2018_2019高中数学第3章导数及其应用3.3.1单调性课件苏教版选修1_1（40张PPT）

课件40张PPT。3.3.1　单调性第3章　§3.3　导数在研究函数中的应用学习目标1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.
3.会用导数法求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点　函数的单调性与导函数正负的关系思考1　观察下列各图，完成表格内容.正正正递增递增负递减负递减负递减负负思考2　依据上述分析，可得出什么结论？
答案　一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上，
①如果f′(x)>0，则f(x)在该区间上单调递增；
②如果f′(x)<0，则f(x)在该区间上单调递减.梳理　(1)>锐上升<钝递减递增下降(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：减增1.如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上都有f′(x)>0，那么f(x)在区间(a，b)内单调递增.(　 　)
2.如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么它在区间(a，b)上都有f′(x)>0.(　 　)[思考辨析 判断正误]√√××题型探究类型一　求函数的单调区间命题角度1　求不含参数的函数的单调区间
例1　求f(x)＝3x2－2ln x的单调区间.
解　f(x)＝3x2－2ln x的定义域为(0，＋∞).解答反思与感悟　求函数y＝f(x)的单调区间的步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求导数y′＝f′(x)；
(3)解不等式 f′(x)>0，函数在定义域内的解集上为增函数；
(4)解不等式 f′(x)<0，函数在定义域内的解集上为减函数.解答解　函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞).因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0.
由f′(x)>0，得x>3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；
由f′(x)<0，得x<3.
又函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3).解答命题角度2　求含参数的函数的单调区间
例2　讨论函数f(x)＝x2－aln x(a≥0)的单调性.设g(x)＝2x2－a，由g(x)＝0，得2x2＝a.
当a＝0时，f′(x)＝2x>0，函数f(x)在区间(0，＋∞)上为增函数；综上，当a＝0时，函数f(x)的单调增区间是(0，＋∞)；解答引申探究
若将本例改为f(x)＝ax2－ln x(a∈R)呢？当a≤0时，且x∈(0，＋∞)，f′(x)<0，
∴函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数；综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数；反思与感悟　(1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f′(x)的符号，否则会产生错误.
(2)分类讨论是把整个问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素就变成了确定性因素，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了.解答跟踪训练2　已知函数f(x)＝4x3＋3tx2－6t2x＋t－1，其中x∈R，t∈R.当t≠0时，求f(x)的单调区间.解　f′(x)＝12x2＋6tx－6t2＝6(x＋t)(2x－t)，同理当x∈(－t，＋∞)时，f(x)也为增函数.类型二　证明函数的单调性问题证明则cos x<0，sin x>0，∴xcos x－sin x<0，∴f′(x)<0，反思与感悟　关于利用导数证明函数单调性的问题
(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行.
(2)f′(x)>(或<)0，则f(x)为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f(x)为单调递增(或递减)函数，则f′(x)≥(或≤)0.证明又00，∴2x3－a≥0，
∴a≤2x3在x∈[2，＋∞)时恒成立.
∴a≤(2x3)min.
∵当x∈[2，＋∞)时，y＝2x3是单调递增的，
∴(2x3)min＝16，∴a≤16.∴a的取值范围是(－∞，16].反思与感悟　已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题，一般地，函数f(x)在区间I上单调递增(或减)，转化为不等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间I上恒成立，再用有关方法可求出参数的取值范围.解答解　方法一　f′(x)＝x2－ax－(a＋1)，
因为函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，
所以f′(x)≤0，即x2－ax－(a＋1)≤0，解得a≥x－1.
因为在[1,2]上，a≥x－1恒成立，
所以a≥(x－1)max＝1.
所以a的取值范围是[1，＋∞).
方法二　f′(x)＝(x＋1)[x－(a＋1)]，
由于函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，
所以f′(x)≤0，当a>－2时，解得－1≤x≤a＋1，即减区间为[－1，a＋1]，则[1,2]?[－1，a＋1]，得a≥1.
当a≤－2时，解得减区间为[a＋1，－1]，
则函数f(x)不可能在[1,2]上为减函数，故a≥1.
所以实数a的取值范围是[1，＋∞).达标检测1.函数f(x)＝2x3－3x2＋1的单调递增区间是____________________，单调递减区间是_____.答案12345解析(－∞，0)和(1，＋∞)解析　∵f′(x)＝6x2－6x，
令f′(x)>0，得x<0或x>1，
令f′(x)<0，得0解析　f′(x)＝(x－1)′ex＋(x－1)(ex)′＝xex，
令f′(x)>0，解得x>0.(0，＋∞)3.函数f(x)＝ln x－ax(a>0)的单调递增区间为________.12345答案解析解析　f(x)的定义域为{x|x>0}，4.若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)上单调递减，则实数a的取值范围为__________.
解析　y′＝3x2－2ax＝x(3x－2a)，
由题意知x∈(0,2)，y′≤0，12345答案解析[3，＋∞)123455.求函数f(x)＝(x－k)ex的单调区间.
解　f′(x)＝ex＋(x－k)ex＝(x－k＋1)ex，
当x当x>k－1时，f′(x)>0，
所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)，单调递增区间为(k－1，＋∞).解答1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.
2.利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.