本章中考演练
一、选择题
1．2018·淄博如图1－Y－1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC.若AN＝1，则BC的长为( )
图1－Y－1
A．4 B．6 C．4 D．8
2．2018·鄂州一副三角板如图1－Y－2放置，则∠AOD的度数为( )
图1－Y－2
A．75° B．100° C．105° D．120°
3．2018·黄冈如图1－Y－3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD的长为( )
图1－Y－3
A．2 B．3 C．4 D．2
4．2017·营口如图1－Y－4，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上，BD＝3，DC＝1，P是AB上的动点，则PC＋PD的最小值为( )
图1－Y－4
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题
5．2018·淮安如图1－Y－5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝5，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P，Q，过P，Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是________．
图1－Y－5
6．2018·湘潭《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图1－Y－6所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10，BC＝3，求AC的长．如果设AC＝x，则可列方程为__________．
图1－Y－6
7．2018·德州如图1－Y－7，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC＝5，OM＝4，则点C到射线OA的距离为________．
图1－Y－7
8．2018·重庆A卷如图1－Y－8，把三角形纸片折叠，使点B，C都与点A重合，折痕分别为DE，FG，得到∠AGE＝30°.若AE＝EG＝2 厘米，则△ABC的边BC的长为________厘米．
图1－Y－8
9．2018·襄阳已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为________．
三、解答题
10．2018·宜昌如图1－Y－9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E.
(1)求∠CBE的度数；
(2)过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F.求∠F的度数．
图1－Y－9
11．2016·益阳如图1－Y－10，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
图1－Y－10
12．2018·荆门如图1－Y－11，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边三角形BDE，连接AD，CD.
(1)求证：△ADE≌△CDB；
(2)若BC＝，在AC边上找一点H，使得BH＋EH最小，并求出这个最小值．
图1－Y－11
13．2017·宜昌阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．
应用：当n＝1时，求有一条边长为5的直角三角形的另外两条边长．
14．2018·孝感如图1－Y－12，在△ABC中，AB＝AC，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：
①作∠BAC的平分线AM交BC于点D；
②作边AB的垂直平分线EF，EF与AM相交于点P；
③连接PB，PC.
请你观察图形解答下列问题：
(1)线段PA，PB，PC之间的数量关系是________；
(2)若∠ABC＝70°，求∠BPC的度数．
图1－Y－12
详解详析
1．B
2．[解析] C 由题意可知∠ABC＝45°，∠DBC＝30°，∴∠ABO＝∠ABC－∠DBC＝45°－30°＝15°.又∵∠A＝90°，∴∠AOB＝90°－∠ABO＝90°－15°＝75°，∴∠AOD＝180°－∠AOB＝180°－75°＝105°.
3．[解析] C 在Rt△ABC中，CE为AB边上的中线，所以CE＝AB＝AE.因为CE＝5，AD＝2，所以DE＝3.因为CD为AB边上的高，所以在Rt△CDE中，CD＝＝4.故选C.
4．[解析] B 过点C作CO⊥AB于点O，延长CO到点C′，使OC′＝OC，连接DC′，交AB于点P，连接CP.此时DP＋CP＝DP＋PC′＝DC′的值最小．∵DC＝1，BD＝3，∴BC＝4.连接BC′，由对称性可知∠C′BP＝∠CBP＝45°，∴∠CBC′＝90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′＝∠BC′C＝45°，∴BC＝BC′＝4，根据勾股定理可得DC′＝＝＝5.
5．[答案]
[解析] 连接AD.∵PQ垂直平分AB，∴AD＝BD.设CD＝x，则AD＝BD＝5－x，在Rt△ACD中，∵AC2＋CD2＝AD2，即9＋x2＝(5－x)2，解得CD＝.
