【鲁教版八下精美学案】第1节 菱形的性质与判定 第1课时（知识梳理+考点突破+巩固提高+真题训练）

第1节 菱形的性质与判定
第1课时
知 识 梳 理
知识点1 菱形的定义
_____________的平行四边形叫做菱形。
注意 （1）菱形必须满足两个条件：①是平行四边形；②有一组邻边相等。（2）菱形的定义既是菱形的性质，又是菱形的判定方法。（3）菱形是特殊的平行四边形，它具备平行四边形的所有性质。
知识点2 菱形的性质
1.定理1：菱形的____________________。
几何语言：如图所示，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA。
2.定理2：菱形的____________________。
几何语言：如图所示，∵四边形ABCD是菱形。∴AC⊥BD。
3.对称性：菱形________轴对称图形，它有________对称轴，分别是_________；菱形也是________对称图形，它的对称中心是______________。
注意 菱形的两条对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，因此常在直角三角形中利用勾股定理进行相关计算。
知识点3 菱形的面积
1.S菱形 = AB·DH = AC·BD。 2.S菱形 = 2S△ABC = 4S△AOB。
注意 菱形面积的计算可以用平行四边形的面积公式，也可以用其对角线来计算，即菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半，也可以推广到对角线互相垂直的任意四边形的面积的计算，菱形是这类四边形的特例。
考 点 突 破
考点1：菱形的定义
【典例1】 如图所示，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
AB = BC B. AC = BC C. ∠B = 60o D. ∠ACB = 60o
思路导析：首先根据平移的性质得出AB平行且等于CD，得出四边形ABCD为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形可得添加条件AB = BC即可。
答案：A
友情提示 利用菱形的定义判定四边形为菱形，应注意同时满足两个条件：①首先判定是平行四边形；②一组邻边相等。
变式1 如图所示，若要使平行四边形ABCD成为菱形，则可以添加的条件是（ ）
AB = CD B. AD = BC C. AB = BC D. AC = BD
变式2 如图所示，在菱形ABCD中，E，F，G，H分别是菱形四边的中点，连接EG，FH，交于点O，则图中的菱形共有（ ）
4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个
考点2：菱形的边的性质
【典例2】在菱形ABCD中，M，N分别是边BC，CD上的点，且AM=AN=MN=AB，则∠C的度数为（ ）
120o B.100o C.80o D.60o
思路导析：由菱形的性质和已知条件得出：AB=AM，AN=AD，△ANM是等边三角形，得出∠B=∠AMB，∠D＝∠AND，∠MAN＝60°，设∠B＝x，则∠AMB＝x，∠BAM＝∠DAN＝180°- 2x，根据∠B＋∠BAD＝180°，得x＋180°- 2x＋60°＋180°-2x＝180°解得:x＝80°，∴∠B＝80°，∴∠C＝180°- 80°＝100°答案:B
友情提示→在利用菱形的性质求角时，常构造等腰三角形和直角三角形，由角之间的数量关系设出未知数列出方程是解决问题的关键。
变式3 如图所示，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BCA于E，连接OE，若ABC＝140°，则∠OED＝____________。
变式4 如图所示，在菱形ABCD中，点E，F分别是BC，CD上的点，且∠B＝∠EAF＝60°。
（1）求证:△AEF是等边三角形。
（2）若∠BAE＝37°，求∠CEF的度数。
考点3：利用菱形的性质求线段长
典例3 如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1:2，周长是40cm.求:两条对角线AC，BD的长度。


思路导析:由在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1:2，周长是40cm，可求得△ABO是含30°角的直角三角形，AB＝10cm，继而求得AC与BD的长。
解:∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AC⊥BD，AD∥BC.
∴∠ABC＋∠BAD＝180° ∵∠ABC与∠BAD的度数比为1:2，
∴∠ABC＝×180°＝60° ∴ ∠ABO＝∠ABC＝30° ∵菱形ABCD的周长是40cm，
∴AB＝10 cm. ∴OA＝AB＝5cm. ∴ OB＝.
∴AC＝2OA＝10 cm， BD＝2OB＝10 cm.
友情提示 利用菱形的性质求边，熟练应用菱形的各种性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理是解题关键。
变式5 已知一个菱形的面积为8cm2，且两条对角线的长度比为1：，则菱形的边长为_______。变式6 如图所示，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，菱形ABCD的周长是20，BD＝6。
求AC的长。
（2）求形ABCD的高DE的长。

考点4: 利用菱形的性质进行证明
【典例4】 如图所示，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E，F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足4AE＋CF＝2.
