学业分层测评(十七)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
1．在水平面上转弯的汽车，向心力是( )
A．重力和支持力的合力
B．静摩擦力
C．滑动摩擦力
D．重力、支持力和牵引力的合力
【解析】 水平面上转弯的汽车，重力和地面对汽车的支持力相平衡，向心力由指向圆心的静摩擦力提供，故B正确，A、C、D错误．
【答案】 B
2．某高速公路弯道处设计为内侧低外侧高的圆弧弯道，使路面与水平面有一倾角α，弯道半径为R.当汽车在该弯道处沿侧向的摩擦力恰为零时，汽车转弯的速度v为( )
A．v＝
B．v＝
C．v＝
D．安全速度与汽车的质量有关
【解析】 当汽车在该弯道处沿侧向的摩擦力恰为零时，汽车转弯所需的向心力由重力和路面支持力的合力提供，即mgtan α＝m，则汽车的转弯速度为v＝，选项A正确．
【答案】 A
3．冰面对溜冰运动员的最大静摩擦力为运动员重力的k倍，在水平冰面上沿半径为R的圆周滑行的运动员，其安全速度应为( )
A．v＝k B．v≤
C．v≥ D．v≤
【解析】 当处于临界状态时，有kmg＝m，得临界速度v＝.故安全速度v≤.
【答案】 B
4．如图4-3-14所示，将完全相同的两小球A、B用长L＝0.8 m的细绳悬于以v＝4 m/s向左匀速运动的小车顶部，两球与小车前后壁接触．由于某种原因，小车突然停止，此时悬线中张力之比TA∶TB为(g取10 m/s2)( )
图4-3-14
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶3 D．1∶4
【解析】 小车突然停止，B球将做圆周运动，所以TB＝m＋mg＝30m；A球将静止，TA＝mg＝10m，故此时悬线中张力之比为TA∶TB＝1∶3，C选项正确．
【答案】 C
5.如图4-3-15所示，用轻绳一端拴一小球，绕另一端O在竖直平面内做圆周运动．若绳子不够牢，则运动过程中绳子最易断的位置是小球运动到( )
图4-3-15
A．最高点
B．最低点
C．两侧与圆心等高处
D．无法确定
【解析】 在最低点位置时，小球的速率最大，向心力方向又向上，拉力F＝mg＋m，此处绳子受到的拉力最大，故最易断．选项B正确．
【答案】 B
6．长为L的细线一端拴一质量为m的小球，小球绕细线另一固定端在竖直平面内做圆周运动并恰能通过最高点，不计空气阻力，设小球通过最低点和最高点时的速度分别为v1和v2，细线所受拉力分别为F1、F2，则( )
A．v1＝ B．v2＝0
C．F1＝5mg D．F2＝mg
【解析】 小球恰能通过最高点，细线拉力F2＝0，由mg＝m，得v2＝；由机械能守恒定律得：mv＝mg·2L＋mv，解得：v1＝；通过最低点时，由F1－mg＝m，解得F1＝6mg.故选A.
【答案】 A
7．质量可忽略，长为L的轻棒，末端固定一质量为m的小球，要使其绕另一端点在竖直平面内做圆周运动，那么小球在最低点时的速度v必须满足的条件为( )
A．v≥ B．v≥
C．v≥2 D．v≥
【解析】 小球到最高点时速度v1≥0，由机械能守恒定律得：mv2＝mg·2L＋mv，解得：v≥2.故选C.
【答案】 C
8．质量为103 kg的小汽车驶过一座半径为50 m的圆形拱桥，到达桥顶时的速度为5 m/s.求：
(1)汽车在桥顶时对桥的压力；
(2)如果要求汽车到达桥顶时对桥的压力为零，且车不脱离桥面，到达桥顶时的速度应是多大？
【解析】 (1)汽车在最高点时重力与支持力的合力提供向心力．
mg－N＝m
N＝mg－m＝9 500 N
由牛顿第三定律可知，汽车对桥的压力
N′＝9 500 N(竖直向下)．
(2)当汽车对桥面压力恰好为0时，有：mg＝m
v＝＝10 m/s.
