课件29张PPT。第3节 向心力的实例分析一、转弯时的向心力实例分析
阅读教材第76～77页“转弯时的向心力实例分析”部分，知道汽车转弯时所需要的向心力和铁路的弯道上两轨高度的设计特点、目的。
1.汽车在水平路面转弯静摩擦力最大静摩擦力2.汽车、火车在内低外高的路面上转弯mgtan θ转弯半径思考判断
(1)汽车在水平路面上正常转弯时所需要的向心力是滑动摩擦力提供的。( )
(2)铁路的轨道，内、外轨道都是一样高。( )
答案 (1)× (2)×二、竖直平面内的圆周运动实例分析
阅读教材第77～78页“拱形桥”部分，结合图4－23、图4－26，会用向心力公式分析汽车过凸形桥与凹形桥时的受力情况。mg-NN-mg小于大于2.过山车(在最高点和最低点)
(1)向心力来源：受力如图1所示，重力和支持力的合力提供向心力。图1≥思维拓展
过山车和乘客在轨道上的运动是圆周运动，如图2所示，过山车驶至轨道的顶部，车与乘客在轨道的下方，为什么车与乘客不会掉下来？图2
答案 过山车驶至轨道的顶部时，车所受的重力和轨道的弹力的合力提供车做圆周运动的向心力，满足车做圆周运动的条件，而非近心运动或自由落体运动。火车转弯问题的分析与计算[要点归纳]
1.火车轮缘结构特点：火车的车轮有凸出的轮缘。火车在轨道上运行时，车轮上有凸出轮缘的一边在两轨道内侧，如图3所示。这种结构特点，主要是防止火车脱轨。图32.火车在弯道上的运动特点：火车在弯道上运动时，实际上是在做圆周运动，因而具有向心加速度，由于其质量巨大，所以需要很大的向心力。
3.向心力的来源：外轨高于内轨，向心力由火车的重力和轨道支持力的合力提供，不易损坏铁轨，运行更安全。图4特别提醒
(1)汽车、摩托车赛道拐弯处和高速公路转弯处设计成外高内低，也是为了减小车轮受到地面施加的侧向力的作用。
(2)火车拐弯时做匀速圆周运动，合力沿水平方向，而不是沿轨道斜面方向。[精典示例]
[例1] (2018·忻州高一检测) (多选)火车转弯可近似看成是做匀速圆周运动。当火车以规定速度行驶时，内外轨道均不受侧向挤压。现要降低火车转弯时的规定速度，须对铁路进行改造，从理论上讲以下措施可行的是( )图5
A.减小内外轨的高度差 B.增加内外轨的高度差
C.减小弯道半径 D.增大弯道半径思路探究
(1)在铁路弯道处，内轨比外轨高还是低？
(2)火车拐弯时按铁路的设计速度行驶时，向心力由哪些力提供？
提示 (1)内轨低于外轨。
(2)由火车的重力和轨道的支持力的合力提供。解析 当火车以规定速度通过弯道时，火车的重力和支持力的合力提供向心力，如图所示：即F＝mgtan θ，而F＝m，故v2＝gRtan θ。若使火车经弯道时的速度v减小，则可以减小倾角θ，即减小内外轨的高度差，或者减小弯道半径R，故A、C正确，B、D错误。答案 AC
火车转弯问题的两点注意
(1)合力的方向：火车转弯时，火车所受合力沿水平方向指向圆心，而不是沿轨道斜面向下。因为火车转弯的圆周平面是水平面，不是斜面，所以火车所受合力应沿水平面指向圆心。
(2)规定速度的唯一性：火车轨道转弯处的规定速率一旦确定则是唯一的，火车只有按规定的速率转弯，内外轨才不受火车的挤压作用。速率过大时，由重力、支持力及外轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力；速率过小时，由重力、支持力及内轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力。 图6 答案 C竖直面内的圆周运动[要点归纳]
1.汽车过拱形桥问题图72.竖直平面内圆周运动的两类模型图8[精典示例]
[例2] 长度为0.5 m的轻杆OA绕O点在竖直平面内做圆周运动，A端连着一个质量m＝2 kg的小球。求在下述的两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向(g取10 m/s2)：
(1)杆做匀速圆周运动的转速为2.0 r/s；
(2)杆做匀速圆周运动的转速为0.5 r/s。
思路探究
(1)在最高点，球的向心力由谁提供？
(2)杆对球施加的力一定是拉力吗？
提示 (1)在最高点时，杆对球的弹力和球的重力的合力提供向心力。
(2)杆对球可能提供支持力，也可能提供拉力，由球的加速度决定。解析 假设小球在最高点的受力如图所示。力F为负值表示它的方向与受力分析中所假设的方向相反，故小球对杆的压力大小为10 N，方向竖直向下。答案 见解析
竖直平面内圆周运动的分析方法
(1)明确运动的模型，是轻绳模型还是轻杆模型。
(2)明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点。
