2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市道外区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）（解析版）

2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市道外区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题：（1～10题，每小题3分，共30分，每题只有一个正确答案）
1．抛物线y＝（x+1）2+2的对称轴为（　　）
A．直线x＝1 B．直线y＝1 C．直线y＝﹣1 D．直线x＝﹣1
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，AB，CD是⊙O的直径，＝，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（　　）

A．32° B．60° C．68° D．64°
4．⊙O的半径r＝5cm，圆心到直线l的距离OM＝4cm，在直线l上有一点P，且PM＝3cm，则点P（　　）
A．在⊙O内 B．在⊙O上
C．在⊙O外 D．可能在⊙O上或在⊙O内
5．如图，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点B，若PA＝8，OP＝10，则⊙O的半径等于（　　）

A．3 B．5 C．6 D．8
6．若M（﹣4，y1）、N（﹣2，y2）、P（2，y3）三点都在函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y2＞y3＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
7．下列说法错误的是（　　）
A．必然发生的事件发生的概率为1
B．不可能发生的事件发生的概率为0
C．随机事件发生的概率大于0且小于1
D．概率很小的事件不可能发生
8．若关于x的函数y＝（2﹣a）x2﹣x是二次函数，则a的取值范围是（　　）
A．a≠0 B．a≠2 C．a＜2 D．a＞2
9．如图，分别以△ABC的三个顶点为圆心作⊙A、⊙B、⊙C，且半径都是0.5cm，则图中三个阴影部分面积之和等于（　　）

A． cm2 B． cm2 C． cm2 D． cm2
10．如图，点E为平行四边形ABCD的边AB延长线上的一点，连接DE交BC于点F，则下列结论一定正确的是（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
二、填空题（11～20题，每小题3分，共计30分）
11．在⊙O中，弦AB＝24cm，圆心O到弦AB的距离为5cm，则⊙O的半径为　 　cm．
12．二次函数y＝x2+2的图象，与y轴的交点坐标为　 　．
13．正八边形的中心角等于　 　度．
14．在半径为12的⊙O中，150°的圆心角所对的弧长等于　 　．
15．扇形的圆心角为80°，弧长为4πcm，则此扇形的面积等于　 　cm2．
16．如图，两弦AB、CD相交于点E，且AB⊥CD，若∠B＝60°，则∠A等于　 　度．

17．点A（2，﹣4）在反比例函数y＝的图象上，则k的值等于　 　．
18．在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从口袋中随机摸出一个球，摸到红球的概率为　 　．
19．如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，sin∠A＝，点D为边AC上一点，若∠BDC＝45°，DC＝6cm，则△ABC的面积等于　 　cm2．

20．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC、BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．若AB＝，BD＝2，则BE的长等于　 　．

三、解答题（其中21～22题各7分．23～24题各8分．25～27题各l0分，共计60分
21．先化简?，再求代数式的值，其中x＝cos30°．
22．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣5，1），B（﹣2，2），C（﹣1，4），请按下列要求画图：
（1）将△ABC先向右平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）画出与△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，并直接写出点A2的坐标．

23．某学校开展以素质提升为主题的研学活动，推出了以下四个项目供学生选择：A．模拟驾驶；B．军事竞技；C．家乡导游；D．植物识别．学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中一个项目．八年级（3）班班主任宁老师对全班学生选择的项目情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：

（1）八年级（3）班学生总人数是　 　，并将条形统计图补充完整；
（2）宁老师发现报名参加“植物识别”的学生中恰好有两名男生，现准备从这组学生中任意挑选两名担任活动记录员，那么恰好选中1名男生和1名女生担任活动记录员的概率为　 　；
（3）若学校学生总人数为2000人，根据八年级（3）班的情况，估计全校报名军事竞技的学生有多少人？
24．某数学兴趣小组的同学在一次活动中，为了测量某建筑物AB的高，他们来到另一建筑物CD上的点C处进行观察，如图所示，他们测得建筑物AB顶部A的仰角为30°，底部B的俯角为45°，已知建筑物AB、CD的距离DB为12m，求建筑物AB的高．

