第1节 动能的改变
学 习 目 标
知 识 脉 络
1.理解动能的概念，知道动能的定义式．(重点)
2．能通过实验探究恒力做功与动能改变的关系．
3．能从理论上推导动能定理，并应用功能定理解决实际问题．(重点、难点)
动 能
1．概念
物体由于运动而具有的能．
2．表达式
Ek＝mv2.
(1)表达式中的速度是瞬时速度．
(2)动能是标量(“标量”或“矢量”)，是状态(“过程”或“状态”)量．
3．单位
动能的国际单位是焦耳，简称焦，用符号J表示．
1．动能是物体由于运动而具有的能．(√)
2．动能是矢量，其方向与速度方向相同．(×)
3．物体的速度发生变化，其动能就一定发生变化．(×)
如图2-1-1所示，耀眼的流星飞快的撞向地面，影响流星动能大小的因素有哪些？
图2-1-1
【提示】 流星的质量及速度大小．
如图2-1-2所示，一辆质量为m，速度为v0的汽车，关闭发动机后在水平地面上滑行一段距离后停了下来．
图2-1-2
探讨1：汽车初、末状态的动能各是多少？
【提示】 初动能Ek1＝mv，末动能Ek2＝0.
探讨2：若汽车开始时速度为2v0，初状态的动能变为原来的多少倍？
【提示】 4倍．
1．动能是状态量
动能：与物体的运动状态(或某一时刻的速度)相对应，物体的运动状态一旦确定，物体的动能就确定了．
2．动能具有相对性
选取不同的参考系，物体的速度不同，动能也不同，一般以地面为参考系．
3．动能与速度的关系
动能仅与速度大小有关，与速度方向无关，只有速度方向改变时，动能并不变，且恒为正值．
1．关于动能的概念，下列说法中正确的是( )
A．物体由于运动而具有的能叫做动能
B．运动物体具有的能叫动能
C．运动物体的质量越大，其动能一定越大
D．速度较大的物体，具有的动能一定较大
【解析】 物体由于运动而具有的能叫动能，但是运动的物体可以具有多种能量，如重力势能，内能等，故A正确，B错误；由公式Ek＝mv2可知，动能既与m有关，又与v有关，C、D均错误．
【答案】 A
2．关于物体的动能，下列说法中正确的是( )
A．一个物体的动能可能小于零
B．一个物体的动能与参考系的选取无关
C．动能相同的物体速度一定相同
D．两质量相同的物体，若动能相同，其速度不一定相同
【解析】 由公式Ek＝mv2知动能不会小于零，故A错；因v的大小与参考系的选取有关，故动能的大小也应与参考系的选取有关，故B错；动能是标量，速度是矢量，故D对，C错．
【答案】 D
3.(多选)下列方法能使汽车的动能变为原来的2倍的是( )
A．质量不变，速度增大到原来的2倍
B．速度不变，质量增大到原来的2倍
C．质量减半，速度增大到原来的2倍
D．速度减半，质量增大到原来的2倍
【解析】 根据Ek＝mv2，可以判断，A、D错误，B、C正确．
【答案】 BC
动 能 定 理
1．内容
合外力对物体所做的功等于物体动能的改变．
2．表达式
W＝Ek2－Ek1.
3．两种情况
(1)合外力对物体做正功，Ek2＞Ek1，动能增加；
(2)合外力对物体做负功，Ek2＜Ek1，动能减少．
1．动能定理表达式中，等号的左边一定是合外力做的功．(√)
2．动能定理只适用于做匀变速直线运动的物体．(×)
3．动能的改变量指的是物体末状态的动能减初状态的动能．(√)
如图2-1-3所示，高速列车出站时加速，进站时减速．这两个过程的合外力各做什么功？动能如何变化？
图2-1-3
【提示】 加速出站时合外力做正功，动能增大；减速进站时，合外力做负功，动能减小．
如图2-1-4所示，一架喷气式飞机正在起飞．飞机质量为m，牵引力为F，跑道长度为L，阻力为f，飞机起飞时需要达到的速度大小为v.
图2-1-4
探讨1：飞机起飞时，合外力做的功是多少？飞机动能的变化是多少？
【提示】 合外力做功W＝(F－f)L
动能的变化ΔEk＝mv2－0＝mv2.
探讨2：合外力做功与动能的变化是什么关系？
【提示】 根据动能定理，W＝ΔEk.
