苏科版九年级下册第5章 二次函数全章课件(共193张PPT)

课件193张PPT。第五章 二次函数
苏教版九年级下册CONTENT 目 录5.1　二次函数
1.水滴激起的波纹，它不断向外扩展，所形成的圆周长C与r的函数关系式为__________
不断扩大的圆面积S与半径r之间的函数关系式是 _______________这两个函数的区别是什么？ 2.用16米长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔,设长方形的一边长为x 米，则另一边为 米，如果将面积记为y平方米，那么变量y与x之间的函数关系式为：
___________________ 3.一面长与宽之比为2:1的矩形镜子，四周镶有边框。已知镜面的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，加工费为45元。若设镜面宽为x（米）,总费用y（元），则y与x的函数关系为：______ 上述函数中的函数关系有哪些共同之处？它们与一次函数、反比例函数的关系式有什么不同？
一般地，我们称以上表示的函数为二次函数。其中x是自变量，y是x的函数。
二次函数的一般形式:y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
a是二次项系数b是一次项系数C是常数项二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c
当c＝0时， y＝ax2＋bx
当b＝0，c＝0时， y＝ax2
例1 判断：下列函数是否为二次函数？如果不是二次函数，请说明理由；如果是，写出其中a、b、c的值.
(1) y＝ －x＋1 (2)y＝x(x－5)
(3) y＝1 － 3x2 (4) y＝(x+3)2-x2
(5)y＝ (6) s＝t-32
(7)y＝ x4＋2x2－1 (8)y＝ax2＋bx＋c例题精讲2、已知函数 是二次函数，求m的值.随堂练习2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( )
A m,n是常数,且m≠0 B m,n是常数,且n≠0
C m,n是常数,且m≠n D m,n为任何实数CC随堂练习1、写出正方形的表面积S（cm2）与正方体的棱长a（cm）之间的函数关系式。
2、已知圆柱的高14cm，写出圆柱的体积V（cm3）与底面半径r（cm）之间的函数关系式。
3、如图，学校准备将一块长20m，宽14m的矩形绿地扩建。如果长、宽都增加 x m，写出扩建面积S （m2）与x（m）之间的函数关系式。
4、如图，把一张长为30cm、宽为20cm的矩形纸片的一角剪去一个正方形，写出矩形纸片的剩余面积S（cm2）与所剪正方体边长x（cm）之间的函数关系式。5.用一根长为40 cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积y与它的半径r之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围．6. n支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,写出比赛的场次数 m与球队数 n 之间的关系式.即 一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形的一边长2.5 m．
⑴求隧道截面的面积S（m2）关于上部半圆半径r（m）的函数关系式；
⑵求当上部半圆半径为2 m时的截面面积．5.2　二次函数的图像和性质
　第 1 课时19 一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做二次函数，其中x是自变量，y是x的函数.1.什么叫做二次函数？2.函数y=x2是二次函数吗？20根据二次函数表达式y=x2，你能描述这个函数图像具有什么特征吗？（1）当x=0时，y=_____.图像过___________.
（2）x的取值范围是________.图像______________.
（3）y的范围是____.图像_______________________.
（4）当x=-2时，y=___；当x=2时，y=___. 图像上的
点（-2， ）与点（2， ）的位置关系是_________.
图像____________.0原点一切实数向左、右无限延伸y≥0向上无限延伸，且x轴下方没有图像44关于y轴对称关于y轴对称4421数形结合,直观感受用描点法画二次函数y=x2的图像回顾一下描点法
画函数图像的步骤列表、描点、连线22数形结合,直观感受1.列表如何选取自变量的值比较恰当呢?9410149…………0-1-2-312323数形结合,直观感受2.描点3.连线y=x2连线时应注意什么呢24数形结合,直观感受用描点法画二次函数y=-x2的图像，并思考函数y=x2的图像与函数y=-x2的图像有什么共同特征？
y=-x225数形结合,直观感受函数y=x2的图像与函数y=-x2的图像有什么共同特征？y=-x2y=x2二次函数y=x2、y=-x2
的图像都关于y轴对称形状都是抛物线对称轴与抛物
线的交点叫做
抛物线的顶点.26 在平面直角坐标系中，画出下列函数的图像.
