奇偶性
（1）若一个函数具有奇偶性，则它的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它就失去了是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．
（2）若奇函数的定义域内有零，则由奇函数定义知，即，所以．
（3）奇、偶性图象的特点
如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的对称图形；反之，如果一个函数的图象是y轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数．
【典型例题】
类型一：集合的关系及运算
例1．已知全集U=R，集合M={x|－2≤x－1≤2}和N={x|x=2k－1，k=1，2，…}的关系的韦恩（Venn）图如下图所示，则阴影部分所示的集合的元素区有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．无穷多个
【答案】B
【解析】 ∵阴影部分为M∩N={x|－2≤x－1≤2}∩{x|x=2k―1，k=1，2，…}={x|―1≤x≤3}∩{x|x=2k－1，k=1，2，…}={1，3}，∴阴影部分所示的集合的元素区有2个，故选B项．
【总结升华】具体集合（给出或可以求得元素的集合）的交、并、补运算，以及集合间关系的判定、子集的个数问题是每年高考重点考查的对象，因而也是高考命题的热点．
举一反三：
【高清课堂：集合与函数性质综合377492例4】
【变式1】设全集为，，，
求及．
【答案】=；=.
例2．设非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下三个命题：
①若m=1，则S={1}；②若，则≤l≤1；③，则．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【思路点拨】根据题中条件：“当x∈S时，有x2∈S”对三个命题一一进行验证即可：对于①m=1，得，对于②，则，对于③若，则，最后解出不等式，根据解出的结果与四个命题的结论对照，即可得出正确结果有几个．
【答案】D
【解析】 若m=1，则x=x2，可得x=1或x=0（舍去），则S={1}，因此命题①正确；若，当时，，故，当时，，则，可得或（舍去），故，∴，因此命题②正确；若，则，得，因此命题③正确．
类型二：映射
例3．设集合，f是A到B的映射，并满足．
（1）求B中元素（3，－4）在A中的原象；
（2）试探索B中有哪些元素在A中存在原象；
（3）求B中元素（a，b）在A中有且只有一个原象时，a，b所满足的关系式．
【思路点拨】本例是一道与方程综合的题目，关键是将题目转化为我们所熟悉的映射的知识．
【解析】
（1）设（x，y）是（3，－4）在A中的原象，
于是，解得或，
∴（―3，4）在A中的原象是（―1，3）或（―3，1）．
（2）设任意（a，b）∈B在A中有原象（x，y），
应满足
由②可得y=x―b，代入①得x2―bx+a=0． ③
当且仅当Δ=b2―4a≥0时，方程③有实根．
∴只有当B中元素满足b2－4a≥0时，才在A中有原象．
（3）由以上（2）的解题过程知，只有当B中元素满足b2=4a时，它在A中有且只有一个原象．
【总结升华】高考对映射考查较少，考查时只涉及映射的概念，因此我们必须准确地把握映射的概念，并灵活地运用它解决有关问题．
举一反三：
【变式1】 已知a，b为两个不相等的实数，集合，，表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a+b等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】 D
【解析】 由已知可得M=N，故，a、b是方程x2－4x+2=0的两根，故a+b=4．
类型三：函数的概念及性质
【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例2】例4．设定义在R上的函数y= f（x）是偶函数,且f（x）在（－∞，0）为增函数．若对于，且，则有 ( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，且，所以，画出y= f（x）的图象，数形结合知，只有选项D正确．
【总结升华】对函数性质的综合考查是高考命题热点问题．这类问题往往涉及函数单调性、奇偶性、函数图象的对称性，以及题目中给出的函数性质．解决这类问题的关键在于“各个击破”，也就是涉及哪个性质，就利用该性质来分析解决问题．
举一反三：
【变式1】 定义在R上的偶函数f (x)，对任意x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题知，为偶函数，故，又知x∈[0，+∞）时，为减函数，且3＞2＞1，∴，即．故选A．
例5．设偶函数满足，则（ ）
A．{x|x＜－2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4}
C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|x＜－2或x＞2}
【答案】 B
【解析】 当x＜0时，－x＞0，
∴，
又是偶函数，
∴，
∴，
∴，
或．
解得x＞4或x＜0，故选B．
例6．设函数的定义域为，若所有点 构成一个正方形区域，则的值为（ ）
A．－2 B．－4 C．－8 D．不能确定
【答案】 B
【解析】 依题意，设关于x的不等式ax2+bx+c≥0（a＜0）的解集是[x1，x2]（x1＜x2），且，，的最大值是．依题意，当s∈[x1，x2]的取值一定时，取遍中的每一个组，相应的图形是一条线段；当s取遍[x1，x2]中的每一个值时，所形成的图形是一个正方形区域（即相当于将前面所得到的线段在坐标平面内平移所得），因此有，．又a＜0，因此a=－4，选B项．
