第1节 运动的合成与分解
学 习 目 标
知 识 脉 络
1.知道合运动、分运动及运动的独立性．(重点、难点)
2．理解运动的合成与分解方法——平行四边形定则．(重点)
3．会用平行四边形定则分析速度、位移的合成与分解问题．(难点)
运 动 的 独 立 性
1．合运动与分运动
如果一个物体同时参与几个运动，那么这个物体的实际运动叫作合运动，参与的几个运动叫作这个合运动的分运动．
2．运动的独立性
一个物体同时参与几个运动，各方向上的运动互不影响，各自独立，都遵守各自相应的规律．
1．竖直方向的分运动与水平方向上的分运动互不影响．(√)
2．根据运动的独立性，合运动和分运动时间可有差别．(×)
3．合运动是曲线运动，分运动也一定是曲线运动．(×)
如图3-1-1所示，降落伞在匀速下降过程中遇到水平方向吹来的风，若风速越大，则降落伞下落的时间变长吗？
图3-1-1
【提示】 根据运动的独立性，水平方向的运动不影响竖直方向上的运动，降落伞下落的时间不变．
探讨1：如图3-1-2，将某一物体水平抛出后，物体将参与水平方向的运动和竖直方向的运动，当水平方向有风和无风相比较，竖直向下的加速度是否变化？
图3-1-2
【提示】 不变．根据运动的独立性，当水平方向有风时仅影响水平方向的运动，而其他分运动不受干扰，竖直方向运动性质不变，即加速度不变．
探讨2：风雨大作时，我们会看到大雨倾斜而下．你知道哪个运动是雨滴的合运动吗？这个合运动可以分解为哪两个分运动？
【提示】 雨滴的实际运动即倾斜方向的运动就是雨滴的合运动，合运动可以分解为竖直方向的运动和水平方向随风的运动这两个分运动．
1．合运动与分运动的判定：在一个具体运动中，物体的实际运动是合运动，合运动往往是物体相对于静止地面的运动或相对于静止参考系的运动．
2．合运动与分运动的理解
(1)合运动与分运动的关系．
等时性
各个分运动与合运动总是同时开始，同时结束，经历时间相等(不同时的运动不能合成)
独立性
一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，互不影响
等效性
各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果
同体性
各分运动与合运动都是同一物体参与的运动
(2)两点注意．
①物体实际运动的方向是合速度的方向．
②只有同时运动的两个分运动才能合成．
1．关于运动的独立性，下列说法正确的是( )
A．运动是独立的，是不可分解的
B．合运动同时参与的几个分运动是互不干扰、互不影响的
C．合运动和分运动是各自独立的，是没有关系的
D．各分运动是各自独立的，是不能合成的
【解析】 运动的独立性是指一个物体同时参与的几个分运动是各自独立、互不影响的，故只有选项B正确．
【答案】 B
2.小船以一定的速率垂直河岸向对岸划去，当水流匀速时，它渡河的时间、发生的位移与水速的关系是( )
A．水速小时，位移小，时间亦短
B．水速大时，位移大，时间亦长
C．水速大时，位移大，但时间不变
D．位移、时间大小与水速大小无关
【解析】 小船渡河时参与了顺水漂流和垂直河岸横渡两个分运动，由运动的独立性原理和等时性，小船的渡河时间等于河的宽度与垂直河岸的分速度之比，由于小船以一定的速率垂直河岸向对岸划去，故渡河时间一定．水速大，水流方向的分位移就大，合位移也就大，反之则合位移小．
【答案】 C
1．复杂的运动可以分解为比较简单的两个分运动，分运动与合运动可以等效代替．
2．各个方向的分运动具有独立性、等时性，即互不影响，运动时间相同．
运 动 合 成 与 分 解 的 方 法
1．运动的合成
由已知的分运动求合运动的过程．
2．运动的分解
由已知的合运动求分运动的过程．
3．运动的合成与分解实质是对物体的速度、加速度、位移等运动量进行合成与分解．
4．运动的合成与分解遵从平行四边形定则．
(1)如果两个分运动方向在同一直线上，求合运动时直接进行代数加减．
(2)如果两个分运动方向不在同一条直线上，而是成一定夹角，根据平行四边形定则进行合成与分解．
1．运动的合成与分解均遵从平行四边形定则．(√)
2．合运动的速度、位移大小一定大于分运动的速度、位移大小．(×)
3．合运动的位移一定等于各分运动位移的代数和．(×)
下雨时，如果没有风，雨滴是竖直下落的，而冒雨骑车的人为什么总觉得雨滴是向后倾斜的？当车速增大时，觉得雨滴将有什么变化？
【提示】 人感觉到雨滴的速度是雨滴相对于人的速度v雨人，v雨地是v雨人和v人地的合速度，如图所示，所以人前进时，感觉雨滴向后倾斜，而且由图可知，当车速增大时，雨相对于人的速度增大，且倾斜得更厉害．
如图3-1-3所示，在军事演习中，飞机常常一边匀加速收拢绳索提升战士，一边沿着水平方向匀速飞行，请思考：
图3-1-3
探讨1：战士在水平方向上和竖直方向上分别做什么运动？
【提示】 战士水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动．
探讨2：战士的合速度的大小、合位移的大小如何计算？战士的运动轨迹是直线还是曲线？
【提示】 合速度、合位移都可以应用平行四边形定则计算．曲线．
1．合运动与分运动的求解方法
不管是运动的合成还是分解，其实质是对运动的位移s、速度v和加速度a的合成与分解．因为位移、速度、加速度都是矢量，所以求解时遵循的原则是矢量运算的平行四边形定则(或三角形定则)．