(1)y=2x2 (2)y= x2
(3)y=－2x2 (4)y=－ x2 同学们交流一下，这四个函数图像有什么共同特征？27这四个函数的图像，有什么共同特征？（1）（2）（3）（4）图像都是抛物线顶点都在原点，对称轴都是y轴28若将这四个函数的图像分成两组，如何分？分组的标准是什么?（1）（2）（3）（4）29按开口的方向分----------------------------------------------------------------------------- a＞0时，
开口向上a＜0时，开口向下30-------------------------------------------------------------- 开口方向相同时两个函数图像有何不同？︱a︱的越大，开口越小a＞0时，
开口向上a＜0时，开口向下31按︱a︱大小或图像的形状分-------------------------------------------------------------︱a︱相等时，图像形状相同 32 分别说出下列函数的开口方向、顶点坐
标、对称轴、最值和增减性：y= －3x2，y= x2，y=5x2，y= － x2.33 如图，四个二次函数的图象分别对应的
是y=ax2, y=bx2, y=cx2, y=dx2,则a,b,c,d的大小
关系为( )
A.a＞b＞c＞d
B.a＞b＞d＞c
C .b＞a＞c＞d
D.b＞a＞d＞cA34例1．已知 是二次
函数，且函数图像开口向上，求k的值；3536例2 ．已知二次函数y=ax2的图像经过点P(2,3)，确定图像的开口方向.求y=ax2的解析式，只需图象上一个点的坐标(顶点除外) 或一组x、y的值。若A、B在该函数图像上，A、B关于y轴对称，且AB=8 ，求A、B两点的坐标.若A、B在该函数图像上，且AB∥x轴，AB=8 ，求A、B两点的坐标.37 已知正方形边长为xcm，面积为y cm2．求y和x之间的函数关系式，并画出图象； 小明求出函数解析式为y=x2，并列表、描点画出下面的函数图像.○小明的解题过程有问题吗？若有，请给出正确的解答.
5.2　二次函数的图像和性质
　第 2 课时温故知新向上向下(0 ,0)(0 ,0)y轴y轴当x<0时，
y随着x的增大而减小。
当x>0时，
y随着x的增大而增大。 当x<0时,
y随着x的增大而增大。
当x>0时，
y随着x的增大而减小。 x=0时,y最小=0x=0时,y最大=0抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,抛物线的开口就越小.
y=x2y=x2+15 2 1 2 5函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的位置有什么关系?函数y=x2+1的图象可由y=x2的图象沿y轴向上平移1个单位长度得到.操作
与
思考函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的形状相同吗?相同y=x2y=x2-22 -1 -2 -1 2函数y=x2-2的图象可由y=x2的图象沿y轴向下平移2个单位长度得到.函数y=x2-2的图象与y=x2的图象的位置有什么关系?操作
与
思考函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的形状相同吗?相同 函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+c (a≠0)的图象形状 ，只是位置不同；当c>0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象向 平移 个单位得到，当c〈0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象
向 平移 个单位得到。y=-x2-2
y=-x2+3
y=-x2
函数y=-x2-2的图象可由y=-x2的图象沿y轴向下平移2个单位长度得到.函数y=-x2+3的图象可由y=-x2的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到.上加下减相同上c下|c| (1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象
向 平移 个单位得到；y=4x2-11的图象
可由 y=4x2的图象向 平移 个单位得到。（3）将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的
抛物线的函数式是 。
将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的
抛物线的函数式是 。
(2)将函数y=-3x2+4的图象向 平移 个单位可得
y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向 平移 个
单位得到可由 y=2x2的图象。将y=x2-7的图象
向 平移 个单位可得到 y=x2+2的图象。
上5下11下4上7上9y=4x2+3y=-5x2-4小试牛刀 当a>0时，抛物线y=ax2+c的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧,y随x的增大而 ，
当x= 时，取得最 值，这个值等于 ；
当a<0时,抛物线y=ax2+c的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧,y随x的增大而 ，当x= 时，取得最 值，这个值等于 。y=-x2-2
y=-x2+3
y=-x2
y=x2-2
y=x2+1
y=x2
上y轴(0,c)减小增大0小c下y轴(0,c)增大减小0大c观
察
思
考（4）抛物线y=-3x2+5的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ，
当x= 时，取得最 值，这个值等于 。（6）二次函数y=ax2+c (a≠0)的图象经过点A（1，-1），B（2，5），则函数y=ax2+c的表达式为 。若点C(-2,m),D（n ,7）也在函数的图象上，则点C的坐标为 点D的坐标为 （5）抛物线y=7x2-3的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ，
当x= 时，取得最 值，这个值等于 。下y轴(0,5)减小增大0大5上y轴(0,-3)减小 增大 0小-3y=2x2-3(-2,5)或小试牛刀及时小结向上向下(0 ,c)(0 ,c)y轴y轴当x<0时，
y随着x的增大而减小。
当x>0时，
y随着x的增大而增大。 当x<0时,
y随着x的增大而增大。
当x>0时，