1．动能定理的理解
(1)等值关系：某物体的动能变化量总等于合力对它做的功．
(2)因果关系：合力对物体做功是引起物体动能变化的原因，合力做功的过程实际上是其他形式的能与动能相互转化的过程，转化了多少由合力做了多少功来度量．
2．动能定理与牛顿运动定律的比较
牛顿运动定律
动能定理
相同点
确定研究对象，对物体进行受力分析和运动过程分析
适用条件
只能研究在恒力作用下物体做直线运动
对于物体在恒力或变力作用下，物体做直线或曲线运动均适用
应用方法
要考虑运动过程的每一个细节，结合运动学公式解题
只考虑各力的做功情况及初、末状态的动能
运算方法
矢量运算
代数运算
两种思路对比可以看出应用动能定理解题不涉及加速度、时间，不涉及矢量运算，运算简单不易出错．
4．关于动能定理，下列说法中正确的是( )
A．在某过程中，外力做的总功等于各个力单独做功的绝对值之和
B．只要有力对物体做功，物体的动能就一定改变
C．动能定理只适用于直线运动，不适用于曲线运动
D．动能定理既适用于恒力做功的情况，又适用于变力做功的情况
【解析】 外力做的总功等于各个力单独做功的代数和，A错；根据动能定理，决定动能是否改变的是总功，而不是某一个力做的功，B错；动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于恒力做功的情况，又适用于变力做功的情况，C错，D对．
【答案】 D
5．一个物体的速度从0增大到v，外力对物体做功为W1；速度再从v增大到2v，外力做功为W2，则W1和W2的关系正确的是( )
A．W1＝W2 B．W1＝2W2
C．W2＝3W1 D．W2＝4W1
【解析】 根据动能定理可知，W1＝mv2，W2＝m(2v)2－mv2＝mv2，因此，W2＝3W1，选项C正确．
【答案】 C
6．如图2-1-5所示，某人乘雪橇在光滑的雪坡上从A点无初速度下滑，经过B点，接着沿水平路面滑至C点停止．人与雪橇总质量为70 kg，雪坡高度h＝20 m，雪橇与地面动摩擦因数为μ＝0.5.不计空气阻力，g取10 m/s2.求：
图2-1-5
(1)人与雪橇从A点滑至B点时的速度是多大？
(2)人与雪橇在地面滑行多远距离才能停下？
【解析】 (1)根据动能定理得mgh＝mv
解得vB＝＝20 m/s.
(2)在BC段由动能定理得
－μmgs＝0－mv
解得s＝＝40 m.
【答案】 (1)20 m/s (2)40 m
应用动能定理解答多过程问题
(1)对于物理过程较为复杂的问题，审题时应先画出较为明确的示意图，弄清各物理过程之间的联系．
(2)过程较多时要弄清各个力在哪个过程做功，做正功还是负功，做了多少功，做功的特点．如：滑动摩擦力做功的绝对值等于摩擦力的大小与路程的乘积．
(3)要确定准各过程中物体初、末态的动能，或部分过程用动能定理或全过程用动能定理．
第1节 动能的改变
学习目标
核心提炼
1.知道动能的定义、公式、单位等基本问题。
2.会探究恒力做功与动能改变的关系。
3.理解动能定理，并能利用动能定理分析解答问题。
2个概念——动能、动能的变化
1个定理——动能定理
1个实验——恒力做功与动能改变的关系
一、动能
阅读教材第23～24页“动能”部分，知道动能的概念及表达式。
1.概念：物体由于运动而具有的能。
2.表达式：Ek＝mv2。
3.单位：国际单位制单位为焦耳，1 J＝1 N·m＝1__kg·m2/s2。
4.标矢性：动能是标量，只有大小，没有方向。
思维拓展
(1)做匀速圆周运动的物体动能怎样变化？
(2)动能不变的物体是否一定处于平衡状态？
答案 (1)不变。由于匀速圆周运动的线速度大小不变，故做匀速圆周运动的物体动能保持不变。
(2)不一定。动能不变的物体可能只是速度大小不变，如果速度方向发生改变，就不是平衡状态了。
二、恒力做功与动能改变的关系
阅读教材第24～25页，知道此实验的原理、实验器材、实验步骤、数据处理、误差分析及实验应注意的事项。
1.实验目的：探究恒力做功与物体动能改变的关系。
2.实验器材：长木板(一端附有滑轮)、打点计时器、钩码若干、小车、纸带、复写纸片、刻度尺、细线。
图1
3.实验原理：在钩码的拉动下，小车的速度发生了变化，也就是小车的动能发生了变化。钩码对小车的拉力对小车做了功，只要能求出小车动能的变化量。小车运动的位移以及钩码对小车的拉力近似等于钩码的重力，就可以研究W＝Fs与ΔEk之间的关系。
4.实验步骤
(1)将打点计时器固定在长木板上，把纸带的一端固定在小车的后面，另一端穿过打点计时器。改变木板倾角，使小车重力沿斜木板方向的分力平衡小车及纸带受到的摩擦力，使小车做匀速直线运动。
(2)用细线将木板上的小车通过一个定滑轮与悬吊的钩码相连。接通电源，放开小车，让小车拖着纸带运动，打点计时器就在纸带上打下一系列的点。
(3)更换纸带，重复实验。选择一条点迹清晰的纸带进行数据分析。
5.数据处理
(1)小车速度的测量：通过实验获得打点的纸带，利用“匀变速直线运动中，某段时间内的平均速度等于该段时间中间时刻的瞬时速度”即vn＝计算纸带上选定的点的速度。
(2)外力做功的测量：确定所挂钩码的重力G，即确定小车受到的合外力F(F＝G)，由纸带测出位移，然后由W＝Fs算出功的数值。
(3)数据记录
细线拉力________ 小车质量________
组数
位移s/m
恒力做功W/J
小车的速度v/(m·s－1)
小车的动能增量ΔEk/J
1
2
3
?