2．互成角度的两个直线运动的合成
分 运 动
合 运 动
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动
匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
沿合加速度方向的匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀加速直线运动(其初速度v1和v2的矢量和为v，加速度a1和a2的矢量和为a)
v和a在同一条直线上时，物体做匀变速直线运动
v和a不在同一条直线上时，物体做匀变速曲线运动
3．如图3-1-4所示，竖直放置且两端封闭的玻璃管内注满清水，水中放一个用红蜡做成的圆柱体，玻璃管倒置时圆柱体能匀速运动．已知圆柱体实际运动的速度是5 cm/s，θ＝30°，则玻璃管水平运动的速度是( )
图3-1-4
A．5 cm/s B．4.33 cm/s
C．2.5 cm/s D．无法确定
【解析】 将实际速度v分解如图，则玻璃管的水平速度vx＝vcos θ＝5cos 30° cm/s＝5× cm/s＝4.33 cm/s，B正确．
【答案】 B
4.如图3-1-5所示，在一张白纸上放置一把直尺，沿直尺的边缘放置一块直角三角板．将直角三角板沿刻度尺水平向右匀速运动，同时将一支铅笔从直角三角板直角边的最下端向上运动，而且向上的速度越来越大，则铅笔在纸上留下的轨迹可能是( )
图3-1-5
A B C D
【解析】 铅笔在垂直于直尺方向向上加速运动，沿着直尺方向匀速运动，则铅笔的运动轨迹为曲线，向着加速度方向弯曲，选项C正确，其他选项均错．
【答案】 C
5．河宽d＝200 m，水流速度v1＝3 m/s，船在静水中的速度v2＝5 m/s.求：
(1)欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河？最短时间是多少？船经过的位移多大？
(2)欲使船航行距离最短，船应怎样渡河？渡河时间多长？
【解析】 (1)当船头指向对岸时，渡河时间最短，如图甲所示．
甲
tmin＝＝40 s
船经过的位移大小
x＝vtmin＝tmin≈233 m.
(2)欲使船航行距离最短，需使船的实际位移(合位移)与河岸垂直，设此时船的航行速度v2与岸成θ角，如图乙所示．
乙
则cos θ＝＝.
v′＝＝4 m/s
渡河时间t′＝＝50 s.
【答案】 (1)船头指向对岸 40 s 233 m
(2)船头指向上游，与岸所成角的余弦值为 50 s
小船渡河问题
1．小船渡河时间仅与河宽和船沿垂直于河岸方向上的速度大小有关，与河水流动的速度无关．
2．小船渡河问题，多是求渡河最短时间或是渡河最小位移，需牢记这两类渡河问题的解题关键：
(1)船头与河岸垂直时渡河时间最短；
(2)船随水向下游运动速度与水速相同；
(3)船的合速度与河岸垂直时能到达正对岸．
第1节 运动的合成与分解
学习目标
核心提炼
1.知道什么是合运动和分运动。
2.理解运动的独立性，掌握运动合成与分解的方法。
3.能用平行四边形定则分析运动的合成与分解
4个概念——合运动、分运动、运动的合成、运动的分解
1个规律——运动的独立性
1个方法——运动合成与分解的方法
一、运动的独立性
阅读教材第47～48页“运动的独立性”部分，知道合运动与分运动及运动的独立性。
1.合运动与分运动：如果一个物体同时参与几个运动，那么物体实际发生的运动就叫做那几个运动的合运动。那几个运动就叫做这个实际运动的分运动。
2.运动的独立性：一个物体同时参与几个运动，各方向上的运动互不影响，各自独立，都遵守各自相应的规律。
思维拓展
如图1所示，一名92岁的南非妇女从距地面大约2 700米的飞机上，与跳伞教练绑在一起跳下，成为南非已知的年龄最大的高空跳伞者。假设没有风的时候，落到地面所用的时间为t，而实际上在下落过程中受到了水平方向的风的影响，则实际下落所用时间________(“大于”、“等于”、“小于”)t。
图1
解析 根据运动的独立性，水平风力并不影响跳伞者在竖直方向的运动规律，有风与无风的情况下，下落时间均为t。
答案 等于
二、运动合成与分解的方法
阅读教材第49～50页“运动合成与分解的方法”部分，知道运动的合成与分解遵从平行四边形定则。
1.运动的合成：由已知的分运动求合运动的过程。
2.运动的分解：由已知的合运动求分运动的过程。
3.运动的合成与分解实质是对物体的速度、加速度、位移等物理量进行合成与分解。
4.运动的合成与分解遵从平行四边形定则。
(1)如果两个分运动方向在同一直线上，求合运动时直接进行代数加减。
(2)如果两个分运动方向不在同一直线上，而是成一定夹角，根据平行四边形定则进行合成与分解。
思考判断
(1)合速度就是两分速度的代数和。( )
(2)合速度不一定大于任一分速度。( )
(3)合位移一定大于任意一个分位移。( )
(4)运动的合成就是把两个分运动加起来。( )
(5)运动的分解就是把一个运动分成两个完全相同的运动。( )
(6)运动的合成与分解遵循平行四边形定则。( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√
运动的合成与分解
[要点归纳]
1.合运动与分运动的四个特性
