第2节 势能的改变
学 习 目 标
知 识 脉 络
1.理解重力势能的概念，会用重力势能的定义进行计算．(重点)
2．知道重力做功的特点，知道重力势能的变化和重力做功的关系，并能解决有关问题．(重点)
3．知道重力势能的相对性、 系统性．(难点)
4．了解弹性势能的变化和弹力做功的关系，并能解释实际问题.
重 力 势 能
1．定义
物体处于一定的高度而具有的能．
2．表达式
Ep＝mgh，其中h表示物体的高度，Ep的单位是焦耳，符号J.
3．标矢性
重力势能是标量，只有大小，没有方向．
1．物体的质量越大，重力势能一定越大．(×)
2．重力势能是标量，只有大小，没有正、负之分．(×)
3．处在参考平面上的物体重力势能均为零．(√)
如图2-2-1所示，高大的椰子树上的椰子质量为m，离地面高度为h，选择地面为参考平面，椰子的重力势能是多少？
图2-2-1
【提示】 Ep＝mgh.
如图2-2-2所示，桌面距地面h1，一物体质量为m，静止在距桌面h2处．
图2-2-2
探讨1：以地面为参考平面，物体具有的势能是多少？物体由静止下落到地面的过程中，重力势能减少了多少？
【提示】 Ep1＝mg(h1＋h2)，ΔEp＝mg(h1＋h2)．
探讨2：以桌面为参考平面，物体具有的势能是多少？物体由静止下落到地面的过程中，重力势能减少了多少？
【提示】 Ep2＝mgh2，ΔEp′＝mg(h1＋h2)．
探讨3：以上的数据说明什么？
【提示】 重力势能的大小与零势面选取有关，而势能改变量大小与零势面选取无关．
1．重力势能的性质
(1)重力势能的相对性
重力势能具有相对性，即重力势能的大小与零势能面的选取有关．
(2)重力势能变化量的绝对性
当一个物体由一个位置运动到另一个位置时，重力势能之差是一定的，与参考平面的选取无关．实际问题中我们更关注的是重力势能的变化量．
(3)重力势能的系统性
所谓物体的重力势能，实际上是地球和物体组成的系统所共有的，并非物体单独所有，通常所说的物体具有多少重力势能，实际上是一种简略的说法而已．
2．重力势能的正负
(1)重力势能是标量但有正负值，其正、负表示物体重力势能相对于参考平面上所具有的重力势能的大小．
①正值表示：物体位于参考平面以上，其重力势能Ep>0.
②负值表示：物体位于参考平面以下，其重力势能Ep<0.
例如Ep1＝100 J，Ep2＝－100 J，则Ep1>Ep2.
(2)重力势能的值和参考平面的选取有关，如图2-2-3所示．
图2-2-3
参考平面
EpA
EpB
EpC
地面
正值
正值
零
桌面
正值
零
负值
A处平面
零
负值
负值
1．(多选)关于重力势能的理解，下列说法正确的是( )
A．重力势能有正负，是矢量
B．重力势能的零势能面只能选地面
C．重力势能的零势能面的选取是任意的
D．重力势能的正负代表大小
【解析】 重力势能是标量，但有正负，重力势能的正、负表示比零势能大还是小，A错误，D正确；重力势能零势能面的选取是任意的，习惯上常选地面为零势能面，B错误，C正确．
【答案】 CD
2．甲、乙两个物体的位置如图2-2-4所示，质量关系m甲图2-2-4
A．Ep1>Ep2 B．Ep1C．Ep1＝Ep2 D．无法判断
【解析】 取桌面为零势能面，则Ep1＝0，物体乙在桌面以下，Ep2<0，故Ep1>Ep2，故A项正确．
【答案】 A
3．质量为3 kg的物体放在高4 m的平台上，g取10 m/s2.
求：(1)物体相对于平台表面的重力势能是多少？
(2)物体相对于地面的重力势能是多少？
(3)物体从平台落到地面上，重力势能变化了多少？
【解析】 (1)以平台为参考平面，物体的重力势能为0.
(2)以地面为参考平面，物体的重力势能
Ep＝mgh＝3×10×4 J＝120 J.
(3)以地面为参考平面，物体落到地面，重力势能变化了ΔEp＝0－120 J＝－120 J.