6．x2＋9＝(10－x)2
7．3
8．[答案] (4 ＋6)
[解析] 如图，过点E作EM⊥AG于点M，则由AE＝EG，得AG＝2MG.∵∠AGE＝30°，EG＝2 厘米，∴EM＝EG＝(厘米)．在Rt△EMG中，由勾股定理，得MG＝＝3(厘米)，∴AG＝6厘米．由折叠可知，BE＝AE＝2 (厘米)，GC＝AG＝6厘米．∴BC＝BE＋EG＋GC＝2 ＋2 ＋6＝(4 ＋6厘米．
9．[答案] 2 或2
[解析] 分两种情况讨论：①当CD在△ABC内部时，如图．
在Rt△ACD中，由勾股定理得AC＝＝2.∴AB＝2AC＝4，∴BD＝AB－AD＝3.在Rt△BCD中，由勾股定理，得BC＝＝2 .
②当CD在△ABC外部时，如图．
此时，AB＝4，BD＝BA＋AD＝5，在Rt△BCD中，由勾股定理，得BC＝＝2 .
综上所述，BC的长为2 或2 .
10．解：(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°－∠A＝50°，
∴∠CBD＝130°.
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE＝∠CBD＝65°.
(2)∵∠ACB＝90°，
∴∠CEB＝90°－65°＝25°，
∵DF∥BE，
∴∠F＝∠CEB＝25°.
11．解：在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，
设BD＝x，则CD＝14－x.
在Rt△ABD中，
由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2.
在Rt△ACD中，
由勾股定理，
得AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，
∴152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9.
∴AD＝12，
∴S△ABC＝BC·AD＝×14×12＝84.
12．解：(1)证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E为AB边的中点，
∴BC＝EA，∠ABC＝60°.
∵△BDE为等边三角形，
∴DB＝DE，∠DEB＝∠DBE＝60°，
∴∠DEA＝120°，∠DBC＝120°，
∴∠DEA＝∠DBC，
∴△ADE≌△CDB.
(2)如图，作点E关于直线AC的对称点E′，连接BE′交AC于点H.
则H即为符合条件的点．由作图可知：EH＋BH＝BE′，AE′＝AE，∠E′AC＝∠BAC＝30°，
∴∠EAE′＝60°，
∴△EAE′为等边三角形，
∴EE′＝EA＝AB，
∴∠AE′B＝90°.
在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝，
∴AB＝2 ，AE′＝AE＝，
∴BE′＝＝＝3，∴BH＋EH的最小值为3.
13．解：当n＝1时，
a＝(m2－1)①，
b＝m②，
c＝(m2＋1)③.
∵直角三角形有一条边长为5，
∴(1)当a＝5时，(m2－1)＝5，
解得m＝±(舍去)；
(2)当b＝5时，即m＝5，
代入①③，得a＝12，c＝13.
(3)当c＝5时，(m2＋1)＝5，解得m＝±3.
∵m＞0，
∴m＝3，代入①②，得a＝4，b＝3.
综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4.
14．解：(1)PA＝PB＝PC(或相等)
(2)∵AM平分∠BAC，AB＝AC，∠ABC＝70°，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝(180°－70°×2)×＝20°.
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴PA＝PB，
∴∠PBA＝∠PAB＝20°.
∵∠BPD是△PAB的外角，
∴∠BPD＝∠PAB＋∠PBA＝40°，
∴同理，∠CPD＝40°，
∴∠BPC＝∠BPD＋∠CPD＝80°.
