第2课时 能量守恒定律
学习目标
核心提炼
1.知道机械能的概念，并会求机械能。
2.理解机械能守恒定律及其适用条件、表达式。
3.会用机械能守恒定律分析解答问题。
4.理解能量守恒定律及其表达式。
1个概念——机械能
1个条件——机械能守恒条件
2个定律——机械能守恒定律、能量守恒定律
一、机械能守恒定律
阅读教材第34～35页“机械能守恒定律”部分，知道机械能的概念，会利用自由落体运动推导机械能守恒定律的表达式。
1.机械能：物体的动能和势能之和。
2.推导：如图1所示，如果物体只在重力作用下自由下落，重力做的功设为WG，由重力做功和重力势能的变化关系可知WG＝mg(h1－h2)＝Ep1－Ep2。①
图1
由动能定理得
WG＝mv－mv②
①②联立可得mgh1－mgh2＝mv－mv，mgh1＋mv＝mgh2＋mv，
由机械能的定义得Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2。
3.内容：在只有重力做功的情况下，物体的动能和重力势能可以发生相互转化，但机械能的总量保持不变。
4.条件：只有重力对物体做功，与运动方向和轨迹的曲、直无关。
5.表达式：
(1)mv＋mgh1＝mv＋mgh2或Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2。
(2)mgh1－mgh2＝mv－mv
即ΔEp减＝ΔEk增。
思维拓展
(1)如图2所示，大型的过山车在轨道上翻转而过。过山车从最低点到达最高点时，动能和势能怎样变化？忽略与轨道摩擦和空气阻力，机械能是否守恒？
图2
(2)如图3所示，在光滑水平面上，被压缩的弹簧恢复原来形状的过程，弹性势能如何变化？弹出的物体的动能如何变化？当物体以某一初速度压缩弹簧时，弹性势能如何变化，物体的动能如何变化？
图3
答案 (1)动能减少，重力势能增加，忽略与轨道摩擦和空气阻力，过山车机械能守恒。
(2)被压缩的弹簧恢复原来形状时，弹性势能减少，被弹出的物体的动能增加；当物体压缩弹簧时，弹性势能增加，物体的动能减少。
二、能量守恒定律
阅读教材第36～37页“能量守恒定律”部分，知道能量的转化及守恒定律的内容。
1.机械能的变化：除重力以外的其他力对物体做功时，物体的机械能就会发生变化。
2.能量的转化：自然界中，能的表现形式是多种多样的，除了机械能外，还有电能、光能、内能、化学能、原子能等，这些能量间都可以相互转化。
3.能量守恒定律：能量既不能凭空产生，也不能凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式或从一个物体转移到另一个物体，在转化或转移的过程中其总量保持不变。
4.永动机：不消耗任何能量却能持续不断地对外做功的机器，它违背了能量守恒定律，是不可能制成的。
思考判断
(1)合力为零，物体的机械能一定守恒。( )
(2)合力做功为零，物体的机械能一定守恒。( )
(3)只有重力做功，物体的机械能一定守恒。( )
(4)物体向上运动时，机械能也可能守恒。( )
(5)任何能量之间的转化都遵循能量守恒定律。( )
(6)能量永远不会增加或减少，只能转化或转移。( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ (6)√
机械能守恒条件的理解
[要点归纳]
1.从能量特点看，系统内部只发生动能和势能的相互转化，无其他形式能量(如内能)之间转化，系统机械能守恒。
2.从做功角度来看，只有重力做功或系统弹力做功，系统机械能守恒，具体表现为：
做功条件
典例
只有重力(或弹簧弹力)做功
所有做抛体运动的物体(不计空气阻力)，机械能守恒
除重力、弹力外还受其他力，但其他力不做功
如物体沿光滑的曲面下滑，尽管受到支持力，但支持力不做功
只有重力和系统内的弹力做功
如图所示，小球在摆动过程中线的拉力不做功，如不计空气阻力，只有重力做功，小球的机械能守恒
如图所示，所有摩擦不计，A在B上自由下滑过程中，只有重力和A、B间弹力做功，A、B组成的系统机械能守恒。但对B来说，A对B的弹力做功，但这个力对B来说是外力，B的机械能不守恒
如图所示，不计空气阻力，球在运动过程中，只有重力和弹簧与球间的弹力做功，球与弹簧组成的系统机械能守恒。但对球来说，机械能不守恒
其他力做功，但做功的代数和为零
如图所示，A、B构成的系统，忽略绳的质量与滑轮间的摩擦，在A向下，B向上运动过程中，FA和FB都做功，A机械能不守恒；B机械能也不守恒；但WA＋WB＝0，不存在机械能与其他形式的能的转化，则A、B系统机械能守恒
[精典示例]
[例1] (多选)如图中物体m机械能守恒的是(均不计空气阻力)( )
解析 物块沿固定斜面匀速下滑，在斜面上物块受力平衡，重力沿斜面向下的分力与摩擦力平衡，摩擦力做负功，物块机械能减少；物块沿固定斜面上在力F作用下上滑时，力F做正功，物块机械能增加；小球沿光滑半圆形固定轨道下滑，只有重力做功，小球机械能守恒；用细线拴住的小球绕O点来回摆动，只有重力做功，小球机械能守恒。选项C、D正确。