(3)分析物体在最高点及最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解。[针对训练2] (2018·郑州高一检测)杂技演员在做“水流星”表演时，用一根细绳系着盛水的杯子，抡起绳子，让杯子在竖直平面内做圆周运动。如图10所示，杯内水的质量m＝0.5 kg，绳子总长l＝120 cm。求：图10
(1)在最高点水不流出的最小速率；
(2)水在最高点速率v＝3 m/s时，水对杯底的压力大小。答案 见解析
第3节 向心力的实例分析
学 习 目 标
知 识 脉 络
1.通过向心力的实例分析，会分析向心力来源，体会匀速圆周运动在生活、生产中的应用．(重点)
2．能应用向心力和向心加速度公式求解竖直面内变速圆周运动的最高点和最低点的向心力及向心加速度．(重点、难点)
3．熟练掌握应用牛顿第二定律和向心力知识分析两类竖直面内圆周运动模型的步骤和方法．(重点、难点)
转 弯 时 的 向 心 力 实 例 分 析
1．汽车在水平路面转弯
2．汽车、火车在内低外高的路面上的转弯
1．汽车、火车转弯时需要的向心力都是由重力提供的．(×)
2．汽车在水平道路上行驶时，最大车速受地面最大静摩擦力的制约．(√)
3．火车弯道的半径很大，故火车转弯需要的向心力很小．(×)
如图4-3-1所示，下雨天路面比较湿滑，行驶的汽车如果速度过快，转弯时容易发生侧滑，这是为什么？
图4-3-1
【提示】 汽车转弯时需要的向心力是由地面静摩擦力提供的，下雨天路面湿滑，最大静摩擦力减小，故高速转弯时易发生侧滑．
火车在铁轨上转弯可以看成是匀速圆周运动，如图4-3-2所示，请思考：
图4-3-2
探讨1：火车转弯处的铁轨有什么特点？火车运动轨迹所在的平面是倾斜的还是水平的．
【提示】 转弯处铁轨外高内低．水平的．
探讨2：火车转弯时速度过大或过小，会对哪侧轨道有侧压力？其转弯速度v是多大时，火车对轨道无压力？
【提示】 车速过大，对外轨产生挤压．车速过小，对内轨产生挤压．v＝.
1．轨道分析
火车在转弯过程中，运动轨迹是一圆弧，由于火车转弯过程中重心高度不变，故火车轨迹所在的平面是水平面，而不是斜面．火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心．
2．向心力的来源分析(如图4-3-3所示)
图4-3-3
火车速度合适时，火车受重力和支持力作用，火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，合力沿水平方向，大小F＝mgtan θ.
3．规定速度分析
若火车转弯时只受重力和支持力作用，不受轨道压力．则mgtan θ＝m，可得v0＝.(R为弯道半径，θ为轨道所在平面与水平面的夹角，v0为转弯处的规定速度)．
4．轨道压力分析
1．赛车在倾斜的轨道上转弯如图4-3-4所示，弯道的倾角为θ，半径为r，则赛车完全不靠摩擦力转弯的速率是(设转弯半径水平)( )
图4-3-4
A.
B.
C.
D.
【解析】 设赛车的质量为m，赛车受力分析如图所示，可见：F合＝mgtan θ，而F合＝m，故v＝.
【答案】 C
2．火车在某个弯道按规定运行速度40 m/s转弯时，内、外轨对车轮皆无侧压力，若火车在该弯道实际运行速度为30 m/s，则下列说法中正确的是 ( )
A．仅内轨对车轮有侧压力
B．仅外轨对车轮有侧压力
C．内、外轨对车轮都有侧压力
D．内、外轨对车轮均无侧压力
【解析】 火车在弯道按规定运行速度转弯时，重力和支持力的合力提供向心力，内、外轨对车轮皆无侧压力。若火车的运行速度小于规定运行速度时，重力和支持力的合力大于火车需要的向心力，火车将做近心运动，内轨对车轮产生侧压力，重力、支持力和内轨的侧压力的合力提供火车做圆周运动的向心力，故A正确．
【答案】 A
3．某游乐场里的赛车场为圆形，半径为100 m，一赛车和乘客的总质量为100 kg，车轮与地面间的最大静摩擦力为600 N．(g取10 m/s2)
(1)若赛车的速度达到72 km/h，这辆车在运动过程中会不会发生侧移？
(2)若将场地建成外高内低的圆形，且倾角为30°，并假设车轮和地面之间的最大静摩擦力不变，为保证赛车的行驶安全，赛车最大行驶速度应为多大？
【解析】 (1)赛车在场地上做圆周运动的向心力由静摩擦力提供，如图甲所示．赛车做圆周运动所需的向心力为F＝＝400 N＜600 N，所以赛车在运动过程中不会发生侧移．
甲 乙
(2)若将场地建成外高内低的圆形，则赛车做匀速圆周运动的向心力由重力mg、支持力N和静摩擦力的合力来提供，如图乙所示为赛车做圆周运动的后视图(赛车正垂直纸面向里运动)．赛车以最大速度行驶时，地面对赛车的摩擦力为最大静摩擦力．由牛顿第二定律得
水平方向：Nsin θ＋fmaxcos θ＝m
竖直方向：Ncos θ－fmaxsin θ－mg＝0
代入数据解得vmax＝≈35.6 m/s.