(1)等效性：各分运动的共同效果与合运动的效果相同。
(2)等时性：各分运动与合运动同时发生、同时结束，时间相同。
(3)独立性：各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响。
(4)同体性：各分运动与合运动是同一物体的运动。
2.合运动与分运动的判定方法
在一个具体运动中物体实际发生的运动往往是合运动。这个运动一般就是相对于地面发生的运动，或者说是相对于静止参考系的运动。
3.合运动与分运动的求解方法
不管是运动的合成还是分解，其实质是对运动的位移s、速度v和加速度a的合成与分解。因为位移、速度、加速度都是矢量，所以求解时遵循的原则是矢量运算的平行四边形定则(或三角形定则)。
4.分解运动的方法
(1)一般来说，在没有限制的情况下，一个合速度可以分解成无数组分速度。然而在实际问题中，分速度的大小、方向是客观的，不能随意确定。因此对速度进行分解应建立在对物体运动效果进行分析的基础上。
(2)正确地进行速度分解必须解决好两个问题
①确认合速度，它应是物体的实际速度。
②确定合速度的实际运动效果，从而确定分速度的方向。常常根据产生的位移来确定运动效果。
[精典示例]
[例1] 2016年1月，国际救援组织为被基地组织控制的伊拉克难民投放物资，直升机空投物资时，可以停留在空中不动。设投出的物资离开飞机后由于降落伞的作用在空中能匀速下落，无风时落地速度为5 m/s。若飞机停留在离地面100 m高处空投物资，由于水平风的作用，使降落伞和物资获得1 m/s的水平向北的速度，求：
图2
(1)物资在空中运动的时间；
(2)物资在落地时速度的大小；
(3)物资在下落过程中水平方向移动的距离。
解析 如图所示，物资的实际运动可以看作是竖直方向的匀速直线运动和水平方向的匀速直线运动两个分运动的合运动。
(1)分运动与合运动具有等时性，故物资实际运动的时间与竖直方向分运动的时间相等。
所以t＝＝ s＝20 s。
(2)物资落地时vy＝5 m/s，vx＝1 m/s，
由平行四边形定则得：v＝＝ m/s＝ m/s。
(3)物资水平方向的位移大小为：s＝vxt＝1×20 m＝20 m。
答案 (1)20 s (2) m/s (3)20 m
三步走求解合运动或分运动
(1)根据题意确定物体的合运动与分运动。
(2)根据平行四边形定则作出矢量合成或分解的平行四边形。
(3)根据所画图形求解合运动或分运动的参量，若两个分运动相互垂直，则合速度的大小v＝，合位移的大小s＝。
[针对训练1] 如图3所示，竖直放置的玻璃管中注满清水，且其两端均封闭，玻璃管内有一个红蜡块能在水中以v1＝0.1 m/s的速度匀速上浮。红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管水平向右匀速运动，测得红蜡块的实际运动方向与水平方向的夹角为30°。则：
图3
(1)玻璃管水平方向的移动速度v2约为________m/s。
(2)若玻璃管的长度为1.0 m，则当红蜡块从玻璃管底端上浮到顶端的过程中，玻璃管水平运动的距离约为________m。
解析 (1)由矢量关系得tan 30°＝，所以v2＝≈0.17 m/s。
(2)竖直方向有y＝1.0 m＝v1t1，又t1＝t2，水平方向有x＝v2t2，所以x＝
y＝1.7 m。
答案 (1)0.17 (2)1.7
合运动的性质
[要点归纳]
1.合运动的性质判断
(1)加速度(或合外力)
(2)加速度(或合外力)与速度方向
2.互成角度的两个直线运动的合成
分运动
合运动
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动
匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
沿合加速度方向的匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀加速直线运动(其初速度v1和v2的矢量和为v，加速度a1和a2的矢量和为a)
v和a在同一条直线上时，物体做匀变速直线运动
v和a不在同一直线上时，物体做匀变速曲线运动
[精典示例]
[例2] 物体在直角坐标系xOy所在的平面内由O点开始运动，其沿坐标轴方向的两个分速度随时间变化的图象如图4所示，则对该物体运动过程的描述正确的是( )
图4
A.物体在0～3 s做直线运动 B.物体在3～4 s做直线运动
C.物体在3～4 s做曲线运动 D.物体在0～3 s做变加速运动
解析 物体在0～3 s内，x方向做vx＝4 m/s的匀速直线运动，y方向做初速度为0，加速度ay＝1 m/s2的匀加速直线运动，合初速度v0＝vx＝4 m/s，合加速度a＝ay＝1 m/s2，所以物体的合运动为匀变速曲线运动，如图甲所示，A、D错误。
物体在3～4 s内，x方向做初速度vx＝4 m/s，加速度ax＝－4 m/s2的匀减速直线运动，y方向做初速度vy＝3 m/s，ay＝－3 m/s2的匀减速直线运动，合初速度大小v＝5 m/s，合加速度大小a＝－5 m/s2，v、a方向恰好相反，所以物体的合运动为匀减速直线运动，如图乙所示，B正确，C错误。
答案 B
合运动的运动性质及轨迹的判断方法
(1)根据两分运动的加速度应用平行四边形定则求合加速度，判定合加速度是否变化，若变化，是变加速运动，若不变，一定是匀变速运动。