答案 CD
判断机械能是否守恒的条件
1.合外力为零是物体处于平衡状态的条件。物体受到的合外力为零时，它一定处于匀速运动状态或静止状态，但它的机械能不一定守恒。
2.只有重力做功或系统内弹力做功是机械能守恒的条件。只有重力对物体做功时，物体的机械能一定守恒；只有重力或系统内弹力做功时，系统的机械能一定守恒。
[针对训练1] (多选)如图4所示，弹簧固定在地面上，一小球从它的正上方A处自由下落，到达B处开始与弹簧接触，到达C处速度为0，不计空气阻力，则在小球从B到C的过程中( )
图4
A.弹簧的弹性势能不断增大
B.弹簧的弹性势能不断减小
C.小球和弹簧组成的系统机械能不断减小
D.小球和弹簧组成的系统机械能保持不变
解析 从B到C，小球克服弹力做功，弹簧的弹性势能不断增加，A正确，B错误；对小球、弹簧组成的系统，只有重力和系统内弹力做功，系统机械能守恒，C错误，D正确。
答案 AD
机械能守恒定律的应用
[要点归纳]
1.机械能守恒定律的不同表达式
表达式
物理意义
从不同状态看
Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末
初状态的机械能等于末状态的机械能
从转化角度看
Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp
过程中动能的增加量等于势能的减少量
从转移角度看
EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB
系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能
2.应用机械能守恒定律的解题步骤
[精典示例]
[例2] 如图5所示，某大型露天游乐场中过山车的质量为1 t，从轨道一侧的顶点A处由静止释放，到达底部B处后又冲上环形轨道，使乘客头朝下通过C点，再沿环形轨道到达底部B处，最后冲上轨道另一侧的顶端D处，已知D与A在同一水平面上。A、B间的高度差为20 m ，圆环半径为5 m，如果不考虑车与轨道间的摩擦和空气阻力，g取10 m/s2。试求：
图5
(1)过山车通过B点时的动能；
(2)过山车通过C点时的速度；
(3)过山车通过D点时的机械能。(取过B点的水平面为零势能面)
解析 (1)过山车由A点运动到B点的过程中，由机械能守恒定律ΔEk增＝ΔEp减可得过山车在B点时的动能。
mv－0＝mghAB
EkB＝mv＝mghAB
解得EkB＝2×105 J
(2)同理可得，过山车从A点运动到C点时有mv－0＝mghAC
得vC＝
解得vC＝10 m/s
(3)由机械能守恒定律可知，过山车在D点时的机械能就等于在A点时的机械能，取过B点的水平面为零势能面，则有ED＝EA＝mghAB
解得ED＝2×105 J
答案 (1)2×105 J (2)10 m/s (3)2×105 J
利用机械能守恒定律可从下面两个角度列方程
(1)守恒观点：E1＝E2→需要选零势能参考平面
(2)转化观点：ΔEk＝－ΔEp→不用选零势能参考平面
[针对训练2] 如图6所示，质量m＝50 kg的跳水运动员从距水面高h＝10 m的跳台上以v0＝5 m/s的速度斜向上起跳，最终落入水，若忽略运动员的身高，取g＝10 m/s2。求：
图6
(1)运动员在跳台上时具有的重力势能(以水面为零势能参考平面)；
(2)运动员起跳时的动能；
(3)运动员入水时的速度大小。
解析 (1)以水面为零势能参考平面，则运动员在跳台上时具有的重力势能为
Ep＝mgh＝5 000 J。
(2)运动员起跳时的速度为v0＝5 m/s，
则运动员起跳时的动能为Ek＝mv＝625 J。
(3)解法一：应用机械能守恒定律
运动员从起跳到入水过程中，只有重力做功，运动员的机械能守恒，则
mgh＋mv＝mv2，
即v＝15 m/s。
解法二：应用动能定理
运动员从起跳到入水过程中，
其他力不做功，只有重力做功，
故合外力做的功为W合＝mgh，
根据动能定理可得，mgh＝mv2－mv，
则v＝15 m/s。
答案 (1)5 000 J (2)625 J (3)15 m/s
多个物体组成的系统机械能守恒问题
[要点归纳]
多个物体组成的系统机械能守恒问题的解题思路
(1)首先分析多个物体组成的系统所受的外力是否只有重力或弹力做功，内力是否造成了机械能与其他形式能的转化，从而判断系统机械能是否守恒。
(2)若系统机械能守恒，则机械能从一个物体转移到另一个物体，ΔE1＝－ΔE2，一个物体机械能增加，则一定有另一个物体机械能减少。
[精典示例]
[例3] 如图7所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍。当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，B上升的最大高度是( )
图7
A.2R B.