举一反三：
【变式1】若函数的定义域是[0，2]，则函数的定义域是（ ）
A．[0，1] B．[0，1） C．[0，1）∪（1，4] D．（0，1）
【答案】 B
【解析】 要使有意义，则，解得0≤x＜1，故定义域为[0，1），选B．
例7．已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】 C
【解析】 函数的定义域为[－3，1]．
又．
而，∴4≤y2≤8．
又y＞0，∴．∴，m=2．
∴．故选C项．
举一反三：
【变式1】（1）函数（x∈R）的值域是________．
【答案】[0，1）
【解析】（1）注意到x2≥0，故可以先解出x2，再利用函数的有界性求出函数值域．由，得，∴，解之得0≤y＜1．故填[0，1）．
例8．设函数．
（1）画出函数的图象；
（2）若不等式的解集非空，求a的取值范围．
【解析】 （1）由于，则函数的图象如图所示．
（2）由函数与函数y=ax的图象可知，当且仅当或a＜―2时，函数与函数y=ax的图象有交点．故不等式的解集非空时，a的取值范围为．
举一反三：
【变式1】 直线y=1与曲线y=x2－|x|+a有四个交点，则a的取值范围是________．
【答案】
【解析】 如图，作出y=x2－|x|+a的图象，若要使y=1与其有四个交点，则需满足，解得．
例9. 已知函数（x≠0，常数a∈R）．
（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数在x∈[2，+∞）上为增函数，求a的取值范围．
【思路点拨】（1）对进行分类讨论，然后利用奇函数的定义去证明即可。（2）由题意知，任取2≤x1＜x2，则有恒成立，即可得的取值范围。
【解析】 （1）当a=0时，，对任意x∈（－∞，0）∪（0，+∞），，∴为偶函数．
当a≠0时，（a≠0，x≠0），
取x=±1，得，
∴，，
∴函数既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）解法一：设2≤x1＜x2，
，要使函数在x∈[2，+∞）上为增函数，必须恒成立．
∵x1－x2＜0，x1 x2＞4，即a＜x1 x2 (x1+ x2)恒成立．
又∵x1+ x2＞4，∴x1x2(x1+ x2)＞16．
∴a的取值范围是（－∞，16]．
解法二：当a=0时，，显然在[2，+∞）上为增函数．
当a＜0时，反比例函数在[2，+∞）上为增函数，
∴在[2，+∞）上为增函数．
当a＞0时，同解法一．
【总结升华】 函数的奇偶性与单调性是函数的重要性质，因而也是高考命题的热点．应运用研究函数的奇偶性与单调性的基本方法，来分析解决问题．
举一反三：
【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例5】
【变式1】已知函数，且f（1）=1．
（1）求实数k的值及函数的定义域；
（2）判断函数在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．
【解析】（1），，定义域为：．
（2）在（0，+∞）上任取，则
=
所以函数在上单调递增．
集合与函数综合
【巩固练习】
1．设全集,，则集合等于（ ）．
A. B. C. D.
2.已知{a，b}，则满足条件的集合A的个数为( )
A. 8 B. 7 C. 4 D. 3
3. 已知集合M={x|-1≤x＜2}，N={x|x≤a}，若，那么实数的取值范围是( )
A. {a|a<2} B. {a|a>-1} C. {a|-1≤a≤1} D. {a|a≥-1}
4.函数的定义域为（ ）
A. B. Ｃ. Ｄ.
5.函数的单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
6.设是上的任意函数，则下列叙述正确的是( )
A. 是奇函数 B. 是奇函数
C. 是偶函数 D. 是偶函数
7. 已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．{x|x≤1}
C． D．
8.实数满足，则的最大值是（ ）
A．23 B．21 C．19 D． 17．
9.设，则函数的值域是 .
10.已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，则f(2)= .