?
?
?
?
(4)由实验数据得出结论：恒力所做的功与动能变化的关系是：在实验误差允许的范围内，恒力做的功等于物体动能的改变量。
6.注意事项
(1)平衡摩擦力前，不挂重物，轻推小车后，小车能做匀速运动。
(2)必须保证悬挂小盘和砝码的总质量远小于(填“等于”、“远大于”或“远小于”)小车的质量。
三、动能定理
阅读教材第25～26页“动能定理”部分，会推导出动能定理表达式，知道动能定理内容及表达式，初步了解动能定理的适用范围。
1.推导：如图2所示，物体的质量为m，在与运动方向相同的恒力F的作用下发生了一段位移s，速度由v1增加到v2，此过程力F做的功为W。
2.内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。
3.表达式：W＝Ek2－Ek1。
4.两种情况
(1)合外力对物体做正功，Ek2>Ek1，动能增加。
(2)合外力对物体做负功，Ek2思维拓展
歼－15战机是我国自主研发的第一款舰载战斗机，如图3所示：
图3
(1)歼－15战机起飞时，合力做什么功？速度怎么变化？动能怎么变化？
(2)歼－15战机着舰时，阻拦索对战斗机做什么功？战斗机的动能怎么变化？
答案 (1)正功 增加 增加 (2)负功 减小
动能、动能定理的理解
[要点归纳]
1.动能的“三性”
(1)相对性：选取不同的参考系，物体的速度不同，动能也不同，一般以地面为参考系。
(2)标量性：只有大小，没有方向；只有正值，没有负值。
(3)状态量：动能是表征物体运动状态的物理量，与物体的运动状态(或某一时刻的速度)相对应。
2.动能变化量的理解
(1)表达式：ΔEk＝Ek2－Ek1。
(2)物理意义：ΔEk＞0，表示动能增加；ΔEk＜0，表示动能减少。
(3)变化原因：力对物体做功是引起物体动能变化的原因，合力做正功，动能增加；合力做负功，动能则减少。
3.动能定理的理解
(1)表达式：W＝ΔEk＝Ek2－Ek1，式中的W为外力对物体做的总功。
(2)研究对象及过程：动能定理的研究对象可以是单个物体，也可以是相对静止的系统。动能定理的研究过程既可以是运动过程中的某一阶段，也可以是运动全过程。
(3)普遍性：动能定理虽然可根据牛顿第二定律和匀变速直线运动的公式推出，但动能定理本身既适用于恒力作用过程，也适用于变力作用过程；既适用于物体做直线运动的情况，也适用于物体做曲线运动的情况。
[精典示例]
[例1] 下列关于运动物体所受合力做功和动能变化的关系正确的是( )
A.如果物体所受合力为0，则合力对物体做的功一定为0
B.如果合力对物体所做的功为0，则合力一定为0
C.物体在合力作用下做变速运动，动能一定发生变化
D.物体的动能不变，所受合力一定为0
解析 由功的定义可知，选项A正确；如果合力做的功为0，但合力不一定为0，例如物体的合力和运动方向垂直而不做功，选项B错误；物体做变速运动可能是速度方向变化而速度大小不变，所以，做变速运动的物体，动能可能不变，选项C错误；物体动能不变，只能说合力不做功，但合力不一定为0，选项D错误。
答案 A
(1)动能与速度的变化关系：动能是标量，速度是矢量，当动能发生变化时，物体的速度(大小)一定发生了变化，当速度发生变化时，可能仅是速度方向的变化，物体的动能可能不变。
(2)合力的功与动能变化的关系：合力做功不为零，合力一定不为零，物体的动能一定发生变化，速度大小一定变化；合力做功为零，物体的动能一定不发生变化，但速度大小不变，方向可发生变化。
[针对训练1] 有一质量为m的木块，从半径为r的圆弧曲面上的a点滑向b点，如图4所示。如果由于摩擦使木块的运动速率保持不变，则以下叙述正确的是( )
图4
A.木块所受的合力为零
B.因木块所受的力对其都不做功，所以合力做的功为零
C.重力和摩擦力的合力做的功为零
D.重力和摩擦力的合力为零
解析 物体做曲线运动，速度方向变化，加速度不为零，故合力不为零，A错误；速率不变，动能不变，由动能定理知，合力做的功为零，而支持力始终不做功，重力做正功，所以重力做的功与摩擦力做的功的代数和为零，但重力和摩擦力的合力不为零，C正确，B、D错误。
答案 C
动能定理的应用
