【鲁教版八下精美学案】第1节 菱形的性质与判定 第2课时（知识梳理+考点突破+巩固提高+真题训练）

第1节 菱形的性质与判定
第2课时
知 识 梳 理
知识点1 菱形的判定
1.定义法：有___________相等的平行四边形是菱形。
几何语言：如图所示，∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴ ABCD是菱形。
2.定理1：对角线___________的平行四边形的菱形。
几何语言：如图所示，∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形，
∴ ABCD是菱形。
3.定理2：______________的四边形是菱形。
几何语言：如图所示，∵AB=BC=CD=DAE，∴四边形ABCD是菱形。
规律总结：判定菱形的基本思路：
一般四边形菱形。
平行四边形 菱形
知识点2 解决菱形问题添加辅助线的方法
连接对角线构造等腰三角形或直角三角形。
作高构造直角三角形。
考 点 突 破
考点1 ：菱形判定
【典例1】如图所示，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由。
思路导析：先根据已知中的两组平行线，可证四边形AEDF是平行四边形，再利用AD是角平分线，结合AE∥DF，易证∠FAD=∠ADF，利用等角对等边，可得AF=DF，从而可证平行四边形AEDF是菱形。
解：若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形。
理由如下：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形。
∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠FAD。
又∵AE∥DF，∴∠EAD = ∠ADF。∴∠FAD = ∠ADF。
∴AF = DF。∴平行四边形AEDF是菱形。
方法归纳 菱形的判定方法有很多种，一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分。要多角度多方面分析问题，大胆探索，且注意知识的综合应用。
变式1 如图所示，在Rt△ABC中，∠B=90o，点E是AC的中点，AC=2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC。求证：四边形ADCF是菱形。

变式2 如图所示，△ABC中，AD是BC边的中线，分别过点B，D作AD，AB的平行线交于点E，且ED交AC于点F，AD＝2DF。
（1）求证:四边形ABED为菱形；
（2）若BD＝6，∠E＝60°，求四边形ABED的面积。
考点2: 菱形中的折叠问题
【典例2】如图所示，将 ABCD沿EF折叠，恰好使点C与点A重合，点D落在点G处，连AC，CF。
（1）求证:△ABE≌△AGF；
（2）判断四边形AECF的形状，说明理由。
思路导析:（1）由四边形ABCD是平行四边形和折叠的性质，易得AB＝AG，∠BAE＝∠GAF，
∠ABE＝∠CDF＝∠AGF，则可利用ASA判定△ABE≌△AGF。（2）由（1）易证得EC＝AE＝AF，又由AF∥EC，即可判定四边形AECF是菱形。
解:（1）证明:四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠BAD＝∠BCD。
由折叠的性质得AG＝CD，∠EAG＝∠BCD，∴AB＝AG，∠BAD＝∠EAG，∴∠BAE＝∠GAF。
又∵∠ABE = ∠CDF＝∠AGF，∴在△ABE和△AGF中，
∴△ABE≌△AGF（ASA）
（2）解:四边形AECF是菱形。理由:由折叠的性质得EC＝AE，
∵△ABE≌△AGF，∴AE＝AF。 ∴EC＝AE＝AF。∴AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形。∴ AECF是菱形。
友情提示 此题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，折叠的性质以及全等三角形的判定与性质此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，理解折叠部分前后图形全等，同时注意数形结合思想的应用。
变式3 将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF，若AB＝3，则菱形AECF的面积为（ ）
A.1 B.2 C.2 D.4
变式4 如图所示，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，且DE∥BC，下列结论:①△BDF是等腰三角形；②DE＝BC；③四边形ADFE是菱形；④∠BDF＋∠FEC＝2∠A，其中一定正确的是（ ）
A.①③④ B.②③④ C.①②④ D.①②③
考点3: 菱形中的坐标问题
【典例3】如图所示，在直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，且点A的坐标为
（0，2）。
（1）求点B，C，D的坐标；
（2）求菱形ABCD的面积。
思路导析:（1）首先利用菱形的对称性，A，C与B，D分别关于x，y轴对称，求出BO的长，进而得出各点坐标。（2）利用菱形的面积公式求出即可。
解:（1）∵四边形ABCD是菱形，菱形ABCD的两条对角线在坐标轴x，y上，
根据菱形的对称性，A，C与B，D分别关于x，y轴对称，
∵A（0，2），∴C（0，-2）。∵∠ABC＝60°，∴∠ABO＝30°
在Rt△AOB中，∵∠ABO＝30°，A（0，2），AO＝2
∴AB＝2AO＝4，∴BO＝＝＝2.
