2018_2019高中数学第2章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的几何性质课件苏教版选修1_1（45张）

课件45张PPT。2.4.2　抛物线的几何性质第2章　§2.4　抛物线学习目标1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.
2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一　抛物线的几何性质思考1　类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，你能说出抛物线y2＝2px(p>0)的范围、对称性、顶点坐标吗？
答案　范围x≥0，关于x轴对称，顶点坐标(0,0).
思考2　抛物线标准方程y2＝2px(p>0)中的参数p对抛物线开口大小有何影响？
答案　p越大，开口越大.梳理x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0x轴y轴(0,0)1知识点二　焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：知识点三　抛物线中的弦长与中点弦问题2.已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)的一条弦，其中点M的坐标为(x0，y0)，运用平方差法可推导AB的斜率如下：由②－①得(y2＋y1)(y2－y1)＝2p(x2－x1). ③y1＋y2＝2y0， ⑤由③④⑤得kAB＝ ，即弦AB的斜率只与 和弦AB中点的 坐标有关.p纵1.抛物线y＝2px2(p>0)的对称轴为y轴.(　　 )
2.抛物线关于顶点对称.(　 　)
3.抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心.(　 　)
4.抛物线的标准方程各不相同，其离心率也各不相同.(　 　)[思考辨析 判断正误]×√×√题型探究类型一　由抛物线的几何性质求标准方程解答例1　已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程.引申探究　
等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是_____.答案解析4p2解析　因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.所以易得A，B两点的坐标分别为(2p,2p)和(2p，－2p).反思与感悟　把握三个要点确定抛物线的几何性质
(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x 还是y，一次项的系数是正还是负.
(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴.
(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.解答跟踪训练1　已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P到准线及对称轴的距离分别为10和6，求抛物线的方程.解　设抛物线的方程为y2＝2ax(a≠0)，点P(x0，y0).
因为点P到对称轴距离为6，
所以y0＝±6.
因为点P到准线距离为10，因为点P在抛物线上，所以36＝2ax0， ②所以所求抛物线的方程为y2＝±4x或y2＝±36x.类型二　抛物线的焦点弦问题例2　已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点.
(1)若直线l的倾斜角为60°，求AB的值；解答解　因为直线l的倾斜角为60°，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5.(2)若AB＝9，求线段AB的中点M到准线的距离.解答解　设A(x1，y1)，B(x2，y2).所以x1＋x2＝6，所以线段AB的中点M的横坐标是3.反思与感悟　(1)抛物线的焦半径(2)过焦点的弦长的求解方法
设过抛物线y2＝2px(p>0)焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝x1＋x2＋p.然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立，消元，由根与系数的关系求出x1＋x2即可.解答设A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B到准线的距离分别为dA，dB.类型三　与弦长、中点弦有关的问题解答例3　已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点坐标为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分.
(1)求抛物线E的方程；
解　由于抛物线的焦点坐标为(1,0)，
所以 ＝1，p＝2，
所以抛物线E的方程为y2＝4x.解答(2)求直线AB的方程.且x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
由②－①，得(y1＋y2)(y2－y1)＝4(x2－x1)，所以直线AB的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.反思与感悟　中点弦问题解题策略方法跟踪训练3　已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及P1P2.解答解　方法一　由题意易知直线方程的斜率存在，设所求方程为y－1＝k(x－4).当k＝0时，y＝1，显然不成立.
当k≠0时，Δ＝62－4k(－24k＋6)>0. ①
设弦的两端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，∵P1P2的中点为(4,1)，∴所求直线方程为y－1＝3(x－4)，
即3x－y－11＝0，
∴y1＋y2＝2，y1y2＝－22，∴所求直线的斜率为k＝3，
所求直线方程为y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0.∴y1＋y2＝2，y1y2＝－22，类型四　抛物线在实际生活中的应用解答解　如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系.
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0).
由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航.反思与感悟　涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解.解答跟踪训练4　如图，有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米.若洪水到来时，水位从警戒线开始以每小时0.2米的速度上升，再持续多少小时才能到拱桥顶？(平面直角坐标系是以桥顶点为原点O)解　设所求抛物线的方程为y＝ax2.
设D(5，b)，则B(10，b－3).即再持续5小时到达拱桥顶.达标检测答案12345解析y2＝－4x又抛物线开口方向为x轴负方向，
∴抛物线方程为y2＝－4x.12345答案解析2.顶点在坐标原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是__________.
解析　顶点在坐标原点，
对称轴为y轴的抛物线的标准方程有两个：x2＝－2py(p>0)，x2＝2py(p>0).
由顶点到准线的距离为4，得p＝8，
故所求抛物线的标准方程为x2＝16y或x2＝－16y.x2＝±16y3.抛物线y2＝x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为_________.12345答案解析12345答案解析4.过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则AB＝___.
解析　易知抛物线的准线方程为x＝－1，
则线段AB的中点到准线的距离为3－(－1)＝4.
由抛物线的定义易得AB＝8.812345答案解析1又y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，
∴焦点到直线AB的距离为1.规律与方法1.讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程.
2.抛物线中的最值问题：注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，其次是平面几何知识的应用.