y随着x的增大而减小。 x=0时,y最小=0x=0时,y最大=0抛物线y=ax2 +c (a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下平移得到.大显身手(1)已知二次函数y=ax2+k,点A(1,2), 当x=0时，此函数有最大值为3，则此抛物线的关系式为:y=-x2+3(2) 函数y=ax2-a与y=在同一直角坐标系中的图象可能是 （ ）A大显身手大显身手(4)已知二次函数y=3x2+4,点A(x1,y1), B(x2,y2),
C(x3,y3), D(x4,y4)在其图象上,且x2< x4<0,
0|x1|, |x3|>|x4|, 则 ( )x1x2x3x4y1y4y3y2A.y1>y2>y3>y4B.y2>y1>y3>y4C.y3>y2>y4>y1D.y4>y2>y3>y1B大显身手(3) 一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入蓝筐内，已知蓝筐的中心离地面的
距离为3.05m。
1、球在空中运行的最大高度是多少米？
2、如果运动员跳投时，球出手离地面的高度 为2.25m ，
则他离篮筐中心的水平距离AB是多少？（5）已知二次函数y=ax2+c ，当x取x1,x2(x1≠x2,
x1,x2分别是A,B两点的横坐标)时，函数值相等，
则当x取x1+x2时，函数值为 （ ）
A. a+c B. a-c C. –c D. c
D大显身手5.2　二次函数的图像和性质
　第 3 课时问题回顾1.二次函数y=x2+c的图象是什么？答：是抛物线2.二次函数的性质有哪些？请填写下表：向上Y轴（0，0）最小值是0Y随x的增大而减小Y随x的增大而增大向下Y轴（0,0）最大值是0Y随x的增大而增大Y随x的增大而减小向上Y轴（0,c）最小值是CY随x的增大而减小Y随x的增大而增大向下Y轴（0,c）最大值是CY随x的增大而增大Y随x的增大而减小 在平面直角坐标系中，画出函数 　　
　　　　　　的图象。8642-2-4-6-10-5510y=x2y=(x+3)2y=(x-2)2xyo2-2-4-6-8y-10-5510x0向左平移3个单位向右平移2个单位图象是轴对称图形
对称轴是平行于
y轴的直线:x=1.顶点坐标
是点(1,0).二次函数y=3(x-1)2
与y=3x2的图象形状
相同,可以看作是抛
物线y=3x2整体沿x轴
向右平移了1 个单位(1)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么? 二次项系数相同
a>0,开口都向上.想一想,在同一坐标系中作二次函数y=3(x+1)2的图象,会在什么位置? 在对称轴(直线:x=1)左侧
(即x<1时),函数y=3(x-1)2
的值随x的增大而减少,.顶点是最低点,函数
有最小值.当x=1时,
最小值是0..二次函数y=3(x-1)2
与y=3x2的增减性类似.(2)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？在对称轴(直线:x=1)左侧
(即x>1时),函数y=3(x-1)2
的值随x的增大而增大,.想一想,在同一坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图象,它的增减性会是什么样? 真知 从实践走来1.在上面的坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图象.它与二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么? 2.x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x的增大而减少？ 先向右平移2个，再向上平移4个单位得：先向左平移1个，再向下平移3个单位得：先向右平移1个，再向下平移3个单位得：先向右平移2个，再向上平移4个单位得：怎么平移得到2.抛物线y=-3(x-1)2和y=-3(x+1)2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.3.抛物线y=-3(x-1)2在对称轴(x=1)的左侧,当x<1时, y随着x的增大而增大;在对称轴(x=1)右侧,当x>1时, y随着x的增大而减小.当x=1时,函数y的值最大(是0);
抛物线y=-3(x+1)2在对称轴(x=-1)的左侧,当x<-1时, y随着x的增大而增大;在对称轴(x=-1)右侧,当x>-1时, y随着x的增大而减小.当x=-1时,函数y的值最大(是0).二次函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的图象4.抛物线y=-3(x-1)2可以看作是抛物线y=-3x2沿x轴向右平移了1个单位;抛物线y=-3(x+1)2可以看作是抛物线y=-3x2沿x轴向左平移了1个单位.X=-1X=11.抛物线y=-3(x-1)2的顶点是(1,0);对称轴是直线:x=1;抛物线y=-3(x+1)2的顶点是(-1,0);对称轴是直线:x=-1. 从上面的例子，发现二次函数y＝a(x＋m)2的图像与函数y=ax2的图像有什么关系？ 二次函数 y＝a(x ＋ m)2（ m＞0）的图像是由二次函数
y＝ax2 的图像沿x轴向＿＿平移＿＿个单位长度得到的一条直线． 二次函数y＝a(x ＋ m)2（ m＜0）的图像是由二次函数
y＝ax2的图像沿 x 轴向＿＿平移＿＿个单位长度得到的一条直线．左m右｜m｜ 二次函数y＝ax2 ＋ k顶点坐标是＿ 　　　＿ ，对称轴是＿ ＿ ．（0，－m）过（0，－m）与y轴平行的直线归纳概括二次函数y=a(x-h)2的性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴开口方向增减性最值y=a(x-h)2 (a>0)y=a(x-h)2 (a<0)（h，0）（h，0）直线x=h直线x=h向上向下当x=h时,最小值为0.当x=h时,最大值为0.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 根据图形填表：比一比向上直线x=h（h，0）Y随x的增大而减小最小值是0Y随x的增大而增大向下直线x=h（h，0）最大值是0Y随x的增大而增大Y随x的增大而减小 在下列二次函数中,哪些函数的图象可以相互平移得到?如何平移?y= -x2y= x 2y= -3x2y= x2y= -3(x-1) 2y= x2-3y= （x+4）2y= -x2 +试一试　　1．将函数y＝2x2－2的图像先向 平移 个单位，就得到函数y ＝ 2x2的图像，再向 平移 个单位得到函数y ＝ 2(x－3)2的图像． 2．二次函数y ＝ －3(x＋4)2的图像开口 ，由抛物线
y ＝ －3x2向 平移 个单位得到的，当x ＝ 时，
y有最 值，是 ． 3．将二次函数y ＝6x2的图像向右平移1个单位后得到函数 _________的图像，其顶点坐标是 ，当x 时，y随x的增大而增大；当x____时，y随x的增大而减小． 巩固练习5.2　二次函数的图像和性质(3)试一试例1. 填空题
（1）二次函数y=2（x+5）2的图像是 ，开 口 ，对称轴是 ，当x= 时，y有最 值，是 .