【答案】 (1)0 (2)120 J
(3)减少了120 J
1．在求解重力势能时，零势能参考平面的选取是任意的，通常情况下，常选取地面作为零势能参考平面．
2．不管选取哪个平面作为零势能参考平面，重力势能的变化总是不变的，是绝对的．
重 力 做 功 与 重 力 势 能 的 改 变
1．重力做功的特点
重力做功与路径无关，只与初、末位置的高度差有关；重力做功总是对应于物体重力势能的变化，两者的大小相等，并且与是否存在其他作用力及其他力是否做功无关．
2．两者间的关系
(1)物体的重力做多少功，物体的重力势能就减少多少；物体克服重力做多少功，物体的重力势能就增加多少．
(2)关系式：WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp.
1．重力做5 J的正功，重力势能增加了5 J．(×)
2．跳伞运动员从某一高度跳下，有风和无风时，由于运动路径不同，重力做功不同．(×)
3．选不同的零势能点，同一物体的重力势能不同，重力势能改变量相同．(√)
如图2-2-5所示，幼儿园小朋友们正在兴高采烈地玩滑梯．
小朋友从不同的路径滑下，重力做功是否相同？小朋友滑下过程重力做什么功？重力势能怎样变化？
图2-2-5
【提示】 相同．正功．重力势能减少．
高山滑雪，起源于阿尔卑斯山地域，又称“阿尔卑斯滑雪”或“山地滑雪”．如图2-2-6所示，某滑雪爱好者由高处沿雪坡匀速疾驰而下．试问：
图2-2-6
探讨1：下滑过程中，重力做什么功？重力势能怎么变化？重力的功与重力势能变化有何关系？
【提示】 重力做正功．重力势能减少．重力做正功，重力势能减少；重力做负功，重功势能增加．
探讨2：下滑过程中，人的动能变化吗？表明合力做什么功？合力的功与动能变化有何关系？
【提示】 动能增加．合力做正功．W合＝ΔEk.
1．重力做功
(1)特点：重力对物体所做的功只与物体的初末位置有关，与物体的运动路径无关，与物体是否受其他力无关，与物体的运动状态无关．
(2)公式：W＝mg(h1－h2)，(h1－h2)表示高度差．
2．重力势能的变化与重力做功的关系
重力势能的变化过程也是重力做功的过程，二者关系为WG＝Ep1－Ep2＝mgh1－mgh2.
(1)当物体由高处运动到低处时，重力做正功，重力势能减少，即WG＞0，Ep1＞Ep2.物体重力势能的减少量等于重力所做的功．
(2)当物体由低处运动到高处时，重力做负功(物体克服重力做功)，重力势能增加，即WG＜0，Ep1＜Ep2，物体重力势能的增加量等于克服重力所做的功．
4．将一个物体由A移至B，重力做功( )
A．与运动过程中是否存在阻力有关
B．与物体沿直线或曲线运动有关
C．与物体是做加速、减速或匀速运动有关
D．与物体初、末位置高度差有关
【解析】 将物体由A移至B，重力做功只与物体初、末位置高度差有关，A、B、C错，D对．
【答案】 D
5．如图2-2-7所示，质量为m的小球从高为h处的斜面上的A点滚下经过水平面BC后，再滚上另一斜面，当它到达的D点时，速度为零，在这个过程中，重力做功为( )
图2-2-7
A. B.
C．mgh D．0
【解析】 根据重力做功的公式，W＝mg(h1－h2)＝.故答案为B.
【答案】 B
6.如图2-2-8所示，质量为m的小球，从离桌面H高处由静止下落，桌面离地高度为h.若以桌面为参考平面，那么小球落地时的重力势能及整个过程中重力势能的变化分别是( )
图2-2-8
A．mgh，减小mg(H－h)
B．mgh，增加mg(H＋h)
C．－mgh，增加mg(H－h)
D．－mgh，减少mg(H＋h)
【解析】 以桌面为参考平面，则小球落地时的重力势能为－mgh.整个过程重力做的功WG＝mg(H＋h)，故小球重力势能减少mg(H＋h)，故选D.
【答案】 D
重力势能的求解方法
1．定义法：选取参考平面，确定物体相对参考平面的高度h，代入Ep＝mgh求解重力势能．
2．WG和Ep关系法：由WG＝Ep1－Ep2知Ep2＝Ep1－WG或Ep1＝WG＋Ep2
3．变化量法：重力势能的变化量ΔEp＝Ep2－Ep1，故Ep2＝Ep1＋ΔEp或Ep1＝Ep2－ΔEp.