11.函数是定义在上的偶函数，且则的解析式可以是 .（写出一个符合条件的函数即可）
12.关于函数，有下列四个结论：
①当时，函数在区间上单调递增；
②当时，函数在区间上单调递减；
③对于任意，必有成立；
④对于任意，必有成立．
其中正确的论断序号是 ．（将全部正确结论的序号都填上）
13. 已知函数f(x)=-x2+2ax-a2+1
(1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a取值范围；
(2)当x[-1，1]时，求函数f(x)的最大值g(a)，并画出最大值函数y=g(a)的图象．
14. 已知实数，将函数f(x)=ax2-2x+1在区间[1，3]上的最大值和最小值分别表示为a的函数M(a)，N(a)，令g(a)=M(a)-N(a).
(1)求g(a)的表达式；
(2)判断函数g(a)在区间上的单调性，并求出g(a)的最小值．
15．已知函数的定义域是，且满足,,如果对于,都有．
（1）求；
（2）解不等式．
【答案与解析】
1. 【答案】B
【解析】 由补集的概念知B正确．
2. 【答案】B
【解析】集合A中一定有元素，所以含有三个元素的A有三个，含有四个元素的A也有三个，含有五个元素的A有一个，所以共有7个．
3. 【答案】D
【解析】如右图所示，欲使，，故选D．
4. 【答案】A
【解析】要使式子有意义，须，解得或．
5. 【答案】C
【解析】先画出的图象，然后把轴下方的部分关于轴翻折上去，就得的图象，由图象知单调递减区间是．
6. 【答案】D
【解析】令，则，所以它不是奇函数，故A选项不对；同理选项B、C都不对，只有选项D正确．
7. 【答案】C
【解析】由题意得不等式等价于（1）或（2），解不等式组（1）得x＜－1；解不等式组（2）得．因此原不等式的解集是，选C项．
8. 【答案】C
【解析】 C ．．故当时，取得最大值19．
9. 【答案】
10. 【答案】-26
【解析】 把代入，比较两个式子，即可求得．
11. 【答案】答案不唯一，如等
12. 【答案】 ②③④
13.【解析】 (1)
(2)当a≤-1时，f(x)的最大值为f(-1)=-a2-2a
当-1当a≥1时，f(x)的最大值为f(1)=-a2+2a
所以
14.【解析】(1)f(x)的对称轴为：，分以下两种情况讨论；
①当M(a)=f(3)=9a-5，
②当，M(a)=f(1)=a-1，
综上，
(2)当单调递减，
当单调递增
15.【解析】 （1）令，则
（2）
，
则．
集合与函数综合
【学习目标】
1.集合
（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；
（2）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
（3）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
（4）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
2.函数
(1)会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用；
(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；
(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用；
（4）理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；集合具体函数了解奇偶性的含义；
（5）能运用函数的图象理解和研究函数的性质．
【知识网络】
【要点梳理】
一、集合
1．集合含义与表示
（1）某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集．其中每个对象叫做元素．集合中的元素具有确定性、互异性和无序性．
（2）集合常用的表示方法有：列举法、描述法、图示法．它们各有优点，要根据具体需要选择恰当的方法．
2．集合间的关系
（1）若集合中A的任何元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集，记为“AB”或“BA”．