（2）二次函数y=-3（x-4）2的图像是由抛物线y= -3x2 向 平移 个单位得到的；开口 ，对称轴是 ，当x= 时，y有最 值，是 .
抛物线向上直线x= -5-5小0右4向下直线x= 44大0（3）将二次函数y=2x2的图像向右平移3个单位后得到函数 的图像，其对称轴是 ，顶点是 ，当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小. （4）将二次函数y= -3（x-2）2的图像向左平移3个单位后得到函数 的图像，其顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x= 时，y有最 值，是 .
y=2（x-3）2直线x=3（3，0）＞3＜3y= -3（x+1）2（-1，0）直线x=-1-1大0试一试（5）将函数y=3（x－4）2的图象沿x轴对折后得到的函数解析式是 ；将函数y=3（x－4）2的图象沿y轴对折后得到的函数解析式是 ；y=－3（x－4）2y=3（x+4）2（6）把抛物线y=a（x-4）2向左平移6个单位后得到抛物线y=- 3（x-h）2的图象，则 a= ，h= .若抛物线y= a（x-4）2的顶点A，且与y轴交于点B，抛物线y= - 3（x-h）2的顶点是M，则SΔMAB= .-3-2144（7）将抛物线y=2x2－3先向上平移3单位，就得到函数 的图象，在向 平移 个单位得到函数y= 2（x-3）2的图象.y=2x2右3（8）函数y=（3x+6）2的图象是由函数 的 图象向左平移5个单位得到的，其图象开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当x 时，y随x的增大而增大，当x= 时，y有最 值是 . y=9（x－3）2上直线x=－2（－2，0）＞－2－2小05.2　二次函数的图像和性质
　第 4 课时二次函数y=a(x+h)2的性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴开口方向增减性最值y=a(x+h)2 (a>0)y=a(x+h)2 (a<0)（-h，0）（-h，0）直线x=-h直线x=-h向上向下当x=-h时,最小值为0.当x=-h时,最大值为0.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 根据图形填表：在同一坐标系中作出二次函数y=3x2,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象.二次函数y=3x2,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?作图看一看． 在同一坐标系中作出函数y=3x2,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象.完成下表,并比较3x2,3(x-1)2和3(x-1)2+2值,它们之间有何关系? 函数y=a(x+h)2+k(a≠0)的图象和性质对称轴仍是平行于y轴的直
线(x=1);增减性与y=3x2类似. 顶点是(1,2).二次函数y=3(x-1)2+2的
图象可以看作是抛物线
y=3x2先沿着x轴向右平移
1个单位,再沿直线x=1向
上平移2个单位后得到的.二次函数y=3(x-1)2+2的图象和抛物线y=3x2,y=3(x-1)2有什么关系?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?开口向上,当
X=1时有最小
值:且最小值=2.先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中作二次函数y=3(x-1)2-2,会是什么样?X=1二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和y=-3x2,y=-3(x-1)2的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小? 对称轴仍是平行于y轴的直线
(x=-1);增减性与y= -3x2类似. 顶点分别是
(-1,2)和(-1,-2)..二次函数y=-3(x+1)2+2与
y=-3(x+1)2-2的图象可
以看作是抛物线y=-3x2
先沿着x轴向左平移1个
单位,再沿直线x=-1向上
(或向下)平移2个单位后
得到的.二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2的图象和抛物线y=-3x2,y=-3(x-1)2有什么关系? 它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?开口向下,
当x=-1时y有
最大值:且
最大值= 2
(或最大值=-2).先想一想,再总结二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质. X=1二次函数y=a(x+h)2+k与y=ax2的关系一般地,由y=ax2的图象便可得到二次函数y=a(x+h)2+k的图象:y=a(x+h)2+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax2的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向左平移;当h<0时,向右平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.
因此,二次函数y=a(x+h)2+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关. 二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=a(x+h)2+k(a>0)y=a(x+h)2+k(a<0)（-h，k）（-h，k）直线x=-h直线x=-h由h和k的符号确定由h和k的符号确定向上向下当x=-h时,最小值为k.当x=-h时,最大值为k.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 根据图形填表：1.二次函数 的图象是 ，开口 ，
对称轴是 ；顶点坐标是 ，说明当
x= 时，y有最 值是 .
2.二次函数 的图象是由抛物线先向
平移 个单位，再向 平移 个单位得到的；
开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，
说明当x= 时，y有最 值是 .
3.已知抛物线开口大小与 的开口大小一样，但
方向相反，且当x=-2时，有最值4，该抛物线的解析
式是 ；
4.抛物线 是由一抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到，则原抛物线的解析式是 ；
5.抛物线 与抛物线 关于x轴成轴对称;抛物线 与抛物线 关于y轴成轴对称.1.相同点: (1)形状相同(图象都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 . 2.不同点: 只是位置不同(1)顶点不同:分别是(-h,k)和(0,0).
