山东省泰安市2019中考专题复习——最值问题即最大值和最小值问题教案（含答案）

2019年中考专题复习-最值问题即最大值和最小值问题
最大值和最小值问题是中考的热点题型之一，泰安中考主要考察几何、一次函数和二次函数的最值问题。
一、几何问题：主要应用的原理是：利用“两点间线段最短”，利用轴对称求最短路线，利用垂线段最短的道理解决问题。
（一）利用“两点间线段最短”，找到动点，从而把问题解决。
1、（2018泰安12）如图1，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8

（图1） （图2） （图3）
（二）利用轴对称求最短路线问题。利用轴对称确定动点的位置，利用有关几何知识求出答案。
此类问题的知识点是：七年级学习的“将军饮马”问题，例如：如图2，要在燃气管道l上修建一个泵站分别向A、B两镇供气. 泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
2.（2016·福建龙岩）如图3，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（　　）
A．1 B．2 C.3 D．4
3、如图4所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（ ）
A． B． C．3 D．

（图4） （图5）
4、（2017泰安24）．如图5，∠BAC＝30°，M为AC上一点，AM＝2，点P是AB上的一动点，PQ⊥AC，垂足为点Q，则PM+PQ的最小值为　 　．
（三）利用垂线段最短，将所求线段进行转化，进而求出答案。
5、如图6，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____．

（图6） （图7）
6、如图7，在△ABC中，AB=3，AC=4,BC=5,P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为 .
二、一次函数的最值问题
此类题目往往与方程组、不等式和分式方程应用进行结合，利用一次函数的增减性来解决问题。
7、（2018泰安20）．（9分）文美书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售．甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍，若用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本．
（1）甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？
（2）书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完．）

8、（2017泰安26）．（8分）某水果商从批发市场用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元．大樱桃售价为每千克40元，小樱桃售价为每千克16元．
（1）大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？销售完后，该水果商共赚了多少元钱？
（2）该水果商第二次仍用8000元钱从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各200千克，进价不变，但在运输过程中小樱桃损耗了20%．若小樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，大樱桃的售价最少应为多少？

9、（2016泰安26）．（8分）某学校是乒乓球体育传统项目学校，为进一步推动该项目的开展，学校准备到体育用品店购买直拍球拍和横拍球拍若干副，并且每买一副球拍必须要买10个乒乓球，乒乓球的单价为2元/个，若购买20副直拍球拍和15副横拍球拍花费9000元；购买10副横拍球拍比购买5副直拍球拍多花费1600元．
（1）求两种球拍每副各多少元？
（2）若学校购买两种球拍共40副，且直拍球拍的数量不多于横拍球拍数量的3倍，请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用．

对应练习：
10、某水果店5月份购进甲、乙两种水果共花费1700元，其中甲种水果8元/千克，乙种水果18元/千克．6月份，这两种水果的进价上调为：甲种水果10元/千克，乙种水果20元/千克．
（1）若该店6月份购进这两种水果的数量与5月份都相同，将多支付货款300元，求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？
（2）若6月份将这两种水果进货总量减少到120千克，且甲种水果不超过乙种水果的3倍，则6月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元？


三、二次函数的最值问题：本部分最值问题解决关键是列出二次函数关系式，通过二次函数的性质解决相应的问题。
知识点：根据y=a（x-h）2+k，可知，a＞0时，当x=h时，y最小值=k；a＜0时，当x=h时，y最大值=k。
11、（2018泰安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；

12、（2017泰安20）．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（　　）
A．19cm2 B．16cm2 C．15cm2 D．12cm2

13、（2016泰安28）．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的表达式；
（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；

14、（2015泰安29）．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c为x轴的一交点为A（﹣6，0），与y轴的交点为C（0，3），且经过点G（﹣2，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是线段OA上一动点，过P作平行于y轴的直线与AC交于点Q，设△CPQ的面积为S，求S的最大值；


15、（2014泰安29）．（11分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y＝﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；

练习题：
16、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），在y轴上有一点E（0，1），连接AE．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点D为抛物线在x轴负半轴下方的一个动点，求△ADE面积的最大值；

17、如图，已知二次函数y＝x2﹣3x﹣4的图象交x轴于A、B两点．
（1）若点P在线段AB上运动，作PQ⊥x轴，交抛物线于点Q，求PQ的最大值；
（2）已知点D（5，6）在抛物线上，若点M在线段AD上运动，作MN⊥x轴，交抛物线于点N，求MN的最大值；

