2018_2019高中数学第2章平面向量2.4第1课时向量的数量积课件苏教版必修4（38张PPT）
文档属性
| 名称 | 2018_2019高中数学第2章平面向量2.4第1课时向量的数量积课件苏教版必修4（38张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-02-24 08:49:09 | ||
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文档简介
课件38张PPT。第1课时 向量的数量积第2章 §2.4 向量的数量积学习目标
1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.
2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，了解其几何意义.
3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.
4.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式．问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 平面向量的数量积思考1 如何计算这个力所做的功？答案 W＝|F||s|cos θ.答案一个物体在力F的作用下产生位移s，如图.思考2 力做功的大小与哪些量有关？答案 与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关.平面向量的数量积
(1)已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的 (或 )，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.
(2)我们规定：零向量与任一向量的数量积为 .
特别提醒：两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，其大小与两个向量的长度及其夹角都有关，符号由夹角的余弦值的符号决定.梳理0数量积内积知识点二 两个向量的夹角思考 把两个非零向量的起点移至同一点，那么这两个向量构成的图形是什么？答案 角.答案两个向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a，b，如图所示.作 则∠AOB＝θ，称为向量a与b的夹角.
(2)范围： .
(3)当θ＝ 时，a与b同向；当θ＝ 时，a与b反向.
(4)当θ＝ 时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.梳理90°0°≤θ≤180°0°180°知识点三 平面向量数量积的几何意义思考1 什么叫做向量b在向量a方向上的投影？什么叫做向量a在向量b方向上的投影？答案 如图所示，
过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1＝|b|cos θ.
|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影，|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影.答案思考2 向量b在向量a方向上的投影与向量a在向量b方向上的投影相同吗？答案 由投影的定义知，二者不一定相同.答案(1)条件：向量a与b的夹角为θ.
(2)投影：梳理(3)a·b的几何意义：
数量积a·b等于a的长度|a|与 的乘积.b在a的方向上的投影|b|cos θ知识点四 平面向量数量积的性质及运算律思考1 向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？答案 向量的线性运算结果是向量，而向量的数量积是数量.答案思考2 非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定？答案 由两个非零向量的夹角决定.
当0°≤θ＜90°时，非零向量的数量积为正数.
当θ＝90°时，非零向量的数量积为零.
当90°＜θ≤180°时，非零向量的数量积为负数.答案梳理(1)数量积性质
①当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
②当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；
③当a⊥b时，a·b＝0；
④a·a＝|a|2或|a|＝ .
(2)数量积的运算律
①a·b＝b·a；
②(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b；
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c.1.向量数量积的运算结果是向量．( )
2.向量a在向量b方向上的投影一定是正数．( )[思考辨析 判断正误]××答案提示4.向量的数量积运算满足(a·b)·c＝a·(b·c)．( )
5.λ(a·b)＝λa·b.( )√××题型探究类型一 求两向量的数量积例1 已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积.解 (1)a∥b，若a与b同向，则θ＝0°，
a·b＝|a||b|cos 0°＝4×5＝20；
若a与b反向，则θ＝180°，
∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.
(2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝|a||b|cos 90°＝0.解答反思与感悟求平面向量数量积的步骤是：
(1)求a与b的夹角θ，θ∈[0°，180°]；
(2)分别求|a|和|b|；
(3)求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连结，而不能用“×”连结，也不能省去.答案解析解析 如图所示，由题意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.类型二 求向量的模解答解答引申探究
若本例中条件不变，求|2a＋b|，|a－2b|.反思与感悟求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝ ，勿忘记开方.跟踪训练2 已知|a|＝|b|＝5，且|3a－2b|＝5，求|3a＋b|的值.解 |3a－2b|2＝9|a|2－12a·b＋4|b|2＝9×25－12a·b＋4×25＝325－12a·b，
∵|3a－2b|＝5，∴325－12a·b＝25，
∴a·b＝25.
∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2＝9a2＋6a·b＋b2＝9×25＋6×25＋25＝400，
故|3a＋b|＝20.解答类型三 求向量的夹角例3 设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角.解答解 ∵|n|＝|m|＝1且m与n夹角是60°，设a与b的夹角为θ，又∵θ∈[0，π]，反思与感悟求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π].解 ∵|a|＝2|b|＝2，
∴|a|＝2，|b|＝1，
∴a·b＝|a||b|cos θ＝－1，跟踪训练3 已知|a|＝2|b|＝2，且a·b＝－1.
(1)求a与b的夹角θ；解答解 (a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.(2)求(a－2b)·b；解答解 ∵λa＋b与a－3b互相垂直，
∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？达标检测1.已知|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，则向量b在a方向上的投影为____.12345解析 向量b在a方向上的投影为|b|cos〈a，b〉＝4×cos 120°＝－2.－2答案解析12345解析 ∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10， ①
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6， ②
由①－②得4a·b＝4，
∴a·b＝1.1答案解析123453.若a⊥b，c与a及与b的夹角均为60°，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则(a＋2b－c)2＝____.解析 (a＋2b－c)2＝a2＋4b2＋c2＋4a·b－2a·c－4b·c
＝12＋4×22＋32＋4×0－2×1×3×cos 60°－4×2×3×cos 60°＝11.11答案解析12345－25解析答案5.已知正三角形ABC的边长为1，求：12345解答12345解答1.两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0，0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0，90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时).
2.两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆.