本章中考演练
一、选择题
1．2018·衡阳下列生态环保标志中，是中心对称图形的是( )
图2－Y－1
2．2018·济宁如图2－Y－2，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°.DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P的度数是( )
图2－Y－2
A．50° B．55°
C．60° D．65°
3．2018·湘潭如图2－Y－3，已知点E，F，G，H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是( )
图2－Y－3
A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．平行四边形
4．2018·泸州如图2－Y－4，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，且AE＋EO＝4，则?ABCD的周长为( )
图2－Y－4
A．20 B．16 C．12 D．8
5．2017·长沙如图2－Y－5，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6 cm，8 cm，则这个菱形的周长为( )
图2－Y－5
A．5 cm B．10 cm
C．14 cm D．20 cm
6．2018·烟台对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图2－Y－6所示，O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使点B落在点B′处，MN是折痕．若B′M＝1，则CN的长为( )
图2－Y－6
A．7 B．6 C．5 D．4
二、填空题
7．2018·衡阳如图2－Y－7，?ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M.如果△CDM的周长为8，那么?ABCD的周长是________．
图2－Y－7
8．2018·广州如图2－Y－8，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标是分别为(3，0)，(－2，0)，点D在y轴上，则点C的坐标是________．
图2－Y－8
9．2018·江西如图2－Y－9，在矩形ABCD中，AD＝3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE＝EF，则AB的长为________．
图2－Y－9
10．2017·兰州在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是__________．
11．2017·咸宁如图2－Y－10，点O是矩形纸片ABCD的对称中心，E是BC上的一点，将纸片沿AE折叠后，点B恰好与点O重合．若BE＝3，则折痕AE的长为________．
图2－Y－10
12．2017·六盘水如图2－Y－11，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E，F分别在边BC和CD上，则∠AEB＝________°.
图2－Y－11
13．2018·自贡如图2－Y－12，在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是________形；P，E，F分别为线段AB，AD，DB上的任意点，则PE＋PF的最小值是________．
图2－Y－12
三、解答题
14．2018·岳阳如图2－Y－13，在平行四边形ABCD中，AE＝CF.求证：四边形BFDE是平行四边形．
图2－Y－13
15．2018·永州如图2－Y－14，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为边向外作等边三角形ABD，E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F.
图2－Y－14
(1)求证：四边形BCFD为平行四边形；
(2)若AB＝6，求平行四边形BCFD的面积．
16．2018·白银如图2－Y－15，在矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．
(1)求证：△BGF≌△FHC；
(2)设AD＝a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．
图2－Y－15
17．2017·上海已知：如图2－Y－16，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC.
图2－Y－16
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，
求证：四边形ABCD是正方形．
详解详析
1．[解析] B 根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形．对各选项中的图形分析判断可得选项B中的图形是中心对称图形．
2．[解析] C ∵五边形的内角和等于540°，∠A＋∠B＋∠E＝300°，
∴∠BCD＋∠CDE＝540°－300°＝240°.
∵DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，
∴∠PCD＋∠PDC＝(∠BCD＋∠CDE)＝120°，
∴∠P＝180°－120°＝60°.
3．B
4．[解析] B ?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，所以O为AC的中点．又因为E是AB的中点，所以EO是△ABC的中位线，AE＝AB，所以EO＝BC.因为AE＋EO＝4，所以AB＋BC＝2(AE＋EO)＝8.在?ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，所以?ABCD的周长为2(AB＋BC)＝16.
5．[解析] D ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝AC＝×6＝3(cm)，OB＝BD＝×8＝4(cm)．根据勾股定理，得AB＝＝＝5(cm)，∴这个菱形的周长＝4×5＝20(cm)．故选D.
6．[解析] D (法一，排除法)连接AC，BD.∵在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，∴CO＝3，DO＝4.∵CO⊥DO，∴CD＝5.∵CN(法二，正确推导)连接BO，OD.可证△BMO≌△DNO，∴DN＝BM.∵过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕，∴B′M＝BM＝1＝DN，由法一知，CD＝5，∴CN＝4.
7．[答案] 16
[解析] 在?ABCD中，AD＝BC，AB＝CD.∵O为AC的中点，OM⊥AC，∴直线MO为AC的垂直平分线，∴MC＝MA，∴△CDM的周长＝MC＋MD＋CD＝MA＋MD＋CD＝AD＋CD＝8，∴?ABCD的周长＝2(AD＋CD)＝16.