(2)根据两分运动的初速度应用平行四边形定则求合初速度。
(3)根据合初速度与合加速度的方向关系判定轨迹。若合加速度恒定不变，合初速度与合加速度在同一直线上，做匀变速直线运动；合初速度与合加速度不在同一直线上，做匀变速曲线运动。若合加速度变化，则根据合加速度的变化情况具体分析运动轨迹。
[针对训练2] (多选)在光滑水平面上有一质量为2 kg的物体，受几个共点力作用做匀速直线运动。现突然将与速度反方向的2 N的力水平旋转90°，则关于物体运动情况的叙述正确的是( )
A.物体做速度大小不变的曲线运动
B.物体做加速度为 m/s2的匀变速曲线运动
C.物体做速度越来越大的曲线运动
D.物体做非匀变速曲线运动，其速度越来越大
解析 物体原来所受合力为零，当将与速度反方向的2 N的力水平旋转90°后，其受力如图所示，其中Fx＝Fy＝2 N，F是Fx、Fy的合力，即F＝2 N，且大小、方向都不变，是恒力，那么物体的加速度为a＝＝ m/s2＝ m/s2恒定。又因为F与v夹角θ＜90°，所以物体做速度越来越大、加速度恒为 m/s2的匀变速曲线运动，故正确答案是B、C两项。
答案 BC
小船渡河问题
[要点归纳]
1.小船参与的两个分运动
(1)船相对水的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船头的指向相同。
(2)船随水漂流的运动，它的方向与河岸平行。
2.两类最值问题
图5
(1)渡河时间最短问题
由于水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分速度。因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可。由图5可知，t短＝，此时船渡河的位移s＝，位移方向满足tan θ＝。
(2)渡河位移最短问题
情况一：v水＜v船
最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝，船头与上游河岸夹角θ满足
v船cos θ＝v水，如图6所示。
图6
情况二：v水＞v船
如图7所示，以v水矢量的末端为圆心，以v船的大小为半径作圆，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为α)，此时航程最短。由图可知sin α＝，最短航程为s＝＝d。此时船头指向应与上游河岸成θ′角，且cos θ′＝。
图7
[精典示例]
[例3] 小船在200 m宽的河中横渡，水流速度是2 m/s，小船在静水中的航速是4 m/s。求：
(1)要使小船渡河耗时最少，应如何航行？
(2)要使小船航程最短，应如何航行？
解析 (1)如图甲所示，船头始终正对河对岸航行时耗时最少，即最短时间tmin＝＝ s＝50 s。
(2)如图乙所示，航程最短为河宽d，即应使v合的方向垂直于河对岸，故船头应偏向上游，与河岸成α角，有
cos α＝＝，解得α＝60°。
答案 (1)船头正对河岸航行耗时最少，最短时间为50 s。
(2)船头偏向上游，与河岸成60°角，最短航程为200 m。
对小船渡河问题，要注意以下三点：
(1)→常对某一分运动进行研究求解，一般用垂直河岸的分运动求解。
(2)→可画出小船的速度分解图进行分析。
(3)→要对小船的合运动进行分析，必要时画出位移合成图。
[针对训练3] 如图8所示，一艘小船要从O点渡过一条两岸平行、宽度为d＝100 m的河流，已知河水流速为v1＝4 m/s，小船在静水中的速度为v2＝2 m/s，B点距正对岸的A点s0＝173 m。下面关于该船渡河的判断，其中正确的是( )
图8
A.小船过河的最短航程为100 m
B.小船过河的最短时间为25 s
C.小船可以在对岸A、B两点间任意一点靠岸
D.小船过河的最短航程为200 m
解析 因为水流速度大于船在静水中的速度，所以合速度的方向不可能垂直河岸，则小船不可能到达正对岸。如图所示，当合速度的方向与相对水的速度的方向垂直时，合速度的方向与河岸的夹角最大，渡河航程最小；根据几何关系，则有：＝，因此最短的航程是s＝d＝×100 m＝200 m，故A、C错误，D正确；当船在静水中的方向与河岸垂直时，渡河时间最短，最短时间t＝＝ s＝50 s，故B错误。
答案 D
“绳联物体”的速度分解问题
[要点归纳]
“绳联物体”指物体拉绳(杆)或绳(杆)拉物体的问题(下面为了方便，统一说“绳”)：
(1)物体的实际速度一定是合速度，分解时两个分速度方向应取沿绳方向和垂直绳方向。
(2)由于绳不可伸长，一根绳两端物体沿绳方向的速度分量相等。
[精典示例]
[例4] 如图9所示，
图9
汽车甲以速度v1拉汽车乙前进，乙的速度为v2，甲、乙都在水平面上运动，拉汽车乙的绳子与水平方向夹角为α，求v1∶v2。
解析 将乙车实际运动的速度分解为沿绳方向和垂直于绳子方向，如图。在沿绳方向的分速度等于汽车甲的速度。所以v2cos α＝v1。则v1∶v2＝cos α∶1。
答案 cos α∶1
[针对训练4] A、B两物体通过一根跨过定滑轮的轻绳相连放在水平面上，现物体A以v1的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别是α、β时，如图10所示。物体B的运动速度vB为(绳始终有拉力)( )