（1）求证:△BDE≌△BCF；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由。
思路导析:（1）先判定△ABD与△BCD都是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠BDE＝∠C＝60°，再求出DE＝CF，然后利用“边角边”证明两三角形全等；（2）根据全等三角形对应边相等可得BE＝BF，全等三角形对应角相等可得∠DBE＝∠CBF，然后求出∠EBF＝60°。
解:（1）证明:∵菱形ABCD的边长为2，对角线BD＝2，∴AB＝AD＝BD =2， BC＝ CD＝BD＝2.∴△ABD与△BCD都是等边三角形。∴∠BDE＝∠C＝60° ∵AE＋CF＝2，∴CF＝2 - AE.
又∵DE＝AD-AE＝2-AE，∴DE＝CF。
在△BDE和△BCF中， ∴△BDE≌△BCF（SAS）；
（2）△BEF是等边三角形.理由如下:
由（1）可知△BDE≌△BCF，∴BE＝BF，∠DBE＝∠CBF。
∴∠EBF＝∠DBE＋∠DBF＝∠CBF＋∠DBF＝∠DBC＝60°
∴△BEF是等边三角形。
变式7 如图所示，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F，连接EF。
求证:（1）△ADE≌△CDF；
（2）∠BEF＝∠BFE。
变式8 如图所示，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E为AB的中点，点F是AC上一动点，若AB＝6，试求EF＋BF的最小值。
巩 固 提 高
1.如图所示，已知菱形ABCD的周长为12，∠A＝60°，则BD的长为（ ）
A.3 B.4 C.6 D.8
2.如图所示，菱形ABCD的周长为8，∠ABC＝120°则AC的长为（ ）
A.2 B.2 C. D.1
3.如图所示，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是（ ）
A.108° B.72° C.90° D.100°
4.如图所示，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°，则△OCE的面积是（ ）
A. B.2 C.2 D.4
5.如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝120°，则∠AOE＝_____________。
6.如图所示，四边形ABCD是菱形，点A，B，C，D的坐标分别是（m，0），（0，n），（1，0），（0，2），则mn＝___________。
7.已知菱形的周长为4，两条对角线的和为6，则菱形的面积为____________。
8.如图所示，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，DE⊥AB。
（1）求∠ABC的度数；
（2）如果AC＝4，求DE的长.
9.如图所示，在菱形ABCD中，分别延长AB，AD到E，F，使得BE＝DF，连接EC，FC.
求证:EC＝FC.
10.如图所示，在菱形ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，∠BAF＝∠DAE。
（1）求证:AE＝AF；
（2）若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求证:△AEF为等边三角形。
11.如图所示，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE。
（1）求证:四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠E＝60°，AC＝4，求菱形ABCD的面积。
12.如图①所示，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点，连接DE并延长交射线AB于点F，连接BE.
（1）求证:∠F＝∠EBC；
（2）若∠DAB＝90°，当△BEF为等腰三角形时，求∠F的度数（如图②所示）。
真 题 训 练
1.（2018·十堰）菱形不具备的性质是（ ）
A.四条边都相等 B.对角线一定相等 C.是轴对称图形 D.是中心对称图形
2.（2018·淮安）如图所示，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（ ）
A.20 B.24 C.40 D.48
3.（2018·黔西南）已知一个菱形的边长为2，较长的对角线长为2，则这个菱形的面积是________。
4.（2018·葫芦岛）如图所示，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为（2，3），则点C的坐标为____________。
5.（2018·柳州）如图所示，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB＝2.
（1）求菱形ABCD的周长；
（2）若AC＝2，求BD的长。
参考答案及解析
知识梳理
知识点1:有一组邻边相等
知识点2，1四条边都相等 2.对角线互相垂直 3.是 两条 两条对角线所在的直线 中心 两条对角线的交点
考点突破
1.C 2.B 3.20°
4.解:（1）证明，连接 AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠ACB＝∠ACD。∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACD＝60°。 ∴∠BAE＋∠EAC＝60°
∵∠EAF＝60°，∴∠CAF＋∠EAC＝60° ∴∠BAE＝∠CAF。
又∵AB＝AC，∠ABC＝∠ACD＝60°∴△ABE≌△ACF ∴AE＝AF
∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形。
（2）∵△AEF是等边三角形，∴∠AEF＝60° ∵∠AEC＝∠AEF＋∠CEF＝∠B＋∠BAE，
∠B＝∠AEF＝60°，∴∠CEF＝∠BAE＝37°
5.4cm.m
6.解:（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD.AC⊥BD，BO＝OD，AO＝OC.
