2018_2019高中数学第二章数列2.1第2课时数列的递推公式与通项公式课件苏教版必修5(34张PPT)
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| 名称 | 2018_2019高中数学第二章数列2.1第2课时数列的递推公式与通项公式课件苏教版必修5(34张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-02-24 10:46:00 | ||
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文档简介
课件34张PPT。第2课时 数列的递推公式与通项公式第2章 §2.1 数 列学习目标
1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列.
2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.
3.会用累加法、累乘法由递推公式求通项公式.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 递推公式思考 数列1,2,4,8，…的第n项an与第n＋1项an＋1有什么关系？答案 an＋1＝2an梳理 如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第 项(或某一项)开始的任一项 与它的前一项 (或前几项)(n≥2)间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式.二anan－1特别提醒：(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式.
(2)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项.知识点二 数列的表示方法思考 以数列2,4,6,8,10,12，…为例，你能用几种方法表示这个数列？答案 ①通项公式法：an＝2n.③列表法：④图象法：梳理 数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法.[思考辨析 判断正误]
1.利用an＋1＝2an，n∈N*可以确定数列{an}.( )
2.有些数列难以用通项公式和递推公式表示，但可以用列表法轻松解决.( )
3.递推公式是表示数列的一种方法.( )×√√题型探究例1 图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的递推公式和一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象.类型一 数列的表示法解答解 如题图，这四个三角形图案中着色的小三角形第(2)个是第(1)个的3倍，第(3)个是第(2)个的3倍，故有递推公式a1＝1，an＋1＝3an，n∈N*，个数依次为1,3,9,27.则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.
所以，这个数列的一个通项公式是an＝3n－1.在直角坐标系中的图象为一些孤立的点(如图所示).反思与感悟 求数列的递推公式注重观察数列项与项的关系，求通项公式注重观察项与序号的关系，图象法则一如既往地直观.跟踪训练1 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如，他们将石子摆成如图所示的三角形点阵，就将其所对应石子的个数称为三角形数，则第n个三角形数比第n－1(n≥2，n∈N*)个三角形数多___个石子.n答案解析解析 a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，∴an－an－1＝n.命题角度1 由递推公式求前若干项解答类型二 数列的递推公式解答引申探究∴{an}是周期为4的数列，
∴a2 018＝a4×504＋2＝a2＝－3.反思与感悟 递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项.若项数很大，则应考虑数列是否有规律性.解答解 a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，
a6＝－1，a7＝1，a8＝2，….
发现：an＋6＝an，数列{an}具有周期性，周期T＝6.
证明如下：∵an＋2＝an＋1－an，
∴an＋3＝an＋2－an＋1＝(an＋1－an)－an＋1＝－an.
∴an＋6＝－an＋3＝－(－an)＝an.
∴数列{an}是周期数列，且T＝6.
∴a2 018＝a336×6＋2＝a2＝2.跟踪训练2 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1－an，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列{an}具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 018项？命题角度2 由递推公式求通项
例3 (1)对于任意数列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N*)都成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，求通项an；解答解 当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝1＋ ＝2(n－1)＋1＝2n－1.
a1＝1也符合上式，
所以数列{an}的通项公式是an＝2n－1.解答a1＝1也符合上式，解答…，又当n＝1时，a1＝－1，也符合上式.∴(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)达标检测1.数列1,3,6,10,15，…中an＝an－1＋____(n∈N*且n>1).答案解析1234n解析 由已知得a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，
a5－a4＝5，…，an＋1－an＝n＋1，n∈N*.答案解析1234解析 ∵an＋1－an＝－1.
∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝2＋
＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n.2.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N*)，则此数列的通项an＝_______.3－n答案解析1234an＝2n＋1，n∈N*3.用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是_________________.解析 a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，
a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴an＝2n＋1，n∈N*.1234解析 ∵x1＝1，∴x2＝－ ，∴x3＝1，
∴数列{xn}的周期为2，∴x2 018＝x2＝－ .答案解析1.{an}与an是不同的两种表示，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，是数列的一种简记形式.而an只表示数列{an}的第n项，an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系.