图10
A. B.
C. D.
解析 设物体B的运动速度为vB，此速度为物体B合运动的速度。根据它的实际运动效果，两分运动分别为沿绳收缩方向的分运动，设其速度为v绳B；垂直绳方向的圆周运动，速度分解如图甲所示，则有vB＝ ①；物体A的合运动对应的速度为v1，它也产生两个分运动效果，分别是沿绳伸长方向的分运动，设其速度为v绳A；垂直绳方向的圆周运动，它的速度分解如图乙所示，则v绳A＝v1cos α ②；由于对应同一根绳，其长度不变，故v绳B＝v绳A ③；根据①②③解得vB＝，选项D正确。
答案 D
1.(对分运动与合运动的理解)(多选)关于运动的合成，下列说法中正确的是( )
A.合运动的速度一定比每一个分运动的速度大
B.合运动的时间一定比每一个分运动的时间大
C.分运动的时间一定与它们合运动的时间相等
D.合运动的速度可以比每个分运动的速度小
解析 根据平行四边形定则，知合速度可能比分速度大，可能比分速度小，可能与分速度相等，故A错误；分运动与合运动具有等时性，故B错误。
答案 CD
2.(运动的独立性 运动的合成)某著名极限运动员在美国新墨西哥州上空，从距地面高度约3.9万米的氦气球携带的太空舱上跳下，在最后几千英尺打开降落伞，并成功着陆。假设降落伞在最后的匀速竖直下降过程中遇到水平方向吹来的风，若风速越大，则降落伞( )
A.下落的时间越短 B.下落的时间越长
C.落地时速度越小 D.落地时速度越大
解析 降落伞在最后的匀速竖直下降过程中遇到水平方向吹来的风，竖直方向上仍然做匀速直线运动，根据分运动与合运动具有等时性，则下落的时间不变，故A、B错误；风速越大，降落伞在水平方向上的分速度越大，根据平行四边形定则，知落地的速度越大，故C错误，D正确。
答案 D
3.(绳联物体的速度分解问题)如图11所示，重物M沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车沿斜面升高。当滑轮右侧的绳与竖直方向成θ角，且重物下滑的速率为v时，小车的速率为( )
图11
A.vsin θ B.
C.vcos θ D.
解析 重物以速率v沿竖直杆下滑，将重物的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，沿绳子方向的分速度等于绳速，如图所示。绳子速率v绳＝vcos θ，而绳子速率等于小车的速率，则有小车的速率v车＝v绳＝vcos θ。故选C。
答案 C
4.(运动的合成与分解)2016年8月云南曲靖市水上飞机观光旅游基地将正式开放，届时游客可以在波光粼粼的水面上自由翱翔。假如水上飞机表演时，飞机的航线要严格地从东到西，如果飞机的飞行速度(即飞机不受风力影响下的自由飞行速度)是80 km/h，风从南面吹来，风的速度为40 km/h，问：
(1)飞机应朝哪个方向飞行？
(2)如果飞行区域长达4 km，则飞行所需的时间是多少？
解析 (1)如图所示，由合速度与分速度的关系可得飞机飞行速度方向与正西方向的夹角θ的正弦值sin θ＝＝＝(v1是风速，v2是飞机的飞行速度)，得θ＝30°，故飞机应朝西偏南30°方向飞行。
(2)飞机的合速度v＝v2cos 30°＝40 km/h。
所需时间t＝＝ h＝0.1 h。
答案 (1)朝西偏南30°方向飞行 (2)0.1 h
5.(小船渡河问题)(2018·无锡高一检测)一条河宽为L＝900 m，水的流速为v＝50 m/s，并在下游形成壮观的瀑布。一艘游艇从距离瀑布水平距离为l＝1 200 m的上游渡河，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
(1)为了不被冲进瀑布，游艇船头指向应如何航行速度最小，最小值为多少？
(2)在(1)的情况中游艇在河中航行的时间为多少？
解析 (1)为了不被冲进瀑布，而且速度最小，则游艇的临界航线OA如图所示。船头应与航线垂直，并偏向上游，最小速度等于水的流速沿垂直于航线方向的分量，由几何关系可得sin α＝，故α＝37°，船头与河岸成53°角并指向上游，vmin＝v⊥＝vsin α＝v＝30 m/s。
(2)在(1)中情况下，游艇在河中航行的时间为t＝＝＝37.5 s。
答案 (1)船头与河岸成53°角指向上游 30 m/s (2)37.5 s
基础过关
1.对于两个分运动的合运动，下列说法正确的是( )
A.合运动的速度大小等于两分运动速度大小之和
B.合运动的速度一定大于某一个分运动的速度
C.合运动的方向就是物体实际运动的方向
D.由两个分速度的大小就可以确定合速度的大小
解析 根据平行四边形定则，邻边表示两个分运动，合运动的大小和方向可由对角线表示，由几何关系知，两邻边和对角线的长短关系因两邻边的夹角不同而不同，当两邻边长短不变，而夹角改变时，对角线的长短也将发生改变，即合速度也将变化，故A、B、D错，C正确。
答案 C
2.游泳运动员以相对于水流恒定的速率垂直河岸过河，当水速突然增大时，则过河( )
A.路程增加、时间增加 B.路程增加、时间不变
C.路程增加、时间缩短 D.路程、时间都不变
解析 当水速突然增大时，在垂直河岸方向上的运动时间不变，所以横渡的时间不变。水速增大后在沿河岸方向上的位移增大，所以路程增加。故B正确，A、C、D错误。
答案 B
3.(2018·长沙高一检测)跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图1所示，当运动员从直升机由静止跳下后，在下落过程中不免会受到水平风速的影响，下列说法中正确的是( )