8．[答案] (－5，4)
[解析] 由点A，B的坐标分别为(3，0)，(－2，0)可得AO＝3，AB＝5.由菱形ABCD四边相等可得CD＝AD＝AB＝5.在Rt△AOD中，由勾股定理可得OD＝＝4，所以C(－5，4)．
9．[答案] 3
[解析] 由旋转，得BC＝EF，AB＝AE.在矩形ABCD中，AD＝BC，∠D＝90°.∵DE＝EF，∴AD＝DE，即△ADE为等腰直角三角形，根据勾股定理，得AE＝＝3 ，则AB＝AE＝3 .
10．[答案] ①③④
[解析] 对于①，∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．又∵AB⊥AD，∴四边形ABCD是正方形．故①正确；对于②，∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BD，AB⊥BD，∴?ABCD不可能是正方形，故②错误；对于③，∵四边形ABCD是平行四边形，OB＝OC，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．又∵OB⊥OC，即对角线互相垂直，∴?ABCD是正方形．故③正确；对于④，∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．又∵AC＝BD，∴?ABCD是正方形．故④正确．故答案为①③④.
11．[答案] 6
[解析] 由题意，得AB＝AO＝CO，
即AC＝2AB，且OE垂直平分AC，
∴AE＝CE.
设AB＝AO＝CO＝x，
则AC＝2x.
又∵∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝30°.
由折叠的性质，得OE＝BE＝3.
在Rt△OEC中，∠OCE＝30°，
∴CE＝2OE＝6，则AE＝6.
12．[答案] 75
[解析] ∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，∠EAF＝60°.∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°.在Rt△ABE和Rt△ADF中，∵AB＝AD，AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF，∴∠BAE＝∠DAF＝(90°－60°)÷2＝15°，∴∠AEB＝75°.故答案为75.
13．[答案] 菱
[解析] ∵AD＝BD＝AC＝BC，∴四边形ADBC是菱形．作点E关于AB的对称点E′，根据菱形的对称性可知点E′在AC上，连接E′F交AB于点P，∴PE＋PF＝PE′＋PF＝E′F，当E′F是AC，BD之间的距离时，E′F最小．过点B作BH⊥AC于点H，设AH＝x，则CH＝(2－x)，由AB2－AH2＝BH2＝BC2－CH2，有1－x2＝4－(2－x)2，解得x＝，∴BH＝＝，∴PE＋PF的最小值为.
14．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD.
∵AE＝CF，
∴BE＝DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
15．解：(1)证明：∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝∠BAD＝60°.
又∠CAB＝30°，
∴∠CAD＝∠CAB＋∠BAD＝30°＋60°＝90°.
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAD＋∠ACB＝90°＋90°＝180°，
∴BC∥AD.
在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，E是线段AB的中点，
∴CE＝AE，
∴∠ACE＝∠CAB.
∵∠CAB＝30°，
∴∠ACE＝∠CAB＝30°，
∴∠BEC＝∠ACE＋∠CAB＝30°＋30°＝60°.
∵∠ABD＝60°，
∴∠ABD＝∠BEC，
∴BD∥CE.又BC∥AD，
∴四边形BCFD为平行四边形．
(2)过点B作BG⊥CF，垂足为G.
∵AB＝6，E是线段AB的中点，
∴BE＝3.
在Rt△BEG中，∠BEG＝60°，
∴∠EBG＝30°，
∴GE＝BE＝，
由勾股定理得BG＝.
∵△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝6，
∴平行四边形BCFD的面积为BD·BG＝6×＝9 .
16．解：(1)∵F是BC边上的中点，
∴BF＝FC.
∵F，G，H分别BC，BE，CE的中点，
∴GF，FH是△BEC的中位线，
∴FG＝EC＝CH，FH＝BE＝BG.
在△BGF和△FHC中，
∴△BGF≌△FHC(SSS)．
(2)当四边形EGFH是正方形时，
∴∠BEC＝90°，FG＝GE＝EH＝FH.
∵FG，FH是△BEC的中位线，
∴BE＝CE，
∴△BEC是等腰直角三角形，连接EF，
∴EF⊥BC，EF＝BC＝AD＝a，
∴S矩形ABCD＝AD·EF＝a·a＝a2.