∵菱形的周长是20，∴DC＝×20＝5。∵BD=6，∴OD＝3.
在Rt△DOC中， OC＝＝=4.∴AC＝2OC＝8；
（2）S△ABD＝AB·DE=BD·OA.∴5·DE＝6×4∴DE＝。
7.证明:（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠A＝∠C.∵DE⊥BA，DF⊥CB，
∴∠AED＝∠CFD＝90°。 在△ADE和△CDF中， ∵∴△ADE≌△CDF；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CB。∵△ADE≌△CDF，∴AE＝CF∴AB-AE＝BC-CF，即BE＝BF∴∠BEF＝∠BFE。
8.解:连接DE交AC于点F，则EF＋BF的最小值为DE的长。连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD。∵∠DAB＝60°，∴△ADB为等边三角形，∵点E为AB的中点，∴AE＝BE＝3，DE⊥AB，∴在Rt△AED中，由勾股定理得 DE==.
巩固提高
1.A 2.A 3.B 4A 5.60o 6.2 7.4
8.解，（1）∵E为AB的中点，DE⊥AB，∴AD＝DB。∵四边形ABCD是菱形，∴.AB＝AD，
∴AD＝DB＝AB，∴△ABD为等边三角形，∴∠DAB＝60o。
∵菱形ABCD的边AD∥BC，∴∠ABC＝18°-∠DAB＝180°- 60°= 120°，即∠ABC＝120o。
（2）∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC于O，AO＝AC＝×4=2。
由（1）可知DE和AO都是等边△ABD的高，∴DE＝AO＝2。
9.证明:∵四边形ABCD是菱形，∴CB＝CD，∠ABC＝∠ADC，∴∠EBC＝∠FDC。
在△EBC和△FDC中，∴△EBC≌△FDC.∴EC = FC。
10.证明:（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D。又∵∠BAF＝∠DAE，
∴∠BAF - ∠EAF＝∠DAE - ∠EAF，即∠BAE＝∠DAF。
在△ABE和△ADF中，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴AE＝AF；
（2）连接AC，∵AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，∴AB＝AC＝AD.
∵AB＝BC＝CD＝DA. ∴△ABC和△ACD都是等边三角形。
∴∠CAE＝∠BAE＝30°，∠CAF＝∠DAF＝30°，
∴∠EAF＝∠CAE＋∠CAF＝60°，又∵AE＝AF，
∴△AEF是等边三角形。
11.解:（1）证明:∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD. 又∵BE＝AB，
∴BE＝CD，BE∥CD. ∴四边形BECD是平行四边形；
（2）∵四边形BECD是平行四边形，∴DB∥CE
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠E＝∠OBA∴AC⊥CE。
在直角△ACE中，∠E＝60o，∴∠CAE＝30° ∴AE＝2CE，∵AC2＋CE2＝AE2且AC＝4
∴（4）2＋CE2＝（2CE）2 ∴CE＝4。∵四边形BECD是平行四边形，∴BD＝CE＝4。
∴S菱形ABCD＝AC·BD＝×4×4＝8。
12.解:（1）证明:∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝AB，∠ACD＝∠ACB.在△DCE和△BCE中，
∴△DCE≌△BCE（SAS）.∴∠CDE＝∠CBE。
∵CD∥AB，∴∠CDE＝∠AFD. ∴∠EBC＝∠AFD，即∠F＝∠EBC；
（2）分两种情况:I.如图①所示，当F在AB延长线上时，∵∠EBF为钝角，∴只能是BE＝BF.。
设∠BEF＝∠BFE＝x°，可通过三角形内角和为180°得:90＋x＋x＋x＝180，解得:x＝30，
∴∠EFB＝30°；
Ⅱ.如图②所示，当F在线段AB上时，∵∠EFB为钝角，∴只能是FE＝FB，设∠BEF＝∠EBF＝x°，则有∠AFD＝2xo，可证得:∠AFD＝∠FDC＝∠CBE，得x＋2x＝90，解得:x＝30，∴∠EFB＝120°
综上:∠F＝30°或120°。
真题训练
1.B 2.A 3.2 4.（2，-3）
5.解:（1）∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，∴菱形ABCD的周长＝2×4＝8；
（2）∵四边形ABCD是菱形，AC＝2，AB＝2，∴AC⊥BD，AO＝1.
∴BO＝。
∴BD＝2。