图1
A.风速越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B.风速越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害
C.运动员下落时间与风速有关
D.运动员着地速度与风速无关
解析 运动员同时参与了两个分运动，竖直方向下落运动和水平方向随风飘动，两个分运动同时发生，相互独立，因而，水平风速越大，落地的合速度越大，但落地时间不变。
答案 B
4.如图2所示，竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中以速度v匀速上浮。红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管由静止水平匀加速向右运动，则蜡块的轨迹可能是( )
图2
A.直线P B.曲线Q
C.曲线R D.无法确定
解析 红蜡块在竖直方向上做匀速直线运动，在水平方向上做匀加速直线运动，所受合力水平向右，合力与合速度不共线，红蜡块的轨迹应为曲线，A错误；由于做曲线运动的物体所受合力应指向弯曲的一侧，故B正确，C、D错误。
答案 B
5.如图3所示，一条小船过河，河水流速v1＝3 m/s，船在静水中速度v2＝4 m/s，船头方向与河岸垂直，关于小船的运动，以下说法正确的是( )
图3
A.小船相对于岸的速度大小是7 m/s
B.小船相对于岸的速度大小是5 m/s
C.小船相对于岸的速度大小是1 m/s
D.小船的实际运动轨迹与河岸垂直
解析 小船相对于岸的速度大小v＝＝ m/s＝5 m/s，故B正确，A、C错误；船的实际运动是船在水流方向的运动与垂直河岸方向的运动的合运动，小船的实际运动轨迹偏向河的下游，不可能与河岸垂直，D错误。
答案 B
6. (多选)一物体在xOy直角坐标平面内运动的轨迹如图4所示，其中初速度方向沿虚线方向，下列判断正确的是( )
图4
A.物体可能受沿x轴正方向的恒力作用
B.物体可能受沿y轴负方向的恒力作用
C.物体可能受沿虚线方向的恒力作用
D.物体不可能受恒力作用
解析 根据物体做曲线运动的条件可知A、B两项都正确。
答案 AB
7.(多选)如图5甲所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上运动，其v－t图象如图乙所示，同时人顶着杆沿水平地面运动的s－t图象如图丙所示。若以地面为参考系，下列说法正确的是( )
图5
A.猴子的运动轨迹为直线
B.猴子在2 s内做匀变速曲线运动
C.t＝0时猴子的速度大小为8 m/s
D.猴子在2 s内的加速度大小为4 m/s2
解析 猴子在竖直方向做初速度为8 m/s、加速度大小为4 m/s2的匀减速运动，水平方向做速度为4 m/s的匀速运动，其合运动为曲线运动，故猴子在2 s内做匀变速曲线运动，A错误，B正确；t＝0时猴子的速度大小为v0＝ m/s＝4 m/s，C错误；猴子在2 s内的加速度大小为4 m/s2，D正确。
答案 BD
能力提升
8. (多选)一物体在光滑的水平桌面上运动，在相互垂直的x方向和y方向上的分运动速度随时间变化的规律如图6所示。关于物体的运动，下列说法正确的是( )
图6
A.物体做曲线运动
B.物体做直线运动
C.物体运动的初速度大小为50 m/s
D.物体运动的初速度大小为10 m/s
解析 由v－t图象可以看出，物体在x方向上做匀速直线运动，在y方向上做匀变速直线运动，故物体做曲线运动，选项A正确，B错误；物体的初速度大小为v0＝ m/s＝50 m/s，选项C正确，D错误。
答案 AC
9.如图7所示，一雨滴正以5 m/s的速度倾斜下落，汽车以3 m/s 的速度水平匀速前进，坐在汽车里面的人看到雨滴竖直下落，求雨滴下落方向与竖直方向夹角的正切值？
图7
解析 雨滴对地的速度为v＝5 m/s，雨滴同时参与了水平和竖直方向上的两个分运动，根据题意知水平分速度与汽车速度相同，vx＝v2＝3 m/s，所以雨滴速度与竖直方向的夹角θ正切值tan θ＝＝。
答案
10.(2018·烟台高一检测)民族运动会上有一直线侧向骑射项目如图8所示，运动员骑在沿直线奔跑的马上，弯弓放箭射击跑道外侧的固定目标。假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的弓箭速度为v2，跑道离固定目标的最近距离为d。要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短(不考虑空气阻力的影响)则( )
图8
A.运动员放箭处离目标的距离为
B.运动员放箭处离目标的距离为
C.箭射到固定目标的最短时间为
D.箭射到固定目标的最短时间为
解析 要想在最短的时间内射中目标，箭应该垂直于马的运动方向射出，如图所示。箭在空中的运动时间为，其合运动速度为，则射箭处离目标的距离为，B正确。
答案 B
11.如图9所示，帆板在海面上以速度v朝正西方向运动，帆船以速度v朝正北方向航行，以帆板为参照物( )
图9
A.帆船朝正东方向航行，速度大小为v
B.帆船朝正西方向航行，速度大小为v
C.帆船朝南偏东45°方向航行，速度大小为v
D.帆船朝北偏东45°方向航行，速度大小为v