弹 性 势 能 的 改 变
1．定义
物体因发生弹性形变而具有的能．
2．影响弹性势能的因素
一个物体弹性势能的大小，取决于弹性形变的大小．
3．弹力做功与弹性势能的改变
物体弹性势能的改变总是与弹力做功相对应，即弹力对外做了多少功，弹性势能就减少多少，克服弹力做了多少功，弹性势能就增加多少．
1．弹簧越长，弹性势能越大．(×)
2．弹力做正功，弹性势能减少；弹力做负功，弹性势能增加．(√)
3．弹性势能与重力势能类似，也有相对性，如弹簧拉伸时Ep>0，弹簧压缩时，Ep<0.(×)
如图2-2-9所示，网球运动员用球拍击打网球，网球接触球拍，球拍发生形变，然后将球弹出，分析这一过程弹性势能的变化．
图2-2-9
【提示】 网球接触球拍时弹力做负功，弹性势能增加，球拍将球弹出时，弹力做正功，弹性势能减少．
如图2-2-10所示，小明玩蹦蹦杆，不停地向上跳起和下落．
图2-2-10
探讨1：小明下落时将弹簧压缩，弹力做什么功？弹性势能怎样变化？
【提示】 做负功．弹性势能增加．
探讨2：小明向上弹起，弹力做什么功？弹性势能怎样变化？弹簧弹力做功与弹性势能有何关系？
【提示】 做正功．弹性势能减少．弹力做正功，弹性势能减少；弹力做负功，弹性势能增加．
1．弹簧弹性势能大小的影响因素
(1)弹簧的劲度系数．
(2)弹簧的形变量．
2．弹力做功与弹性势能变化的关系
(1)弹力做功和重力做功一样也和路径无关，弹力对其他物体做了多少功，弹性势能就减少多少．克服弹力做多少功，弹性势能就增加多少．
(2)弹性势能的变化只与弹力做功有关，弹力做负功，弹性势能增大，反之则减小．弹性势能的变化量总等于弹力做功的相反数．
(3)弹性势能的增加量与减少量由弹力做功多少来量度．
7．一竖直弹簧下端固定于水平地面上，小球从弹簧的正上方高为h的地方自由下落到弹簧上端，如图2-2-11所示，经几次反弹以后小球最终在弹簧上静止于某一点A处，则( )
图2-2-11
A．h愈大，弹簧在A点的压缩量愈大
B．弹簧在A点的压缩量与h无关
C．h愈大，最终小球静止在A点时弹簧的弹性势能愈大
D．小球第一次到达A点时弹簧的弹性势能比最终小球静止在A点时弹簧的弹性势能大
【解析】 最终小球静止在A点时，通过受力分析，小球受自身重力mg与弹簧的弹力kx大小相等，由mg＝kx得，弹簧在A点的压缩量x与h无关，弹簧弹性势能与h无关．
【答案】 B
8.如图2-2-12所示，将一木球靠在轻质弹簧上，压缩后松手，弹簧将木球弹出．已知弹出过程弹簧做了40 J的功，周围阻力做了－10 J的功，此过程( )
图2-2-12
A．弹簧弹性势能减小10 J
B．弹簧弹性势能增加40 J
C．木球动能减小10 J
D．木球动能增加30 J
【解析】 弹簧弹力做了40 J的功，弹性势能减少了40 J，选项A、B错误；合外力对木球做功为30 J，木球动能增加了30 J，选项C错误，选项D正确．
【答案】 D
第2节 势能的改变
学习目标
核心提炼
1.知道什么是重力势能，并记住其公式、单位等。
2.理解重力势能与重力势能改变的不同。
3.理解重力做功与重力势能变化的关系。
4.知道弹性势能，理解弹力做功与弹性势能变化的关系。
2个概念——重力势能、弹性势能
2个关系——重力做功与重力势能变化的关系、弹力做功与弹性势能变化的关系
一、重力势能
阅读教材第28～29页“重力势能”部分，知道重力势能的表达式及其相对性。
1.定义：物体处于一定的高度而具有的能。
2.公式：Ep＝mgh。
3.单位：焦耳，符号J。
4.标矢性：重力势能是标量，但有正负之分。
5.相对性
(1)参考平面：把高度规定为零的水平面。任何物体在该平面上的重力势能为零。参考平面的选取是任意的，通常情况下选取地面为参考平面。
(2)相对性：物体的重力势能是相对的，它是相对于零势能参考面而言的。物体的重力势能可以取正、零、负值，其正负不表示方向，只表示物体位于参考平面的上方或下方。