【答案】 (1)不会 (2)35.6 m/s
火车转弯问题的解题策略
1．对火车转弯问题一定要搞清合力的方向，指向圆心方向的合外力提供火车做圆周运动的向心力，方向指向水平面内的圆心．
2．弯道两轨在同一水平面上时，向心力由外轨对轮缘的挤压力提供．
竖 直 平 面 内 的 圆 周 运 动 实 例 分 析
1．汽车过拱形桥
项目
汽车过凸形桥
汽车过凹形桥
向心力
支持力与重力合力
做向心力
支持力与重力合力
做向心力
方程
mg－N＝m
N－mg＝m
支持力
N＝mg－m
支持力<重力，
当v＝时N＝0
N＝mg＋m
支持力>重力
2.过山车(在最高点和最低点)
(1)向心力来源：受力如图4-3-5，重力和支持力的合力提供向心力．
图4-3-5
(2)向心力方程
1．过山车在运动时，做的是匀速圆周运动．(×)
2．汽车在凸形桥上行驶时，速度较小时，对桥面的压力大于车重，速度较大时，对桥面的压力小于车重．(×)
3．汽车过凹形桥时，对桥面的压力一定大于车重．(√)
过山车和乘客在轨道上的运动是圆周运动(如图4-3-6甲、乙所示)．那么
甲 乙
图4-3-6
过山车驶至轨道的顶部，车与乘客都在轨道的下方，为什么不会掉下来？
【提示】 过山车驶至轨道的顶部时，车所受的轨道的压力和所受的重力的合力提供车做圆周运动的向心力，只改变速度方向，而不使物体做自由落体运动．
小球分别在轻绳(如图4-3-7甲)和轻杆(如图4-3-7乙)的一端绕另一端在竖直平面内运动，请思考：
图4-3-7
探讨1：小球要在竖直平面内完成圆周运动，经过最高点时的最小速度能为零吗？
【提示】 轻绳上的小球最小速度不能为零．
轻杆上的小球最小速度可以为零．
探讨2：小球经过最高点时，与绳(或杆)之间的作用力可以为零吗？
【提示】 小球轻过最高点时与绳或杆的作用力可以为零．
1．汽车过桥问题的分析：
(1)汽车过凸形桥．
汽车在桥上运动，经过最高点时，汽车的重力与桥对汽车支持力的合力提供向心力．如图4-3-8甲所示．
图4-3-8
由牛顿第二定律得：G－N＝m，则N＝G－m.
汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对相互作用力，即N′＝N＝G－m，因此，汽车对桥的压力小于重力，而且车速越大，压力越小．
①当0≤v＜时，0＜N≤G.
②当v＝时，N＝0，汽车做平抛运动飞离桥面，发生危险．
③当v＞时，汽车做平抛运动飞离桥面，发生危险．
(2)汽车过凹形桥．
如图4-3-8乙所示，汽车经过凹形桥面最低点时，受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两个力的合力提供向心力，则N－G＝m，故N＝G＋m.由牛顿第三定律得：汽车对凹形桥面的压力N′＝G＋m，大于汽车的重力，而且车速越大，车对桥面的压力越大．
2．过山车问题分析：如图4-3-9所示，设过山车与坐在上面的人的质量为m，轨道半径为r，过山车经过顶部时的速度为v，以人和车作为一个整体，在顶部时所受向心力是由重力和轨道对车的弹力的合力提供的．由牛顿第二定律得mg＋N＝m.人和车要不从顶部掉下来，必须满足的条件是：N≥0.
当N＝0时，过山车通过圆形轨道顶部的速度为临界速度，此时重力恰好提供过山车做圆周运动的向心力，即mg＝m，临界速度为v临界＝，过山车能通过最高点的条件是v≥.