∴B（-2，0），C（0，-2），D（2，0）.
（2）菱形ABCD的面积＝AC·BD＝×4×4＝8.
友情提示 此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，利用菱形的性质得出BO的长是解题关键，要清楚菱形的面积等于对角线乘积的一半。
变式5 如图所示，A，B两点的坐标分别为（5，0），（1，3），点C是平面直角坐标系内一点。若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是菱形，则点C的坐标为_____________。
变式6 如图所示，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为（5，0），（2，-4），请你再找一点C使得以O，A，B，C为顶点的四边形是菱形，这时C点的坐标应为__________（并在图中用小黑点标出C点的位置）。
考点4: 菱形中的动点问题
【典例4】如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝5，∠C＝30°，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动。设点D，E运动的时间为t s（t＞0）。过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF。
（1）求证:AE＝DF。
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由。
思路导析: （1）直接计算线段长度即可.（2）由于AE与DF平行且相等，因此四边形AEFD是平行四边形，要保证其是菱形，只需保证一组邻边相等即可，可令AD＝AE。
解:（1）证明:在△DFC中，∵DF⊥BC，∴∠DFC＝90°。∵∠C＝30°，DC＝2t，∴DF＝t。
又∵AE＝t，∴AE＝DF。
（2）能理由如下:
∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF。又∵AE＝DF，∴四边形AEFD为平行四边形。
在Rt△ABC中，设AB＝x，则AC＝2x，
由勾股定理，得x2＋BC2＝（2x）2，即x2＋（5）2＝4x2，解得x＝5（负根舍去），
∴AB＝5，AC＝10.∴AD＝AC-DC＝10-2t。
若使 AEFD为菱形，则需AE＝AD，即t＝10-2t，解得t＝，
∵当t＝2时，CD＝2t＝＜AC，AE＝t＝＜AB，∴当t＝时，四边形AEFD为菱形。
友情提示→（1）对于动态问题，关键是抓住其中的不变量。（2）对于运动中的长度问题，可通过设未知数，将其转化为方程或不等式相关知识解决。
变式7 如图所示，在菱形ABCD中，AB＝4cm，∠ADC＝120°，点E，F同时由A，C两点出发，分别沿AB，CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1 cm/s，点F的速度为2 cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为（ ）
1 B. C. D.
变式8 如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O。AC＝8cm，BD＝6cm，点P为AC上一动点，点P以1 cm/s的速度从点A出发沿AC向点C运动.设运动时间为ts，当t＝________s时，△PAB为等腰三角形.