25．某商场经调研得出某种商品每天的利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y＝ax2+bx﹣75，其图象如图所示．
（1）求a与b的值；
（2）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（参考公式：当x＝时，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）有最小（大）值）
（3）销售单价定在多少时，该种商品每天的销售利润为21元？结合图象，直接写出销售单价定在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于21元？

26．已知：△ABC是⊙O的内接三角形，且AB＝BC，点D为劣弧BC上的一点，连接BD、DC．
（1）如图1，若∠BDC＝120°，求证：△ABC是等边三角形；
（2）如图2，在（1）的条件下，线段CD绕点C顺时针旋转60°，得到线段CE，连接AE，求证：BD＝AE；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接OE，若⊙O的半径为，OE＝2，求BD的长．

27．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与直线y＝x相交于点B，点B的横坐标为3，点A（0，6）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）动点P从原点O出发，以每秒个单位长度的速度沿x轴正方向运动，过点P作直线y＝x的垂线，垂足为C，连接AP，AP的中点为D，连接CD，设CD＝d，点P运动的时间为t秒，求d与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当tan∠APC＝时，求t的值．




2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市道外区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题：（1～10题，每小题3分，共30分，每题只有一个正确答案）
1．抛物线y＝（x+1）2+2的对称轴为（　　）
A．直线x＝1 B．直线y＝1 C．直线y＝﹣1 D．直线x＝﹣1
【分析】根据顶点式二次函数解析式写出对称轴解析式即可．
【解答】解：抛物线y＝（x+1）2+2的对称轴为x＝﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数顶点式解析式是解题的关键．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．如图，AB，CD是⊙O的直径，＝，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（　　）

A．32° B．60° C．68° D．64°
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，由＝得到∠BOD＝∠AOE＝32°，然后利用对顶角相等得∠BOD＝∠AOC＝32°，易得∠COE＝64°．
【解答】解：∵＝，
∴∠BOD＝∠AOE＝32°，
∵∠BOD＝∠AOC，
∴∠AOC＝32°
∴∠COE＝32°+32°＝64°．
故选：D．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
4．⊙O的半径r＝5cm，圆心到直线l的距离OM＝4cm，在直线l上有一点P，且PM＝3cm，则点P（　　）
A．在⊙O内 B．在⊙O上
C．在⊙O外 D．可能在⊙O上或在⊙O内
【分析】由条件计算出OP的长度与半径比较大小即可．
【解答】解：由题意可知△OPM为直角三角形，且PM＝3，OM＝4，
由勾股定理可求得OP＝5＝r，
故点P在⊙O上，
故选：B．
【点评】本题主要考查点和圆的位置关系的判定，只要计算出P点到圆心的距离再与半径比较大小即可．
5．如图，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点B，若PA＝8，OP＝10，则⊙O的半径等于（　　）

A．3 B．5 C．6 D．8
【分析】先根据切线的性质得到OA⊥PA，然后利用勾股定理计算OA的长．
【解答】解：连接OA，
∵PA切⊙O于A点，
∴OA⊥PA，
在Rt△OPA中，OP＝10，PA＝8，
∴OA＝＝6．
故选：C．