图4-3-9
3．轻绳模型：如图4-3-10所示，轻绳系的小球或在轨道内侧运动的小球，在最高点时的临界状态为只受重力，由mg＝m，得v＝.
图4-3-10
在最高点时：
(1)v＝时，拉力或压力为零．
(2)v＞时，物体受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大．
(3)v＜时，物体不能达到最高点．(实际上球未到最高点就脱离了轨道)
即绳类模型中小球在最高点的临界速度为v临＝.
4．轻杆模型：如图4-3-11所示，在细轻杆上固定的小球或在管形轨道内运动的小球，由于杆和管能对小球产生向上的支持力，所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是在最高点的速度大于或等于零，小球的受力情况为：
图4-3-11
(1)v＝0时，小球受向上的支持力N＝mg.
(2)0＜v＜时，小球受向上的支持力且随速度的增大而减小．
(3)v＝时，小球只受重力．
(4)v＞时，小球受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大．
即杆类模型中小球在最高点的临界速度为v临＝0.
4．(多选)如图4-3-12所示，汽车以速度v通过一弧形的拱桥顶端时，关于汽车受力的说法中正确的是( )
图4-3-12
A．汽车的向心力就是它所受的重力
B．汽车的向心力是它所受的重力与支持力的合力，方向指向圆心
C．汽车受重力、支持力、牵引力、摩擦力和向心力的作用
D．汽车受到的支持力比重力小
【解析】 汽车以速度v通过一弧形的拱桥顶端时，汽车受重力、支持力、牵引力和摩擦力，重力与支持力的合力提供向心力，方向指向圆心，A、C错误，B正确；汽车受到的支持力比重力小，D正确．
【答案】 BD
5．长为L的细绳，一端系一质量为m的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度v0，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点，则下列说法中正确的是( )
A．球过最高点时，速度为零
B．球过最高点时，绳的拉力为mg
C．开始运动时，绳的拉力为m
D．球过最高点时，速度大小为
【解析】 开始运动时，由小球受的重力mg和绳的拉力F的合力提供向心力，即F－mg＝m，F＝m＋mg，可见C不正确；小球刚好过最高点时，绳拉力为0，mg＝m，v＝，A、B不正确．故选D.
【答案】 D
6．游乐场的过山车的运动过程可以抽象为图4-3-13所示模型．弧形轨道的下端与圆轨道相接，使小球从弧形轨道上端A点由静止滑下，进入圆轨道后沿圆轨道运动，最后离开．试分析A点离地面高度h至少要多大，小球才可以顺利通过圆轨道最高点(已知圆轨道的半径为R，不考虑摩擦等阻力)．
图4-3-13
【解析】 小球恰好通过圆轨道的最高点时，轨道对小球的作用力为零．小球从A点到达圆轨道最高点的过程中，由机械能守恒定律得：mgh＝mg·2R＋mv2，在圆轨道最高处：mg＝m，解得h＝R.
【答案】 R
“二明、一分、一用”解竖直平面内圆周运动问题
第3节 向心力的实例分析
学习目标
核心提炼
1.会分析汽车、火车转弯时的向心力来源。
2.会分析汽车过凸形桥和凹形桥时的向心力来源。
3.理解轻绳模型和轻杆模型的相同点和不同点。
4个实例——铁路的弯道、汽车转弯、凹凸桥、“过山车”
一、转弯时的向心力实例分析
阅读教材第76～77页“转弯时的向心力实例分析”部分，知道汽车转弯时所需要的向心力和铁路的弯道上两轨高度的设计特点、目的。
1.汽车在水平路面转弯
汽车
2.汽车、火车在内低外高的路面上转弯
思考判断
(1)汽车在水平路面上正常转弯时所需要的向心力是滑动摩擦力提供的。( )
(2)铁路的轨道，内、外轨道都是一样高。( )
答案 (1)× (2)×
二、竖直平面内的圆周运动实例分析
阅读教材第77～78页“拱形桥”部分，结合图4－23、图4－26，会用向心力公式分析汽车过凸形桥与凹形桥时的受力情况。
1.汽车过拱形桥
分类
分析
汽车过凸形桥
汽车过凹形桥
向心力
支持力与重力的合力提供向心力
支持力与重力的合力提供向心力
方程
mg－N＝m
N－mg＝m
压力
N＝mg－m
压力小于重力，当v＝时N＝0
N＝mg＋m
压力大于重力
2.过山车(在最高点和最低点)