C. D.
解析 设A、B的质量分别为2m、m，当A落到地面，B恰运动到与圆柱轴心等高处，以A、B整体为研究对象，机械能守恒，故有2mgR－mgR＝(2m＋m)v2，当A落地后，B球以速度v竖直上抛，到达最高点时上升的高度为h′＝，故B上升的总高度为R＋h′＝R，选项C正确。
答案 C
多物体机械能守恒问题的分析技巧
(1)对多个物体组成的系统，一般用“转化法”和“转移法”来判断其机械能是否守恒。
(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(3)列机械能守恒方程时，可选用ΔEk＝－ΔEp的形式。
[针对训练3] (2018·金昌高一检测)如图8所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角θ＝30°，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮，一柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块A和B连接，A的质量为4m，B的质量为m。开始时将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升。物块A与斜面间无摩擦，设当A沿斜面下滑l距离后，细线突然断了，求物块B上升的最大高度H。
图8
解析 设细线断时A、B的速度大小为v，由机械能守恒得
4mglsin 30°＝mgl＋mv2＋·4mv2
解得v＝
细线断后，B上升的高度为h
由机械能守恒得mgh＝mv2，可得h＝
B物体上升的最大高度H＝l＋＝l。
答案 l
对能量守恒定律的理解
[要点归纳]
1.功与能量的转化：不同形式的能量之间的转化是通过做功实现的。做功的过程就是各种形式的能量之间转化(或转移)的过程，且做了多少功，就有多少能量发生转化(或转移)。因此，功是能量转化的量度。
2.功与能的关系：由于功是能量转化的量度，某种力做功往往与某一种具体形式的能量转化相联系，具体功能关系如下：
功
能量转化
关系式
重力做功
重力势能的改变
WG＝－ΔEp
弹力做功
弹性势能的改变
WF＝－ΔEp
合外力做功
动能的改变
W合＝ΔEk
除重力、系统内弹力以外的其他力做功
机械能的改变
W其他＝ΔE机
[精典示例]
[例4] (多选)如图9所示，一固定斜面倾角为30°，一质量为m的小物块自斜面底端以一定的初速度，沿斜面向上做匀减速运动，加速度的大小等于重力加速度的大小g。若物块上升的最大高度为H，则此过程中，物块的( )
图9
A.动能损失了2mgH B.动能损失了mgH
C.机械能损失了mgH D.机械能损失了mgH
解析 由于上升过程中的加速度大小等于重力加速度，根据牛顿第二定律得mgsin 30°＋f＝mg，解得f＝mg。由动能定理可得ΔEk＝－＝－2mgH，选项A正确，B错误；机械能的减少量在数值上等于克服摩擦力做的功，则Wf＝f·＝mgH，选项C正确，D错误。
答案 AC
运用能量守恒定律解题的基本思路
[针对训练4] (2018·徐州高一检测)在奥运会比赛项目中，高台跳水是我国运动员的强项。如图10所示，质量为m的跳水运动员进入水中后受到水的阻力而做减速运动，设水对她的阻力大小恒为f，那么在她减速下降高度为h的过程中，下列说法正确的是(g为当地的重力加速度)( )
图10
A.她的动能减少了fh
B.她的重力势能增加了mgh
C.她的机械能减少了(f－mg)h
D.她的机械能减少了fh
解析 运动员下降高度h的过程中，重力势能减少了mgh，B错误；除重力做功以外，只有水对她的阻力f做负功，因此机械能减少了fh，C错误，D正确；由动能定理可知，动能减少了(f－mg)h，故A错误。
答案 D
1.(机械能守恒的判断)(多选)图11各图中机械能守恒的是( )
图11
A.甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒
B.乙图中，在大小等于摩擦力的拉力下沿斜面下滑时，物体B机械能守恒
C.丙图中，斜面光滑，物体在推力F作用下沿斜面向下运动的过程中，物体机械能守恒
D.丁图中，不计任何阻力时A加速下落，B加速上升过程中，A、B机械能守恒
解析 甲图中重力和弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A机械能不守恒，A错误；乙图中物体B除受重力外，还受弹力、拉力、摩擦力，但除重力之外的三个力做功代数和为零，机械能守恒，B正确；丙图中物体下滑过程中，除重力还有推力F对其做功，所以物体机械能不守恒，C错误；丁图中绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，A、B机械能守恒，D正确。
答案 BD
2.(能量守恒定律的理解)(多选)下列对能量守恒定律的认识正确的是( )
A.某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加