【点评】本题考查了切线的性质，运用圆的切线垂直于经过切点的半径和勾股定理是解答此题的关键．
6．若M（﹣4，y1）、N（﹣2，y2）、P（2，y3）三点都在函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y2＞y3＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
【分析】根据反比例函数的增减性解答即可．
【解答】解：∵k＜0，故反比例函数图象的两个分支在第二四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大．
又∵M（﹣4，y1）、N（﹣2，y2）是双曲线y＝（k＜0）上的两点，且﹣4＜﹣2＜0，
∴0＜y1＜y2．
又∵2＞0，P（2，y3）在第四象限，
∴y3＜0，故y1，y2，y3的大小关系为y2＞y1＞y3．
故选：B．
【点评】本题考查利用反比例函数的增减性质判断图象上点的坐标特征，也可以结合图象作答．
7．下列说法错误的是（　　）
A．必然发生的事件发生的概率为1
B．不可能发生的事件发生的概率为0
C．随机事件发生的概率大于0且小于1
D．概率很小的事件不可能发生
【分析】利用概率的意义分别回答即可得到答案．
【解答】解：A、必然发生的事件发生的概率为1，正确；
B、不可能发生的事件发生的概率为0，正确；
C、随机事件发生的概率大于0且小于1，正确；
D、概率很小的事件也有可能发生，故错误，
故选：D．
【点评】本题考查了概率的意义及随机事件的知识，解题的关键是了解概率的意义，概率大的事件不一定发生，概率小的事件不一定发生．
8．若关于x的函数y＝（2﹣a）x2﹣x是二次函数，则a的取值范围是（　　）
A．a≠0 B．a≠2 C．a＜2 D．a＞2
【分析】根据二次函数的定义即可得．
【解答】解：∵函数y＝（2﹣a）x2﹣x是二次函数，
∴2﹣a≠0，即a≠2，
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键．
9．如图，分别以△ABC的三个顶点为圆心作⊙A、⊙B、⊙C，且半径都是0.5cm，则图中三个阴影部分面积之和等于（　　）

A． cm2 B． cm2 C． cm2 D． cm2
【分析】先根据三角形的内角和为180°求出阴影部分扇形圆心角的度数之和，再根据扇形的面积公式求解即可．
【解答】解：∵⊙A、⊙B、⊙C的半径都是0.5，扇形的三个圆心角正好构成三角形的三个内角，
∴阴影部分扇形的圆心角度数为180°，
∴S阴影＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查扇形面积的计算及三角形内角和定理的知识，解答此题的关键是沟通三角形内角与扇形的圆心角的关系，难度一般．
10．如图，点E为平行四边形ABCD的边AB延长线上的一点，连接DE交BC于点F，则下列结论一定正确的是（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AB＝CD，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴△BEF∽△CDF，
∴，
∴，故A错误；
∵BF∥AD，
∴，
∴＝，故B正确；
∵CD∥BE，
∴，故C错误，
＝，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
二、填空题（11～20题，每小题3分，共计30分）
11．在⊙O中，弦AB＝24cm，圆心O到弦AB的距离为5cm，则⊙O的半径为　13　cm．
【分析】先画图，由于OC⊥AB，根据垂径定理可知AC＝BC＝AB＝12，再利用勾股定理易求OA．
【解答】解：如图所示，O到弦AB的距离为OC，连接OA，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝12，
在Rt△AOC中，OA＝＝＝13．
故答案是13．

【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键是求出AC（知道垂直于弦的直径平分弦）．
12．二次函数y＝x2+2的图象，与y轴的交点坐标为　（0，2）　．
【分析】把x＝0代入求出y，即可得出答案．
【解答】解：y＝x2+2，
当x＝0时，y＝0+2＝2，
即抛物线与y轴的交点坐标为（0，2），
故答案为：（0，2）．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，能熟记二次函数的性质的内容是解此题的关键．
13．正八边形的中心角等于　45　度．
【分析】根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答．
【解答】解：正八边形的中心角等于360°÷8＝45°；
故答案为45．
【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．
14．在半径为12的⊙O中，150°的圆心角所对的弧长等于　10π　．
【分析】根据弧长的公式l＝进行解答．
【解答】解：根据弧长的公式l＝得到：＝10π．
故答案是：10π．
【点评】本题主要考查了弧长的计算，熟记公式是解题的关键．
15．扇形的圆心角为80°，弧长为4πcm，则此扇形的面积等于　18π　cm2．
【分析】根据利用弧长公式求出半径，再根据扇形的面积公式：S＝计算即可
【解答】解：设扇形的半径为r，
由题意：4π＝，
解得r＝9（cm）．
S＝＝＝18π（cm）2
故答案为18π．
【点评】本题考查弧长公式，扇形的面积公式等知识，解题的关键是记住公式，属于中考常考题型．
16．如图，两弦AB、CD相交于点E，且AB⊥CD，若∠B＝60°，则∠A等于　30　度．