[要点归纳]
1.应用动能定理解题的步骤
(1)选取研究对象，明确并分析运动过程，这个过程可以是单一过程，也可以是全过程。
(2)对研究对象进行受力分析。(注意哪些力做功或不做功)
(3)写出该过程中合力做的功，或分别写出各个力做的功(注意功的正负)。如果研究过程中物体受力情况有变化，要分别写出该力在各个阶段做的功。
(4)写出物体的初、末动能。
(5)按照动能定理列式求解。(注意动能增量是末动能减初动能)
2.动力学问题两种解法的比较
牛顿运动定律与运动学公式结合法
动能定理
适用条件
只能研究在恒力作用下物体做直线运动的情况
对于物体在恒力或变力作用下，物体做直线运动或曲线运动均适用
应用方法
要考虑运动过程的每一个细节
只考虑各力的做功情况及初、末状态的动能
运算方法
矢量运算
代数运算
相同点
确定研究对象，对物体进行受力分析和运动过程分析
两种思路对比可以看出应用动能定理解题不涉及加速度、时间，不涉及矢量运算，运算简单，不易出错。
[精典示例]
[例2] 如图5所示，物体沿曲面从A点无初速度滑下，滑至曲面的最低点B时，下滑的高度为5 m，速度为6 m/s，若物体的质量为 1 kg。则下滑过程中物体克服阻力所做的功为(g取10 m/s2)( )
图5
A.50 J B.18 J
C.32 J D.0 J
解析 由动能定理得mgh－Wf＝mv2，故Wf＝mgh－mv2＝1×10×5 J－×1×62 J＝32 J，C正确。
答案 C
[例3] 如图6所示，物体在离斜面底端5 m处由静止开始下滑，然后滑上由小圆弧与斜面连接的水平面，若物体与斜面及水平面的动摩擦因数均为0.4，斜面倾角为37°。求物体能在水平面上滑行的距离。(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
图6
解析 对物体在斜面上和水平面上受力分析如图所示。
方法一 分过程列方程：设物体滑到斜面底端时的速度为v，物体下滑阶段N1＝mgcos 37°，
故f1＝μN1＝μmgcos 37°。
由动能定理得：mgsin 37°·s1－μmgcos 37°·s1＝mv2－0
设物体在水平面上运动过程前进的距离为s2，
摩擦力f2＝μN2＝μmg
由动能定理得：－μmgs2＝0－mv2
由以上各式可得s2＝3.5 m。
方法二 全过程列方程：mgs1sin 37°－μmgcos 37°·s1－μmgs2＝0
代入数值解得s2＝3.5 m。
答案 3.5 m
[针对训练2] (2018·佛山高一检测)将质量为m的物体，以初速度v0竖直向上抛出。已知抛出过程中阻力大小恒为重力的0.2倍。求：
(1)物体上升的最大高度；
(2)物体落回抛出点时的速度大小。
解析 (1)设上升的最大高度为h，上升过程，由动能定理
－mgh－fh＝0－mv①
将f＝0.2mg②
联立①②可得h＝。③
(2)全过程，由动能定理－2fh＝mv2－mv④
联立②③④可得v＝v0。
答案 (1) (2)v0
探究恒力做功与动能改变的关系
[要点归纳]
1.数据测量
(1)拉力的测量：此过程细线的拉力对小车做功，由于钩码质量很小，可认为小车所受拉力F的大小等于钩码所受重力的大小(忽略钩码加速需要的合外力)。
(2)位移的测量：在纸带上记下第一个点O的位置，再在纸带上任意点开始选取n个点1、2、3、4…并量出各点到位置O的距离，即为小车运动的位移s。
2.数据处理
(1)速度的计算：依据匀变速直线运动特点计算某点的瞬时速度：v＝。
(2)功的计算：拉力所做的功W1＝mgs1，W2＝mgs2…
(3)动能增量的计算：物体动能的增量ΔEk1＝Mv，ΔEk2＝Mv…
[精典示例]
[例4] 在“探究做功与速度变化的关系”实验中，常用的两种实验方案如图7所示：甲通过重物提供牵引力，小车在牵引力作用下运动，用打点计时器测量小车的速度，定量计算牵引力所做的功，进而探究牵引力所做功与小车速度的关系；乙通过不同条数橡皮筋的作用下将小车弹出，用打点计时器测量小车的速度，进而探究橡皮筋对小车所做功与其速度的关系。
图7
(1)(多选)针对这两种实验方案，以下说法正确的是______。