思考判断
(1)重力势能是地球和物体共同具有的，而不是物体单独具有的。( )
(2)重力势能的大小是相对的。( )
(3)在地面上的物体，它具有的重力势能一定等于零。( )
答案 (1)√ (2)√ (3)×
二、重力做功与重力势能的改变
阅读教材第29～30页“重力做功与重力势能的改变”部分，知道重力做功的特点及其与重力势能变化的关系。
1.重力做功的特点：重力做功与路径无关，只与初、末位置的高度差有关；重力做功总是对应于物体重力势能的变化，两者的大小相等，并且与是否存在其他作用力及其他力是否做功无关。
2.两者间的关系：重力对物体做多少功，物体的重力势能就减少多少；物体克服重力做多少功，物体的重力势能就增加多少。
3.关系式：WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
思维拓展
如图1所示的滑雪运动员从雪山高处高速滑下，运动员的重力做了正功还是负功？其重力势能增大了还是减小了？当冲上另一个高坡时会怎样？
图1
答案 运动员从高处滑下，位移向下，重力做了正功，由于高度降低，其重力势能减小；当运动员冲上另一个高坡时，重力做负功，重力势能增大。
三、弹性势能的改变
阅读教材第31页“弹性势能的改变”部分，了解弹性势能的概念及弹性势能的改变。
1.弹性势能：物体因为发生弹性形变而具有的能。
2.影响弹性势能的因素：一个物体弹性势能的大小，取决于弹性形变的大小。
3.弹性势能的改变：物体弹性势能的改变总是与弹力做功相对应，即弹力对外做了多少功，弹性势能就减少多少。反之，克服弹力做了多少功，弹性势能就增大多少。
4.势能：由相对位置决定的能，包括重力势能和弹性势能。
思考判断
(1)弹性势能与物体的形变量有关。( )
(2)除了弹力做功之外，其他力做功不影响弹性势能。( )
(3)弹力做正功，弹性势能就增大；弹力做负功，弹性势能就减小。( )
答案 (1)√ (2)√ (3)×
重力势能与重力势能的变化
[要点归纳]
1.重力势能的三性
(1)标量性：重力势能是标量，只有大小，没有方向，但有正、负。
重力势能正、负的含义：正、负值分别表示物体处于参考平面上方和下方。
(2)相对性：表达式Ep＝mgh中的h是相对于参考平面的高度，故重力势能也具有相对性。计算重力势能时必须要选取参考平面，处于参考平面上的任何物体的重力势能都为零。
(3)系统性：重力是地球对物体的吸引而产生的，如果没有地球对物体的吸引，就不会有重力，也不存在重力势能，所以重力势能是这个系统共同具有的。平时所说的“物体的重力势能”只是一种简化的说法。
2.重力势能变化的绝对性：物体在两个高度不同的位置时，由于高度差一定，重力势能之差也是一定的，即物体的重力势能的变化与参考平面的选取无关。
[精典示例]
[例1] 如图2所示，桌面距地面的高度为0.8 m，一物体质量为2 kg，放在桌面上方0.4 m的支架上，则
图2
(1)以桌面为零势能参考平面，计算物体具有的重力势能，并计算物体由支架下落到地面过程中重力势能减少多少？
(2)以地面为零势能参考平面，计算物体具有的重力势能，并计算物体由支架下落到地面过程中重力势能减少多少？
(3)以上计算结果说明什么？
解析 (1)以桌面为零势能参考平面，物体距离零势能参考平面的高度h1＝0.4 m，
因而物体具有的重力势能Ep1＝mgh1＝2×9.8×0.4 J＝7.84 J。
物体落至地面时，物体的重力势能
Ep2＝mgh2＝2×9.8×(－0.8) J＝－15.68 J。
因此物体在此过程中重力势能减少量
ΔEp＝Ep1－Ep2＝7.84 J－(－15.68) J＝23.52 J。
(2)以地面为零势能参考平面，物体距离零势能参考平面的高度
h1′＝(0.4＋0.8) m＝1.2 m。
