2018_2019高中数学第3章导数及其应用3.3.2极大值与极小值课件苏教版选修1_1（40张PPT）

课件40张PPT。3.3.2　极大值与极小值第3章　§3.3　导数在研究函数中的应用学习目标1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.
2.掌握函数极值的判定及求法.
3.掌握函数在某一点取得极值的条件.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一　函数极值的概念函数y＝f(x)的图象如图所示.思考1　函数在x＝a处的函数值与附近的函数值有什么大小关系？
答案　函数在x＝a处的函数值比它在x＝a附近的其他点的函数值都小.
思考2　f′(a)为多少？在x＝a附近，函数的导数的符号有什么规律？
答案　f′(a)＝0，在x＝a的左侧f′(x)<0，右侧 f′(x)>0.梳理　(1)极小值
函数y＝f(x)在x＝a处的函数值f(a)比它在x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在x＝a的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.
(2)极大值
函数y＝f(x)在x＝b处的函数值f(b)比它在x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在x＝b的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值. 和 统称为极值.极大值极小值知识点二　求函数y＝f(x)极值的方法(1)解方程f′(x)＝0；
(2)根据函数的极值与导数之间的关系验证判断：
①如果在x0两侧f′(x)符号相同，那么x0不是f(x)的极值点.
②如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么，f(x0)是极大值.
③如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么，f(x0)是极小值.1.函数的极小值一定小于它的极大值.(　 　)
2.f(x)在定义域内最多只能有一个极大值一个极小值.(　 　)
3.若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数.(　 　)
4.函数y＝x3＋x2＋2x－3存在极值.(　 　)[思考辨析 判断正误]×√××题型探究类型一　求函数的极值例1　求下列函数的极值：
(1) f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1；解答解　函数f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1的定义域为R，
f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)，
解方程6(x＋2)(x－1)＝0，得x1＝－2，x2＝1.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：所以当x＝－2时，f(x)取极大值21；
当x＝1时，f(x)取极小值－6.解答令f′(x)＝0，得x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：因此当x＝1时，f(x)有极小值3，无极大值.反思与感悟　求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；
(2)求f(x)的拐点，即求方程f′(x)＝0的根；
(3)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值.
特别提醒：在判断f′(x)的符号时，借助图象也可判断f′(x)各因式的符号，还可用特殊值法判断.解答跟踪训练1　求下列函数的极值：∴f(x)的定义域为R，f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2).
令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：解答(2) f(x)＝x2ex；解　函数的定义域为R，f′(x)＝2xex＋x2ex＝xex(2＋x)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝－2，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由上表可以看出，
当x＝－2时，函数有极大值为f(－2)＝4e－2.
当x＝0时，函数有极小值为f(0)＝0.类型二　已知函数极值求参数例2　(1)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a＝___，b＝___.答案解析29解析　∵f′(x)＝3x2＋6ax＋b，且函数f(x)在x＝－1处有极值0，当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，此时函数f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去.
当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3).
当x∈(－∞，－3)时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数；
当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0，此时f(x)为减函数；
当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数.
故f(x)在x＝－1处取得极小值，∴a＝2，b＝9.答案解析(－∞，1)解析　∵f′(x)＝x2－2x＋a，
由题意得方程x2－2x＋a＝0有两个不同的实数根，
∴Δ＝4－4a>0，解得a<1.解答引申探究
1.若例(2)中函数在x＝－1处取到极大值，求a的值.
解　f′(x)＝x2－2x＋a，
由题意得f′(－1)＝1＋2＋a＝0，
解得a＝－3，则f′(x)＝x2－2x－3，经验证可知，f(x)在x＝－1处取得极大值.解答2.若例(2)中函数f(x)有两个极值，均为正数，求a的取值范围.
解　由题意得方程x2－2x＋a＝0有两个不等的正根，设为x1，x2，故a的取值范围是(0,1).反思与感悟　已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点
(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.解答跟踪训练2　设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点.
(1)试确定常数a和b的值；
解　因为f(x)＝aln x＋bx2＋x，解答(2)判断x＝1，x＝2使函数f(x)取得极大值还是极小值，并说明理由.当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1,2)时，f′(x)>0；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0.类型三　函数极值的综合应用解答解　由 f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，
可得 f′(x)＝3x2－12x＋9，由题意可得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三个不相等的实根，
即g(x)＝x3－7x2＋8x－m的图象与x轴有三个不同的交点.
∵g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)，当x变化时，g(x)，g′(x)的变化情况如下表：反思与感悟　用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法.它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数.跟踪训练3　设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
解　f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解答解答(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围.解　由(1)知，y＝f(x)图象的大致形状及走向如图所示.直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，达标检测1.函数y＝3x3－9x＋5的极大值为____.答案12345解析11解析　y′＝9x2－9.令y′＝0，得x＝±1.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：从上表可以看出，当x＝－1时，函数y有极大值3×(－1)3－9×(－1)＋5＝11.12345答案解析3.已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为______________________.12345答案解析解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，
因为f(x)既有极大值又有极小值，
那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，
解得a>6或a<－3.(－∞，－3)∪(6，＋∞)4.设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若f(x)在x＝x1和x＝x2处取得极值，且x1x2＝1，则实数a的值为___.
解析　f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.
由已知 f′(x1)＝f′(x2)＝0，从而x1x2＝ ＝1，
所以a＝9.12345答案解析912345答案解析－1312345若b＝1，c＝－1，则f′(x)＝－x2＋2x－1＝－(x－1)2≤0，此时f(x)没有极值；
若b＝－1，c＝3，则f′(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)，
当－3＜x＜1时，f′(x)＞0，当x＞1时，f′(x)＜0.故b＝－1，c＝3.1.在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值.
2.函数的极值是函数的局部性质.可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反.
3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.规律与方法