【分析】由同弧所对圆周角相等得出∠C＝∠B＝60°，再根据垂直知∠AEC＝90°，利用直角三角形两锐角相等得出答案．
【解答】解：∵∠B＝60°，
∴∠C＝∠B＝60°，
∵AB⊥CD，
∴∠AEC＝90°，
∴∠A＝30°，
故答案为：30．
【点评】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
17．点A（2，﹣4）在反比例函数y＝的图象上，则k的值等于　﹣8　．
【分析】直接把点A（2，﹣4）代入反比例函数y＝（k≠0），求出k的值即可．
【解答】解：∵点A（2，﹣4）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝xy＝2×（﹣4）＝﹣8．
故答案是：﹣8．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
18．在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从口袋中随机摸出一个球，摸到红球的概率为　　．
【分析】让红球的个数除以球的总个数即为所求的概率．
【解答】解：∵袋中共有5+3＝8个球，
∴摸出的球是红球的概率为．
故答案为．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
19．如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，sin∠A＝，点D为边AC上一点，若∠BDC＝45°，DC＝6cm，则△ABC的面积等于　12　cm2．

【分析】在Rt△BCD中利用正切定义得到BC＝6，再在Rt△ABC中利用正弦定义计算出AB＝14，接着利用勾股定理计算出AC＝4，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】解：在Rt△BCD中，∵tan∠BDC＝，
∴BC＝6tan45°＝6，
在Rt△ABC中，∵sin∠A＝，
∴AB＝＝14，
∴AC＝＝4，
∴△ABC的面积＝×6×4＝12（cm2）．
故答案为12．
【点评】本题考查了解直角三角形：灵活运用勾股定理和锐角三角函数的定义计算直角三角形中未知的边和角．
20．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC、BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．若AB＝，BD＝2，则BE的长等于　　．

【分析】首先证明四边形ABCD是菱形，利用勾股定理求出OA，利用面积法求出EC的长，即可解决问题；
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴四边形ABCD是菱形；

（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，
∵BD＝2，
∴OB＝BD＝1，
在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1，
∴OA＝＝2，
∴S△ACB＝2S△AOB＝2＝AB?CE，
∴CE＝，
在Rt△BCE中，∵BC＝AB＝，EC＝，
∴BE＝＝．
故答案为．

【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出四边形ABCD是菱形是解本题的关键．
三、解答题（其中21～22题各7分．23～24题各8分．25～27题各l0分，共计60分
21．先化简?，再求代数式的值，其中x＝cos30°．
【分析】先将分子和分母因式分解，再约分即可化简原式，继而由特殊锐角的三角函数值得出x的值，代入计算可得．
【解答】解：原式＝?＝2x，
当x＝cos30°＝时，
原式＝2x＝2×＝．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式，也考查了特殊锐角的三角函数值．
22．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣5，1），B（﹣2，2），C（﹣1，4），请按下列要求画图：
（1）将△ABC先向右平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）画出与△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，并直接写出点A2的坐标．

【分析】（1）将三个顶点分别向右平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，得到对应点，再顺次连接即可得；
（2）将△ABC的三个顶点关于原点O成中心对称的对称点，再顺次连接可得．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．


（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为（5，﹣1）．
【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换和平移变换，解题的关键是掌握旋转变换和平移变换的定义及其性质，并据此得出变换后的对应点．
23．某学校开展以素质提升为主题的研学活动，推出了以下四个项目供学生选择：A．模拟驾驶；B．军事竞技；C．家乡导游；D．植物识别．学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中一个项目．八年级（3）班班主任宁老师对全班学生选择的项目情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：