参考答案
1、解：∵PA⊥PB，∴∠APB＝90°，∵AO＝BO，∴AB＝2PO，
若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ＝3、MQ＝4，∴OM＝5，
又∵MP′＝2，∴OP′＝3，∴AB＝2OP′＝6，故选：C．

（1题图） （2题图）
2、解：如图作CE′⊥AB于E′，交BD于P′，连接AC、AP′．
∵已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，
∴AB＝BC＝4，AB?CE′＝8，∴CE′＝2，
在Rt△BCE′中，BE′＝＝2，
∵BE＝EA＝2，∴E与E′重合，
∵四边形ABCD是菱形，∴BD垂直平分AC，∴A、C关于BD对称，
∴当P与P′重合时，P′A+P′E的值最小，最小值为CE的长＝2，
故答案为2．
3、解：连接BD，与AC交于点F．
∵点B与D关于AC对称，∴PD＝PB，∴PD+PE＝PB+PE＝BE最小．
∵正方形ABCD的面积为12，∴AB＝2．
又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝2．故所求最小值为2．

（3题图） （4题图） （5题图）
4、解：作点M关于AB的对称点N，过N作NQ⊥AC于Q交AB于P，
则NQ的长即为PM+PQ的最小值，
连接MN交AB于D，则MD⊥AB，DM＝DN，
∵∠NPB＝∠APQ，∴∠N＝∠BAC＝30°，
∵∠BAC＝30°，AM＝2，∴MD＝AM＝1，∴MN＝2，
∴NQ＝MN?cos∠N＝2×＝，故答案为：．
5、解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴M′H＝M′N′，
∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），
∵AB＝4，∠BAC＝45°，
∴BH＝AB?sin45°＝4×＝2．
∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′＝BM′+M′H＝BH＝2．
故答案为：2．
6、
7、解：（1）设乙种图书售价每本x元，则甲种图书售价为每本1.4x元
由题意得： 解得：x＝20
经检验，x＝20是原方程的解∴甲种图书售价为每本1.4×20＝28元
答：甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元
（2）设甲种图书进货a本，总利润W元，则
W＝（28﹣20﹣3）a+（20﹣14﹣2）（1200﹣a）＝a+4800
∵20a+14×（1200﹣a）≤20000
解得a≤
∵w随a的增大而增大∴当a最大时w最大∴当a＝533本时，w最大
此时，乙种图书进货本数为1200﹣533＝667（本）
答：甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大．
8、解：（1）设小樱桃的进价为每千克x元，大樱桃的进价为每千克y元，根据题意可得：
，解得：，
小樱桃的进价为每千克10元，大樱桃的进价为每千克30元，
200×[（40﹣30）+（16﹣10）]＝3200（元），
∴销售完后，该水果商共赚了3200元；
（2）设大樱桃的售价为a元/千克，
（1﹣20%）×200×16+200a﹣8000≥3200×90%，解得：a≥41.6，
答：大樱桃的售价最少应为41.6元/千克．
9、解：（1）设直拍球拍每副x元，横拍球每副y元，由题意得，
，
解得，，
答：直拍球拍每副220元，横拍球每副260元；
（2）设购买直拍球拍m副，则购买横拍球（40﹣m）副，
由题意得，m≤3（40﹣m），解得，m≤30，
设买40副球拍所需的费用为w，
则w＝（220+20）m+（260+20）（40﹣m）＝﹣40m+11200，
∵﹣40＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝30时，w取最小值，最小值为﹣40×30+11200＝10000（元）．
答：购买直拍球拍30副，则购买横拍球10副时，费用最少．
10、解：（1）设该店5月份购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，
根据题意得：，
解得：．
答：该店5月份购进甲种水果100千克，购进乙种水果50千克．
（2）设购进甲种水果a千克，需要支付的货款为w元，则购进乙种水果（120﹣a）千克，
根据题意得：w＝10a+20（120﹣a）＝﹣10a+2400．
∵甲种水果不超过乙种水果的3倍，
∴a≤3（120﹣a），
解得：a≤90．
∵k＝﹣10＜0，
∴w随a值的增大而减小，
∴当a＝90时，w取最小值，最小值﹣10×90+2400＝1500．
∴月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是1500元．
11、解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），
∴，解得，，
所以二次函数的解析式为：y＝，
（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直线解析式为y＝，
过点D作DG⊥x轴于G，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，如图