∴矩形ABCD的面积为a2.
17．证明：(1)在△ADE与△CDE中，
∵AD＝CD，DE＝DE，EA＝EC，
∴△ADE≌△CDE，
∴∠ADE＝∠CDE.
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBD，
∴∠CDE＝∠CBD，
∴BC＝CD.
∵AD＝CD，
∴BC＝AD.
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
∵AD＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
(2)∵BE＝BC，
∴∠BCE＝∠BEC.
∵∠CBE∶∠BCE＝2∶3，
∴∠CBE＝180°×＝45°.
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE＝∠CBE＝45°，
∴∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是正方形．
本章中考演练
一、选择题
1．2018·成都在平面直角坐标系中，点P(－3，－5)关于原点对称的点的坐标是( )
A．(3，－5) B．(－3，5)
C．(3，5) D．(－3，－5)
2．2018·扬州在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点M的坐标是( )
A．(3，－4) B．(4，－3)
C．(－4，3) D．(－3，4)
3．2017·邵阳如图3－Y－1所示，三架飞机P，Q，R保持编队飞行，某时刻在坐标系中的坐标分别为(－1，1)，(－3，1)，(－1，－1)，30秒后，飞机P飞到P′(4，3)的位置，则飞机Q，R的位置Q′，R′分别为( )
图3－Y－1
A．Q′(2，3)，R′(4，1) B．Q′(2，3)，R′(2，1)
C．Q′(2，2)，R′(4，1) D．Q′(3，3)，R′(3，1)
4.2018·济宁如图3－Y－2，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，点C的坐标为(－1，0)，AC＝2.将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向右平移3个单位，则变换后点A的对应点的坐标是( )
图3－Y－2
A．(2，2) B．(1，2)
C．(－1，2) D．(2，－1)
5．2018·青岛如图3－Y－3，将线段AB绕点P按顺时针方向旋转90°，得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别是点A′，B′，则点A′的坐标是( )
图3－Y－3
A．(－1，3) B．(4，0)
C．(3，－3) D．(5，－1)
二、填空题
6．2018·南京在平面直角坐标系中，点A的坐标是(－1，2)，作点A关于y轴的对称点，得到点A′，再将点A′向下平移4个单位，得到点A″，则点A″的坐标是(________，________)．
7．2018·达州如图3－Y－4，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A(－6，0)，C(0，2 )．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为________．
图3－Y－4
三、解答题
8．2017·达州探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，可通过构造直角三角形利用图3－Y－5①得到结论：P1P2＝，他还利用图②证明了线段P1P2的中点P(x，y)的坐标公式：x＝，y＝.
图3－Y－5
(1)请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程．
(2)a.已知点M(2，－1)，N(－3，5)，则线段MN的长度为________；
b．直接写出以点A(2，2)，B(－2，0)，C(3，－1)，D为顶点的平行四边形的顶点D的坐标：________．
详解详析
1.[解析] C 因为关于原点对称的点的坐标特点是横、纵坐标均互为相反数，即P（x，y）关于原点对称的点P′（－x，－y），所以P（－3，－5）关于原点对称的点的坐标为（3，5）.故选C.
2.[解析] C 设点M的坐标为（x，y），∵点M在第二象限内，则x＜0，y＞0；点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，∴x＝－4，y＝3.故选C.
3.[解析] A 由点P（－1，1）到点P′（4，3），知编队需向右平移5个单位，再向上平移2个单位，∴点Q（－3，1）的对应点Q′的坐标为（2，3），点R（－1，－1）的对应点R′的坐标为（4，1）.故选A.
4.[解析] A 将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则图形中的点A也先绕点C顺时针旋转90°，再向右平移3个单位，因此，点A也先绕点C顺时针旋转90°后对应点的坐标为（－1，2），再向右平移3个单位后对应点的坐标为（2，2）.故选A.
5.[解析] D 如图，连接AP，作A′P⊥AP于点P，并使得A′P＝AP，则A′为求作的点，由图形可得出点A′的坐标为（5，－1）.故选D.