B.某个物体的能量减少，必然有其他物体的能量增加
C.不需要任何外界的动力而持续对外做功的机器——永动机是不可能制成的
D.石子从空中落下，最后停止在地面上，说明机械能消失了
解析 A是指不同形式的能量相互转化，转化过程中能量是守恒的，B是指能量在不同的物体间发生转移，转移过程中能量是守恒的，这正好是能量守恒定律的两个方面——转化与转移，A、B正确；任何永动机都是不可能制成的，永动机违背了能量守恒定律，C正确；D中石子由于受空气阻力作用，机械能要转化成内能，当最后停止在地面上时机械能并没有消失，而是转化成了其他形式的能，能量守恒定律表明能量既不能创生，也不能消失，D错误。
答案 ABC
3.(机械能守恒定律的理解)(2018·南阳高一检测)(多选)两个质量不同的小铁块A和B，分别从高度相同的都是光滑的斜面和圆弧面的顶点滑向底部，如图12所示。如果它们的初速度都为0，则下列说法正确的是( )
图12
A.下滑过程中重力所做的功相等
B.它们到达底部时动能相等
C.它们到达底部时速率相等
D.它们在最高点时的机械能和它们到达最低点时的机械能大小各自相等
解析 小铁块A和B在下滑过程中，只有重力做功，机械能守恒，则由mgH＝
mv2，得v＝，所以A和B到达底部时速率相等，故C、D正确；由于A和B的质量不同，所以下滑过程中重力所做的功不相等，到达底部时的动能也不相等，故A、B错误。
答案 CD
4.(涉及弹簧的系统机械能守恒问题) (2018·泉州高一检测)(多选)如图13所示，一轻弹簧固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度释放，让它自由摆下，不计空气阻力。在重物由A点摆向最低点B的过程中，下列说法正确的是( )
图13
A.重物的机械能守恒
B.重物的机械能减少
C.重物的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变
D.重物与弹簧组成的系统机械能守恒
解析 重物由A点下摆到B点的过程中，弹簧被拉长，弹簧的弹力对重物做了负功，所以重物的机械能减少，故A错误，B正确；此过程中，由于只有重力和弹簧的弹力做功，所以重物与弹簧组成的系统机械能守恒，即重物减少的重力势能等于重物获得的动能与弹簧的弹性势能之和，故C错误，D正确。
答案 BD
5.(机械能守恒定律的应用)如图14所示，质量为m的物体，以某一初速度从A点向下沿光滑的轨道运动，不计空气阻力，若物体通过轨道最低点B时的速度为3，求：
图14
(1)物体在A点时的速度大小；
(2)物体离开C点后还能上升多高。
解析 (1)物体在运动的全过程中只有重力做功，机械能守恒，选取B点为零势能点。设物体在B处的速度为vB，则mg·3R＋mv＝mv，得v0＝。
(2)设从B点上升到最高点的高度为HB，由机械能守恒可得mgHB＝mv，HB＝4.5R
所以离开C点后还能上升HC＝HB－R＝3.5R。
答案 (1) (2)3.5R
基础过关
1.(2018·大理高一检测)关于这四幅图示的运动过程中物体机械能不守恒的是( )
A.图甲中，滑雪者沿光滑斜面自由下滑
B.图乙中，过山车关闭油门后通过不光滑的竖直圆轨道
C.图丙中，小球在水平面内做速度大小不变的圆周运动
D.图丁中，石块从高处被斜向上抛出后在空中运动(不计空气阻力)
答案 B
2.如图1所示，一小孩从公园中粗糙的滑梯上自由加速滑下，其能量的变化情况是( )
图1
A.重力势能减小，动能不变，机械能减小，总能量减小
B.重力势能减小，动能增加，机械能减小，总能量不变
C.重力势能减小，动能增加，机械能增加，总能量增加
D.重力势能减小，动能增加，机械能守恒，总能量不变
解析 由能量守恒定律可知，小孩在下滑过程中总能量守恒，故A、C错误；由于摩擦力要做负功，机械能不守恒，故D错误；下滑过程中重力势能向动能和内能转化，故只有B正确。
答案 B
3.(2018·莆田高一检测)(多选)如图2所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。若以地面为参考平面，且不计空气阻力，则下列选项正确的是( )
图2
A.物体落到海平面时的势能为mgh
B.重力对物体做的功为mgh
C.物体在海平面上的动能为mv
D.物体在海平面上的机械能为mv
解析 以地面为零势能面，海平面比地面低h，所以物体在海平面时的重力势能为－mgh，故A错误；重力做功与路径无关，只与始、末位置的高度差有关，抛出点与海平面的高度差为h，并且重力做正功，所以整个过程重力对物体做功为mgh，故B正确；由动能定理W＝Ek2－Ek1，有Ek2＝Ek1＋W＝mv＋mgh，故C错误；整个过程机械能守恒，即初、末状态的机械能相等，以地面为零势能面，抛出时的机械能为mv，所以物体在海平面时的机械能也为mv，故D正确。
答案 BD
