高中数学第3章导数及其应用3.3.3最大值与最小值课件苏教版选修1_1（37张PPT）

课件37张PPT。3.3.3　最大值与最小值第3章　§3.3　导数在研究函数中的应用学习目标1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.
2.会求某闭区间上函数的最值.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点　函数的最大值与最小值如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象.思考1　观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找
出它的极大值、极小值.
答案　极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4).
思考2　结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？
答案　存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3).
思考3　函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？
答案　不一定，也可能是区间端点的函数值.梳理　(1)函数的最大(小)值的存在性
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值与最小值.
(2)求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的 ；
②将函数y＝f(x)的 与 处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是 ，最小的一个是 .连续不断极值各极值端点最大值最小值1.定义在闭区间[a，b]上的函数 f(x)一定有最大值和最小值.(　 　)
2.函数 f(x)在[a，b]上的最大值是 f(b)，最小值是 f(a).(　 　)
3.定义在开区间(a，b)上的函数 f(x)没有最值.(　 　)
4.函数的所有极大值中最大的一个就是最大值.(　 　)[思考辨析 判断正误]××××题型探究类型一　求函数的最值命题角度1　不含参数的函数求最值
例1　求下列函数的最值：
(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；解答解　f(x)＝2x3－12x，当x＝3时，f(x)取得最大值18.解答所以当x＝0时，f(x)有最小值 f(0)＝0；
当x＝2π时，f(x)有最大值 f(2π)＝π.反思与感悟　求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点
(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内；
(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值；
(3)比较极值与端点函数值大小，确定最值.解答跟踪训练1　求函数f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5]的最值.
解　∵f(x)＝3ex－exx2，
∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)
＝－ex(x＋3)(x－1).
∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)<0，
∴函数f(x)在区间[2,5]上单调递减，
∴当x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；
当x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.解答命题角度2　含参数的函数求最值
例2　已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0,2]上的最大值.解　由题意，得f′(x)＝x(3x－2a)，反思与感悟　由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化.所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解.解答跟踪训练2　在例2中，将区间[0,2]改为[－1,0]，结果如何？从而 f(x)max＝f(－1)＝－1－a；类型二　由函数的最值求参数例3　已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值.解答解　由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾.
求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去).
①当a>0时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也是函数f(x)在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.
②当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.
又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，
∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.反思与感悟　已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.其中注意分类讨论思想的应用.解答解　f′(x)＝－x2＋x＋2a，当x∈(－∞，x1)，(x2，＋∞)时，f′(x)<0；
当x∈(x1，x2)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增.
当0所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x2).类型三　函数最值的综合应用解答例4　设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0).
(1)求f(x)的最小值h(t)；
解　∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t＞0)，
∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，
即h(t)＝－t3＋t－1.解答(2)若h(t)＜－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围.解　令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1，t＝－1(不合题意，舍去).
当t变化时g′(t)，g(t)的变化情况如下表：∴对t∈(0,2)，当t＝1时，g(t)max＝1－m，
h(t)<－2t－m对t∈(0,2)恒成立，
也就是g(t)<0对t∈(0,2)恒成立，
只需g(t)max＝1－m<0，∴m>1.
故实数m的取值范围是(1，＋∞).反思与感悟　(1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化.λ≥f(x)恒成立?λ≥[ f(x)]max；λ≤f(x)恒成立?λ≤[ f(x)]min.对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可.
(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”.解答跟踪训练4　已知2xln x≥－x2＋ax－3对一切x∈(0，＋∞)恒成立，求a的取值范围.令h′(x)＝0，得x＝1，
当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增.
∴h(x)min＝h(1)＝4.∴a≤h(x)min＝4.∴a的取值范围是(－∞，4].达标检测答案12345解析π所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π.12345答案解析令f′(x)>0，得x>1；
令f′(x)<0，得0在(1,2]上，f′(x)>0，所以当x＝1时，函数f(x)取极小值，也是最小值，
则 f(1)＝1－1－1＋t＝3，所以t＝4，
又函数 f(x)在两端点处的函数值为f(0)＝4，f(2)＝8－4－2＋4＝6，
所以函数在[0,2]上的最大值为6.6解析　当a≤－1时，最大值为4，不符合题意.
当－1所以f(x)max＝f(a)，12345答案解析12345答案解析(7，＋∞)可求得f(x)max＝f(2)＝7.
∴对于任意x∈[－1,2]，f(x)7.1.求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，则这个极值就是最值.
2.已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论.
3.“恒成立”问题可转化为函数最值问题.规律与方法