（2）若AB，且B中至少存在一个元素不是A的元素，则A是B的真子集，记为“AB”或“BA”．
（3）若两个集合的元素完全一样，则这两个集合相等，记为“A=B”．判断集合相等还可以用下面两种方法：且A=B；．
要点诠释：
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．换言之，任何集合至少有一个子集．
3．集合的基本运算
（1）由所有属于集合A或属于集合B的元素构成的集合，叫A与B的并集，记作“A∪B”．用数学语言表示为A∪B={x|x∈A，且x∈B}．
（2）由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，叫A与B的交集，记作“A∩B”．用数学语言表示为A∩B={x|x∈A，且x∈B}．
（3）若已知全集U，A是U的子集，则由所有U中不属于A的元素构成的集合称为集合A在U中的补集．记作“”．用数学语言表示为．
要点诠释：
；．
二、函数及其表示
1．两个函数相等的条件
用集合与对应的语言刻画函数，与初中的“用变量的观点描述函数”实质上是一致的．函数有三要素——定义域、值域、对应关系，它们是不可分割的一个整体．当且仅当两个函数的三要素完全相同时，这两个函数相等．
2．函数的常用表示方法
函数的常用表示方法有：图象法、列表法、解析法．注意领会在实际情境中根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．
3．映射
设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x（原象），在集合B中都有唯一确定的元素（象）与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．由映射定义知，函数是一种特殊的映射，即函数是两个非空的数集间的映射．
三、函数的性质
1．函数的单调性
（1）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有，那么就说函数在区间D上是增函数．
（2）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有，那么就说函数在区间D上是减函数．
（3）若函数在某个区间上总是递增（或递减）的，则该区间是函数的一个单调增（或减）区间．若函数在整个定义域上总是递增（或递减）的，则称该函数为单调增（或减）函数．
2．函数的奇偶性
（1）若一个函数具有奇偶性，则它的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它就失去了是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．
（2）若奇函数的定义域内有零，则由奇函数定义知，即，所以．
（3）奇、偶性图象的特点
如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的对称图形；反之，如果一个函数的图象是y轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数．
【典型例题】
类型一：集合的关系及运算
例1．已知全集U=R，集合M={x|－2≤x－1≤2}和N={x|x=2k－1，k=1，2，…}的关系的韦恩（Venn）图如下图所示，则阴影部分所示的集合的元素区有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．无穷多个
【答案】B
【解析】 ∵阴影部分为M∩N={x|－2≤x－1≤2}∩{x|x=2k―1，k=1，2，…}={x|―1≤x≤3}∩{x|x=2k－1，k=1，2，…}={1，3}，∴阴影部分所示的集合的元素区有2个，故选B项．
【总结升华】具体集合（给出或可以求得元素的集合）的交、并、补运算，以及集合间关系的判定、子集的个数问题是每年高考重点考查的对象，因而也是高考命题的热点．
举一反三：
【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例4】
【变式1】设全集为，，，
求及．
【答案】=；=.