2.数列的表示方法：(1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法.
3.通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.规律与方法
1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列.
2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.
3.会用累加法、累乘法由递推公式求通项公式.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 递推公式思考 数列1,2,4,8，…的第n项an与第n＋1项an＋1有什么关系？答案 an＋1＝2an梳理 如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第 项(或某一项)开始的任一项 与它的前一项 (或前几项)(n≥2)间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式.二anan－1特别提醒：(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式.
(2)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项.知识点二 数列的表示方法思考 以数列2,4,6,8,10,12，…为例，你能用几种方法表示这个数列？答案 ①通项公式法：an＝2n.③列表法：④图象法：梳理 数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法.[思考辨析 判断正误]
1.利用an＋1＝2an，n∈N*可以确定数列{an}.( )
2.有些数列难以用通项公式和递推公式表示，但可以用列表法轻松解决.( )
3.递推公式是表示数列的一种方法.( )×√√题型探究例1 图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的递推公式和一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象.类型一 数列的表示法解答解 如题图，这四个三角形图案中着色的小三角形第(2)个是第(1)个的3倍，第(3)个是第(2)个的3倍，故有递推公式a1＝1，an＋1＝3an，n∈N*，个数依次为1,3,9,27.则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.
所以，这个数列的一个通项公式是an＝3n－1.在直角坐标系中的图象为一些孤立的点(如图所示).反思与感悟 求数列的递推公式注重观察数列项与项的关系，求通项公式注重观察项与序号的关系，图象法则一如既往地直观.跟踪训练1 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如，他们将石子摆成如图所示的三角形点阵，就将其所对应石子的个数称为三角形数，则第n个三角形数比第n－1(n≥2，n∈N*)个三角形数多___个石子.n答案解析解析 a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，∴an－an－1＝n.命题角度1 由递推公式求前若干项解答类型二 数列的递推公式解答引申探究∴{an}是周期为4的数列，
∴a2 018＝a4×504＋2＝a2＝－3.反思与感悟 递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项.若项数很大，则应考虑数列是否有规律性.解答解 a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，
a6＝－1，a7＝1，a8＝2，….
发现：an＋6＝an，数列{an}具有周期性，周期T＝6.
证明如下：∵an＋2＝an＋1－an，
∴an＋3＝an＋2－an＋1＝(an＋1－an)－an＋1＝－an.
∴an＋6＝－an＋3＝－(－an)＝an.
∴数列{an}是周期数列，且T＝6.
∴a2 018＝a336×6＋2＝a2＝2.跟踪训练2 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1－an，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列{an}具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 018项？命题角度2 由递推公式求通项
例3 (1)对于任意数列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N*)都成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，求通项an；解答解 当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝1＋ ＝2(n－1)＋1＝2n－1.
a1＝1也符合上式，
所以数列{an}的通项公式是an＝2n－1.解答a1＝1也符合上式，解答…，又当n＝1时，a1＝－1，也符合上式.∴(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)达标检测1.数列1,3,6,10,15，…中an＝an－1＋____(n∈N*且n>1).答案解析1234n解析 由已知得a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，
a5－a4＝5，…，an＋1－an＝n＋1，n∈N*.答案解析1234解析 ∵an＋1－an＝－1.
∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝2＋
＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n.2.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N*)，则此数列的通项an＝_______.3－n答案解析1234an＝2n＋1，n∈N*3.用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是_________________.解析 a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，
a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴an＝2n＋1，n∈N*.1234解析 ∵x1＝1，∴x2＝－ ，∴x3＝1，
∴数列{xn}的周期为2，∴x2 018＝x2＝－ .答案解析1.{an}与an是不同的两种表示，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，是数列的一种简记形式.而an只表示数列{an}的第n项，an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系.
2.数列的表示方法：(1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法.
3.通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.规律与方法