因而物体具有的重力势能Ep1′＝mgh1′＝2×9.8×1.2 J＝23.52 J。
物体落至地面时重力势能Ep2′＝0。
在此过程中物体重力势能减少量ΔEp′＝Ep1′－Ep2′＝23.52 J－0＝23.52 J。
(3)通过上面的计算可知，重力势能是相对的，它的大小与零势能参考平面的选取有关，而重力势能的变化是绝对的，它与零势能参考平面的选取无关，其变化值与重力对物体做功的多少有关。
答案 (1)7.84 J 23.52 J (2)23.52 J 23.52 J
(3)见解析
重力势能的三种求解方法
(1)根据重力势能的定义求解：选取零势能参考平面，由Ep＝mgh可求质量为m的物体在离零势能参考平面h高度处的重力势能。
(2)由重力做功与重力势能变化的关系求解：
由WG＝Ep1－Ep2知Ep2＝Ep1－WG或Ep1＝WG＋Ep2。
(3)由等效法求重力势能：重力势能的变化与运动过程无关，只与初、末状态有关。ΔEp＝mg·Δh＝Ep2－Ep1。
[针对训练1] 下列关于重力势能的说法正确的是( )
A.物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定
B.物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大
C.一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能增加了
D.在地面上的物体具有的重力势能一定等于零
解析 物体的重力势能与参考平面有关，同一物体在同一位置相对不同的参考平面的重力势能不同，A错误；物体在零势能面以上，距零势能面的距离越大，重力势能越大，物体在零势能面以下，距零势能面的距离越大，重力势能越小，B错误；重力势能中的正、负号表示大小，－5 J的重力势能小于－3 J的重力势能，C正确；只有选地面为零势能面时，地面上的物体的重力势能才为零，否则不为零，D错误。
答案 C
重力做功与重力势能的变化
[要点归纳]
重力做功与重力势能的比较
概念
项目
重力做功
重力势能
物理意义
重力对物体做功
由物体与地球的相互作用产生，且由它们之间的相对位置决定的能
表达式
WG＝mgΔh
Ep＝mgh
影响大小的因素
重力mg和初、末位置的高度差Δh
重力mg和相对参考平面的高度h
特点
只与初、末位置的高度差有关，与路径及参考平面的选择无关
与参考平面的选择有关，同一位置的物体，选择不同的参考平面，其重力势能的值不同
过程量
状态量
联系
重力做功过程是重力势能改变的过程，重力做正功，重力势能减少，重力做负功，重力势能增加，且重力做了多少功，重力势能就改变多少，即WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp
[精典示例]
[例2] (2018·中山高一检测)吊车以的加速度将质量为m的物体匀减速地沿竖直方向提升高度h，则吊车钢索的拉力对物体做的功为多少？物体克服重力做的功为多少？物体的重力势能变化了多少？(不计空气阻力)
解析 设吊车钢索对物体的拉力为F，物体的加速度a＝，由牛顿第二定律得mg－F＝ma，故F＝mg－ma＝mg，方向竖直向上，所以拉力做的功WF＝Fh＝mgh；重力做的功WG＝－mgh，即此过程中物体克服重力做功为mgh。又ΔEp＝Ep2－Ep1＝－WG＝mgh，因此物体的重力势能增加了mgh。
答案 mgh mgh 增加了mgh
[针对训练2] 质量是100 g的球从1.8 m的高处落到水平板上，又弹回到1.25 m的高度，在整个过程中重力对球所做的功为多少？球的重力势能变化了多少？(g＝10 m/s2)
解析 由重力做功的特点可知，此时重力所做的功为WG＝mgH＝mg(h1－h2)＝0.1×10×(1.8－1.25) J＝0.55 J。