设D（m，），则点F（m，），
∴DF＝﹣（）＝，
∴S△ADE＝S△ADF+S△EDF＝×DF×AG+DF×EH
＝×DF×（AG+EH）
＝×4×DF
＝2×（）
＝，
∴当m＝时，△ADE的面积取得最大值为．
12、解：（方法一）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴AC＝＝6cm．
设运动时间为t（0≤t≤4），则PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm，
∴S四边形PABQ＝S△ABC﹣S△CPQ＝AC?BC﹣PC?CQ＝×6×8﹣（6﹣t）×2t＝t2﹣6t+24＝（t﹣3）2+15．
∵1＞0，
∴当t＝3时，四边形PABQ的面积取最小值，最小值为15．
（方法二）∵S四边形PABQ+S△CPQ＝S△ABC，
∴当△CPQ的面积最大时，四边形PABQ的面积最小．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，∴AC＝＝6cm．
设运动时间为t（0≤t≤4），则PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm，
∴S△CPQ＝PC?CQ＝×（6﹣t）×2t＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9．
∵﹣1＜0，
∴当t＝3时，△CPQ的面积取最大值，最大值为9，
∴四边形PABQ的面积最小值为×6×8﹣9＝15．
故选：C．
13、解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+9，
∵抛物线与y轴交于点A（0，5），∴4a+9＝5，∴a＝﹣1，
y＝﹣（x﹣2）2+9＝﹣x2+4x+5，
（2）当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，∴x1＝﹣1，x2＝5，∴E（﹣1，0），B（5，0），
设直线AB的解析式为y＝mx+n，
∵A（0，5），B（5，0），∴m＝﹣1，n＝5，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5；
设P（x，﹣x2+4x+5），∴D（x，﹣x+5），
∴PD＝﹣x2+4x+5+x﹣5＝﹣x2+5x，∵AC＝4，
∴S四边形APCD＝×AC×PD＝2（﹣x2+5x）＝﹣2x2+10x，
∴当x＝﹣＝时，
∴即：点P（，）时，S四边形APCD最大＝，
14、解：（1）把A、C、G三点坐标代入抛物线解析式可得，解得，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣x+3；
（2）∵C（0，3），
∴可设直线AC解析式为y＝kx+3，把A点坐标代入可得0＝﹣6k+3，解得k＝，
∴直线AC解析式为y＝x+3，
设P点坐标为（x，0）（x＜0），则Q点坐标为（x，x+3），∴PQ＝x+3，PO＝﹣x，
∴S＝PQ?PO＝（x+3）（﹣x）＝﹣x2﹣x＝﹣（x+3）2+，
∴△CPQ的面积S的最大值为；
15、解：（1）由直线y＝﹣x+1可知A（0，1），B（﹣3，），又点（﹣1，4）经过二次函数，
根据题意得：，解得：，
则二次函数的解析式是：y＝﹣﹣x+1；
（2）设N（x，﹣x2﹣x+1），则M（x，﹣x+1），P（x，0）．
∴MN＝PN﹣PM＝﹣x2﹣x+1﹣（﹣x+1）
＝﹣x2﹣x＝﹣（x+）2+，
则当x＝﹣时，MN的最大值为；
16、解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3经过点A（﹣3，0）、B（1，0），
∴，解得：，
∴二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）设直线AE的解析式为y＝kx+b，
∵过点A（﹣3，0），E（0，1），
∴，解得：，∴直线AE解析式为y＝x+1，
如图，过点D作DG⊥x轴于点G，延长DG交AE于点F，

设D（m，m2+2m﹣3），则F（m，m+1），
∴DF＝﹣m2﹣2m+3+m+1＝﹣m2﹣m+4，
∴S△ADE＝S△ADF+S△DEF＝×DF×AG+DF×OG
＝×DF×（AG+OG）＝×3×DF
＝（﹣m2﹣m+4）＝﹣m2﹣m+6
＝﹣（m+）2+，
∴当m＝﹣时，△ADE的面积取得最大值为．
17、解：（1）当Q为抛物线的顶点时，PQ取得最大值．
∵y＝x2﹣3x﹣4＝（x﹣）2﹣，∴点Q坐标为（，﹣），
∴PQ的最大值为；
（2）∵D（5，6），A（﹣1，0），设直线AD的解析式为：y＝kx+b，则
，解得．∴直线AD的解析式为：y＝x+1；
设M（x，x+1），则N（x，x2﹣3x﹣4），
∴MN＝x+1﹣（x2﹣3x﹣4）＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴当x＝2时，MN的最大值为9；






A

D

E

P

B

C