例2．设非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下三个命题：
①若m=1，则S={1}；②若，则≤l≤1；③，则．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【思路点拨】根据题中条件：“当x∈S时，有x2∈S”对三个命题一一进行验证即可：对于①m=1，得，对于②，则，对于③若，则，最后解出不等式，根据解出的结果与四个命题的结论对照，即可得出正确结果有几个．
【答案】D
【解析】 若m=1，则x=x2，可得x=1或x=0（舍去），则S={1}，因此命题①正确；若，当时，，故，当时，，则，可得或（舍去），故，∴，因此命题②正确；若，则，得，因此命题③正确．
类型二：映射
例3．设集合，f是A到B的映射，并满足．
（1）求B中元素（3，－4）在A中的原象；
（2）试探索B中有哪些元素在A中存在原象；
（3）求B中元素（a，b）在A中有且只有一个原象时，a，b所满足的关系式．
【思路点拨】本例是一道与方程综合的题目，关键是将题目转化为我们所熟悉的映射的知识．
【答案】（1）（―1，3）或（―3，1）；（2）b2－4a≥0；（3）b2=4a
【解析】
（1）设（x，y）是（3，－4）在A中的原象，
于是，解得或，
∴（―3，4）在A中的原象是（―1，3）或（―3，1）．
（2）设任意（a，b）∈B在A中有原象（x，y），
应满足
由②可得y=x―b，代入①得x2―bx+a=0． ③
当且仅当Δ=b2―4a≥0时，方程③有实根．
∴只有当B中元素满足b2－4a≥0时，才在A中有原象．
（3）由以上（2）的解题过程知，只有当B中元素满足b2=4a时，它在A中有且只有一个原象．
【总结升华】高考对映射考查较少，考查时只涉及映射的概念，因此我们必须准确地把握映射的概念，并灵活地运用它解决有关问题．
举一反三：
【变式1】 已知a，b为两个不相等的实数，集合，，表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a+b等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】 D
【解析】 由已知可得M=N，故，a、b是方程x2－4x+2=0的两根，故a+b=4．
类型三：函数的概念及性质
【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例2】例4．设定义在R上的函数y= f（x）是偶函数,且f（x）在（－∞，0）为增函数．若对于，且，则有 ( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，且，所以，画出y= f（x）的图象，数形结合知，只有选项D正确．
【总结升华】对函数性质的综合考查是高考命题热点问题．这类问题往往涉及函数单调性、奇偶性、函数图象的对称性，以及题目中给出的函数性质．解决这类问题的关键在于“各个击破”，也就是涉及哪个性质，就利用该性质来分析解决问题．
举一反三：
【变式1】（1）已知定义在R上的奇函数满足，且在区间[0，2]上是增函数，则（ ）
A． B．
C． D．
（2）定义在R上的偶函数f (x)，对任意x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】（1）D （2）A
【解析】（1）由函数是奇函数且在[0，2]上是增函数可以推知在[－2，2]上递增，又，故函数以8为周期，，，，故．故选D．
（2）由题知，为偶函数，故，又知x∈[0，+∞）时，为减函数，且3＞2＞1，∴，即．故选A．
例5．设偶函数满足，则（ ）
A．{x|x＜－2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4}
C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|x＜－2或x＞2}
【思路点拨】先求的解析式，即，然后再去解这个不等式。
【答案】 B
【解析】 当x＜0时，－x＞0，
∴，
又是偶函数，
∴，
∴，
∴，
或．
解得x＞4或x＜0，故选B．
例6．设函数的定义域为，若所有点 构成一个正方形区域，则的值为（ ）
A．－2 B．－4 C．－8 D．不能确定
【答案】 B