由重力做功与重力势能的变化之间的关系可知，此时重力做正功，重力势能应减少，ΔEp＝－WG＝－0.55 J，即减少0.55 J。
答案 0.55 J 减少0.55 J
弹性势能与弹性势能的变化
[要点归纳]
1.弹性势能的产生及影响因素
2.弹性势能变化与弹力做功的关系
如图3所示，O为弹簧的原长处。
图3
(1)弹力做负功：如物体由O向A运动(压缩)或由O向A′运动(伸长)时，弹性势能增大，其他形式的能转化为弹性势能。
(2)弹力做正功：如物体由A向O运动或者由A′向O运动时，弹性势能减小，弹性势能转化为其他形式的能。
(3)弹力做功与弹性势能变化的关系：弹性势能的变化量总等于弹力对外做功的负值，表达式为－ΔEp＝W弹。
[精典示例]
[例3] (2018·舟山高一检测)如图4所示，在光滑水平面上有一物体，它的左端连一弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F的作用下物体处于静止状态，当撤去F后，物体将向右运动。在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是( )
图4
A.弹簧的弹性势能逐渐减小
B.弹簧的弹性势能逐渐增大
C.弹簧的弹性势能先增大后减小
D.弹簧的弹性势能先减小后增大
解析 弹性势能的变化是由弹力做功引起的，弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增加。在力F作用下物体处于静止状态时，弹簧处于压缩状态，撤去F后，在物体向右运动的过程中，弹簧的弹力对物体先做正功后做负功，故弹簧的弹性势能先减小后增大。
答案 D
弹性势能理解时应注意的两个问题
1.弹簧的弹性势能的大小由弹簧的劲度系数和形变量(拉伸或缩短的长度)共同决定，劲度系数越大，形变量越大，弹簧的弹性势能越大。
2.弹性势能具有相对性，但其变化量具有绝对性，因此，在判断弹性势能的变化时不必考虑零势能的位置。
[针对训练3] 关于弹簧的弹性势能，下列说法中正确的是( )
A.当弹簧变长时，它的弹性势能一定增大
B.当弹簧变短时，它的弹性势能一定变小
C.在拉伸长度相同时，劲度系数越大的弹簧，它的弹性势能越大
D.弹簧在拉伸时的弹性势能一定大于压缩时的弹性势能
解析 弹簧长度变化时，弹力可能做负功，也可能做正功，弹性势能可能增加，也可能变小，因此选项A、B错误；对于不同弹簧拉伸相同长度时，劲度系数越大克服弹力做功越大，弹性势能越大，选项C正确；把一个弹簧拉伸和压缩相同长度时，克服弹力做功相同，则弹性势能相同，选项D错误。
答案 C
1.(对重力势能的理解)(2018·铜陵高一检测)甲、乙两个物体的位置如图5所示，质量关系m甲图5
A.Ep1>Ep2 B.Ep1C.Ep1＝Ep2 D.无法判断
解析 取桌面为零势能面，则Ep1＝0，物体乙在桌面以下，Ep2<0，故Ep1>Ep2，故A项正确。
答案 A
2.(对重力做功特点的理解)某游客领着孩子游泰山时，孩子不小心将手中的皮球滑落，球从A点滚到了山脚下的B点，高度标记如图6所示，则下列说法正确的是( )
图6
A.从A到B的曲线轨迹长度不知道，无法求出此过程重力做的功
B.从A到B过程中阻力大小不知道，无法求出此过程重力做的功
C.从A到B重力做功mg(H＋h)
D.从A到B重力做功mgH
解析 重力对物体所做的功只与初、末位置的高度差有关，大小为WG＝mgH，故正确选项为D。
答案 D
3.(对重力势能变化的理解)如图7所示，静止的物体沿不同的光滑轨道由同一位置滑到水平桌面上，轨道高度为H，桌面距地面高为h，物体质量为m，重力加速度为g，则以下说法正确的是( )
图7
A.物体沿竖直轨道下滑到桌面上，重力势能减少最少
B.物体沿曲线轨道下滑到桌面上，重力势能减少最多