4.(2018·太原高一检测)(多选)如图3所示，在两个质量分别为m和2m的小球a和b之间，用一根长为L的轻杆连接(杆的质量不计)，两小球可绕穿过杆中心O的水平轴无摩擦地转动。现让轻杆处于水平位置，然后无初速度释放，重球b向下，轻球a向上，产生转动，在杆转至竖直的过程中( )
图3
A.b球的重力势能减少，动能增加
B.a球的重力势能增加，动能增加
C.a球和b球的总机械能守恒
D.a球和b球的总机械能不守恒
解析 a、b两球组成的系统中，只存在动能和重力势能的相互转化，系统的机械能守恒，选项C正确，D错误；其中a球的动能和重力势能均增加，机械能增加，轻杆对a球做正功；b球的重力势能减少，动能增加，b球的机械能减少，轻杆对b球做负功，选项A、B正确。
答案 ABC
5.(2018·万州区高一检测)(多选)如图4所示，竖直放置在水平地面上的轻弹簧，下端固定在地面上，将一个金属球放置在弹簧顶端(球与弹簧不粘连)，并用力向下压球，稳定后用细线把弹簧拴牢。烧断细线，球将被弹起，脱离弹簧后能继续向上运动，则该球从细线被烧断到刚脱离弹簧的运动过程中( )
图4
A.球的机械能守恒
B.球的动能先增大后减小，机械能一直增加
C.金属球的动能与小弹簧的弹性势能之和一直在减小
D.球在刚脱离弹簧时动能最大
解析 小球在整个运动过程中，小球、弹簧组成的系统机械能守恒，小球向上运动的过程中，弹簧的弹性势能减小，小球的机械能一直增大，故A错误；烧断细线后，开始的一段时间内，弹力大于重力，小球向上做加速运动，当弹簧的弹力小于小球重力后，小球向上做减速运动，因此当重力与弹力相等时，小球速度最大；在整个过程中，弹簧弹力始终对小球做正功，小球的机械能一直增大，故B正确，D错误；小球与弹簧组成的系统机械能守恒，即小球的动能、重力势能、弹簧的弹性势能之和保持不变，小球向上运动过程中重力势能一直增大，所以小球的动能和弹簧的弹性势能之和一直减小，故C正确。
答案 BC
6.两物体质量之比为1∶3，它们距离地面高度之比也为1∶3，让它们自由下落，它们落地时的动能之比为( )
A.1∶3 B.3∶1
C.1∶9 D.9∶1
解析 只有重力做功，机械能守恒。取地面为零势能面，则落地时动能之比等于初位置重力势能之比，据Ep＝mgh，有Ep1∶Ep2＝1∶9，所以 Ek1∶Ek2＝1∶9，选项C正确。
答案 C
7.如图5所示，质量m＝70 kg的运动员以10 m/s的速度，从高h＝10 m的滑雪场A点沿斜坡自由滑下，以最低点B为零势能面，一切阻力可忽略不计。(取g＝10 m/s2 )，求运动员：
图5
(1)在A点时的机械能；
(2)到达最低点B时的速度大小；
(3)能到达的最大高度。
解析 (1)运动员在A点时的机械能E＝Ek＋Ep＝mv2＋mgh＝×70×102 J＋70×10×10 J＝10 500 J。
(2)运动员从A运动到B的过程，根据机械能守恒定律得E＝mv，解得
vB＝ ＝ m/s＝10 m/s。
(3)运动员从A运动到斜坡上最高点的过程，由机械能守恒得E＝mgh′，解得h′＝ m＝15 m。
答案 (1)10 500 J (2)10 m/s (3)15 m
能力提升
8.(2018·青岛高一检测)如图6所示，在距地面h高度处以初速度v0沿水平方向抛出一个物体，不计空气阻力，物体在下落过程
图6
中，下列说法中正确的是( )
A.物体在c点比在a点具有的机械能大
B.物体在b点比在c点具有的动能大
C.物体在a、b、c三点具有的动能一样大
D.物体在a、b、c三点具有的机械能相等
解析 小球在运动过程中，只有重力做功，机械能守恒，在任何一个位置小球的机械能都是一样的，故选项A错误，D正确；物体在下落过程中，重力势能转化为动能，Eka＜Ekb＜Ekc，故选项B、C均错误。
答案 D
9.如图7所示，一固定在地面上的光滑斜面的顶端固定有一轻弹簧，地面上质量为m的物块(可视为质点)向右滑行并冲上斜面。设物块在斜面最低点A的速率为v，压缩弹簧至C点时弹簧最短，C点距地面高度为h，则物块运动到C点时弹簧的弹性势能为( )
图7
A.mgh B.mgh＋mv2
C.mgh－mv2 D.mv2－mgh
解析 由机械能守恒定律可得物块的动能转化为重力势能和弹簧的弹性势能，有mv2＝mgh＋Ep，故Ep＝mv2－mgh。
答案 D
10.(多选)一物体从高为h处自由下落，不计空气阻力，落至某一位置时其动能与重力势能恰好相等(取地面为零势能面)( )
A.此时物体所处的高度为
B.此时物体的速度为
C.这段下落的时间为
D.此时机械能可能小于mgh
解析 物体下落过程中机械能守恒，D错误；
由mgh＝mgh′＋mv2＝2mgh′知h′＝，A正确；
由mv2＝mgh知v＝，B正确；
由t＝知t＝，C正确。
答案 ABC
11.(2018·北京东城区高一期末)如图8所示，在轻弹簧的下端悬挂一个质量为m的小球A，若将小球A从弹簧原长位置由静止释放，小球A能够下降的最大高度为h。若将小球A换成质量为2m的小球B，仍从弹簧原长位置由静止释放，则小球B下降h时的速度为(重力加速度为g，不计空气阻力)( )