A.甲可以只打一条纸带研究，而乙必须打足够多条纸带才能研究
B.甲中需要平衡小车运动中受到的阻力，而乙中不需要平衡阻力
C.甲中小车质量必须远大于所挂重物的质量，而乙中小车质量没有特别的要求
D.乙方案中，换用2根同样的橡皮筋在同一位置释放，橡皮筋所做的功与一根橡皮筋拉至伸长量为原来2倍橡皮筋所做的功是一样的
(2)某同学在实验中打出的一条纸带如图8所示，0、1、2……7为纸带上连续打出的点，打点计时器的电源频率为50 Hz。根据这条纸带，可以判断他在实验中采用的方案是________(选填“甲”或“乙”)，实验中小车失去外力后的速度为________m/s。
图8
解析 (1)甲实验中根据打下的一条纸带，运用匀变速直线运动的推论可求得速度，并能根据纸带测量出重物下落的距离，即可进行探究；在乙实验中，要改变拉力做功时，用不同条数的橡皮筋且拉到相同的长度，这样橡皮筋对小车做的功才有倍数关系，所以必须打足够多条纸带才能研究，故A正确；在两个实验中，小车下滑时受到重力、细线或橡皮筋的拉力、支持力和摩擦力，要使拉力等于合力，则都要用重力的下滑分量来平衡摩擦力，使得拉力的功等于合力对小车做的功，故B错误；在甲实验中，要用重物的重力替代细线的拉力，必须满足这个条件：小车质量远大于所挂重物的质量；而在乙实验中，小车质量没有特别的要求，故C正确；由橡皮筋伸长量越大，拉力越大，在乙实验中，换用2根同样的橡皮筋在同一位置释放，若橡皮筋伸长量变为原来的2倍，则橡皮筋做功增加，大于原来的2倍，故D错误。
(2)在甲实验中，小车做匀加速直线运动，根据推论：Δs＝aT2，在连续相等时间内位移应均匀增大；在乙实验中，小车先做变加速运动，在失去外力后做匀速直线运动。由纸带上的数据看出，此小车最后做匀速运动，故他在实验中采用的方案是乙。由数据看出，打点4后小车失去外力，则速度为：v＝＝×10－2m/s＝1.75 m/s。
答案 (1)AC (2)乙 1.75
[针对训练3] 某实验小组的同学采用如图9所示的装置(实验中，小车碰到制动装置时，钩码尚未到达地面)来“探究恒力做功与动能改变的关系”。图10是实验中得到的一条纸带，点O为纸带上的起始点，A、B、C、D、E是纸带上的五个连续的计数点，相邻两个计数点间均有4个点未画出，用刻度尺测得五个点到O的距离如图10所示。已知所用交变电源的频率为50 Hz，则：
(1)开始实验时首先应______________________________________。
(2)打B、D两点时小车的速度分别为vB＝________m/s，vD＝________m/s。
(3)若钩码的质量m＝250 g，小车的质量M＝1 kg，则从B至D的过程中，根据实验数据计算的合力对小车做的功W＝________J，小车动能的变化ΔEk＝________ J。(结果保留两位有效数字)
(4)由实验数据，他们发现合外力做的功与小车动能的变化有一定的偏差，产生误差的原因可能是________________________。(至少说出一条)
解析 (1)为了使钩码对小车的拉力等于合外力，首先应平衡摩擦力。
(2)vB＝＝ m/s＝0.60 m/s。
vD＝＝ m/s＝1.0 m/s
(3)W合＝mg(hD－hB)＝0.25×10×(25.01－9.01)×10－2 J＝0.40 J。
ΔEk＝Mv－Mv＝×1×(1.02－0.62) J＝0.32 J
(4)若不满足钩码的质量远小于小车的质量，则钩码的重力大于对小车的拉力，且偏差较大造成误差；若未完全平衡摩擦力，则拉力与摩擦力做的总功等于小车动能的变化，造成误差。
答案 (1)将木板右端垫高以平衡摩擦力 (2)0.60 1.0 (3)0.40 0.32 (4)没有保证钩码的质量远小于小车质量或未完全平衡摩擦力
1.(对动能的理解)下面有关动能的说法正确的是( )
A.物体只有做匀速运动时，动能才不变
B.物体做平抛运动时，水平方向速度不变，物体的动能也不变
C.物体做自由落体运动时，重力做功，物体的动能增加
D.物体的动能变化时，速度不一定变化，速度变化时，动能一定变化
