2018-2019学年江苏省镇江市高一（上）期末数学试卷解析版

2018-2019学年江苏省镇江市高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（5分）与角﹣390°终边相同的最小正角是（　　）
A．﹣30° B．30° C．60° D．330°
2．（5分）函数f（x）＝3x﹣8的零点是（　　）
A．log38 B．log83 C．（log38，0） D．（log83，0）
3．（5分）要得到函数y＝sin（2x+）的图象，只要将函数y＝sin2x的图象（　　）
A．向左平移单位 B．向右平移单位
C．向右平移单位 D．向左平移单位
4．（5分）已知角A，B是△ABC中的两个内角，则“A＜B”是“cosA＞cosB”的（　　）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．既不充分又不必要 D．充要
5．（5分）已知函数f（x）＝2x+x﹣10的零点x0∈（k，k+1），则整数k的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（5分）一个单摆如图所示，以OA为始边，OB为终边的角与时间t（s）的函数满足：，则单摆完成5次完整摆动所花的时间为（　　）

A．5 B．10 C． D．5π
7．（5分）已知，若角α的终边经过点P（1，），则f（f（cosα））的值为（　　）
A． B． C．4 D．﹣4
8．（5分）已知函数，g（x）＝lnx，则方程f（x）+|g（x）|＝0解的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）
9．（5分）已知圆心角为60°的扇形，其半径为3，则该扇形的面积为　 　．
10．（5分）若点P（2，4），Q（3，y0）均在幂函数y＝f（x）的图象上，则实数y0＝　 　．
11．（5分）已知，则tanx＝　 　．
12．（5分）计算：＝　 　．
13．（5分）已知函数f（x）＝2ksinx+3，若对任意x∈[，]都有f（x）≥0恒成立，则实数k的取值范围为　 　．
14．（5分）求值：＝　 　．
15．（5分）已知，x∈（，π），则cos2x＝　 　．
16．（5分）某辆汽车以xkm/h的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为L，其中k为常数．若汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L．欲使每小时的油耗不超过9L，则速度x的取值范围为　 　．
三、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（10分）设全集U＝R，集合A＝{x|lg（x﹣a）＞0}，B＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}．
（1）当a＝1时，求集合A∩B；
（2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
18．（12分）已知A，B均为锐角，sinA＝，cos（A+B）＝．
（1）求cos2A的值；
（2）求sin（A﹣B）的值．
19．（12分）某同学用“五点法”画函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
x
ωx+φ 0 π 2π
Asin（ωx+φ） 2
（1）求函数f（x）的解析式，并补全表中其它的数据；
（2）在给定的坐标系中，用“五点法”画出函数y＝f（x）在一个周期内的图象；
（3）写出函数y＝f（x）（x∈R）的单调减区间．

20．（12分）已知函数f（x）＝lnx．
（1）若g（x）＝f2（x）﹣4f（x）+6的定义域为[，e3]（e是自然对数的底数），求函数g（x）的最大值和最小值；
（2）求函数h（x）＝f（x2）+|x|的零点个数．
21．（12分）开发商现有四栋楼A，B，C，D．楼D位于楼BC间，到楼A，B，C的距离分别为1200m，600m，400m，且从楼D看楼A，B的视角为90°．如图所示，不计楼大小和高度．
（1）试求从楼A看楼B，C视角大小；
（2）开发商为谋求更大开发区域，拟再建三栋楼M，P，N，形成以楼AMPN为顶点的矩形开发区域．规划要求楼B，C分别位于楼MP和楼PN间，如图所示，记∠MAB＝θ，当θ等于多少时，矩形开发区域面积最大？

22．（12分）已知函数f（x）＝3x+3﹣x．
（1）解不等式：；
（2）求函数f（x）的奇偶性，并求函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（3）若对任意x∈[﹣2，1]，不等式f（3x）≥mf2（x）恒成立，求实数m的取值范围．