(2)对称轴不同:分别是直线x= -h和y轴.
(2)最值不同:分别是k和0.
3.联系: y=a(x+h)2+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax2的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向左平移;当h<0时,向右平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.回味无穷二次函数y=a(x+h)2+k与=ax2的关系5.2　二次函数的图像和性质
　第 5 课时
被我们称为二次函数的 式.顶点回顾：二次函数y=a(x-h)2+k的性质向上向下(h ,k)(h ,k)x=hx=h当xy随着x的增大而减小。
当x>h时，
y随着x的增大而增大。 当xy随着x的增大而增大。
当x>h时，
y随着x的增大而减小。 x=h时,y最小值=kx=h时,y最大值=k抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下和左右平移得到.1.问题：你能直接说出函数 的图像的对称轴和顶点坐标吗？
2.你有办法解决问题①吗？像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化为 式，从而直接得到它的图像性质.的对称轴是 ，顶点坐标是 .例1：.用配方法把下列二次函数化成顶点式：
1.
2.
3.
4.
例2.用描点法画出 的图像.例3、已知抛物线 的顶点A在直线
上 ，求抛物线的顶点坐标.思考：
已知点B（x1，y1），点C（x2，y2）是该抛物线上的两点，且x1＜x2，你能确定y1、y2大小吗？1.用配方法把下列二次函数化成顶点式：
① ② 2.用配方法把下列二次函数化成顶点式：
① ②
3.用描点法画出的图像.如何用配方法将二次函数的一般式转化成顶点式？
怎样画出 的图象？5.2　二次函数的图像和性质
　第 6 课时用配方法将下列二次函数写成顶点式
1.
2.
3.
4.
例.求二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标． 函数y=ax2+bx+c的顶点式 一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标. 1.配方:提取二次项系数配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项化简:去掉中括号提示:
这个结果通常称为求顶点坐标公式.顶点坐标公式因此,二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条抛物线.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： 总结二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
想一想,函数y=ax2+bx+c和y=ax2的图象之间的关系是什么？二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定向上向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 根据图形填表：1.确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.(1)y=5(x－1)2 1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 . 2.不同点: (1)位置不同(2)顶点不同:分别是 和(0,0).
(3)对称轴不同:分别是 和y轴.
(4)最值不同:分别是 和0.
3.联系: y=a(x-h)2+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax2的图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 >0时,向右平移;当 <0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移| |个单位 (当 >0时向上平移;当 <0时,向下平移)得到的.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax2的关系1.如果抛物线 的顶点在x轴的负半轴上，求m的值。2.如果抛物线 的顶点在y轴的左侧，求a的取值范围。
5.3 用待定系数法确定二次函数表达式
　
当x=1时，y=0，则a+b+c=_____1、已知抛物线y=ax2+bx+c0经过点（-1,0），则___________经过点（0,-3），则___________经过点（4,5），则___________对称轴为直线x=1，则___________a-b+c=0c=-316a+4b+c=5顶点坐标是（-3,4）， 则h=_____,k=______，
-3a（x+3）2+442、已知抛物线y=a（x-h）2+k对称轴为直线x=1，则___________代入得y=______________代入得y=______________h=1a（x-1）2+k已知三个点坐标三对对应值，选择一般式已知顶点坐标或对称轴或最值，选择顶点式二次函数常用的几种解析式一般式 y=ax2+bx+c (a≠0)
顶点式 y=a(x-h)2+k (a≠0)
用待定系数法确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式。 已知二次函数y=ax2的图像经过点（-2,8），求a的值。 已知二次函数y=ax2+c的图像经过点（-2,8）和（-1,5），求a、c。问题2：解：设所求的二次函数为　解得已知一个二次函数的图象过点（0,-3） （4,5）
（－1, 0）三点，求这个函数的解析式？例题∵二次函数的图象过点（0,-3）（4，5）（－1, 0）∴c=-3 a-b+c=016a+4b+c=5a=
b=
c=y=ax2+bx+c16a+4b=8
a-b=34a+b=2
a-b=3-3x=0时,y=-3;
x=4时,y=5;
x=-1时,y=0;解：设所求的二次函数为　解得∴所求二次函数为y=x2-2x-3已知一个二次函数的图象过点（0,-3） （4,5）
（－1, 0）三点，求这个函数的解析式？例题∵二次函数的图象过点（0,-3）（4，5）（－1, 0）∴c=-3 a-b+c=016a+4b+c=5a=
b=
c=1-2-3x=0时,y=-3;
x=4时,y=5;
x=-1时,y=0;y=ax2+bx+c解：设所求的二次函数为　y=ax2+bx+cc=-3
a-b+c=0
9a+3b+c=0已知一个二次函数的图象过点（0, -3）
（-1,0） （3,0） 三点，求这个函数的解析式？变式1解得a=