解析 物体只要速率不变，动能就不变，A错误；动能是标量，不能分解，做平抛运动的物体动能逐渐增大，B错误；物体做自由落体运动时，其合力等于重力，重力做正功，物体的动能增加，故C正确；物体的动能变化时，速度一定变化，速度变化时，动能不一定变化，故D错误。
答案 C
2.(对动能定理的理解)(多选)一物体做变速运动时，下列说法正确的有( )
A.合力一定对物体做功，使物体动能改变
B.物体所受合力一定不为零
C.合力一定对物体做功，但物体动能可能不变
D.物体加速度一定不为零
解析 物体的速度发生了变化，则合力一定不为零，加速度也一定不为零，B、D正确；物体的速度变化，可能是大小不变，方向变化，故动能不一定变化，合力不一定做功，A、C错误。
答案 BD
3.(对动能定理的应用)(多选)某人用手将1 kg的物体由静止向上提起1 m，这时物体的速度为2 m/s(g取10 m/s2)，则下列说法正确的是( )
A.手对物体做功12 J B.合力做功2 J
C.合力做功12 J D.物体克服重力做功10 J
解析 WG＝－mgh＝－10 J，D正确；由动能定理W合＝ΔEk＝mv2－0＝2 J，B正确，C错误；又因W合＝W手＋WG，故W手＝W合－WG＝12 J，A正确。
答案 ABD
4.(对动能定理的应用)质量为m的物体静止在水平桌面上，它与桌面之间的动摩擦因数为μ，物体在水平力F作用下开始运动，发生位移s1时撤去力F，问物体还能运动多远？
解析 研究对象：质量为m的物体。
研究过程：从静止开始，先加速，后减速至零。
受力分析、运动过程草图如图所示，其中物体受重力(mg)、水平外力(F)、弹力(N)、滑动摩擦力(f)，设加速位移为s1，减速位移为s2。
解法一：可将物体运动分成两个阶段进行求解
物体开始做匀加速运动位移为s1，水平外力F做正功，f做负功，mg、N不做功；初动能Ek0＝0，末动能Ek1＝mv
滑动摩擦力f＝μN，N＝mg
根据动能定理：Fs1－μmgs1＝mv－0
撤去外力F后，物体做匀减速运动位移为s2，f做负动，mg、N不做功、初动能Ek1＝mv，末动能Ek2＝0
根据动能定理得－μmgs2＝0－mv
即Fs1－μmgs1－μmgs2＝0－0
s2＝
解法二：从静止开始加速，然后减速为零，对全过程进行分析求解。
设加速过程中位移为s1，减速过程中位移为s2；水平外力F在s1段做正功，滑动摩擦力f在(s1＋s2)段做负功，mg、N不做功；
初动能Ek0＝0，末动能Ek＝0
在竖直方向上：N－mg＝0 滑动摩擦力f＝μN
根据动能定理得：Fs1－μmg(s1＋s2)＝0－0
得s2＝
答案
5.(研究合力做功与物体速度变化的关系)某实验小组的同学采用如图11甲所示的装置(实验中，小车碰到制动装置时，钩码尚未到达地面)用打点计时器得到一条纸带后，通过分析小车位移与速度变化的关系来研究合力对小车所做的功与速度变化的关系，如图乙是实验中得到的一条纸带，点O为纸带上的起始点，A、B、C是纸带上的三个连续的计数点，相邻两个计数点间均有4个点未画出，用刻度尺测得A、B、C到O的距离如图乙所示。已知所用交流电源的频率为50 Hz，则：
图11
(1)打B点时，小车的瞬时速度vB＝________m/s。(结果保留两位有效数字)
(2)(多选)实验中，该小组的同学画出小车位移l与速度v的关系图象如图12所示。根据该图线形状，某同学对W与v的关系作出的猜想，肯定不正确的是________。(填写选项字母代号)
图12
A.W∝v2 B.W∝v
C.W∝ D.W∝v3
(3)本实验中，若钩码下落高度为h1时合力对小车所做的功为W0，则当钩码下落h2时，合力对小车所做的功为________________(用h1、h2、W0表示)。
解析 (1)vB＝＝ m/s＝0.80 m/s。
(2)由题图12知，位移与速度的关系图象很像抛物线，所以可能l∝v2或l∝v3，又因为W＝Fl，F恒定不变，故W∝v2或W∝v3，A、D正确，B、C错误。
(3)设合力为F，由W0＝Fh1，得F＝，所以当钩码下落h2时，W＝Fh2＝W0。
答案 (1)0.80 (2)BC (3)W0
基础过关
1.(多选)关于动能的理解，下列说法正确的是( )
A.凡是运动的物体都具有动能
B.动能可以为负值