【解析】 依题意，设关于x的不等式ax2+bx+c≥0（a＜0）的解集是[x1，x2]（x1＜x2），且，，的最大值是．依题意，当s∈[x1，x2]的取值一定时，取遍中的每一个组，相应的图形是一条线段；当s取遍[x1，x2]中的每一个值时，所形成的图形是一个正方形区域（即相当于将前面所得到的线段在坐标平面内平移所得），因此有，．又a＜0，因此a=－4，选B项．
举一反三：
【变式1】若函数的定义域是[0，2]，则函数的定义域是（ ）
A．[0，1] B．[0，1） C．[0，1）∪（1，4] D．（0，1）
【答案】 B
【解析】 要使有意义，则，解得0≤x＜1，故定义域为[0，1），选B．
例7．设函数．
（1）画出函数的图象；
（2）若不等式的解集非空，求a的取值范围．
【答案】（1）右图；（2）．
【解析】 （1）由于，则函数的图象如图所示．
（2）由函数与函数y=ax的图象可知，当且仅当或a＜―2时，函数与函数y=ax的图象有交点．故不等式的解集非空时，a的取值范围为．
举一反三：
【变式1】 直线y=1与曲线y=x2－|x|+a有四个交点，则a的取值范围是________．
【答案】
【解析】 如图，作出y=x2－|x|+a的图象，若要使y=1与其有四个交点，则需满足，解得．
例8． 已知函数（x≠0，常数a∈R）．
（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数在x∈[2，+∞）上为增函数，求a的取值范围．
【思路点拨】（1）对进行分类讨论，然后利用奇函数的定义去证明即可。（2）由题意知，任取2≤x1＜x2，则有恒成立，即可得的取值范围。
【答案】（1）当a=0时，为偶函数；当a≠0时，既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）（－∞，16]．
【解析】 （1）当a=0时，，对任意x∈（－∞，0）∪（0，+∞），，∴为偶函数．
当a≠0时，（a≠0，x≠0），
取x=±1，得，
∴，，
∴函数既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）解法一：设2≤x1＜x2，
，要使函数在x∈[2，+∞）上为增函数，必须恒成立．
∵x1－x2＜0，x1 x2＞4，即a＜x1 x2 (x1+ x2)恒成立．
又∵x1+ x2＞4，∴x1x2(x1+ x2)＞16．
∴a的取值范围是（－∞，16]．
解法二：当a=0时，，显然在[2，+∞）上为增函数．
当a＜0时，反比例函数在[2，+∞）上为增函数，
∴在[2，+∞）上为增函数．
当a＞0时，同解法一．
【总结升华】 函数的奇偶性与单调性是函数的重要性质，因而也是高考命题的热点．应运用研究函数的奇偶性与单调性的基本方法，来分析解决问题．
举一反三：
【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例5】
【变式1】已知函数，且f（1）=1．
（1）求实数k的值及函数的定义域；
（2）判断函数在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．
【答案】（1）2 ；（2）单调递增
【解析】（1），，定义域为：．
（2）在（0，+∞）上任取，则
=
所以函数在上单调递增．
例9．请先阅读下列材料，然后回答问题．
对于问题“已知函数，问函数是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由．”
一个同学给出了如下解答：
解：令u=3+2x―x2，则u=―(x―1)2+4，当x=1时，u有最大值，umax=4，显然u没有最小值．∴当x=1时，有最小值，没有最大值．
（1）你认为上述解答正确吗？若不正确，说明理由，并给出正确的解答；
（2）对于函数，试研究其最值情况．
【答案】（1）不正确；（2）当Δ≥0时，既无最大值，也无最小值；当Δ＜0时，有最大值，此时，没有最小值．
【解析】（1）不正确．没有考虑到u还可以小于0．
正确解答如下：令u=3+2x―x2，则u=―(x―1)2+4≤4，
当0＜u≤4时，，即；当u＜0时，，即．
∴或，即既无最大值，也无最小值．
（2）对于函数，令u=ax2+bx+c（a＞0）．
①当Δ＞0时，u有最小值，，
当时，，即；当u＞0时，即．
∴或，即既无最大值，也无最小值．
②当Δ=0时，u有最小值，，