(1)向心力来源：受力如图1所示，重力和支持力的合力提供向心力。
图1
(2)向心力方程
(3)通过最高点的条件：由N≥0，得v≥。
思维拓展
过山车和乘客在轨道上的运动是圆周运动，如图2所示，过山车驶至轨道的顶部，车与乘客在轨道的下方，为什么车与乘客不会掉下来？
图2
答案 过山车驶至轨道的顶部时，车所受的重力和轨道的弹力的合力提供车做圆周运动的向心力，满足车做圆周运动的条件，而非近心运动或自由落体运动。
火车转弯问题的分析与计算
[要点归纳]
1.火车轮缘结构特点：火车的车轮有凸出的轮缘。火车在轨道上运行时，车轮上有凸出轮缘的一边在两轨道内侧，如图3所示。这种结构特点，主要是防止火车脱轨。
图3
2.火车在弯道上的运动特点：火车在弯道上运动时，实际上是在做圆周运动，因而具有向心加速度，由于其质量巨大，所以需要很大的向心力。
3.向心力的来源：外轨高于内轨，向心力由火车的重力和轨道支持力的合力提供，不易损坏铁轨，运行更安全。
图4
4.转弯速度与轨道压力的关系：对转弯行驶的火车，由向心力公式得：mgtan θ＝m，则v＝。
(1)当火车转弯速度等于时，重力和支持力的合力完全提供向心力，轮缘对内、外轨无侧压力。
(2)当火车转弯速度大于时，外轨对轮缘有侧压力。
(3)当火车转弯速度小于时，内轨对轮缘有侧压力。
特别提醒
(1)汽车、摩托车赛道拐弯处和高速公路转弯处设计成外高内低，也是为了减小车轮受到地面施加的侧向力的作用。
(2)火车拐弯时做匀速圆周运动，合力沿水平方向，而不是沿轨道斜面方向。
[精典示例]
[例1] (2018·忻州高一检测) (多选)火车转弯可近似看成是做匀速圆周运动。当火车以规定速度行驶时，内外轨道均不受侧向挤压。现要降低火车转弯时的规定速度，须对铁路进行改造，从理论上讲以下措施可行的是( )
图5
A.减小内外轨的高度差 B.增加内外轨的高度差
C.减小弯道半径 D.增大弯道半径
思路探究
(1)在铁路弯道处，内轨比外轨高还是低？
(2)火车拐弯时按铁路的设计速度行驶时，向心力由哪些力提供？
提示 (1)内轨低于外轨。
(2)由火车的重力和轨道的支持力的合力提供。
解析 当火车以规定速度通过弯道时，火车的重力和支持力的合力提供向心力，如图所示：即F＝mgtan θ，而F＝m，故v2＝gRtan θ。若使火车经弯道时的速度v减小，则可以减小倾角θ，即减小内外轨的高度差，或者减小弯道半径R，故A、C正确，B、D错误。
答案 AC
火车转弯问题的两点注意
(1)合力的方向：火车转弯时，火车所受合力沿水平方向指向圆心，而不是沿轨道斜面向下。因为火车转弯的圆周平面是水平面，不是斜面，所以火车所受合力应沿水平面指向圆心。
(2)规定速度的唯一性：火车轨道转弯处的规定速率一旦确定则是唯一的，火车只有按规定的速率转弯，内外轨才不受火车的挤压作用。速率过大时，由重力、支持力及外轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力；速率过小时，由重力、支持力及内轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力。
[针对训练1] 铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图6所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度等于，则( )
图6
A.内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B.外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C.这时铁轨对火车的支持力等于
D.这时铁轨对火车的支持力大于
解析 由牛顿第二定律F合＝m，解得F合＝mgtan θ，此时火车受到的重力和铁路轨道的支持力的合力提供向心力，如图所示，Ncos θ＝mg，则N＝，故C正确，A、B、D错误。
答案 C
竖直面内的圆周运动
[要点归纳]
1.汽车过拱形桥问题
(1)过凸形桥顶(如图7甲)：
①合力等于向心力：mg－N＝m，N＜mg，汽车处于失重状态，速度越大，支持力越小。
②汽车安全过桥的条件：由mg－N＝m知，当N＝0时，v＝，这时汽车会以该速度从桥顶做平抛运动。故汽车安全过桥的条件是在桥顶的速度v＜。
图7
(2)过凹形桥底(如图7乙)：