C.一定质量的物体，动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化
D.动能不变的物体，一定处于平衡状态
解析 动能是物体由于运动而具有的能量，所以运动的物体都具有动能，A正确；动能只能为正值，故B错误；由于速度为矢量，当方向变化时，若其速度大小不变，则动能并不改变，故C正确；做匀速圆周运动的物体动能不变，但并不处于平衡状态，D错误。
答案 AC
2.(多选)改变汽车的质量和速度大小，都能使汽车的动能发生变化，则下列说法正确的是( )
A.质量不变，速度增大到原来的2倍，动能增大为原来的2倍
B.速度不变，质量增大到原来的2倍，动能增大为原来的2倍
C.质量减半，速度增大到原来的4倍，动能增大为原来的2倍
D.速度减半，质量增大到原来的4倍，动能不变
解析 动能Ek＝mv2，所以质量m不变，速度v增大为原来的2倍时，动能Ek增大为原来的4倍，A错误；当速度不变，质量m增大为原来的2倍时，动能Ek也增大为原来的2倍，B正确；若质量减半，速度增大为原来的4倍，则动能增大为原来的8倍，C错误；速度v减半，质量增大为原来的4倍，则Ek′＝×
4m＝mv2＝Ek，即动能不变，D正确。
答案 BD
3.(2018·临沂高一检测)如图1所示，质量为m的物块，在恒力F的作用下，沿光滑水平面运动，物块通过A点和B点的速度分别是vA和vB，物块由A点运动到B点的过程中，力F对物块做的功W为( )
图1
A.W＞mv－mv B.W＝mv－mv
C.W＝mv－mv D.由于F的方向未知，W无法求出
解析 物块由A点到B点的过程中，只有力F做功，由动能定理可知，W＝mv－mv，故B正确。
答案 B
4.(2018·南京高一检测)一空盒以某一初速度在水平面上滑行，滑行的最远距离为L。现往空盒中倒入砂子，使空盒与砂子的总质量为原来空盒的3倍，仍以原来的初速度在水平面上滑行，此时滑行的最远距离为( )
A.L B.L
C.L D.3L
解析 盒子与水平面间的动摩擦因数一定，据动能定理得－μmgs＝0－mv，解得s＝，位移s与盒子质量无关，选项C正确。
答案 C
5.(多选)甲、乙两个质量相同的物体，用大小相等的力F分别拉它们在水平面上从静止开始运动相同的距离s。如图2所示，甲在光滑面上，乙在粗糙面上，则下列关于力F对甲、乙两物体做的功和甲、乙两物体获得的动能的说法中正确的是( )
图2
A.力F对甲物体做功多
B.力F对甲、乙两个物体做的功一样多
C.甲物体获得的动能比乙大
D.甲、乙两个物体获得的动能相同
解析 由功的公式W＝Fs可知，两种情况下力F对甲、乙两个物体做的功一样多，A错误，B正确；根据动能定理，对甲有Fs＝Ek1，对乙有Fs－f s＝Ek2，可知Ek1＞Ek2，即甲物体获得的动能比乙大，C正确，D错误。
答案 BC
6.物体在合力作用下做直线运动的v－t图象如图3所示，下列表述正确的是( )
图3
A.在0～1 s内，合力做正功
B.在0～2 s内，合力总是做负功
C.在1～2 s内，合力不做功
D.在0～3 s内，合力总是做正功
解析 由v－t图知0～1 s内，v增加，动能增加，由动能定理可知合力做正功，A正确；1～2 s内v减小，动能减小，合力做负功，可见B、C、D错误。
答案 A
7.(2018·常州高一检测)在探究动能定理的实验中，将小车放在一端有滑轮的长木板上，让纸带穿过打点计时器，一端固定在小车上。实验中平衡摩擦力后，小车的另一端用细线挂钩码，细线绕过固定在长木板上的定滑轮，线的拉力大小就等于钩码的重力，这样就可以研究拉力做功和小车动能的关系。已知所挂钩码的质量m＝1.0×10－2 kg，小车的质量m0＝8.5×10－2 kg(g取10 m/s2)。
(1)若实验中打点纸带如图4所示，打点时间间隔为0.02 s，每三个计时点取一个计数点，O点是打点起点，则打B点时，小车的速度vB＝________m/s，小车的动能EkB＝________J。从钩码开始下落至B点，拉力所做的功是________J，因此可得出的结论是_____________________________________________。
图4