2018-2019学年江苏省镇江市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．【解答】解：﹣390°＝﹣2×360°+330°，
即与角﹣390°终边相同的最小正角是330°，
故选：D．
2．【解答】解：解方程3x﹣8＝0，解得：x＝log38，
故函数f（x）＝3x﹣8的零点是log38，
故选：A．
3．【解答】解：由于函数y＝sin（2x+）＝sin2（x+），
故只要将函数y＝sin2x的图象相左平移个单位，即可得到函数y＝sin（2x+）的图象，
故选：D．
4．【解答】解：在三角形中，0＜A，B＜π，
则由cosA＞cosB得A＜B，
即“A＜B”是“cosA＞cosB”的充要条件，
故选：D．
5．【解答】解：函数f（x）为增函数，
∵f（2）＝22+2﹣10＝6﹣10＝﹣4＜0，
f（3）＝32+3﹣10＝12﹣10＝2＞0，
∴f（2）f（3）＜0，
即函数在（2，3）内存在一个零点x0，
∵零点x0∈（k，k+1），
∴k＝2，
故选：C．
6．【解答】解：∵T＝＝π，即完成一次完整的摆动需时π，
∴单摆完成5次完整摆动需要时间t＝5T＝5π．
故选：D．
7．【解答】解：∵已知，若角α的终边经过点P（1，），∴cosα＝＝，f（f（cosα））的值．
∴f（cosα）＝f（）＝＝﹣1，
则f（f（cosα））＝f（﹣1）＝4﹣1＝，
故选：A．
8．【解答】解：由已知有：＝，
其图象关于点（3，﹣1）对称，
h（x）＝﹣f（x）＝其图象关于点（3，1）对称，
方程f（x）+|g（x）|＝0解的个数等价于y＝h（x）
与y＝|g（x）|的图象的交点个数，
由图可知，y＝h（x）与y＝|g（x）|的图象的交点个数为3，
故选：C．