合力等于向心力：N－mg＝m，N＞mg，汽车处于超重状态，速度越大，支持力越大。
2.竖直平面内圆周运动的两类模型
(1)轻绳模型
如图8所示，细绳系的小球或在轨道内侧运动的小球，在最高点时的临界状态为只受重力，由mg＝m，得v＝。
图8
在最高点时：
①v＝时，拉力或压力为零。
②v＞时，物体受向下的拉力或压力。
③v＜时，物体不能达到最高点。
即绳类的临界速度为v临＝。
(2)轻杆模型
如图9所示，在细轻杆上固定的小球或在管形轨道内运动的小球，由于杆和管能对小球产生向上的支持力，所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是在最高点的速度大于或等于零。在最高点
图9
①v＝0时，小球受向上的支持力N＝mg。
②0＜v＜时，小球受向上的支持力0＜N＜mg。
③v＝时，小球除受重力之外不受其他力。
④v＞时，小球受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大。
即杆类的临界速度为v临＝0。
[精典示例]
[例2] 长度为0.5 m的轻杆OA绕O点在竖直平面内做圆周运动，A端连着一个质量m＝2 kg的小球。求在下述的两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向(g取10 m/s2)：
(1)杆做匀速圆周运动的转速为2.0 r/s；
(2)杆做匀速圆周运动的转速为0.5 r/s。
思路探究
(1)在最高点，球的向心力由谁提供？
(2)杆对球施加的力一定是拉力吗？
提示 (1)在最高点时，杆对球的弹力和球的重力的合力提供向心力。
(2)杆对球可能提供支持力，也可能提供拉力，由球的加速度决定。
解析 假设小球在最高点的受力如图所示。
(1)杆的转速为2.0 r/s时，ω＝2πn＝4π rad/s
由牛顿第二定律得：F＋mg＝mLω2
故小球所受杆的作用力
F＝mLω2－mg＝2×(0.5×42×π2－10)N≈138 N
即杆对小球提供了138 N的拉力
由牛顿第三定律知，小球对杆的拉力大小为138 N，方向竖直向上。
(2)杆的转速为0.5 r/s时，ω′＝2πn′＝π rad/s
同理可得小球所受杆的作用力
F＝mLω′2－mg＝2×(0.5×π2－10)N≈－10 N。
力F为负值表示它的方向与受力分析中所假设的方向相反，故小球对杆的压力大小为10 N，方向竖直向下。
答案 见解析
竖直平面内圆周运动的分析方法
(1)明确运动的模型，是轻绳模型还是轻杆模型。
(2)明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点。
(3)分析物体在最高点及最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解。
[针对训练2] (2018·郑州高一检测)杂技演员在做“水流星”表演时，用一根细绳系着盛水的杯子，抡起绳子，让杯子在竖直平面内做圆周运动。如图10所示，杯内水的质量m＝0.5 kg，绳子总长l＝120 cm。求：
图10
(1)在最高点水不流出的最小速率；
(2)水在最高点速率v＝3 m/s时，水对杯底的压力大小。
解析 (1)在最高点水不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需要的向心力，即mg≤m，则所求最小速率v0＝＝ m/s＝2.42 m/s。
(2)当水在最高点的速率大于v0时，只靠重力提供向心力已不足，此时杯子底对水有向下的力，设为N，由牛顿第二定律有N＋mg＝m，即N＝m－mg＝0.5× N－0.5×9.8 N＝2.6 N，由牛顿第三定律知，水对杯子的作用力N′＝N＝2.6 N，方向竖直向上。
答案 见解析
1.(汽车过桥问题) (2018·大理高一检测)汽车以恒定的速率通过一圆弧形拱桥，当它位于拱桥顶部时，下列说法正确的是( )
图11
A.汽车处于超重状态
B.汽车对拱桥的压力等于其重力
C.汽车受重力、支持力、牵引力、摩擦力和向心力的作用
D.汽车受到的重力和支持力的合力提供它所需的向心力，方向指向圆弧的圆心
答案 D
2.(竖直面内的圆周运动——绳模型)如图12所示为模拟过山车的实验装置，小球从左侧的最高点释放后能够通过竖直圆轨道而到达右侧。若竖直圆轨道的半径为R，要使小球能顺利通过竖直圆轨道，则小球通过竖直圆轨道的最高点时的角速度最小为( )