C.以桌面为参考平面，物体重力势能减少mgH
D.以地面为参考平面，物体重力势能减少mg(H＋h)
解析 重力做功与路径无关，所以无论沿哪条轨道下落，重力做功相同，重力做功W＝mgH，再由W＝－ΔEp，所以ΔEp＝－mgH，即物体重力势能减少mgH，故C正确，A、B、D错误。
答案 C
4.(对弹性势能变化的理解)(2018·佛山高一检测)如图8所示，撑杆跳是运动会中常见的比赛项目，用于撑起运动员的杆要求具有很好的弹性，下列关于运动员撑杆跳起过程的说法正确的是( )
图8
A.运动员撑杆刚刚触地时，杆弹性势能最大
B.运动员撑杆跳起到达最高点时，杆弹性势能最大
C.运动员撑杆触地后上升到最高点之前某时刻，杆弹性势能最大
D.以上说法均有可能
解析 杆形变量最大时，弹性势能最大，杆刚触地时没有形变，人到最高点时，杆已由弯曲到基本完全伸直。故选项C正确。
答案 C
5.(重力做功与重力势能的关系)在离地面80 m处无初速度地释放一小球，小球质量为200 g，不计空气阻力，g取10 m/s2，取释放点所在水平面为参考平面。求：
(1)在第2 s末小球的重力势能；
(2)在第3 s内重力所做的功和重力势能的变化。
解析 (1)以释放点所在水平面为参考平面，在第2 s末小球所处的高度为
h＝－gt2＝－×10×22 m＝－20 m
重力势能Ep＝mgh＝200×10－3×10×(－20)J＝－40 J
Ep＜0，说明小球在参考平面的下方。
(2)在第3 s末小球所处的高度为h′＝－gt′2＝－×10×32m＝－45 m
第3 s内重力做的功为W＝mg(h－h′)＝200×10－3×10×(－20＋45) J＝50 J
由重力做功与重力势能改变的关系可知，小球的重力势能减少50 J。
答案 (1)－40 J (2)50 J 减少50 J
基础过关
1.关于重力做功和重力势能，下列说法正确的是( )
A.重力做功与物体运动的路径有关
B.重力对物体做负功时，物体的重力势能一定减小
C.物体处在零势能面以下时，其重力势能为负值
D.重力势能的变化与零势能面的选取有关
答案 C
2.图1中虚线是一跳水运动员在跳水过程中其重心运动的轨迹，则从起跳至入水的过程中，该运动员的重力势能( )
图1
A.一直减小 B.一直增大
C.先增大后减小 D.先减小后增大
解析 运动员从起跳至入水过程中，其重心位置先升高后降低，重力先做负功后做正功，其重力势能先增大后减小，故C正确。
答案 C
3.如图2所示，小明玩蹦蹦杆，在小明将蹦蹦杆中的弹簧向下压缩的过程中，小明的重力势能、弹簧的弹性势能的变化是( )
图2
A.重力势能减少，弹性势能增大
B.重力势能增大，弹性势能减少
C.重力势能减少，弹性势能减少
D.重力势能不变，弹性势能增大
解析 弹簧向下压缩的过程中，弹簧压缩量增大，弹性势能增大；重力做正功，重力势能减少，故A正确。
答案 A
4.如图3所示，质量不计的弹簧一端固定在地面上，弹簧竖直放置，将一小球从距弹簧自由端高度分别为h1、h2的地方先后由静止释放，h1＞h2，小球触到弹簧后向下运动压缩弹簧，从开始释放小球到获得最大速度的过程中，小球重力势能的减少量ΔE1、ΔE2的关系及弹簧弹性势能的增加量ΔEp1、ΔEp2的关系中，正确的一组是( )
图3
A.ΔE1＝ΔE2，ΔEp1＝ΔEp2 B.ΔE1>ΔE2，ΔEp1＝ΔEp2
C.ΔE1＝ΔE2，ΔEp1>ΔEp2 D.ΔE1>ΔE2，ΔEp1>ΔEp2
解析 小球速度最大的条件是弹力等于重力，两种情况下，对应于同一位置，则ΔEp1＝ΔEp2，由于h1＞h2，所以ΔE1>ΔE2，B正确。
答案 B
5. (2018·东莞高一检测)如图4所示，质量为m的小球从高为h处的斜面上的A点滚下经过水平面BC后，再滚上另一斜面，当它到达的D点时，速度为零，在这个过程中，重力做功为( )