图8
A. B.
C. D.0
解析 设小球A下降高度h时，弹簧的弹性势能为Ep，由机械能守恒定律可知Ep＝mgh。当小球A换为质量为2m的小球B时，设小球B下降h时速度为v，根据机械能守恒定律有2mgh＝·2mv2＋Ep，解得v＝，B正确。
答案 B
12.(2018·济宁高一检测)如图9所示，半径为R＝0.45 m的光滑的圆周轨道AB与粗糙水平面BC相连，质量m＝2 kg的物块由静止开始从A点滑下经B点进入动摩擦因数μ＝0.2的水平面，g取10 m/s2。求：
图9
(1)物块经过B点时的速度大小vt和距水平面高度为时的速度大小v；
(2)物块过B点后2 s内所滑行的距离s；
(3)物块沿水平面运动过程中克服摩擦力做多少功？
解析 (1)选水平面BC为零势能面。由机械能守恒定律得mgR＝mv
解得vt＝＝ m/s＝3 m/s
又由机械能守恒定律得
mgR＝mg·R＋mv2
解得v＝＝ m/s＝1.5 m/s。
(2)物块做减速运动的加速度大小为
a＝＝＝μg＝0.2×10 m/s2＝2 m/s2
因为物块经过B点后运动的时间t停＝＝1.5 s<2 s
所以s＝v t停＝·t停＝2.25 m。
(3)物块克服摩擦力所做的功为
W＝fs＝μmgs＝0.2×2×10×2.25 J＝9 J。
答案 (1)3 m/s 1.5 m/s (2)2.25 m (3)9 J
能量守恒定律
我夯基 我达标
1.关于机械能是否守恒的叙述，正确的是（ ）
A.做匀速直线运动的物体机械能一定守恒
B.做变速运动的物体机械能可能守恒
C.外力对物体做功为零时，机械能一定守恒
D.若只有重力对物体做功，物体的机械能一定守恒
2.将物体由地面竖直上抛，如果不计空气阻力，物体能够达到的最大高度为H，当物体在上升过程中的某一位置，它的动能和重力势能相同，则这一位置的高度为（ ）
A.2H/3 B.H/2 C.H/3 D.H/4
3.一个质量为m的物体以a＝2g的加速度竖直向下运动，则在物体下落h高度的过程中，物体的（ ）
A.重力势能减少了2mgh B.动能增加了2mgh
C.机械能保持不变 D.机械能增加了mgh
4.如图2－3－7所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，在弹簧压缩到最短的过程中，下列关于能量的叙述中正确的是（ ）
图2－3－7
A.小球重力势能和动能之和总保持不变
B.小球和弹簧总机械能守恒
C.小球先加速，接触到弹簧后立即减速
D.在最低点时小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量
5.从高处自由下落的物体，它的机械能E随高度变化的规律由图2－3－8所示的哪个图象来表示（ ）
图2－3－8
6.(2006四川蓬安中学模拟)如图2－3－9所示，通过定滑轮悬挂两个质量分别为m1、m2的物体（m1＞m2），不计绳子质量、绳子与滑轮间的摩擦等，在m1向下运动的一段距离的过程中，下列说法中正确的是（ ）
图2－3－9
A.m1势能的减少量等于m1动能的增加量
B.m1势能的减少量等于m2势能的增加量
C.m1势能的减少量等于m2动能的增加量
D.m1势能的减少量等于m1、m2两者动能的增加量与m2势能增加量之和
我综合 我发展
7.一根弹簧的左端固定在墙上，如图2－3－10所示.一个质量为m、速度为v0的物体在光滑水平地面上向左滑行，压缩弹簧，这时m的动能将___________，弹簧的弹性势能将___________，物体m与弹簧组成的系统的机械能将___________，弹簧的最大压缩弹性势能是___________.
图2－3－10
8.如图2－3－11所示，两个物体用轻绳经光滑的滑轮拴在一起，质量分别为m1、m2，m2在地面上，m1离地的高度为h，m1＞m2,由静止释放，则m1落地后，m2还能上升的高度为多少？
图2－3－11
9.在欧洲，早期最著名的一个永动机设计方案是十三世纪时一个叫亨内考的法国人提出来的.如图2－3－12所示：轮子中央有一个转动轴，轮子边缘安装着12个可活动的短杆，每个短杆的一端装有一个铁球.方案的设计者认为，右边的球比左边的球离轴远些，因此，右边的球产生的转动力矩要比左边的球产生的转动力矩大.这样轮子就会永无休止地沿着箭头所指的方向转动下去，并且带动机器转动.这个设计被不少人以不同的形式复制出来，但从未实现不停息的转动.你认为这个装置能实现永不停息地转动吗？为什么？
图2－3－12
参考答案
1思路解析：解决该题的关键是掌握机械能守恒条件.机械能守恒是动能和势能总和保持不变.物体做匀速运动，若重力势能发生变化，则机械能不守恒.除重力外其他外力做功为零,机械能守恒.
