2018_2019高中数学第3章导数及其应用3.4导数在实际生活中的应用课件苏教版选修1_1（46张PPT）

课件46张PPT。§3.4　导数在实际生活中的应用第3章　导数及其应用学习目标1.了解导数在解决实际问题中的作用.
2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点　生活中的优化问题1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为 .
2.利用导数解决优化问题的实质是求函数最值.
3.解决优化问题的基本思路
上述解决优化问题的过程是一个典型的 过程.优化问题数学建模1.优化问题就是实际生活中给定条件求最大值或最小值的问题.(　 　)
2.生活中的优化问题都必须利用导数解决.(　 　)
3.生活中的优化问题中，若函数只有一个极值点，则它就是最值点.
(　 　)[思考辨析 判断正误]√√×题型探究类型一　几何中的最值问题例1　请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x应取何值？解答当且仅当x＝30－x，即x＝15时，等号成立，
答　若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x＝15.解答(2)若广告商要求包装盒容积V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.令V′>0，得0令V′<0，得20(2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程.解答跟踪训练1　在一张足够大的纸板上截取一个面积为3 600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(如图).设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b.
(1)当a＝90时，求纸盒侧面积的最大值；解　当a＝90时，b＝40，纸盒的底面矩形的长为90－2x，宽为40－2x，
周长为260－8x.
所以纸盒的侧面积S(x)＝(260－8x)x＝－8x2＋260x，其中x∈(0,20)，解答(2)试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值.所以V≤4(x3－60x2＋900x)，x∈(0,30).
记f(x)＝4(x3－60x2＋900x)，x∈(0,30)，
则f′(x)＝12(x－10)(x－30)，
令f′(x)＝0，得x＝10，或x＝30(舍去).当x∈(0,30)时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：由上表可知，f(x)的极大值是f(10)＝16 000，也是最大值.
答　当a＝b＝60，且x＝10时，纸盒的体积最大，最大值为16 000立方厘米.类型二　实际生活中的最值问题命题角度1　利润最大问题
例2　已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，解答(1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；解　当010时，(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值.解答当x∈(0,9)时，W′>0；当x∈(9,10]时，W′<0.
所以当x＝9时，W取得最大值，综合①②知，当x＝9(千件)时，W取得最大值为38.6万元.
答　当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元.反思与感悟　解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有
(1)利润＝收入－成本；
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数.解答跟踪训练2　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ ＋10(x－6)2，其中3(1)求a的值；解答(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.＝2＋10(x－3)(x－6)2,3从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6).
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点.
所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值为42.
答　当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.解答命题角度2　费用(用料)最省问题
例3　为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝ (0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式；而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和解答(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值.当00，答　当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值为70万元.反思与感悟　(1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答.
(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值.解答跟踪训练3　如图，一个圆心角为直角的扇形AOB花草
房，半径为1，点P是花草房弧上一个动点，不含端点，
现打算在扇形BOP内种花，PQ⊥OA，垂足为Q，PQ将
扇形AOP分成左右两部分，在PQ左侧部分三角形POQ为
观赏区，在PQ右侧部分种草，已知种花的单位面积的造
价为3a，种草的单位面积的造价为2a，其中a为正常数，设∠AOP＝θ，种花的造价与种草的造价的和称为总造价，不计观赏区的造价，总造价为f(θ).
(1)求f(θ)关于θ的函数关系式；解答(2)求当θ为何值时，总造价最小，并求出最小值.当θ变化时，f′(θ)，f(θ)的变化情况如下表：达标检测1.在某城市的发展过程中，交通状况逐渐受到更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入
该路段的时刻t之间的关系可近似地用函数表示为y＝
则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是___时.答案12345解析8当t∈(6,8)时，y′>0；当t∈(8,9)时，y′<0，
故t＝8时，y取最大值.12345答案解析2.用长为24 m的钢筋做成一个长方体框架，若这个长方体框架的底面为正方形，则这个长方体体积的最大值为___ m3.
解析　设长方体的底面边长为x m，则高为(6－2x)m，
∴0V′(x)＝12x－6x2.
令V′(x)＝0，得x＝2或x＝0(舍去).
∴当x∈(0,2)时，函数V(x)是增函数；当x∈(2,3)时，函数V(x)是减函数，
∴当x＝2时，V(x)max＝4×2＝8(m3).812345答案解析30012345令P′(x)＝0，得x＝300.4.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_____元.12345答案解析16012345令y′＝0，得x＝2.
因为当02时，y′>0，
所以x＝2是函数y的极小值点，也是最小值点.
所以当x＝2时，ymin＝160(元).5.某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q(万件)与年广告费x(万元)之间的函数关系式为Q＝
(x≥0)，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元.若每件产品售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和.
(1)试将年利润y(万元)表示为年广告费x(万元)的函数.如果年广告费投入100万元，企业是亏损还是盈利？12345解答12345解　由题意知，每年销售Q万件，共计成本为(32Q＋3＋x)万元.销售收入是(32Q＋3)·150%＋x·50%，当x＝100时，y<0，即当年广告费投入100万元时，企业亏损.(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？12345解答12345令y′＝0，则x2＋2x－63＝0，解得x＝7或x＝－9(舍去).
又当x∈(0,7)时，f′(x)>0；当x∈(7，＋∞)时，f′(x)<0，
所以f(x)极大值＝f(7)＝42.
又因为在[0，＋∞)上只有一个极值点，所以f(x)最大值＝f(7)＝42.
答　当年广告费投入7万元时，企业年利润最大.1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.
2.正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路.另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用.规律与方法