6.[答案] 1 －2
[解析] 点A（－1，2）关于y轴的对称点A′的坐标为（1，2），再将点A′向下平移4个单位，得到点A″的坐标为（1，－2）.
7.[答案] （－2 ，6）
[解析] 如图，过点B1，作B1，E⊥y轴于点E.∵矩形OABC的顶点A（－6，0），C（0，2 ）.∴OA＝6，AB＝OC＝2 .OB＝＝4 ＝2AB，
∴∠AOB＝30°.
在Rt△DOC1中，∵∠DOC1＝30°，OC1＝2 ，
∴OD＝4，DC1＝2.∵B1C1＝6，∴B1D＝4.
在Rt△DEB1中，∵∠DB1E＝30°，
∴DE＝2，B1E＝2 .在Rt△OC1D中，OC1＝2 ，∠C1OD＝30°，
∴OD＝4，∴OE＝6.∴B1（－2 ，6）.
8.解：（1）证明：∵P1（x1，y1），P2（x2，y2），
∴Q1Q2＝OQ2－OQ1＝x2－x1，
∴Q1Q＝，
∴OQ＝OQ1＋Q1Q＝x1＋＝.
∵P为P1，P2的中点，H为P1G的中点，
∴PH＝＝.P1Q1＝y1，
∴PQ＝y1＋＝.
即线段P1P2的中点P（x，y）的坐标公式为x＝，y＝.
（2）a.∵M（2，－1），N（－3，5），
∴MN＝＝.
b.∵A（2，2），B（－2，0），C（3，－1），
∴当AB为平行四边形的对角线时，其对称中心的坐标为（0，1）.
设D（x，y），
则x＋3＝0，y＋（－1）＝2，
解得x＝－3，y＝3，
∴此时点D的坐标为（－3，3）.
当AC为平行四边形的对角线时，同理可求得点D的坐标为（7，1），
当BC为平行四边形的对角线时，同理可求得点D的坐标为（－1，－3）.
综上可知，点D的坐标为（－3，3）或（7，1）或（－1，－3）.故答案为（－3，3）或（7，1）或（－1，－3）.
本章中考演练
一、选择题
1．2018·内江已知函数y＝，则自变量x的取值范围是( )
A．－1＜x＜1 B．x≥－1且x≠1
C．x≥－1 D．x≠1
2．2018·常德若一次函数y＝(k－2)x＋1的函数值y随x的增大而增大，则( )
A．k＜2 B．k＞2
C．k＞0 D．k＜0
3．2018·湘潭若b＞0，则一次函数y＝－x＋b的图象大致是( )
图4－Y－1
4．2018·呼和浩特若以二元一次方程x＋2y－b＝0的解为坐标的点(x，y)都在直线y＝－x＋b－1上，则常数b的值为( )
A. B．2 C．－1 D．1
5．2018·镇江甲、乙两地相距80 km，一辆汽车上午9：00从甲地出发驶往乙地，匀速行驶了一半的路程后将速度提高了20 km/h，并继续匀速行驶至乙地，汽车行驶的路程y(km)与时间x(h)之间的函数关系如图4－Y－2所示，该车到达乙地的时间是当天上午( )
图4－Y－2
A．10∶35 B．10∶40
C．10∶45 D．10∶50
6．2017·怀化一次函数y＝－2x＋m的图象经过点P(－2，3)，且与x轴、y轴分别交于点A，B，则△AOB的面积是( )
A. B. C．4 D．8
二、填空题
7．2018·安顺函数y＝中自变量x的取值范围是________．
8．2018·邵阳如图4－Y－3所示，一次函数y＝ax＋b的图象与x轴相交于点(2，0)，与y轴相交于点(0，4)，结合图象可知，关于x的方程ax＋b＝0的解是________．
图4－Y－3
9．2018·天津将直线y＝x向上平移2个单位，平移后直线的表达式为________．
10．2018·济宁在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝－2x＋1的图象经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若x1＜x2，则y1________y2(填“＞”“＜”或“＝”)．
11．2018·白银如图4－Y－4，一次函数y＝－x－2与y＝2x＋m的图象交于点P(n，－4)，则关于x的不等式组的解集为________．
图4－Y－4