巩 固 提 高
1.如图所示，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定 ABCD是菱形的只有（ ）
A. AC⊥BD B. AB＝BC C. AC＝BD D.∠1＝∠2
2.已知平行四边形ABCD，AC，BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为菱形的是（ ）
A.∠BAC＝∠DCA B.∠BAC＝∠DAC C.∠BAC＝∠ABD D.∠BAC＝∠ADB
3.如图所示，四边形ABCD的四边相等，且面积为120cm2，对角线AC＝24cm，则四边形ABCD的周长为（ ）
A.52 cm B. 40 cm C.39 cm D.26 cm
4.如图所示，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，DE＝DF.在下列条件中，使四边形BECF是菱形的是（ ）
A. EB⊥EC B. AB⊥AC C. AB＝AC D. BF∥CE
5.如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD＝4cm，
∠ABC＝30°，则长方形纸条的宽度是_________cm。
6.如图所示，在菱形ABCD中，过对角线BD上任一点P，作EF∥BC，GH∥AB，下列结论正确的是_________。（填序号）
①图中共有3个菱形； ②△BEP≌△BGP；
③四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半；
④四边形AEPH的周长等于四边形GPFC的周长。
7.如图所示:在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F。
求证:四边形AEFG是菱形。
8.如图所示，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠C＝2∠BAD。O是四边形ABCD内一点，且
OA＝OB＝OD。求证:
（1）∠BOD＝∠C；
（2）四边形OBCD是菱形。
9.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，已知CD＝3。
（1）求AD的长；
（2）求四边形AEDF的周长.（注意:本题中的计算过程和结果均保留根号）
10.如图所示，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF。
（1）证明:∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；
（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；
（3）在（2）的条件下，试确定点E的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由。
11.如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动。设点D，E运动的时间是t秒（0＜t≤15）。过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF。
（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由。
真 题 训 练
1.（2018·温岭市一模）下列说法中，错误的是（ ）
A.平行四边形的对角线互相平分 B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.菱形的对角线互相垂直 D.对角线互相平分的四边形是平行四边形
2.（聊城中考）如图所示，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（ ）
A. AB＝AC B. AD＝BD C. BE⊥AC D. BE平分∠ABC
3.（黑龙江中考）如图所示，在平行四边形ABCD中，添加一个条件_______________使平行四边形ABCD是菱形。
4.（沈阳中考）如图所示，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE.求证:
（1）∠CEB＝∠CBE；
（2）四边形BCED是菱形。
5.（2018·北京）如图所示，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE。
（1）求证:四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长。
参考答案及解析
知识梳理
知识点1: 1.一组邻边 2.互相垂直 3.四条边都相等
考点突破
1.证明:∵AF∥CD，∴∠AFE＝∠CDE.
在△AFE和△CDE中， ∴△AEF≌△CED.∴AF＝CD.∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形.
由题意知AE＝AB，∠EAD＝∠BAD， AD＝AD，
∴△AED≌△ABD。∴∠AED＝∠B＝90°，即DF⊥AC.
∴四边形ADCF是菱形.
2.解:（1）证明:∵AD是BC边的中线，∴DC＝DB.
由题意知DF为△ABC的中位线，∴AB＝2DF。∵AD＝2DF，∴AB＝AD。
∵AD∥BE，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形
∵AD＝AB，∴四边形ABED是菱形。
（2）连接AE交BD于O，∵∠DEB = 60o，四边形ABED是菱形，∴△BDE，△ABD是等边三角形，DO = BO = 3.
在Rt△DOE中，∵DO = 3，∠EDO = 60o，DE = 6，
∴EO＝。∴AE＝2EO＝6。
∴.S菱形ABED = ·AE·BD = ×6×6＝18。
3.C 4.C 5.（-4，3） 6.（-3，-4）
7.D 解析:连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠ADB＝∠ADC＝60o，
∵△ABD是等边三角形，∴AD＝BD。又∵△DEF是等边三角形，∴∠EDF＝∠DEF = 60o，
∴∠ADB＝60o，∴∠ADE＝∠BDF，
∴△ADE和△BDF中， AD＝BD，∠A = ∠DBC = 60o，∠ADE＝∠BDF，∴△ADE≌△BDF。
∴AE＝BF，∵AE＝t， CF＝2t，∴BF＝BC-CF＝4-2t,
∴t＝4-2.t =.故选D.