答案：BD
2思路解析：判断上抛的物体满足机械能守恒条件，选取参考面，确定初、末状态机械能表达式，利用机械能守恒求解.
答案：B
3思路解析：明确动能定理所表达的合外力的功包含重力的功，而机械能守恒定律所表达的是除重力的功外，其他外力或内力不做功或做功的代数和为零.
答案：BD
4思路解析：正确确定研究系统，明确各过程受力情况及能量转化关系.小球和弹簧组成的系统机械能守恒.小球先做自由落体运动，接触到弹簧后虽受到向上的弹力但合力仍向下，所以小球并没有立即减速.当弹力等于重力时速度达到最大值，此后小球才做减速运动，到最低点时速度为零，根据机械能守恒，应有在最低点时小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量.
答案：BD
5思路解析：做自由落体运动的物体随着高度的下降，重力势能减少，但是速度越来越大，也就是动能越来越大，减少的重力势能转化为物体的动能，总的机械能保持不变.
答案：C
6思路解析：两个物体在运动过程中，系统的机械能守恒.m1的重力势能减小量等于m2重力势能的增加量与两物体的动能之和，所以A、B、C错误，D正确.
答案：D
7思路解析：物体压缩弹簧时克服弹簧弹力做功，动能减少，弹簧的弹性势能增加；物体、弹簧组成的系统机械能守恒；当速度变为零时动能全部转化为弹簧的弹性势能，这时弹簧的弹性势能最大，等于物体的初动能.
答案：减少 增加 不变 mv02/2
8思路解析：以地面为参考平面，m1落地前，m1、m2组成的系统机械能守恒
m1gh＝m2gh＋(m1＋m2)v2
v2＝
此后，绳子处于松弛状态，m2只受重力，m2机械能守恒m2gΔh＝m2v2
Δh＝.
答案：物体还能上升的高度是
9思路解析：仔细分析一下就会发生，虽然右边每个球产生的力矩大，但是球的个数少，左边每个球产生的力矩虽小，但是球的个数多.于是，轮子不会持续转动下去而对外做功，只会摆动几下，便停在题图中所画的位置上.
答案：不能；违背了能量守恒定律
一、选择题
1．(多选)在验证机械能守恒定律的实验中，需要测量的是重物的( )
A．质量 B．下落高度
C．下落时间 D．瞬时速度
解析：选BD.在验证机械能守恒定律的实验中，只要计算出重力势能的减少量ΔEp＝mgh和动能的增加量ΔEk＝mv2，由ΔEp＝ΔEk即可验证，实际上只要gh＝，就验证了机械能守恒，因此只要测出下落高度和瞬时速度，无需测量重物质量和下落时间，所以B、D正确．
2．(多选)(2014·泉州高一检测)下图中物体m机械能守恒的是(均不计空气阻力)( )
解析：选CD.物块沿固定斜面匀速下滑，在斜面上物块受力平衡，重力沿斜面向下的分力与摩擦力平衡，摩擦力做负功，机械能减少；物块在固定斜面上在力F作用下上滑时，力F做正功，机械能增加；小球沿光滑半圆形固定轨道下滑，只有重力做功，小球机械能守恒；用细线拴住的小球绕O点来回摆动，只有重力做功，小球机械能守恒．选项C、D正确．
3．(多选)如果只有重力对物体做功，则下列说法中正确的是( )
A．重力对物体做正功，物体的机械能增加
B．重力对物体做负功，物体的机械能不变
C．重力对物体做正功，物体的动能增加
D．重力对物体做负功，物体的重力势能减少
解析：选BC.物体只有重力做功，机械能守恒，故B正确，A错误；重力做正功，重力势能减少动能增加，重力做负功，动能减少，重力势能增加，故C正确，D错误．
4.如图所示，小球的质量为m，自光滑的斜槽的顶端无初速度滑下，沿虚线轨迹落地，不计空气阻力，则小球着地瞬间的动能和重力势能分别是(选取斜槽末端切线所在平面为参考平面)( )
A．mg(h＋H)，－mgh
B．mg(h＋H)，mgh
C．mgH,0
D．mgH，－mgH
解析：选A.选取斜槽末端切线所在平面为零势能参考平面，小球初始状态的重力势能为Ep1＝mgH，落地时的重力势能为Ep2＝－mgh，小球下落过程机械能守恒，则有mgH＝Ek＋(－mgh)，即Ek＝mg(h＋H)，选项A正确，其他选项均错．
5．某同学在做“验证机械能守恒定律”的实验时，采用如图所示的装置，进行了如下一些操作，该同学的以下做法正确的是( )
A．用天平称出重物的质量
B．使用计时器打点时，先放开纸带，后接通电源
C．从打上点的纸带中挑出点迹清晰的纸带进行测量
D．用所选纸带求打某点对应的重物下落的速度v时，用v＝gt 计算，其中t为从打第1点到打该点的时间间隔，g为当地的重力加速度
解析：选C.该实验是利用自由落体运动验证机械能守恒，即mgh＝mv2，只需验证gh＝v2，不需要测量重物的质量，A错误；由打点计时器的使用方法可知应该先接通电源，再放开纸带，B错误；计算速度时应利用纸带，根据平均速度计算某点的瞬时速度，D错误．
6．(多选)一物体从高h处自由下落，不考虑空气阻力，落至某一位置时其动能与重力势能恰好相等(取地面为参考平面)，则( )
A．此时物体所处的高度为
B．此时物体的速度为
C．物体下落的时间为
D．此时机械能可能小于mgh
解析：选ABC.物体下落中机械能守恒，D错．由mgh＝2mgh′，知h′＝，A对．由mgh＝2·mv2，知v＝，B对．由t＝，知t＝，C对．