b=
c=1-2-3∴所求二次函数为y=x2-2x-3依题意得解：设所求的二次函数为　已知抛物线的顶点为（1，－4），
且过点（0，－3），求抛物线的解析式？点( 0,-3)在抛物线上a-4=-3, ∴所求的抛物线解析式为 y=(x-1)2-4变式2∵∴∴ a=1最低点为（1，-4）x=1，y最值=-4y=a(x-1)2-4解：设所求的二次函数为　已知一个二次函数的图象过点（0,-3） （4,5）
对称轴为直线x=1，求这个函数的解析式？变式3y=a(x-1)2+k 思考：怎样设二次函数关系式
你还有其他解法吗
解：设所求的二次函数为　y=ax2+bx+cc=-3
16a+4b+c=0已知一个二次函数的图象过点（0,-3） （4,5）
对称轴为直线x=1，求这个函数的解析式？对称轴为直线x=1=1变式3依题意得 已知抛物线的顶点坐标为（-2，3），且经过点（-1，7），求函数的表达式。变式一： 已知二次函数的图像经过点（4，-3），且当x=3时有最大值4，求出对应的函数的关系式。变式二： 二次函数的图象过点A(0,5),B(5,0)两点，它的对称轴为直线x=3，求这个二次函数的解析式。∵ 二次函数的对称轴为直线x=3
∴设二次函数表达式为 ? y=a(x-3)2+k二次函数的表达式: y= (x-3)2-4变式三： 已知当x=-1时，抛物线最高点的纵坐标为4，抛物线与x轴两交点的距离为6， 求这个函数的表达式。达标检测（1）过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6；（2）如图所示，根据条件求出下列二次函数解析式：xy　－12O－1二次函数图象如图所示，
直接写出点的坐标；（2）求这个二次函数的解析式应用迁移CAB已知三个点坐标三对对应值，选择一般式已知顶点坐标或对称轴或最值，选择顶点式二次函数常用的几种解析式一般式 y=ax2+bx+c (a≠0)
顶点式 y=a(x-h)2+k (a≠0)
5.4 二次函数与一元二次方程
y=x2+2xy=x2+2x图象与x轴有2个交点(-2,0) (0,0)x2+2x=0△>0x = -2 x =012二次函数与一元二次方程 y=x2-2x+1图象与x轴有1个交点(1,0)x2-2x+1=0△=0x = 1y=x2-2x+1二次函数与一元二次方程 y=x2-2x+2图象与x轴没有交点x2-2x+2=0△<0y=x2-2x+2没有实数根二次函数与一元二次方程 二次函数与一元二次方程 y=x2+2x图象与x轴有2个交点x2+2x=0△>0y=x2-2x+1图象与x轴有1个交点x2-2x+1=0△=0y=x2-2x+2图象与x轴没有交点x2-2x+2=0△<0y=x2+2xx2+2x=0y=x2-2x+1x2-2x+1=0y=x2-2x+2x2-2x+2=0(-2,0) (0,0)x = -2 x =012(1,0)x = 1图象与x轴没有交点没有实数根二次函数与一元二次方程 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
①有两个交点,
②有一个交点,
③没有交点.
二次函数与一元二次方程 当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.抛物线y=ax2+bx+c抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：
1、△＞0 一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根
与x轴有两个交点抛物线y=ax2+bx+c 2、△=0 一元二次方程ax2+bx+c=0与x轴有唯一公共点抛物线y=ax2+bx+c 3、△＜0 一元二次方程ax2+bx+c=0与x轴没有公共点没有实数根有两个相等的实数根 1、方程 的根是 ；则函数 的图象与x轴的交点有 个，其坐标是 ．-5，12（-5，0）、（1，0） 2、方程 的根是 ；则函数 的图象与x轴的交点有 个，其坐标是 ． 3、下列函数的图象中，与x轴没有公共点的是（ ）1（5，0）D4.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象全部在x轴下方的条件是（ ）
（A）a＜0 b2-4ac≤0
（B）a＜0 b2-4ac＞0
（C）a＞0 b2-4ac＞0
(D）a＜0 b2-4ac＜0D画简单的示意图5、已知二次函数y=x2-4x+k+2与x轴有公共点，求k的取值范围.y=x2+2x6、二次函数y=x2+2x的图像如图所示（1）求x2+2x>0的解集（2）求x2+2x-3<0的解集（3）若直线y=x+2与二次函数交于A,B点，求x2+2x>x+2的解集。
思考1：二次函数y＝x2－x－3和一次函数y＝x＋b有一个公共点，求出b的值.思考2、苏科版教材中有这样一句话：“一般地，如果二次函数的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程有两个不相等的实数根．”据此判断方程x2－2x＝ －2实数根的情况是 ( )
A．有三个实数根 B．有两个实数根
C．有一个实数根 D．无实数根利用二次函数的图象估计一元二次方程 的根。 由图象可知方程有两个根，一个在－5和－4之间，另一个在2和3之间。(1)求－5和－4之间的根。当 x＝－4.1 时，y＝－1.39当 x＝－4.2 时，y＝－0.76当 x＝－4.3时，y＝－0.11当 x＝－4.4 时，y＝0.56因此，x＝－4.3是方程的一个近似根。(2)求2和3之间的根。当 x＝2.1 时，y＝－1.39当 x＝2.2 时，y＝－0.76当 x＝2.3时，y＝－0.11当 x＝2.4 时，y＝0.56因此，x＝2.3是方程的一个近似根。5.5　用二次函数解决问题
5.5.1 利润问题设销售价为x元(x≤13.5元),那么引例：某商店经营一种小商品,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与单价满足如下关系:在一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件。销售量可表示为 : 件;销售额可表示为: 元;所获利润可表示为: 元;当销售单价为 元时,可以获得最大利润,最大利润是 元.问题：某商场将进价40元某种商品按50元一个售出时，能卖出500个.商场想采用提高售价的方法来增加利润。已知这种商品每个涨价1元时，销量就减少10个，为赚得最大利润，售价定为多少？最大利润是多少？ 1、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？2、某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.(1)利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.