（1）八年级（3）班学生总人数是　40人　，并将条形统计图补充完整；
（2）宁老师发现报名参加“植物识别”的学生中恰好有两名男生，现准备从这组学生中任意挑选两名担任活动记录员，那么恰好选中1名男生和1名女生担任活动记录员的概率为　　；
（3）若学校学生总人数为2000人，根据八年级（3）班的情况，估计全校报名军事竞技的学生有多少人？
【分析】（1）利用A项目的频数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后计算出C项目的人数后补全条形统计图；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好选中1名男生和1名女生担任活动记录员的结果数，然后利用概率公式求解；
（3）用总人数乘以样本中报名军事竞技的学生数占被调查学生数的比例即可得．
【解答】解：（1）八年级（3）班学生总人数是12÷30%＝40（人），
所以C项目的人数为40﹣12﹣14﹣4＝10（人）
条形统计图补充为：

故答案为：40人；

（2）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1名男生和1名女生担任活动记录员的结果数为8，
所以恰好选中1名男生和1名女生担任活动记录员的概率＝＝，
故答案为：．

（3）估计全校报名军事竞技的学生有2000×＝700（人）．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了统计图．
24．某数学兴趣小组的同学在一次活动中，为了测量某建筑物AB的高，他们来到另一建筑物CD上的点C处进行观察，如图所示，他们测得建筑物AB顶部A的仰角为30°，底部B的俯角为45°，已知建筑物AB、CD的距离DB为12m，求建筑物AB的高．

【分析】过点C作AB 的垂线，垂足为E，根据题意可得出四边形CDBE是矩形，再由CD＝12m，∠ECB＝45°可知BE＝CE＝12m，由AE＝CE?tan30°得出AE的长，进而可得出结论．
【解答】解：过点C作AB 的垂线，垂足为E，
∵CD⊥BD，AB⊥BD，
∴四边形CDBE是矩形，
∵CD＝12m，∠ECB＝45°，
∴BE＝CE＝12m，
∴AE＝CE?tan30°＝12×＝4（m），
∴AB＝（4+12）（m）．
答：建筑物AB的高为19米．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
25．某商场经调研得出某种商品每天的利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y＝ax2+bx﹣75，其图象如图所示．
（1）求a与b的值；
（2）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（参考公式：当x＝时，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）有最小（大）值）
（3）销售单价定在多少时，该种商品每天的销售利润为21元？结合图象，直接写出销售单价定在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于21元？

【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式得出即可；
（2）利用配方法求出二次函数最值即可；
（3）根据题意令y＝21，解方程可得x的值，结合图象可知x的范围．
【解答】解：（1）y＝ax2+bx﹣75图象过点（5，0）、（7，16），
∴，
解得：；

（2）∵y＝﹣x2+20x﹣75＝﹣（x﹣10）2+25，
∴当x＝10时，y最大＝25．
答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元；

（3）根据题意，当y＝21时，得：﹣x2+20x﹣75＝21，
解得：x1＝8，x2＝12，
∴x＝8 或 x＝12即销售单价定在8元或12元时，该种商品每天的销售利润为21元；
故销售单价在8≤x≤12时，销售利润不低于21元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求二次函数解析式等知识，正确利用二次函数图象是解题关键．
26．已知：△ABC是⊙O的内接三角形，且AB＝BC，点D为劣弧BC上的一点，连接BD、DC．
（1）如图1，若∠BDC＝120°，求证：△ABC是等边三角形；
（2）如图2，在（1）的条件下，线段CD绕点C顺时针旋转60°，得到线段CE，连接AE，求证：BD＝AE；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接OE，若⊙O的半径为，OE＝2，求BD的长．

【分析】（1）根据圆内接四边形的性质和等边三角形的判定解答即可；
（2）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定证明即可；
（3）连接ED，利用勾股定理和直角三角形的性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABDC内接于⊙O，
∴∠BDC+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠BOA＝180°﹣120°＝60°．
∵BA＝BC，
∴△ABC是等边三角形．
（2）由（1）知△ABC是等边三角形，
∴∠BCA＝60°，
∵∠DCE＝60°，
∴∠BCA＝∠DCE
而∠BCA＝∠BCE+∠ECA，∠DCE＝∠BCD+∠BCE，
∴∠ECA＝∠DCB，
∵在△CDB与△CEA中