7．一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离．假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点．下列说法不正确的是( )
A．运动员到达最低点前重力势能始终减小
B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加
C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒
D．蹦极过程中，重力势能的改变与重力势能零点的选取有关
解析：选D.运动员到达最低点前，重力始终做正功，重力势能始终减小，选项A正确；蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力沿绳往上，故弹力做负功，弹性势能增加，选项B正确；由机械能守恒的条件可知，选项C正确；重力势能大小与重力势能零点的选取有关，但重力势能的改变与势能零点的选取无关，选项D错误．
☆8.(多选)(2013·高考广东卷)如图，游乐场中，从高处A到水面B处有两条长度相同的光滑轨道．甲、乙两小孩沿不同轨道同时从A处自由滑向B处，下列说法正确的有( )
A．甲的切向加速度始终比乙的大
B．甲、乙在同一高度的速度大小相等
C．甲、乙在同一时刻总能到达同一高度
D．甲比乙先到达B处
解析：选BD.甲、乙两小孩沿不同轨道从A运动到B时，只有重力做功，根据机械能守恒定律和甲、乙两小孩运动的v－t图象解决问题．甲、乙两小孩沿光滑轨道从A运动到B，只有重力做功，根据机械能守恒定律，得mgh＝mv2，即v＝，所以甲、乙两小孩在同一高度时，速度大小相等，选项B正确；甲、乙两小孩在运动过程的v－t图象如图所示．由v－t图象可知，选项A、C错误，选项D正确．
二、非选择题
9．某研究性学习小组在做“验证机械能守恒定律”的实验中，已知打点计时器所用电源的频率为50 Hz，查得当地的重力加速度g＝9.8 m/s2，测得所用重物的质量为1.00 kg.
(1)下列叙述正确的是________．
A．应该用天平称出重物的质量
B．可选用点迹清晰，第一、二两点间的距离接近2 mm的纸带来处理数据
C．操作时应先松开纸带再通电
D．打点计时器应接在电压为4～6 V的交流电源上
(2)实验中甲、乙、丙三学生分别用同一装置得到三条点迹清晰的纸带，量出各纸带上第一、二两点间的距离分别为0.18 cm、0.19 cm、0.25 cm，则可肯定________同学在操作上有错误，错误是________________________________________________________________________．
若按实验要求正确地选出纸带进行测量，量得连续三点A、B、C到第一个点O间的距离分别为15.55 cm、19.20 cm和23.23 cm.则当打点计时器打点B时重物的瞬时速度v＝________m/s；重物由O到B过程中，重力势能减少了________J，动能增加了________J(保留3位有效数字)，根据所测量的数据，还可以求出重物实际下落的加速度为________m/s2，则重物在下落的过程中所受的阻力为________N.
解析：(1)本实验中只需验证gh与的关系，不需要测重物质量，操作时应先接通电源再松开纸带，可选用点迹清晰，第一、二两点间的距离接近2 mm的纸带来处理数据，A、C错，B、D对．
(2)实验中理想的纸带应是点迹清晰，第一、二两点间的距离略小于2 mm的纸带，所以丙错误，错误在于操作中先松开了纸带，再接通了电源，致使纸带上第一、二两点间距增大．利用公式vn＝可计算出打点B时重物的瞬时速度为1.92 m/s.重物由O到B过程中，重力势能减少了ΔEp＝mgh＝1.00×9.8×19.20×10－2 J＝1.88 J；动能增加了ΔEk＝mv2＝1.84 J，由Δh＝aT2可求出重物实际下落的加速度为a＝9.5 m/s2，由牛顿第二定律知重物在下落的过程中所受到的阻力满足mg－F阻＝ma，所以F阻＝0.3 N.
答案：(1)BD (2)丙 先松开了纸带，再接通了电源
1．92 1.88 1.84 9.5 0.3
☆10.如图所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角θ＝30°，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮，一柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块A和B连接，A的质量为4m，B的质量为m.开始时将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升．物块A与斜面间无摩擦，设当A沿斜面下滑s距离后，细线突然断了，求物块B上升的最大高度H.
解析：设绳断时A、B的速度为v，由机械能守恒得：
4mgs·sin 30°＝mg·s＋mv2＋×4mv2
解得v＝
绳断后，B上升的高度为h
由机械能守恒得
mgh＝mv2
解得h＝
B物体上升的最大高度
H＝s＋＝1.2s.
答案：1.2s