图12
A. B.2
C. D.
解析 小球能通过竖直圆轨道的最高点的临界状态为重力提供向心力，即mg＝mω2R，解得ω＝，选项C正确。
答案 C
3.(竖直平面内的圆周运动——杆模型)(2018·泉州高一检测)如图13所示，一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，以下说法正确的是( )
图13
A.小球过最高点时，杆所受的弹力不能等于0
B.小球过最高点时，速度至少为
C.小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球受重力方向相反，此时重力一定大于杆对球的作用
D.小球过最高点时，杆对球作用力一定与小球受重力方向相反
解析 当小球在最高点的速度为时，杆所受弹力为0，A错误；因为是轻杆，小球过最高点时的最小速度是0，B错误；小球过最高点时，如果速度在0～范围内，则杆对小球有向上的支持力，但由于合力向下，故此时重力一定大于杆对球的作用，C正确；小球通过最高点的速度大于，小球的重力不足以提供向心力，此时杆对球产生向下作用力，D错误。
答案 C
4.(圆周运动与平抛运动的结合)一光滑的半径为R的半圆形轨道放在水平面上，一个质量为m的小球以某一速度冲上轨道，然后小球从轨道口B处飞出，最后落在水平面上，已知小球落地点C距B处的距离为3R。求小球对轨道口B处的压力为多大？
图14
解析 设小球经过B点时的速度为v，小球平抛运动的水平位移x＝＝R
竖直方向上2R＝gt2，故v＝＝＝。
在B点根据牛顿第二定律得F＋mg＝m
所以F＝mg，根据牛顿第三定律知，
小球对轨道口B处的压力F′＝F＝mg。
答案 mg
基础过关
1.(2018·遵义高一检测)(多选)火车转弯可以看成是在水平面内做匀速圆周运动，火车速度提高会使外轨受损。为解决火车高速转弯时外轨受损这一难题，下列措施可行的是( )
A.适当减小内外轨的高度差 B.适当增加内外轨的高度差
C.适当减小弯道半径 D.适当增大弯道半径
解析 火车转弯时为减小外轨所受压力，可使外轨略高于内轨，使轨道形成斜面，若火车速度合适内外轨均不受挤压，此时，重力与支持力合力提供向心力，如图，F＝mgtan θ＝m，解得v＝，当火车速度增大时，应适当增大转弯半径或增加内外轨道高度差，故选B、D。
答案 BD
2.如图1所示为水上摩天轮的照片。假如乘客在轿厢中，随转轮始终不停地匀速转动，环绕一周需18分钟。试判断下列关于轿厢中乘客的说法正确的是( )
图1
A.乘客受到的合外力为零
B.乘客在乘坐过程中速度保持不变
C.乘客对座椅的压力大小不变
D.从最低点到最高点的过程中，乘客先超重后失重
解析 每个乘客都在做匀速圆周运动，速度大小不变，方向变化，所以是变速运动，加速度不为零，合力不为零，故A、B错误；乘客对座椅的压力大小是变化的，在最低点最大。到达摩天轮的最高点时，乘客的加速度向下，处于失重状态，对座椅的压力最小，故C错误；当有向上的加速度时处于超重状态，有向下的加速度时处于失重状态，所以从最低点到最高点的过程中，乘客先超重后失重，D正确。
答案 D
3.(2018·保定高一检测)汽车在水平地面上转弯时，地面的摩擦力已达到最大，当汽车速率增大为原来的2倍时，则汽车转弯的轨道半径必须( )
A.减小为原来的 B.减小为原来的
C.增大为原来的2倍 D.增大为原来的4倍
解析 汽车在水平路面上转弯，向心力由静摩擦力提供。设汽车质量为m，汽车与路面的最大静摩擦力为Ffm，汽车的转弯半径为r，则Ffm＝m，故r∝v2，故速率增大为原来的2倍时，转弯半径增大到原来的4倍，D项正确。
答案 D
4.如图2所示，质量为m的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端做圆周运动。当小球运动到最高点时，瞬时速度v＝，L是球心到O点的距离，则球对杆的作用力是( )
图2
A.拉力，大小为mg B.压力，大小为mg
C.0 D.压力，大小为mg
解析 当只有重力提供向心力时，球对杆的作用力为零，所以mg＝m，解得v′＝。因为＜，杆对球的作用力是支持力，即mg－N＝m，解得N＝mg，由牛顿第三定律，球对杆的作用力是压力，故选B。
答案 B
5.某飞行员的质量为m，驾驶飞机在竖直面内以速度v做匀速圆周运动，圆的半径为R，在圆周的最高点和最低点比较，飞行员对座椅的压力最低点比最高点大(设飞行员始终垂直于座椅的表面)( )
A.mg B.2mg
C.mg＋ D.