12．2018·重庆A卷A，B两地相距的路程为240千米，甲、乙两车沿同一线路从A地出发到B地，分别以一定的速度匀速行驶．甲车先出发40分钟后，乙车才出发．途中乙车发生故障，修车耗时20分钟，随后，乙车车速比发生故障前减少了10千米/时(仍保持匀速前行)，甲、乙两车同时到达B地．甲、乙两车相离的路程y(千米)与甲车行驶的时间x(时)之间的函数关系如图4－Y－5所示，则乙车修好时，甲车距B地还有________千米．
图4－Y－5
13．2017·宜宾规定：[x]表示不大于x的最大整数，(x)表示不小于x的最小整数，[x)表示最接近x的整数(x≠n＋0.5，n为整数)，例如：[2.3]＝2，(2.3)＝3，[2.3)＝2.则下列说法正确的是________．(写出所有正确说法的序号)
①当x＝1.7时，[x]＋(x)＋[x)＝6；
②当x＝－2.1时，[x]＋(x)＋[x)＝－7；
③方程4[x]＋3(x)＋[x)＝11的解为1＜x＜1.5；
④当－1＜x＜1时，函数y＝[x]＋(x)＋x的图象与正比例函数y＝4x的图象有两个交点．
三、解答题
14．2018·怀化某学校积极响应怀化市“三城同创”的号召，绿化校园，计划购进A，B两种树苗共21棵，已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元．设购买A种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元．
(1)求y与x的函数表达式；
(2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需的费用．
15．2018·盐城学校与图书馆在同一条笔直的道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地．两人之间的距离y(米)与时间t(分)之间的函数关系如图4－Y－6所示．
(1)根据图象信息，当t＝________分钟时甲、乙两人相遇，甲的速度为________米/分；
(2)求出线段AB所表示的函数表达式．
图4－Y－6
16．2018·天津某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证100元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费5元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费9元．
设小明计划今年夏季游泳次数为x(x为正整数)．
(1)根据题意，填写下表：
游泳次数
10
15
20
…
x
方式一的总费用(元)
150
175
…
方式二的总费用(元)
90
135
…
(2)若小明计划今年夏季游泳的总费用为270元，选择哪种付费方式，他游泳的次数比较多？
(3)当x>20时，小明选择哪种付费方式更合算？并说明理由．
详解详析
1.[解析] B 根据题意，得解得所以自变量x的取值范围是x≥－1且x≠1.故选B.
2.B
3.[解析] C 根据一次函数y＝kx＋b中，k＞0时，图象从左到右上升；k＜0时，图象从左到右下降；b＞0时，图象与y轴的交点在x轴上方；b＝0时，图象与y轴的交点在原点；b＜0时，图象与y轴的交点在x轴下方.因为－1＜0，所以图象从左到右下降.因为b＞0，所以图象与x轴交于y轴上方.故选C.
4.[解析] B 由以二元一次方程x＋2y－b＝0的解为坐标的点（x，y）都在直线y＝－x＋b－1上，化简二元一次方程得y＝－x＋b，即b＝b－1，解得b＝2.故选B.
5.[解析] B 由图象知，汽车行驶前一半路程（40 km）所用的时间是1 h，所以速度为40÷1＝40（km/h），于是行驶后一半路程的速度是40＋20＝60（km/h），所以行驶后一半路程所用的时间为40÷60＝（h），因为h＝×60＝40（min），所以该车一共行驶了1小时40分钟到达乙地，所以到达乙地的时间是当天上午10：40.
