2018-2019学年度高中数学人教A版必修二课时作业：3.3.3—3.3.4　两条平行直线间的距离+Word版含解析

3.3.3　点到直线的距离
3.3.4　两条平行直线间的距离
【选题明细表】
知识点、方法
题号
点到直线的距离
1,2,4,6
两平行线间的距离
3,5,9,10
综合应用
7,8,11,12,13
基础巩固
1.点P(x,y)在直线x+y-4=0上,O是原点,则|OP|的最小值是(　B　)
(A) (B)2 (C) (D)2
解析:由题意可知|OP|的最小值即原点(0,0)到直线x+y-4=0的距离d==2.
2.已知点(a,1)到直线x-y+1=0的距离为1,则a的值为(　D　)
(A)1 (B)-1 (C) (D)±
解析:由题意,得=1,即|a|=,
所以a=±.故选D.
3.(2018·四川绵阳市模拟)若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+ 5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为(　C　)
(A) (B) (C) (D)
解析:因为=≠,所以两直线平行,由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,即=,所以|PQ|的最小值为.故选C.
4.直线l垂直于直线y=x+1,原点O到l的距离为1,且l与y轴正半轴有交点,则直线l的方程是(　A　)
(A)x+y-=0 (B)x+y+1=0
(C)x+y-1=0 (D)x+y+=0
解析:因为直线l与直线y=x+1垂直,所以设直线l的方程为y=-x+b.又l与y轴正半轴有交点,知b>0,即x+y-b=0(b>0),原点O(0,0)到直线x+y-b=0(b>0)的距离为=1,解得b=(b=-舍去),所以所求直线l的方程为x+y-=0.
5.(2018·甘肃武威凉州区期末)已知两条平行直线l1:3x+4y+5=0, l2:6x+by+c=0间的距离为3,则b+c等于(　D　)
(A)-12 (B)48 (C)36 (D)-12或48
解析:将l1:3x+4y+5=0改写为6x+8y+10=0,
因为两条直线平行,所以b=8.
由=3,解得c=-20或c=40.
所以b+c=-12或48.故选D.
6.若A(3,2)和B(-1,4)到直线l:mx+y+3=0的距离相等,则m的值等于　　　 　.?
解析:因为A,B两点到直线l的距离相等,所以AB∥l或l过AB的中点,所以=-m或m+3+3=0,所以m=或m=-6.
答案:或-6
7.一直线过点P(2,0),且点Q到该直线的距离等于4,则该直线的倾斜角为　　 　.?
解析:当过P点的直线垂直于x轴时,Q点到直线的距离等于4,此时直线的倾斜角为90°,
当过P点的直线不垂直于x轴时,直线斜率存在,
设过P点的直线为y=k(x-2),
即kx-y-2k=0.
由d==4,解得k=.
所以直线的倾斜角为30°.
答案:90°或30°
8.过点P(1,2)引直线,使A(2,3),B(4,-5)到它的距离相等,求这条直线的方程.
解:法一　因为kAB=-4,线段AB的中点为(3,-1),
所以过P(1,2)且与直线AB平行的直线方程为
y-2=-4(x-1),
即4x+y-6=0.此直线符合题意.
过P(1,2)及线段AB的中点(3,-1)的直线方程为y-2=-(x-1),
即3x+2y-7=0.
此直线也是所求.
故所求直线方程为4x+y-6=0或3x+2y-7=0.
法二　显然这条直线斜率存在.
设直线方程为y=kx+b,据条件有
化简得或
所以k=-4,b=6或k=-,b=.
所以直线方程为y=-4x+6或y=-x+,
即4x+y-6=0或3x+2y-7=0.
能力提升
9.两条平行线分别经过点A(3,0),B(0,4),它们之间的距离d满足的条件是(　B　)
(A)0(C)0解析:当两平行线与AB垂直时,两平行线间的距离最大,为|AB|=5.所以010.直线3x+2y-3=0与6x+my+1=0互相平行,则它们间的距离等于　.?
解析:由两直线平行,得=,得m=4,所以两直线可化为6x+4y-6=0,6x+4y+1=0,它们之间的距离d==.
答案:
11.(2018·湖南益阳资阳区模拟)已知实数x,y满足2x+y+5=0,那么的最小值为　　 　　.?
解析:求的最小值,就是求2x+y+5=0上的点到原点的距离的最小值,
转化为坐标原点到直线2x+y+5=0的距离d==.
答案:
12.已知点P(2,-1).
(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程;
(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程,最大距离是多少?
(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.
解:(1)过P点的直线l与原点距离为2,而P点坐标为(2,-1),可见,过P点垂直于x轴的直线满足条件,此时直线l的斜率不存在,其方程为x=2.
若直线l的斜率存在,设其方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.
由已知,得=2,解得k=,此时l的方程为3x-4y-10=0.
综上,直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.
(2)过P点且与原点O距离最大的直线是过P点且与OP垂直的直线.由l⊥OP,得klkOP=-1,所以kl==2.由直线方程的点斜式得y+1= 2(x-2),即2x-y-5=0.
即直线2x-y-5=0是过P点且与原点O距离最大的直线,最大距离为=.
(3)由(2)可知,存在过点P且到原点距离最大为的直线,因此不存在过点P到原点距离为6的直线.
探究创新
13.两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(-3,-1),并且各自绕着A,B旋转,但始终保持平行,如果这两条平行直线间的距离为d.求:
(1)d的变化范围;
(2)当d取最大值时两条直线的方程.
解:(1)法一　①当两条直线的斜率都不存在时,即两条直线分别为x=6和x=-3,
则它们之间的距离为9.
②当两条直线的斜率都存在时,设这两条直线方程为
l1:y-2=k(x-6),l2:y+1=k(x+3),
即l1:kx-y-6k+2=0,l2:kx-y+3k-1=0,
所以d==,
即(81-d2)k2-54k+9-d2=0.
因为k∈R,d>0,且d≠9,
所以Δ=(-54)2-4(81-d2)(9-d2)≥0,
即0综合①②可知,所求d的变化范围为(0,3].
法二　如图所示,显然有0而|AB|==3.
故所求的d的变化范围为(0,3].
(2)由图可知,当d取最大值时,两直线垂直于直线AB.
而kAB==,
所以所求直线的斜率均为-3.
故所求的两条直线方程分别为
y-2=-3(x-6),y+1=-3(x+3),
即3x+y-20=0和3x+y+10=0.