此时，u≥0，∴＜，即，既无最大值，也无最小值．
③当Δ＜0时，u有最小值，，
即．
∴，即．
∴当时，有最大值，没有最小值．
综上，当Δ≥0时，既无最大值，也无最小值．
当Δ＜0时，有最大值，此时，没有最小值．
【总结升华】研究性学习是新课标所倡导的教学理念，是培养创新能力的重要途径，因而也是新课标高考的重点考查对象．解决像本例这样的研究性问题，关键是透彻理解题目中所提供的材料，准确地把握题意，灵活地运用所学的基本知识和基本方法分析解决问题．
举一反三：
【变式1】（1）已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】 C
【解析】 函数的定义域为[－3，1]．
又．
而，∴4≤y2≤8．
又y＞0，∴．∴，m=2．
∴．故选C项．
（2）设，是二次函数，若的值域是[0，+∞），则的值域是（ ）
A．（－∞，－1]∪[1，+∞） B．（－∞，－1]∪[0，+∞）
C．[0，+∞） D．[1，+∞）
【答案】C
【解析】要使的值域是[0，+∞），则可取（－∞，－1]∪[0，+∞）．又是二次函数，定义域连续，故不可能同时取（－∞，－1]和[0，+∞）．结合选项只能选C项．
【总结升华】 函数的值域问题每年高考必考，而且既有常规题型[如本例（1）]，也有创新题[如本例（2）]．解答这类问题，既要熟练掌握求函数值域的基本方法，更要根据具体问题情景，灵活地处理．如本例（2）中，其背景函数属常规函数（分段函数、二次函数、复合函数），但给出的值域，要求的值域，就在常规题型基础上有所创新，解答这类问题，应利用基本方法、基本知识来分析解决问题．
类型四：函数的综合问题
例10．（1）已知函数在区间[－1，2]上最大值为4，求实数a的值；
（2）已知函数，x∈[－1，1]，求函数的最小值．
【思路点拨】第（1）小题中应对二次项系数进行全面讨论，即按a=0，a＞0，a＜0三种情况分析；
第（2）小题中的抛物线开口方向确定，对称轴不稳定．
【答案】（1）－3或；（2）略
【解析】
（1）．
①当a=0时，函数在区间[－1，2]上的值为常数1，不合题意；
②当a＞0时，函数在区间[－1，2]上是增函数，最大值为，；
③当a＜0时，函数在区间[―1，2]上是减函数，最大值为，a=―3．
综上，a的值为－3或．
（2），对称轴为直线x=a，且抛物线的开口向上，如下图所示：
当a≥1时，函数在区间[―1，1]上是减函数，最小值为；
当―1＜a＜1时，函数在区间[－1，1]上是先减后增，最小值为；
当a≤―1时，函数在区间[―1，1]上是增函数，最小值为．
【总结升华】 求二次函数在闭区间上的最值的方法是：一看抛物线的开口方向；二看对称轴与已知闭区间的相对位置，作出二次函数相关部分的简图，利用数形结合方法就可得到问题的解．对于“定区间、动对称轴”这一类型，依对称轴在定区间左侧、右侧和在区间内三种情况，运用函数的单调性进行讨论，即可得到函数的最值．
举一反三：
【变式1】设函数，x∈[t，t+1]，t∈R，求函数的最小值．
【答案】
【解析】 二次函数是确定的，但定义域是变化的，依t的大小情况作出对应的图象（抛物线的一段），从中发现规律．
，x∈[t，t+1]，t∈R，对称轴为x=1，作出其图象如下图所示：
当t+1＜1，即t＜0时，如上图①，函数在区间[t，t+1]上为减函数，所以最小值为；
当1≤t+1≤2，即0≤t≤1时，如上图②，最小值为；
当t＞1时，如上图③，函数在区间[t，t+1]上为增函数，所以最小值为．
综上有
【总结升华】这里区间是变化的，但整个区间长度为1个单位长度，用运动观点来看，让区间从左向右沿x轴正方向移动，看移动到不同位置时对最值有什么影响．借助图形，可使问题的解决显得直观、清晰．
例11．设a为实数，函数．
（1）若，求a的取值范围；
（2）求的最小值；
（3）设函数，x∈（a，+∞），直接写出（不需要给出演算步骤）不等式的解集．
【答案】（1）（―∞，－1]；（2）；（3）略．
【解析】（1）因为，所以－a＞0，即a＜0．
由a2≥1知a≤―1．因此a的取值范围为（―∞，－1]．
（2）记的最小值为，我们有
（i）当a≥0时，，由①②知，此时．
（ii）当a＜0时，．若x＞a，则由①知；若x≤a，则x+a≤2a＜0，由②知．此时．
综上得．
（3）（i）当时，解集为（a，+∞）；
（ii）当时，解集为；
（iii）当时，解集为．