3.a·b＝|a||b|cos θ中，|b|cos θ和|a|cos θ分别叫做b在a方向上的投影和a在b方向上的投影，要结合图形严格区分.规律与方法4.求投影有两种方法
(1)b在a方向上的投影为|b|cos θ(θ为a，b的夹角)，a在b方向上的投影为|a|cos θ.
1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.
2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，了解其几何意义.
3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.
4.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式．问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 平面向量的数量积思考1 如何计算这个力所做的功？答案 W＝|F||s|cos θ.答案一个物体在力F的作用下产生位移s，如图.思考2 力做功的大小与哪些量有关？答案 与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关.平面向量的数量积
(1)已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的 (或 )，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.
(2)我们规定：零向量与任一向量的数量积为 .
特别提醒：两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，其大小与两个向量的长度及其夹角都有关，符号由夹角的余弦值的符号决定.梳理0数量积内积知识点二 两个向量的夹角思考 把两个非零向量的起点移至同一点，那么这两个向量构成的图形是什么？答案 角.答案两个向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a，b，如图所示.作 则∠AOB＝θ，称为向量a与b的夹角.
(2)范围： .
(3)当θ＝ 时，a与b同向；当θ＝ 时，a与b反向.
(4)当θ＝ 时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.梳理90°0°≤θ≤180°0°180°知识点三 平面向量数量积的几何意义思考1 什么叫做向量b在向量a方向上的投影？什么叫做向量a在向量b方向上的投影？答案 如图所示，
过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1＝|b|cos θ.
|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影，|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影.答案思考2 向量b在向量a方向上的投影与向量a在向量b方向上的投影相同吗？答案 由投影的定义知，二者不一定相同.答案(1)条件：向量a与b的夹角为θ.
(2)投影：梳理(3)a·b的几何意义：
数量积a·b等于a的长度|a|与 的乘积.b在a的方向上的投影|b|cos θ知识点四 平面向量数量积的性质及运算律思考1 向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？答案 向量的线性运算结果是向量，而向量的数量积是数量.答案思考2 非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定？答案 由两个非零向量的夹角决定.
当0°≤θ＜90°时，非零向量的数量积为正数.
当θ＝90°时，非零向量的数量积为零.
当90°＜θ≤180°时，非零向量的数量积为负数.答案梳理(1)数量积性质
①当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
②当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；
③当a⊥b时，a·b＝0；
④a·a＝|a|2或|a|＝ .
(2)数量积的运算律
①a·b＝b·a；
②(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b；
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c.1.向量数量积的运算结果是向量．( )
2.向量a在向量b方向上的投影一定是正数．( )[思考辨析 判断正误]××答案提示4.向量的数量积运算满足(a·b)·c＝a·(b·c)．( )
5.λ(a·b)＝λa·b.( )√××题型探究类型一 求两向量的数量积例1 已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积.解 (1)a∥b，若a与b同向，则θ＝0°，
a·b＝|a||b|cos 0°＝4×5＝20；
若a与b反向，则θ＝180°，
∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.
(2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝|a||b|cos 90°＝0.解答反思与感悟求平面向量数量积的步骤是：
(1)求a与b的夹角θ，θ∈[0°，180°]；
(2)分别求|a|和|b|；
(3)求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连结，而不能用“×”连结，也不能省去.答案解析解析 如图所示，由题意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.类型二 求向量的模解答解答引申探究
若本例中条件不变，求|2a＋b|，|a－2b|.反思与感悟求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝ ，勿忘记开方.跟踪训练2 已知|a|＝|b|＝5，且|3a－2b|＝5，求|3a＋b|的值.解 |3a－2b|2＝9|a|2－12a·b＋4|b|2＝9×25－12a·b＋4×25＝325－12a·b，
∵|3a－2b|＝5，∴325－12a·b＝25，
∴a·b＝25.
∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2＝9a2＋6a·b＋b2＝9×25＋6×25＋25＝400，
故|3a＋b|＝20.解答类型三 求向量的夹角例3 设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角.解答解 ∵|n|＝|m|＝1且m与n夹角是60°，设a与b的夹角为θ，又∵θ∈[0，π]，反思与感悟求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π].解 ∵|a|＝2|b|＝2，
∴|a|＝2，|b|＝1，
∴a·b＝|a||b|cos θ＝－1，跟踪训练3 已知|a|＝2|b|＝2，且a·b＝－1.
(1)求a与b的夹角θ；解答解 (a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.(2)求(a－2b)·b；解答解 ∵λa＋b与a－3b互相垂直，
∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？达标检测1.已知|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，则向量b在a方向上的投影为____.12345解析 向量b在a方向上的投影为|b|cos〈a，b〉＝4×cos 120°＝－2.－2答案解析12345解析 ∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10， ①
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6， ②
由①－②得4a·b＝4，
∴a·b＝1.1答案解析123453.若a⊥b，c与a及与b的夹角均为60°，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则(a＋2b－c)2＝____.解析 (a＋2b－c)2＝a2＋4b2＋c2＋4a·b－2a·c－4b·c
＝12＋4×22＋32＋4×0－2×1×3×cos 60°－4×2×3×cos 60°＝11.11答案解析12345－25解析答案5.已知正三角形ABC的边长为1，求：12345解答12345解答1.两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0，0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0，90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时).
2.两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆.
3.a·b＝|a||b|cos θ中，|b|cos θ和|a|cos θ分别叫做b在a方向上的投影和a在b方向上的投影，要结合图形严格区分.规律与方法4.求投影有两种方法
(1)b在a方向上的投影为|b|cos θ(θ为a，b的夹角)，a在b方向上的投影为|a|cos θ.