图4
A. B.
C.mgh D.0
解析 根据重力做功的公式，W＝mg(h1－h2)＝。选项B正确。
答案 B
6.一物体以初速度v竖直向上抛出，做竖直上抛运动，则物体的重力势能—路程图象应是四个图中的( )
解析 以抛出点为零势能点，则上升阶段路程为s时，克服重力做功mgs，重力势能Ep＝mgs，即重力势能与路程s成正比；下降阶段，物体距抛出点的高度h＝2h0－s，其中h0为上升的最大高度，故重力势能Ep＝mgh＝2mgh0－mgs，故下降阶段，随着路程s的增大，重力势能线性减小，选项A正确。
答案 A
7.在水平地面上放一个竖直轻弹簧，弹簧上端与一个质量为m的木块相连，若在木块上再作用一个竖直向下的力F，使木块缓慢向下移动h，力F做功W1，此时木块再次处于平衡状态，如图5所示。求：
图5
(1)在木块下移h的过程中重力势能的减少量；
(2)在木块下移h的过程中弹性势能的增加量。
解析 (1)据重力做功与重力势能变化的关系有
ΔEp减＝WG＝mgh
(2)据弹力做功与弹性势能变化的关系有ΔEp增′＝－W弹
又因木块缓慢下移，力F与重力mg的合力与弹力等大、反向，
所以W弹＝－W1－WG＝－W1－mgh
所以弹性势能增量ΔEp增′＝W1＋mgh
答案 (1)mgh (2)W1＋mgh
能力提升
8.(多选)物体在某一运动过程中，重力对它做了40 J的负功，下列说法中正确的是( )
A.物体的高度一定升高了
B.物体的重力势能一定减少了40 J
C.物体重力势能的改变量不一定等于40 J
D.物体克服重力做了40 J的功
解析 重力做负功，物体位移的方向与重力方向之间的夹角一定大于90°，所以物体的高度一定升高了，A正确；由于WG＝－ΔEp，故ΔEp＝－WG＝40 J，所以物体的重力势能增加了40 J，B、C错误；重力做负功又可以说成是物体克服重力做功，D正确。
答案 AD
9.(2018·成都高一检测)如图6所示，物体A的质量为m，A的上端连接一个轻弹簧原长为L0，劲度系数为k，整个系统置于水平地面上，现将弹簧上端B缓慢地竖直向上提起，B点上移距离为L，此时物体A也已经离开地面，则下列说法中正确的是( )
图6
A.提弹簧的力对系统做功为mgL
B.物体A的重力势能增加mgL
C.物体A的重力势能增加mg(L－L0)
D.物体A的重力势能增加mg
解析 将弹簧上端B缓慢地竖直向上提起，由于开始时有支持力，故拉力先小于mg，物体离地后等于mg，拉力的位移为L，故提弹簧的力对系统做功小于mgL，故A错误；B点上移距离为L，弹簧伸长量为ΔL＝，故A上升的高度为L－ΔL，所以A的重力势能增加mg，故B、C错误，D正确。
答案 D
10.(2018·嘉兴高一检测) (多选)如图7所示，倾角θ＝30°的粗糙斜面固定在地面上，长为l、质量为m、粗细均匀、质量分布均匀的软绳置于斜面上，其上端与斜面顶端齐平。用细线将物块与软绳连接，物块由静止释放后向下运动直到软绳刚好全部离开斜面(此时物块未到达地面)，在此过程中( )
图7
A.软绳重力势能共减少了mgl
B.软绳重力势能共减少了mgl
C.软绳重力势能的减少等于软绳的重力所做的功
D.软绳重力势能的减少等于物块对它做的功与软绳克服自身重力、摩擦力所做功之和
解析 选斜面顶端为参考平面，软绳重力势能共减少mg－＝mgl，A错误，B正确；根据重力做功与重力势能变化的关系知道，软绳重力势能的减少等于软绳的重力所做的功，C正确，D错误。
答案 BC
11.中国女子跳水运动员陈若琳在10 m跳台跳水中，当她到达最高位置时，重心离跳台的高度约为2 m；当她下降到手触及水面时她的重心离水面大约是1 m。入水之后，她的重心能下降到离水面约2.5 m处。如果她的质量为45 kg，以水面为参考平面，那么她在完成一次跳水的过程中，重力势能最大为多少？最小为多少？(g取10 m/s2)
解析 以水面为参考平面，她在完成一次跳水的过程中，离参考平面的最大距离
h1＝10 m＋2 m＝12 m
故重力势能的最大值Ep1＝mgh1＝45×10×12 J＝5.4×103 J，
重力势能的最小值在参考平面之下2.5 m处，故h2＝－2.5 m，
所以重力势能的最小值Ep2＝45×10×(－2.5) J＝－1.125×103 J
答案 5.4×103 J －1.125×103 J
12.如图8所示，有一质量为m、长为L的均匀金属链条，一半长度在光滑斜面上，斜面倾角为θ，另一半长度沿竖直方向下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，以斜面顶点为重力势能零点，求：
图8
(1)开始时和链条刚好从右侧面全部滑出斜面时重力势能各多大？
(2)此过程中重力做了多少功。
解析 (1)开始时，左边一半链条重力势能为Ep1＝－·sin θ，右边一半的重力势能Ep2＝－·；左右两部分总的重力势能为Ep＝Ep1＋Ep2＝－mgL(sin θ＋1)
链条从右侧刚好全部滑出时，重力势能为Ep′＝－mgL
(2)此过程重力势能减少了ΔEp＝Ep－Ep′＝mgL(3－sin θ)，故重力做的功为WG＝mgL(3－sin θ)
答案 (1)－mgL(1＋sin θ) －mgL
(2)mgL(3－sin θ)