6.[解析] B ∵一次函数y＝－2x＋m的图象经过点P（－2，3），∴3＝4＋m，解得m＝－1，∴y＝－2x－1.∵当x＝0时，y＝－1，∴图象与y轴交于点B（0，－1）.∵当y＝0时，x＝－，∴图象与x轴交于点A（－，0），∴△AOB的面积为×1×＝.故选B.
7.[答案] x＞－1
[解析] 根据二次根式的意义，被开方数是非负数，以及分母不等于0，得x＋1＞0，解得x＞－1.
8.[答案] x＝2
[解析] 考查一元一次方程与一次函数的关系，即关于x的方程ax＋b＝0的解就是一次函数y＝ax＋b的图象与x轴相交于点（2，0）的横坐标，故ax＋b＝0的解为x＝2.
9.[答案] y＝x＋2
[解析] 由平移规律，直线y＝x向上平移2个单位，则平移后的直线为y＝x＋2.
故答案为y＝x＋2.
10.[答案] ＞
[解析] 一次函数y＝kx＋b，当k＞0时，y随x的增大而减大；当k＜0时，y随x的增大而减小.因为y＝－2x＋1中的k＝－2＜0，所以若x1＜x2，则y1＞y2.
11.[答案] －2[解析] ∵y＝－x－2过点P（n，－4），∴－n－2＝－4，解得n＝2，∴点P的坐标是（2，－4）.
观察图象，知2x＋m<－x－2的解集为x<2.
解不等式－x－2<0可得x>－2，∴不等式组的解集是－212.[答案] 90
[解析] 由图可知甲车先出发40分钟行驶30千米，速度为30÷＝45（km/h），2 h时两车相距10 km，从而乙车发生故障前的速度为（45×2－10）÷（2－）＝80÷＝60（km/h），而乙车发生故障维修后的速度为50 km/h.设乙车维修后行驶了x h，则其维修前行驶了（－1－x）h，根据题意，得60（－x）＋50x＝240，解得x＝2，从而45×2＝90，即乙车修好时，甲车距B地还有90千米.
13.[答案] ②③
[解析] ①当x＝1.7时，[x]＋（x）＋[x）＝[1.7]＋（1.7）＋[1.7）＝1＋2＋2＝5，故①错误.②当x＝－2.1时，[x]＋（x）＋[x）＝[－2.1]＋（－2.1）＋[－2.1）＝（－3）＋（－2）＋（－2）＝－7，故②正确.③设x＝n＋m（其中n为整数，014.解：（1）由题知y＝90x＋70（21－x），整理得y与x的函数表达式为y＝20x＋1470（0≤x≤21，且x为整数）.
（2）由（1）知y＝20x＋1470，
∴y随x的增大而增大.
∵21－x＜x，
∴x＞10.5，
∴x的最小整数值为11，
∴当x＝11时，y最小＝20×11＋1470＝1690，此时21－x＝10.
综上，费用最省的方案是：购买A种树苗11棵，购买B种树苗10棵，该方案所需费用为1690元.
15.解：（1）24 40
（2）v甲＋v乙＝2400÷24＝100，
∵v甲＝40（米/分），
∴v乙＝60（米/分）.
∵2400÷60＝40（分），40×40＝1600（米），
∴A（40，1600），由图可知B（60，2400）.
设线段AB所表示的函数表达式为y＝kt＋b（k≠0），
将点A，B的坐标代入表达式得，
解得
∴线段AB所表示的函数表达式为y＝40t（40≤t≤60）.
16.解：（1）200 5x＋100 180 9x
（2）方式一：5x＋100＝270，解得x＝34.
方式二：9x＝270，解得x＝30.
∵34>30，∴小明选择方式一游泳次数比较多.
（3）设方式一与方式二的总费用的差为y元.
则y＝（5x＋100）－9x，
即y＝－4x＋100.
当y＝0时，即－4x＋100＝0，得x＝25.
∴当x＝25时，小明选择这两种方式一样合算.
∵－4<0，
∴y随x的增大而减小.
∴当200，小明选择方式二更合算；
当x>25时，有y<0，小明选择方式一更合算.