8.5或8或 解析:∵四边形ABCD是菱形，AC＝8cm，BD＝6cm，∴AC⊥BD,AO = OC = 4 cm， BO = OD = 3 cm。由勾股定理得：BC = AB＝AD BO＝OD＝5 cm，
分为三种情况：
①如图1，当PA＝AB＝5cm时，＝5÷1＝5（s）
②如图2.当P和C重合时，PB＝AB＝5cm，t＝8÷1＝8（s）
③如图3，作AB的垂直平分线交AC于P，此时PB＝PA，连接PB，
在Rt△BOP中，由勾股定理得:BP2＝ BO2＋OP2，AP2＝32＋（4-AP）2， AP = ；t = ÷1=（s）
巩 固 提 高
1.C 2.B 3.A 4.C 5.2 6.①②④
7.证明:∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵∠BAC＝90°，
∴∠B＋∠BAD＝90o，∠BAD＋∠CAD＝90°，∴∠B＝∠CAD.∵CE平分∠ACB，EF⊥BC，∠BAC＝90o（EA⊥CA），∴AE = EF（角平分线上的点到角两边的距离相等）∵CE = CE，
∴由勾股定理得AC＝CF。
∵△ACG和△FCG中， ∴△ACG≌△FCG，∴∠CAD＝∠CFG。
∴∠B＝∠CAD，∴∠B = ∠CFG。∴GF∥AB.∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴AD∥EF即AG∥EF，AE∥GF，∴四边形AEFG是平行四边形。∵AE＝EF，∴平行四边形AEFG是菱形。
8.略
9.解:（1）AD=6.
（2）四边形AEDF的周长为8.
10.解:（1）证明:在△ABC和△ADC中， ∴△ABC≌△ADC（SSS）
∴∠BAC＝∠DAC。
在△ABF和△ADF中，∴△ABF≌△DAF（SAS）∴∠AFD=∠AFB。
∵∠AFD＝∠CFE，∴∠AFD = ∠CFE。
（2）∵AB∥CD ，∴∠BAC＝∠ACD，又∵∠BAC =∠ACD，∴AB＝CD。
又∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD。∴四边形ABCD是菱形。
（3）当BE⊥CD，即E为过点B且和CD垂直的垂线与CD的交点时，∠EFD＝∠BCD。
理由:∵四边形ABCD为菱形， BC＝DC，∠BCF = ∠DCF。
在△BCF和△DCF中，∴ △BCF≌△DCF（SAS），∴∠CBF = ∠CDF。
∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝90° ∴∠EFD＝∠BCD。
11.（1）能，当t＝10秒时，四边形AEFD为菱形。
（2）①当∠DEF＝90°时，由（1）知四边形AEFD为平行四边形，∴EF∥AD。
∴∠ADE＝∠DEF＝90° ∵∠A＝60°，∴∠AED＝30o。∴AD = AE = t.
又AD＝60-4r，即60-4t = t,解得t＝12;
②当∠EDF＝90时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中，∠A＝60°，则∠ADE＝30° .
∴AD＝2AE，即60-4t＝4t，解得t＝.
③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在.
综上所述，当t＝或12秒时，△DEF为直角三角形.
真题训练
1.B 2.D 3.AB＝BC或AC⊥BD。
4.证明:（1）∵△ABC≌△ABD，∴∠ABC＝∠ABD。∵CE∥BD，
∴∠CEB＝∠DBE。∴∠CEB＝∠CBE。
（2）△ABC≌ △ABD，∴BC＝BD.∵∠CEB＝∠CBE，∴CE = CB。∴CE = BD。∵CE∥BD，
∴四边形CEDB是平行四边形。∵ BC＝BD，∴四边形CEDB是菱形。
5.解:（1）证明:∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠DCA。∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB＝∠DAC。
∴∠DCA＝∠DAC。∴CD＝AD＝AB。∵AB∥CD。∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴ ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC。∵CE⊥AB， ∴OE＝OA = OC。∵BD＝2，∴OB＝BD＝1.
在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1，∴OA＝＝2.
∴OE = OA = 2。