【答案】 (1)9 500 N 竖直向下 (2)10 m/s
[能力提升]
9．(多选)如图4-3-16所示，小球m在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动，下列说法正确的是 ( )
图4-3-16
A．小球通过最高点时的最小速度是
B．小球通过最高点时的最小速度为零
C．小球通过最低点时对管壁压力一定大于重力
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力
【解析】 小球在光滑的圆形管道内运动到最高点时的最小速度为零，A错误，B正确；小球通过最低点时N－mg＝m，得N＝mg＋m，故小球通过最低点时对管壁压力一定大于重力，C正确；小球在水平线ab以上的管道中运动时外侧管壁对小球不一定有作用力，D错误．
【答案】 BC
10．如图4-3-17所示，是从一辆在水平公路上行驶着的汽车后方拍摄的汽车后轮照片．从照片来看，汽车此时正在( )
图4-3-17
A．直线前进 B．向右转弯
C．向左转弯 D．不能判断
【解析】 从汽车后方拍摄的后轮照片可以看到汽车的后轮发生变形，汽车不是正在直线前进，而是正在转弯，根据惯性、圆周运动和摩擦力知识，可判断出地面给车轮的静摩擦力水平向左，所以汽车此时正在向左转弯，应选答案C.
【答案】 C
11．如图4-3-18所示，小球A质量为m，固定在轻细直杆L的一端，并随杆一起绕杆的另一端点O在竖直平面内做圆周运动，如果小球经过最高位置时，杆对小球的作用力大小等于小球的重力．求：
图4-3-18
(1)小球的速度大小；
(2)当小球经过最低点时速度为，此时，求杆对球的作用力的大小和球的向心加速度的大小．
【解析】 (1)小球A在最高点时，对球受力分析：重力mg，拉力F＝mg或支持力F＝mg
根据牛顿第二定律得
mg±F＝m ①
F＝mg ②
解①②两式，可得v＝或v＝0.
(2)小球A在最低点时，对球受力分析：重力mg、拉力F′，设向上为正方向
根据牛顿第二定律，F′－mg＝m
解得F′＝mg＋m＝7mg
故球的向心加速度a＝＝6g.
【答案】 (1)或0 (2)7mg 6g
12．AB是竖直平面内的四分之一圆弧轨道，下端B与水平直轨道相切，如图4-3-19所示．一小球自A点起由静止开始沿轨道下滑．已知圆弧轨道半径为R，小球的质量为m，不计各处摩擦．求：
图4-3-19
(1)小球运动到B点时的动能．
(2)小球经过圆弧轨道的B点和水平轨道的C点时，所受轨道支持力NB、NC各是多大？
【解析】 (1)小球自A点由静止开始沿轨道运动到最低点B的过程中，只有重力做功，机械能守恒．取BC水平面为零重力势能面，则mgR＝mv
B点的动能为Ek＝mv＝mgR.
(2)小球运动到B点时，由牛顿第二定律得，
NB－mg＝m
则NB＝3mg.
到达C点时，竖直方向由平衡条件得：
NC＝mg.