(2)增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个以上?3、某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的
成本价为20元/千克.市场调查发现,该产品每天的
销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系:
ｗ=－2ｘ＋80.设这种产品每天的销售利润为ｙ(元).
(1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式.
(2)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大?
最大利润是多少?
(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于
28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润,
销售价应定为多少元?归纳小结：运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤 :求出函数解析式和自变量的取值范围配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内 。解这类题目的一般步骤5.5　用二次函数解决问题
5.5.2 面积问题(1)求y与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)怎样围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？
(3)若墙的最大可用长度为8米，请求出围成花圃的最大面积。 (1)如果设矩形的一边AD=xm,
那么AB边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为ym2,当x取
何值时,y的最大值是多少?何时面积最大 例1：如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，
其中AB和AD分别在两直角边上.xm(1)设矩形的一边BC=xm,那么AB边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?变式1：如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其顶点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.xm变式2： 、如图，已知△ABC，矩形GDEF的DE边在BC边上．G、F分别在AB、AC边上，BC=5cm，S△ABC为30cm2，
AH为△ABC在BC边上的高，求△ABC的内接长方形的
最大面积．
1、在⊙O的内接三角形ABC中，AB+AC=12，AD垂直于BC，垂足为D，且AD=3，设⊙O的半径为y，AB为x。
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当AB长等于多少时，⊙O的面积最大？最大面积是多少？ 2、如图，在△ABC中∠B=90o，AB=12cm，BC=24cm，动点P从A开始沿AB边以2cm/s的速度向B运动，动点Q从B开始沿BC边以4cm/s的速度向C运动，如果P、Q分别从A、B同时出发。
（1）写出△PBQ的面积S与运动时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（2）当t为何值时，△PBQ的面积S最大，最大值是多少？ 1.理解问题;“二次函数应用” 的思路 回顾上一节“最大利润”和本节“最大面积”解决问题的过程，你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？与同伴交流.2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;3.用数学的方式表示出它们之间的关系;4.做数学求解;5.检验结果的合理性,拓展等.5.5　用二次函数解决问题
　5.5.3 喷泉问题喷泉与二次函数 某喷灌设备的喷头B高出地面1.2米，如果喷出的抛物线形水流的水平距离x(m)与高度y(m)之间的关系为二次函数y=a(x-4)2+2。求水流落地点D与喷头底部A的距离。BDO例1：桃河公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心,OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.
(1)如果不计其它因素,那么水池的半径至少要多少m,才能使喷出的水流不致落到池外?(2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同,水池的半径为3.5m,要使水流不落到池外,此时水流的最大高度应达到多少m(精确到0.1m)？例2：一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高 米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米。 问此球能否投中？3米8米4米4米0（4，4）（8，3）在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高度为多少时能将篮球投入篮圈?0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 在出手角度、力度及高度都不变的情况下，则小明朝着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投入篮圈？（8，3）（5，4）（4，4）0 1 2 3 4 5 6 7 8 9(７，３）● 练习1：你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地视为抛物线，如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米、2.5米处，绳甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5米，请你算一算学生丁的身高。
1m2.5m4m1m甲乙丙丁ABCD练习2：
如图，一单杠高2.2米，两立柱
之间的距离为1.6米，将一根绳子的
两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子
自然下垂呈抛物线状。一身高0.7米
的小孩站在离立柱0.4米处，其头部
刚好触上绳子，求绳子最低点到地
面的距离。
解二次函数应用题的一般步骤：
1 . 审题,弄清已知和未知。
2 . 将实际问题转化为数学问题。建立适当的平面直角坐标系(初中阶段不要求) 3 .根据题意找出点的坐标，求出抛物线 解析式。分析图象(并注意变量的取值范围), 解决实际问题。4 .返回实际背景检验。5.5　用二次函数解决问题
5.5.4 涵洞（桥孔）问题
例1：一个涵洞成抛物线形，它的截面如图现测得，当水面宽AB＝1.6 m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m．这时，离开水面1.5 m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1 m？例2：有座抛物线形拱桥(如图)，正常水位时桥下河面宽20m，河面距拱顶4m，为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m，求水面在正常水位基础上上涨多少米时，就会影响过往船只航行。例3：如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用 表示.