(2)根据纸带算出相关各点的速度v，量出小车运动距离s，则以为纵轴，以s为横轴画出的图线应是________，图线的斜率表示_____________________。
解析 (1)因为小车做匀加速运动，由平均速度公式得
vB＝ m/s≈0.2 m/s。
小车的动能EkB＝m0v＝1.7×10－3 J。拉力做的功W＝Ts＝mgsOB＝1.76×10－3 J。
结论：在实验误差允许范围内，拉力所做的功等于物体动能的增加。
(2)mas＝mv2，对＝as，画出的图线为C图所示，图线的斜率表示小车的加速度a。
答案 见解析
能力提升
8.如图5所示，质量为M的电梯地板上放置一质量为m的物体，钢索拉着电梯由静止开始向上做加速运动，当上升高度为H时，速度达到v，则( )
图5
A.地板对物体的支持力做的功等于mv2
B.地板对物体的支持力做的功等于mgH
C.钢索的拉力做的功等于Mv2＋MgH
D.合力对电梯M做的功等于Mv2
解析 对物体，根据动能定理有WN－mgH＝mv2，解得地板对物体的支持力做的功为WN＝mgH＋mv2，选项A、B错误；对整体，根据动能定理有WF－(M＋m)gH＝(M＋m)v2，解得钢索的拉力做的功WF＝(M＋m)gH＋(M＋m)v2，选项C错误；对电梯，根据动能定理有W合＝Mv2，则合力对电梯M做的功为Mv2，选项D正确。
答案 D
9.(2018·烟台高一检测) (多选)在平直公路上，汽车由静止开始做匀加速直线运动，当速度达到vmax后，立即关闭发动机直至静止，v－t图象如图6所示，设汽车的牵引力为F，受到的摩擦力为f，全程中牵引力做功为W1，克服摩擦力做功为W2，则( )
图6
A.F∶f＝1∶3 B.W1∶W2＝1∶1
C.F∶f＝4∶1 D.W1∶W2＝1∶3
解析 对汽车运动的全过程，由动能定理得W1－W2＝ΔEk＝0，所以W1＝W2，选项B正确，D错误；由图象知s1∶s2＝1∶4。由动能定理得Fs1－fs2＝0，所以F∶f＝4∶1，选项A错误，C正确。
答案 BC
10.如图7所示，小球以初速度v0从A点沿粗糙的轨道运动到高为h的B点后自动返回，其返回途中仍经过A点，则经过A点的速度大小为( )
图7
A. B.
C. D.
解析 在从A到B的过程中，重力和摩擦力都做负功，根据动能定理可得mgh＋Wf＝mv；从B到A过程中，重力做正功，摩擦力做负功(因为是沿原路返回，所以两种情况摩擦力做功大小相等)根据动能定理可得mgh－Wf＝mv2，两式联立得再次经过A点的速度为，选项B正确。
答案 B
11.质量m＝1 kg的物体，在水平拉力F的作用下，沿粗糙水平面运动，在位移是4 m时，拉力F停止作用，运动到位移是8 m时物体停止，运动过程中Ek－x的图象如图8所示，g取10 m/s2，求：
图8
(1)物体和平面间的动摩擦因数；
(2)拉力F的大小。
解析 (1)在运动的第二阶段，物体在位移s2＝4 m内，动能由Ek＝10 J变为零。由动能定理得：－μmgs2＝0－Ek；
故动摩擦因数：μ＝＝＝0.25。
(2)在运动的第一阶段，物体位移s1＝4 m，初动能Ek0＝2 J，根据动能定理得：Fs1－μmgs1＝Ek－Ek0，所以F＝4.5 N。
答案 (1)0.25 (2)4.5 N
12.(2018·中山高一检测)如图9所示，质量m＝0.2 kg的小物体放在光滑的圆弧上端，圆弧半径R＝55 cm，下端接一长为1 m的水平轨道AB，最后通过极小圆弧与倾角α＝37°的斜面相接，已知物体与水平面和斜面轨道的动摩擦因数均为0.1，将物体无初速度释放，(g取10 m/s2，cos 37°＝0.8，sin 37°＝0.6)求：
图9
(1)物体第一次滑到水平轨道与右侧斜面轨道交接处的速度大小；
(2)物体第一次滑上右侧斜轨道的最大高度。
解析 (1)小物体从圆弧上端到B点的过程中，由动能定理得：mgR－μmgsAB＝
mv－0，解得vB＝3 m/s。
(2)设物体第一次滑上右侧轨道最大高度为H，此时物体离B点的距离为s，由几何关系有＝sin α；由动能定理得：－μmgcos α·s－mgH＝0－mv，
解得H＝0.40 m。
答案 (1)3 m/s (2)0.40 m