【答案】 (1)mgR (2)3mg mg
向心力的实例分析
我夯基 我达标
1.关于在公路上行驶的汽车转弯，下列说法中正确的是（ ）
A.在内外侧等高的公路上转弯时的向心力由静摩擦力提供
B.在内外侧等高的公路上转弯时的向心力由滑动摩擦力提供
C.在内侧低、外侧高的公路上转弯时的向心力可能由重力和支持力的合力提供
D.在内侧低、外侧高的公路上转弯时的向心力可能由重力、摩擦力和支持力的合力提供
2.如图4－3－12所示，一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做圆周运动，以下说法中正确的是（ ）
图4－3－12
A.小球过最高点时，杆所受的弹力一定等于零
B.小球过最高点时速度只要稍大于零即可
C.小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球所受重力方向相反，此时重力一定大于杆对球的作用力
D.小球过最高点时，杆对球的作用力大小可能等于重力
3.火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定.若在某转弯处规定行驶速度为v，则下列说法中正确的是（ ）
①当以速度v通过此弯路时，火车重力与轨道支持力的合力提供向心力 ②当以速度v通过此弯路时，火车重力、轨道支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力 ③当速度大于v时，轮缘挤压外轨 ④当速度小于v时，轮缘挤压外轨
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
4.汽车以一定速率通过拱桥时，下列说法中正确的是（ ）
A.在最高点汽车对桥的压力大于汽车的重力
B.在最高点汽车对桥的压力等于汽车的重力
C.在最高点汽车对桥的压力小于汽车的重力
D.汽车以恒定的速率过桥时，汽车所受的合力为零
5.如图4－3－13所示，在固定的圆锥形漏斗的光滑内壁上，有两个质量相等的小物块A和B，它们分别紧贴漏斗的内壁，在不同的水平面上做匀速圆周运动.则以下叙述中正确的是（ ）
图4－3－13
A.物块A的线速度大于物块B的线速度
B.物块A的角速度大于物块B的角速度
C.物块A对漏斗内壁的压力大于物块B对漏斗内壁的压力
D.物块A的周期大于物块B的周期
我综合 我发展
6.质量相等的两辆汽车以相同的速度v分别通过半径皆为r的凸形桥的顶部与凹形桥的底部，两桥面各受的压力之比F1∶F2＝_______________.
7.如图4－3－14所示，在内壁光滑的平底试管内放一个质量为1 g的小球，试管的开口端加盖与水平轴O连接.试管底与O相距5 cm，试管在转轴带动下沿竖直平面做匀速圆周运动，g取10 m/s2，则：
图4－3－14
（1）转轴的角速度为__________时，试管底所受压力的最大值等于最小值的3倍；
（2）转轴的角速度__________时，会出现小球与试管底脱离接触的情况.
8.如图4－3－15所示，内壁光滑的导管弯成圆轨道竖直放置，轨道半径为r，其质量为2m.小球质量为m，在管内滚动，当小球运动到最高点时，导管刚好要离开地面，此时小球速度为多大?
图4－3－15
9.如图4－3－16所示，质量为m＝0.1 kg的小球和A、B两根细绳相连，两绳固定在细杆的A、B两点，其中AC绳长lAC＝2 m，当两绳都拉直时，A、B两绳和细杆的夹角θ1＝30°，θ2＝45°，g取10 m/s2.求：当细杆转动的角速度在什么范围内，A、B两绳始终张紧？
图4－3－16
10.飞机俯冲拉起时，飞行员处于超重状态，即飞行员对座位的压力大于他所受的重力，这种现象叫过荷，这时会造成飞行员大脑贫血，四肢沉重.过荷过大时，飞行员还会暂时失明，甚至昏厥.飞行员可以通过加强训练来提高自己的抗荷能力.如图4－3－17所示是离心实验器的原理图，可以用离心实验器来研究过荷对人体的影响，测验人的抗荷能力.离心实验器转动时，被测者做匀速圆周运动，若被测者所受的重力为G，现观察到图中的直线AB（即垂直于座位的直线）与水平杆成30°角.求：
图4－3－17
（1）被测者做匀速圆周运动所需的向心力为多大？
（2）被测者对座位的压力为多大？
参考答案
1思路解析：汽车在内外侧等高的公路上转弯时，竖直方向受到重力和支持力，是一对平衡力，运动方向有牵引力和阻力，是一对平衡力，因有沿半径向外运动的趋势，所以有侧向的静摩擦力充当向心力.