二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）
9．【解答】解：圆心角为，
则弧长l＝3×＝π
则扇形的面积S＝lr＝＝，
故答案为：
10．【解答】解：∵点P（2，4），Q（3，y0）均在幂函数y＝f（x）＝xα的图象上，
∴2α＝4，解得α＝2，∴f（x）＝x2，
∴＝9．
∴实数y0＝9．
故答案为：9．
11．【解答】解：∵
∴＝2
∴tanθ＝3
故答案为：3
12．【解答】解：＝cos（﹣）+sin＝cos+sin＝，
故答案为：．
13．【解答】解：∵x∈[，]，
∴sinx∈[﹣，]，
∴2sinx∈[﹣1，1]，
当k＞0时，f（x）∈[﹣k+3，k+3]，
∵对任意x∈[，]都有f（x）≥0恒成立，
∴﹣k+3≥0，即0＜k≤3
当k＜0时，f（x）∈[k+3，﹣k+3]，
∵对任意x∈[，]都有f（x）≥0恒成立，
∴k+3≥0，即﹣3≤k＜0，
当k＝0时，f（x）＝3≥0恒成立，
综上所述实数k的取值范围为[﹣3，3]，
故答案为：[﹣3，3]
14．【解答】解：＝＝＝4?＝＝4，
故答案为：4
15．【解答】解：∵已知，x∈（，π），∴2x∈（π，2π），1+2sinxcosx＝，
∴sinxcosx＝﹣＜0，故sinx﹣cosx＝＝（sinx+cosx）2﹣4sinxcosx＝，
∴cos2x＝（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）＝?（﹣）＝﹣，
故答案为：﹣．
16．【解答】解：设每小时的油耗（所需要的汽油量）为y，
由题意可得y＝，
当x＝120时，y＝11.5，
∴11.5＝（120﹣k+），解得k＝100，
∴y＝（x﹣100+）
∵每小时的油耗不超过9L，
∴（x﹣100+）≤0，
即x2﹣145x+4500≤0，解得45≤x≤100，
又60≤x≤120，可得60≤x≤100，
每小时的油耗不超过9升，x的取值范围为[60，100]，
故答案为：[60，100]
三、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．【解答】解：（1）当a＝1时，由于lg（x﹣1）＞0＝lg1，即x﹣1＞1，所以A＝（2，+∞）
由于x2﹣3x﹣4＜0，即（x+1）（x﹣4）＜0，所以B＝（﹣1，4）
所以A∩B＝（2，4）；
（2）因为A∪B＝A，所以B?A，
由于A＝（a+1，+∞），则a+1≤﹣1，
所以a≤﹣2，所以实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]．
18．【解答】解：（1）∵A，B均为锐角，sinA＝，cos（A+B）＝，∴cos2A＝1﹣2sin2A＝．
（2）由题意cosA＝＝，sin2A＝2sinAcosA＝，sin（A+B）＝＝，
∴sin（A﹣B）＝sin[2A﹣（A+B）]＝sin2A?cos（A+B）﹣cos2A?sin（A+B）＝?﹣?＝．
19．【解答】解：（1）根据用“五点法”画函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的步骤方法，
由所给的表格可得A＝2，ω?+φ＝，且ω?+φ＝2π，
∴ω＝2，φ＝﹣，∴f（x）＝2sin（2x﹣），
可得表格应为：
x
ωx+φ 0 π 2π
Asin（ωx+φ） 0 2 0 ﹣2 0
（2）根据五点法作图，作出函数的一个周期内的图象，
如图：
（3）根据函数的图象以及周期性可得它的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．
20．【解答】解：（1）y＝g（x）＝ln2x﹣4lnx+6的定义域是[，e3]，
则设t＝lnx∈[﹣1，3]，
则y＝s（t）＝t2﹣4t+6＝（t﹣2）2+2在[﹣1，2]递减，在[2，3]递增，
故ymin＝s（2）＝2，
∵s（﹣1）＞s（3），则ymax＝s（﹣1）＝11；
（2）函数h（x）＝f（x2）+|x|＝2ln|x|+|x|，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），
∵h（﹣x）＝2ln|﹣x|+|﹣x|＝2ln|x|+|x|＝h（x），故h（x）是偶函数，
当x＞0时，h（x）＝2lnx+x在（0，+∞）连续不断，且单调递增，
又h（1）＝2ln1+1＝1＞0，h（）＝﹣2+＜0，
则函数h（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，
由于函数h（x）是偶函数，则函数h（x）在（﹣∞，0）上也存在唯一的零点，
综上，函数h（x）在定义域内零点的个数是2个．
21．【解答】解：（1）因为楼D到楼B、C的距离分别为600m和400m，到楼A的距离为1200m，
所以AD＝12百米，BD＝6百米，CD＝4百米，
因为从楼D看楼A、B的视角为90°，则∠ADB＝90°，
则tan∠BAD＝＝，tan∠CAD＝＝，
所以tan∠BAC＝tan（∠BAD+∠CAD）＝＝＝1，
又0＜∠BAD+∠CAD＜π，即∠BAC∈（0，π），
所以∠BAC＝，
则从楼A看楼B，C视角的大小为；
（2）在Rt△ABD和Rt△ACD中，AB＝＝6，
AC＝＝4，
则在Rt△ABM中，AM＝ABcosθ＝6cosθ，
在Rt△ACN中，AN＝ACcos（﹣θ）＝4cos（﹣θ），
记矩形开发区AMPN的面积为f（θ），
则f（θ）＝AM?AN＝4cos（﹣θ）×6cosθ＝120cosθcos（﹣θ）；
又f（θ）＝120cosθ（cosθ+sinθ）＝60+60（sin2θ+cos2θ）＝60+60sin（2θ+）；
当2θ+＝时，即θ＝时，矩形开发区域AMPN的面积最大．
22．【解答】解：（1）∵函数f（x）≤
∴3x+3﹣x≤，
即9?（3x）2﹣82×3x+9≤0，
即（9?3x﹣1）（3x﹣9）≤0
解得≤3x≤9，
解得﹣2≤x≤2，
故不等式的解集为[﹣2，2]．
（2）∵函数f（x）的定义域为R，
∴f（﹣x）＝3﹣x+3x＝f（x），
∴f（x）为偶函数，
（2）函数f（x）在[0，+∞）上单调递增．
证明如下：在[0，+∞）上任取x1，x2，令x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）＝+﹣﹣＝（﹣）?
∵0≤x1＜x2，
∴﹣＜0，﹣1＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
∴函数f（x）在[0，+∞）上单调递增．
（3）对任意x∈[﹣2，1]，不等式f（3x）≥mf2（x）恒成立，即33x+3﹣3x≥m（3x+3﹣x）2，
从而有（3x+3﹣x）（32x+3﹣2x+1）≥m（3x+3﹣x）2恒成立，
∵3x+3﹣x＞0，
则等价于32x+3﹣2x+1≥m（3x+3﹣x）恒成立，
令t＝3x+3﹣x，则32x+3﹣2x＝t2﹣2，
由于f（x）为偶函数，由（2）可知f（x）在（0，+∞）上单调递增，
则函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，
∵{f（x）|x∈[﹣2，1]}＝{f（x）|x∈[0，2]}，
∴f（0）≤f（x）≤f（2），
∴2≤t≤，
则原不等式等价于t2﹣3≥mt，t∈[2，]，
即m≤t﹣在t∈[2，]上恒成立，
设g（t）＝t﹣，则g（t）在[2，]上为增函数，
∴g（t）≥g（2）＝，
∴m≤