解析 在最高点有：F1＋mg＝m，解得F1＝m－mg；在最低点有：F2－mg＝m，解得F2＝mg＋m。所以F2－F1＝2mg，B正确。
答案 B
6.(2018·宜昌高一检测)游乐园里过山车原理的示意图如图3所示。设过山车的总质量为m，由静止从高为h的斜轨顶端A点开始下滑，到半径为r的圆形轨道最高点B时恰好对轨道没有压力。求：
图3
(1)过山车在圆形轨道最高点B时的速度大小v；
(2)过山车从A到B过程中克服阻力所做的功W。
解析 (1)在B点，由牛顿第二定律和向心力公式，
有mg＝m，得v＝。
(2)设克服阻力做功为W，则阻力做功为－W，
由动能定理有mg(h－2r)－W＝mv2，
得W＝mgh－mgr。
答案 (1) (2)mgh－mgr
能力提升
7. (2018·南通高一检测)(多选)如图4所示，小球m在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动，下列说法正确的是( )
图4
A.小球通过最高点时的最小速度是
B.小球通过最高点时的最小速度为零
C.小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力
D.小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力
解析 圆环外侧、内侧都可以对小球提供弹力，小球通过最高点时的速度可以为零，小球在水平线ab以下时，必须有指向圆心的力提供向心力，即外侧管壁对小球一定有作用力，故B、D正确。
答案 BD
8.(2018·西安高一检测)质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道内侧运动，若经最高点不脱离轨道的临界速度为v，则当小球以2v速度经过最高点时，小球对轨道的压力大小为( )
A.0 B.mg
C.3mg D.5mg
解析 当小球以速度v经内轨道最高点时，小球仅受重力，重力提供向心力，有：mg＝m
当小球以速度2v经内轨道最高点时，小球受重力mg和向下的支持力N，如图，合力提供向心力，有：mg＋N＝m；又由牛顿第三定律得到，小球对轨道的压力与轨道对小球的支持力相等，N′＝N；由以上三式可得，N′＝3mg。故C正确。
答案 C
9. (2018·青岛高一检测)如图5所示，底面半径为R的平底漏斗水平放置，质量为m的小球置于底面边缘紧靠侧壁，漏斗内表面光滑，侧壁的倾角为θ，重力加速度为g。现给小球一垂直于半径向里的某一初速度v0，使之在漏斗底面内做圆周运动，则( )
图5
A.小球一定受到两个力的作用
B.小球可能受到三个力的作用
C.当v0＜时，小球对底面的压力为零
D.当v0＝时，小球对侧壁的压力为零
解析 设小球刚好对底面无压力时的速度为v，此时小球的向心力F＝mgtan θ＝m，所以v＝。故当小球转动速度v0＜时，它受重力、底面的支持力和侧壁的弹力三个力作用；故当小球转动速度v0＝时，它只受重力和侧壁的弹力作用。因此选项B正确，A、C、D错误。
答案 B
10.杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m 的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝0.5 kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图6所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g＝10 m/s2)( )
图6
A.“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出
B.“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零
C.“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用
D.“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N
解析 水流星在最高点的临界速度v＝＝4 m/s，由此知绳的拉力恰为零，且水恰不流出，故B正确，A、D错误；完全失重状态并不是不受重力，故C错误。
答案 B
11.质量m＝1 000 kg的汽车通过圆形弧拱形桥时的速率恒定，拱形桥的半径R＝10 m。(重力加速度g取10 m/s2)试求：
(1)汽车在最高点对拱形桥的压力为车重的一半时汽车的速率；
(2)汽车在最高点对拱形桥的压力为零时汽车的速率。
解析 (1)汽车在最高点的受力如图所示：
有mg－N＝m，当N＝mg时，汽车速率
v＝＝m/s＝5 m/s。
(2)汽车在最高点对拱形桥的压力为零时，有mg＝m
解得v＝＝ m/s＝10 m/s。
答案 (1)5 m/s (2)10 m/s
12.有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图7所示。长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转动轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ。不计钢绳的重力，求：
图7
(1)转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系；
(2)此时钢绳的拉力多大？
解析 (1)对座椅受力分析，如图所示。
转盘转动的角速度为ω时，钢绳与竖直方向的夹角为θ，则座椅到转轴的距离即座椅做圆周运动的半径为R＝r＋Lsin θ①
根据牛顿第二定律：
mgtan θ＝mω2R②
由①②得：ω＝
(2)设钢绳的拉力为T，由力的三角形知：T＝。
答案 (1)ω＝ (2)
13. (2018·泰州高一检测)如图8所示，小球沿光滑的水平面冲上一个光滑的半圆形轨道，已知轨道的半径为R，小球到达轨道的最高点时对轨道的压力大小恰好等于小球的重力，不计空气阻力。求：
图8
(1)小球到达轨道最高点时的速度大小；
(2)小球落地时距A点的距离；
(3)落地时速度的大小。
解析 (1)小球到达轨道的最高点时对轨道的压力大小恰好等于小球的重力，由牛顿第二定律得mg＋N＝2mg＝m
则小球的速度为v＝。
(2)小球离开轨道后做平抛运动，
由平抛运动规律得2R＝gt2
s＝vt
联立解得s＝2R。
(3)小球脱离轨道后，只受重力作用，只有重力做功，机械能守恒，取水平面为零势能面，则2mgR＋mv2＝mv′2
落地时的速度大小为v′＝。
答案 (1) (2)2R (3)