答案：ACD
2思路解析：轻杆连着小球在竖直面内做圆周运动时，由于在最高点杆可以对球产生向下的拉力，也可以对球产生向上的支持力;当小球在最高点的速度为时，需要的向心力F＝mv2/r＝mg，此时轻杆对小球的作用力为零；当小球在最高点的速度大于时，需要的向心力F＝mv2/r＞mg，此时轻杆对小球的作用力为竖直向下的拉力，有mg＋T＝mv2/r，当v足够大时，杆对球的作用力大小可以大于或等于重力，选项D正确.当小球在最高点的速度小于时，需要的向心力F＝mv2/r＜mg，此时轻杆对小球的作用力为竖直向上的支持力，有mg－N＝mv2/r，此时重力一定大于杆对球的作用力，选项C正确.同时球在最高点的速度可以无限接近于零，此时N趋近于重力mg，选项B正确.
答案：BCD
3思路解析：火车转弯时，若重力和轨道支持力的合力充当向心力，即有mgtanθ＝mv2/r成立时（v为规定行驶速度），火车轮缘对外轨和内轨均无挤压；当行驶速度大于v时，重力和轨道支持力的合力不足以提供向心力，轮缘挤压外轨，产生弹力以补充不足.反之，轮缘将挤压内轨.由以上分析知，选项A正确.
答案：A
4思路解析：汽车以一定速率过拱桥时做匀速圆周运动，在最高点向心加速度竖直向下，处于失重状态，即在最高点汽车对桥的压力小于汽车的重力.可知选项C正确.
答案：C
5思路解析：如右图所示，物块做圆周运动时，重力和漏斗内壁的支持力充当向心力，有mgcotθ＝mv2/r，rA＞rB，所以vA＞vB，选项A正确.mgcotθ＝mω2r，rA＞rB，所以ωA＜ωB，选项B错误.又T＝2π/ω，所以TA＞TB，选项D正确.由图可知，漏斗内壁对物块A的支持力等于漏斗内壁对物块B的支持力，选项C错误.
答案：AD
6思路解析：汽车过凸形桥的顶部时，
有mg－F1＝ mv2/r,
汽车过凹形桥的底部时，有
F2－mg＝ mv2/r，F1∶F2＝.
答案：
7思路解析：（1）小球在最低点时，对试管底的压力最大，有Fmax－mg＝mω2r，Fmax＝mg＋mω2r；小球在最高点时，对试管底的压力最小，有Fmin＋mg＝mω2r，Fmin＝mω2r－mg，Fmax/Fmin＝3，ω＝＝20 rad/s.
（2）当小球在最高点时，对试管底的压力等于零时为临界状态，有mg＝mω2r，ω＝＝14.14 rad/s，当转轴的角速度小于14.14 rad/s时，小球到不了最高点，会出现小球与试管底脱离接触的情况.
答案：（1）20 rad/s （2）小于 14.14 rad/s
8思路解析：这是圆周运动中隔离法的应用.导管刚好要离开地面，地面对它的支持力为零，小球运动到最高点时对导管的作用力N＝2mg，方向竖直向上，则导管对小球的作用力N＝2mg，方向竖直向下，对小球有：N＋mg＝mv2/r，得v＝
答案：
9思路解析：设BC绳刚好伸直时的角速度为ω1，如右上图所示，F合＝mgtan30°＝mω12r，式中r＝lACsin30°＝1 m，得ω1＝2.4 rad/s；设AC绳刚好要松弛时的角速度为ω2，同理，mgtan45°＝mω22r，式中r＝lACsin30°＝1 m，得ω2＝3.16 rad/s.
答案：2.4 rad/s≤ω≤3.16 rad/s
10思路解析：这是一个联系实际的问题，其本质仍是匀速圆周运动.被测者做匀速圆周运动的向心力由他所受的重力和座位对他的支持力的合力来提供，对其受力分析如右图所示.
（1）做匀速圆周运动需要的向心力F向＝Gcot30°＝G.
（2）座位对其的支持力为F＝G/sin30°＝2G
由牛顿第三定律可知，飞行员对座位的压力大小也为2G.
答案：（1）G （2）2G