解析 以帆板为参照物，帆船在东西方向以速度v向东运动，南北方向以速度v向北运动，根据矢量合成的平行四边形定则可以求得帆船以帆板为参照物是以大小为v的速度向北偏东45°方向航行，故选D。
答案 D
12.一物体在光滑水平面上运动，它在x方向和y方向上的两个分运动的速度—时间图象分别如图10甲、乙所示。
图10
(1)判断物体的运动性质；
(2)计算物体的初速度大小；
(3)计算物体在前3 s内和前6 s内的位移大小。
解析 (1)由题图可知，物体在x轴方向做匀速直线运动，y轴方向做匀变速运动，先减速再反向加速，所以物体做匀变速曲线运动。
(2)vx0＝30 m/s，vy0＝－40 m/s
v0＝＝50 m/s。
(3)x3＝vxt＝90 m，|y3|＝||t＝60 m。
则前3 s内位移s＝＝30 m。
x6＝vxt′＝180 m。
y6＝ t′＝×6 m＝0，则s′＝180 m。
答案 (1)匀变速曲线运动 (2)50 m/s (3)30 m
180 m
13.如图11甲所示，在一端封闭、长约1 m的玻璃管内注满清水，水中放一个蜡烛做的蜡块，将玻璃管的开口端用胶塞塞紧，然后将这个玻璃管倒置，在蜡块沿玻璃管上升的同时，将玻璃管水平向右移动，假设从某时刻开始计时，蜡块在玻璃管内每1 s上升的距离都是10 cm，玻璃管向右匀加速平移，每1 s通过的水平位移依次是2.5 cm、7.5 cm、12.5 cm、17.5 cm。图乙中，y表示蜡块竖直方向的位移，x表示蜡块随玻璃管通过的水平位移，t＝0时蜡块位于坐标原点。
图11
(1)请在图乙中画出蜡块4 s内的轨迹；
(2)求出玻璃管向右平移的加速度；
(3)求t＝2 s时蜡块速度v的大小及方向。
解析 (1)如图
(2)Δx＝at2，a＝＝5×10－2 m/s2。
(3)vy＝＝0.1 m/s，vx＝at＝0.1 m/s
v＝＝ m/s。
设v与水平方向成θ角，则tan θ＝＝1，θ＝45°。
即2 s末蜡块的速度v与水平方向成45°角斜向上。
答案 (1)见解析 (2)5×10－2 m/s2 (3) m/s 与水平方向成45°角斜向上
课件39张PPT。第1节 运动的合成与分解一、运动的独立性
阅读教材第47～48页“运动的独立性”部分，知道合运动与分运动及运动的独立性。
1.合运动与分运动：如果一个物体同时参与______运动，那么物体实际发生的运动就叫做那几个运动的__________。那几个运动就叫做这个实际运动的__________ 。
2.运动的独立性：一个物体同时参与几个运动，各方向上的运动互不________，各自_________，都遵守各自相应的规律。几个合运动分运动影响独立思维拓展
如图1所示，一名92岁的南非妇女从距地面大约2 700米的飞机上，与跳伞教练绑在一起跳下，成为南非已知的年龄最大的高空跳伞者。假设没有风的时候，落到地面所用的时间为t，而实际上在下落过程中受到了水平方向的风的影响，则实际下落所用时间________(“大于”、“等于”、“小于”)t。图1解析 根据运动的独立性，水平风力并不影响跳伞者在竖直方向的运动规律，有风与无风的情况下，下落时间均为t。
答案 等于二、运动合成与分解的方法
阅读教材第49～50页“运动合成与分解的方法”部分，知道运动的合成与分解遵从平行四边形定则。
1.运动的合成：由已知的分运动求_________的过程。
2.运动的分解：由已知的合运动求_________的过程。
3.运动的合成与分解实质是对物体的_______、加速度、位移等物理量进行合成与分解。
4.运动的合成与分解遵从______________定则。
(1)如果两个分运动方向在同一直线上，求合运动时直接进行________加减。
(2)如果两个分运动方向不在同一直线上，而是成一定夹角，根据________________进行合成与分解。合运动分运动速度平行四边形代数平行四边形定则思考判断
(1)合速度就是两分速度的代数和。( )
(2)合速度不一定大于任一分速度。( )
(3)合位移一定大于任意一个分位移。( )
(4)运动的合成就是把两个分运动加起来。( )
(5)运动的分解就是把一个运动分成两个完全相同的运动。( )
(6)运动的合成与分解遵循平行四边形定则。( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√运动的合成与分解[要点归纳]
1.合运动与分运动的四个特性
(1)等效性：各分运动的共同效果与合运动的效果相同。
(2)等时性：各分运动与合运动同时发生、同时结束，时间相同。
(3)独立性：各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响。
(4)同体性：各分运动与合运动是同一物体的运动。2.合运动与分运动的判定方法
在一个具体运动中物体实际发生的运动往往是合运动。这个运动一般就是相对于地面发生的运动，或者说是相对于静止参考系的运动。
3.合运动与分运动的求解方法
不管是运动的合成还是分解，其实质是对运动的位移s、速度v和加速度a的合成与分解。因为位移、速度、加速度都是矢量，所以求解时遵循的原则是矢量运算的平行四边形定则(或三角形定则)。4.分解运动的方法
(1)一般来说，在没有限制的情况下，一个合速度可以分解成无数组分速度。然而在实际问题中，分速度的大小、方向是客观的，不能随意确定。因此对速度进行分解应建立在对物体运动效果进行分析的基础上。
(2)正确地进行速度分解必须解决好两个问题