∴△CDB≌△CEA（SAS）
∴DB＝AE；
（3）连接ED，可知△CDE为等边三角形，
∴∠DCE＝∠DEC＝∠EDC＝60°，
∵∠BDC＝120°
由（2）知△CDB≌△CEA，
∴∠BDC＝∠AEC＝120°，∠DEC+∠AEC＝180°，
∴A、E、D三点在同一直线上，连接OD、OC，
，
∵OD＝OC，ED＝EC，
∴OE是线段DC的中垂线，
∴OE是∠DEC平分线，
设直线OE与CD的交点为G，则有∠DEG＝∠DEC＝30°，
∴∠OEA＝∠DEG＝30°，
连接OA，过点O作OH⊥AE，垂足为H，
在直角三角形OEH中，OE＝2，∠OEA＝30°，
∴OH＝OE＝1
可得EH＝，
在直角三角形OAH中，OA＝，OH＝1，根据勾股定理，得AH＝2，
∴AE＝AH+HE＝3，
∴BD＝AE＝3．
【点评】此题主要考查了圆的综合题，关键是根据等边三角形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质解答．
27．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与直线y＝x相交于点B，点B的横坐标为3，点A（0，6）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）动点P从原点O出发，以每秒个单位长度的速度沿x轴正方向运动，过点P作直线y＝x的垂线，垂足为C，连接AP，AP的中点为D，连接CD，设CD＝d，点P运动的时间为t秒，求d与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当tan∠APC＝时，求t的值．

【分析】（1）根据题意可以求得点B的坐标，然后根据点A和点B的坐标即可求得直线AB的解析式；
（2）根据题意可以画出相应的图形，然后利用分类讨论的方法可以求得d与t的函数关系式；
（3）根据（2）中的条件和图形，可以求得相应的t的值．
【解答】解：（1）∵直线AB与直线y＝x相交于点B，点B的横坐标为3，
∴点B的坐标为（3，3），
设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将A（0，6），B（3，3）代入y＝kx+b，得
，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6；
（2）如图一所示，
∵点P从原点O出发，以每秒个单位长度的速度沿x轴正方向运动，
∴点P的坐标为（，0），
∵点D为AP得中点，点A（0，﹣6），
∴点D的坐标为（，3），
∵PC⊥OB，直线OB的解析式为y＝x，点P的坐标为（，0），
∴∠PCO＝90°，∠BOP＝45°，
∴OC＝t，
∴点C的坐标为：（，），
∵CD＝d，
∴d＝＝3﹣（0＜t≤3）；
如图二所示，
∵点P从原点O出发，以每秒个单位长度的速度沿x轴正方向运动，
∴点P的坐标为（，0），
∵点D为AP得中点，点A（0，﹣6），
∴点D的坐标为（，3），
∵PC⊥OB，直线OB的解析式为y＝x，点P的坐标为（，0），
∴∠PCO＝90°，∠BOP＝45°，
∴OC＝t，
∴点C的坐标为：（，），
∵CD＝d，
∴d＝＝﹣3（t＞3）；
（3）如图一所示，作DE⊥OB于点E，
∵PC⊥OB，DE⊥OB，
∴PC∥DE，
∴∠EDP＝∠APC，
∵DC＝3﹣，点D（，3），点C（，），
∴DC⊥x轴，
∴∠CDE＝45°，
∴CE＝DE＝＝，
∵PC＝t，tan∠APC＝，
∴tan∠EDP＝，
∴，
解得，t＝；
如图二所示，作DE⊥OB于点E，
∵PC⊥OB，DE⊥OB，
∴PC∥DE，
∴∠EDP＝∠APC，
∵DC＝﹣3，点D（，3），点C（，），
∴DC⊥x轴，
∴∠CDE＝45°，
∴CE＝DE＝＝，
∵PC＝t，tan∠APC＝，
∴tan∠ADE＝，
∴，
解得，t＝9．


【点评】本题是一道一次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，作出相应的图形，利用分类讨论的方法和数形结合的思想解答．