（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？
（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？D 　（1）河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，建立如图所示的坐标系，其函数的解析式为 y= - x2 ， 当水位线在AB位置时，水面宽 AB = 30米，这时水面离桥顶的高度h是（ ）
A、5米 B、6米； C、8米； D、9米 （2）一座抛物线型拱桥如图所示,桥下水面宽度是4m,拱高是2m.当水面下降1m后,水面的宽度是多少?(结果精确到0.1m).●A(2,-2)●B(X,-3) （3）某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高度为4．4m．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2．8m，装货宽度为2．4m．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．
某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为且过顶点C（0，5）（长度单位：m）
（1）直接写出c的值；
（2）现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5 m的地毯，地毯的价格为每平米20元,求购买地毯需多少元？
（3）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH（H、G分别在抛物线的左右侧上），并铺设斜面EG.已知矩形EFGH的周长为27.5 m，求G点坐标。用抛物线的知识解决生活中的一些实际问题的一般步骤：建立直角坐标系二次函数 问题求解 找出实际问题的答案及
时
总
结注意变量的取值范围　本章复习与小结1、二次函数的定义 一般地，如果y=ax2+bx+c(a，b，c 是常数，a≠0)，那么，y叫做x的二次函数。如果函数 是关于x的二次函数，
则k＝ ；
（1）顶点坐标与对称轴（2）位置与开口方向（3）增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)向上向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小
在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 2、二次函数的图像和性质（1）二次函数y=x2-6x+11的图象的开口向 ，顶点坐标是 ,当x= 时，函数有最 值为 ．抛物线的对称轴是 ，当x 时，函数值y随x的增大而增大,当x 时，函数值y随 x 的增大而减小。（2）已知二次函数y=x2-2ax+2a+3，当a= 时，
该函数y的最小值为0.二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系(a≠0)一般地,由y=ax2的图象便可得到二次函数y=a(x-h)2+k的图象:y=a(x-h)2+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax2的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.
因此,二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关. 3、二次函数的平移1.将抛物线y= +1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，
所得到的抛物线的关系式为 。2、.将抛物线y=a +bx+c向上平移1个单位，再向右平移1个单位，
得到y=2 －4x－1则a＝ ，b＝ ，c＝ .3.如图，两条抛物线 、
与分别经过点（-2,0）,（2,0）且平行于y轴的两条
平行线围成的阴影部分的面积为（ ）
Ａ．8　 Ｂ．6　 Ｃ．10　 Ｄ．4　抛物线y=ax2+bx+c抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：
1、 ＞0 一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根
与x轴有两个交点抛物线y=ax2+bx+c2、 =0 一元二次方程ax2+bx+c=0与x轴有唯一公共点抛物线y=ax2+bx+c3、 ＜0 一元二次方程ax2+bx+c=0与x轴没有公共点没有实数根有两个相等的实数根当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.4、二次函数与一元二次方程、不等式的关系 2、如果二次函数y＝ ＋4x＋c图象与x轴没有交点，其中c为
整数，则c＝ （写一个即可）1、方程 的根是 ；则函数
的图象与x轴的交点有 个，其坐标是3、.若二次函数y＝(m+5) +2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方，
求m 的取值范围 （1）二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是___________对称轴是_________。
（2）抛物线y=-2x2+4x与x轴的交点坐标是___________
（3）已知函数y=—x2-x-4，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是___________
（4）二次函数y=mx2-3x+2m-m2的图象经过原点，则m= ____。12（0，0）（2，0）x<12训练一如图，在△ABC中∠B=90o，AB=12cm，BC=24cm，动点P从A开始沿AB边以2cm/s的速度向B运动，动点Q从B开始沿BC边以4cm/s的速度向C运动，如果P、Q分别从A、B同时出发。
（1）写出△PBQ的面积S与运动时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（2）当t为何值时，△PBQ的面积S最大，最大值是多少？ 例2:BP=12-2t，BQ=4t
△PBQ的面积:
S=1/2(12-2t) ?4t
即S=- 4t2+24t=- 4(t-3)2+36
1、 在⊙O的内接三角形ABC中，AB+AC=12，AD垂直于BC，垂足为D，且AD=3，设⊙O的半径为y，AB为x。
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当AB长等于多少时，⊙O的面积最大？最大面积是多少？ 训练二例3
（1）已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，图象经过（1，0），从中你能得到哪些结论？
（2）m满足什么条件时方程ax2+bx+c=m，①有两个不相等的实数根？②有两个相等的实数根？③没有实数根？训练4：
若把图1的函数图象绕着顶点旋转180度，则能得到函数的表达式是 ，
若再将得到的函数图象向上平移2个单位，向右平移3个单位得新函数的关系式是________________ 训练5： 根据图象回答问题： 训练6： 二次函数的图象如图所示，则下列各不等式
中成立的个数是____________1-10xy①abc<0
②a+b+c < 0
③a+c > b
④2a+b=0
⑤Δ=b-4ac > 0
归纳小结： （1）二次函数y=ax2+bx+c及抛物线的性质和应用
注意：函数的增减性，以及利用图象求自变量x或函
数值y的取值范围 已知两直线 相交于点D，它们分别交x轴的负半轴于A、B两点，且
（1）求两直线的解析式；
（2）求图像过A、B、D三点的二次函数的解析式，并在所给坐标系中画出图像，标出顶点坐标；
（3）若⊙M为的外接圆，那么⊙M与抛物线有没有除A、B、D以外的第四个公共点，如果有，求此公共点的坐标；如果没有，请说明理由。同学们，
今天你有哪些收获？