①确认合速度，它应是物体的实际速度。
②确定合速度的实际运动效果，从而确定分速度的方向。常常根据产生的位移来确定运动效果。[精典示例]
[例1] 2016年1月，国际救援组织为被基地组织控制的伊拉克难民投放物资，直升机空投物资时，可以停留在空中不动。设投出的物资离开飞机后由于降落伞的作用在空中能匀速下落，无风时落地速度为5 m/s。若飞机停留在离地面100 m高处空投物资，由于水平风的作用，使降落伞和物资获得1 m/s的水平向北的速度，求：图2(1)物资在空中运动的时间；
(2)物资在落地时速度的大小；
(3)物资在下落过程中水平方向移动的距离。解析 如图所示，物资的实际运动可以看作是竖直方向的匀速直线运动和水平方向的匀速直线运动两个分运动的合运动。
[针对训练1] 如图3所示，竖直放置的玻璃管中注满清水，且其两端均封闭，玻璃管内有一个红蜡块能在水中以v1＝0.1 m/s的速度匀速上浮。红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管水平向右匀速运动，测得红蜡块的实际运动方向与水平方向的夹角为30°。则：图3(1)玻璃管水平方向的移动速度v2约为________m/s。
(2)若玻璃管的长度为1.0 m，则当红蜡块从玻璃管底端上浮到顶端的过程中，玻璃管水平运动的距离约为________m。合运动的性质[要点归纳]
1.合运动的性质判断2.互成角度的两个直线运动的合成[精典示例]
[例2] 物体在直角坐标系xOy所在的平面内由O点开始运动，其沿坐标轴方向的两个分速度随时间变化的图象如图4所示，则对该物体运动过程的描述正确的是( )图4
A.物体在0～3 s做直线运动 B.物体在3～4 s做直线运动
C.物体在3～4 s做曲线运动 D.物体在0～3 s做变加速运动解析 物体在0～3 s内，x方向做vx＝4 m/s的匀速直线运动，y方向做初速度为0，加速度ay＝1 m/s2的匀加速直线运动，合初速度v0＝vx＝4 m/s，合加速度a＝ay＝1 m/s2，所以物体的合运动为匀变速曲线运动，如图甲所示，A、D错误。物体在3～4 s内，x方向做初速度vx＝4 m/s，加速度ax＝－4 m/s2的匀减速直线运动，y方向做初速度vy＝3 m/s，ay＝－3 m/s2的匀减速直线运动，合初速度大小v＝5 m/s，合加速度大小a＝－5 m/s2，v、a方向恰好相反，所以物体的合运动为匀减速直线运动，如图乙所示，B正确，C错误。
答案 B
合运动的运动性质及轨迹的判断方法
(1)根据两分运动的加速度应用平行四边形定则求合加速度，判定合加速度是否变化，若变化，是变加速运动，若不变，一定是匀变速运动。
(2)根据两分运动的初速度应用平行四边形定则求合初速度。
(3)根据合初速度与合加速度的方向关系判定轨迹。若合加速度恒定不变，合初速度与合加速度在同一直线上，做匀变速直线运动；合初速度与合加速度不在同一直线上，做匀变速曲线运动。若合加速度变化，则根据合加速度的变化情况具体分析运动轨迹。[针对训练2] (多选)在光滑水平面上有一质量为2 kg的物体，受几个共点力作用做匀速直线运动。现突然将与速度反方向的2 N的力水平旋转90°，则关于物体运动情况的叙述正确的是( )答案 BC小船渡河问题[要点归纳]
1.小船参与的两个分运动
(1)船相对水的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船头的指向相同。
(2)船随水漂流的运动，它的方向与河岸平行。2.两类最值问题图5图6图7[精典示例]
[例3] 小船在200 m宽的河中横渡，水流速度是2 m/s，小船在静水中的航速是4 m/s。求：
(1)要使小船渡河耗时最少，应如何航行？
(2)要使小船航程最短，应如何航行？答案 (1)船头正对河岸航行耗时最少，最短时间为50 s。
(2)船头偏向上游，与河岸成60°角，最短航程为200 m。
[针对训练3] 如图8所示，一艘小船要从O点渡过一条两岸平行、宽度为d＝100 m的河流，已知河水流速为v1＝4 m/s，小船在静水中的速度为v2＝2 m/s，B点距正对岸的A点s0＝173 m。下面关于该船渡河的判断，其中正确的是( )图8A.小船过河的最短航程为100 m
B.小船过河的最短时间为25 s
C.小船可以在对岸A、B两点间任意一点靠岸
D.小船过河的最短航程为200 m答案 D[要点归纳]
“绳联物体”指物体拉绳(杆)或绳(杆)拉物体的问题(下面为了方便，统一说“绳”)：
(1)物体的实际速度一定是合速度，分解时两个分速度方向应取沿绳方向和垂直绳方向。
(2)由于绳不可伸长，一根绳两端物体沿绳方向的速度分量相等。 “绳联物体”的速度分解问题[精典示例]
[例4] 如图9所示，汽车甲以速度v1拉汽车乙前进，乙的速度为v2，甲、乙都在水平面上运动，拉汽车乙的绳子与水平方向夹角为α，求v1∶v2。图9解析 将乙车实际运动的速度分解为沿绳方向和垂直于绳子方向，如图。在沿绳方向的分速度等于汽车甲的速度。所以v2cos α＝v1。则v1∶v2＝cos α∶1。答案 cos α∶1[针对训练4] A、B两物体通过一根跨过定滑轮的轻绳相连放在水平面上，现物体A以v1的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别是α、β时，如图10所示。物体B的运动速度vB为(绳始终有拉力)( )图10答案 D
