第1节 万有引力定律及引力常量的测定
学 习 目 标
知 识 脉 络
1.了解开普勒三定律的内容．
2．知道万有引力定律的内容、表达式及适用条件，并会用其解决简单的问题．(重点)
3．知道万有引力常量的测定方法及该常量在物理学上的重要意义．
4．会用万有引力定律计算天体质量，掌握天体质量求解的基本思路．(重点、难点)
行 星 运 动 的 规 律
开普勒三定律
定律
内容
图示
开普勒第一定律
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律
太阳与任何一个行星的连线(矢径)在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律
行星绕太阳运行轨道半长轴r的立方与其公转周期T的平方成正比，公式：＝k
1．为了便于研究问题，通常认为行星绕太阳做匀速圆周运动．(√)
2．太阳系中所有行星的运动速率是不变的．(×)
3．太阳系中轨道半径大的行星其运动周期也长．(√)
如图5-1-1所示，所有行星都绕太阳在椭圆轨道上运行，某一行星绕太阳运动的速率在不同位置都一样大吗？
图5-1-1
【提示】 不一样，在行星距离太阳较近时速率大，在行星距离太阳较远时速率小．
如图5-1-2所示为地球绕太阳运动的示意图，A、B、C、D分别表示春分、夏至、秋分、冬至时地球所在的位置．
探讨1：太阳是否在轨道平面的中心？夏至、冬至时地球到太阳的距离是否相同？
图5-1-2
【提示】 太阳不在轨道平面中心，夏至、冬至地球到太阳的距离不同．
探讨2：一年之内秋冬两季比春夏两季为什么要少几天？
根据地球的公转周期计算火星的公转周期还需要知道什么数据？
【提示】 根据开普勒第二定律，地球在秋冬两季比在春夏两季离太阳距离近，线速度大，所以秋冬两季比春夏两季要少几天．根据＝k，要计算火星的公转周期还要知道火星轨道半径与地球轨道半径的比值．
1．从空间分布上认识：行星的轨道都是椭圆，不同行星轨道的半长轴不同，即各行星的椭圆轨道大小不同，但所有轨道都有一个共同的焦点，太阳在此焦点上．因此开普勒第一定律又叫焦点定律．
2．对速度大小的认识
(1)如图5-1-3所示，如果时间间隔相等，即t2－t1＝t4－t3，由开普勒第二定律，面积SA＝SB，可见离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速率越大．因此开普勒第二定律又叫面积定律．
图5-1-3
(2)近日点、远日点分别是行星距离太阳的最近点、最远点，所以同一行星在近日点速度最大，在远日点速度最小．
3．对周期长短的认识
(1)行星公转周期跟轨道半长轴之间有依赖关系，椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越长；反之，其公转周期越短．
(2)该定律不仅适用于行星，也适用于其他天体．例如，绕某一行星运动的不同卫星．
(3)研究行星时，常数k与行星无关，只与太阳有关．研究其他天体时，常数k只与其中心天体有关．
1．关于开普勒对于行星运动规律的认识，下列说法正确的是( )
A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆
B．所有行星绕太阳运动的轨道都是圆
C．所有行星的轨道半长轴的二次方跟公转周期的三次方的比值都相同
D．所有行星的公转周期与行星的轨道半径成正比
【解析】 由开普勒第一定律知所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，选项A正确，B错误；由开普勒第三定律知所有行星的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，选项C、D错误．
【答案】 A
2．某行星绕太阳运行的椭圆轨道如图5-1-4所示，F1和F2是椭圆轨道的两个焦点，行星在A点的速率比在B点的大，则太阳是位于( )
图5-1-4
A．F2 B．A
C．F1 D．B
【解析】 根据开普勒第二定律：太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积，因为行星在A点的速率比在B点的速率大，所以太阳在离A点近的焦点上，故太阳位于F2.
【答案】 A
3．某人造地球卫星运行时，其轨道半径为月球轨道半径的，则此卫星运行周期大约是( )
A．3～5天 B．5～7天
C．7～9天 D．大于9天
【解析】 月球绕地球运行的周期约为27天，根据开普勒第三定律＝k，得＝，则T＝×27×(天)≈5.2(天)．
【答案】 B
应用开普勒定律注意的问题
1．适用对象：开普勒定律不仅适用于行星，也适用于卫星，只不过此时＝k，比值k是由中心天体所决定的另一恒量，与环绕天体无关．
2．定律的性质：开普勒定律是总结行星运动的观察结果而总结出来的规律．它们每一条都是经验定律，都是从观察行星运动所取得的资料中总结出来的．
3．对速度的认识：当行星在近日点时，速度最大．由近日点向远日点运动的过程中，速度逐渐减小，在远日点时速度最小．
万 有 引 力 定 律
1．内容
自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的方向沿两物体的连线，引力的大小F与这两个物体质量的乘积m1m2成正比，与这两个物体间距离r的平方成反比．
2．表达式：F＝
(1)r是两质点间的距离(若为匀质球体，则是两球心的距离)．
(2)G为万有引力常量，G＝6.67×10－11m3/(kg·s2)．
1．一个苹果由于其质量很小，所以它受的万有引力几乎可以忽略．(×)
2．任何两物体间都存在万有引力．(√)
3．地球对月球的引力与地面上的物体所受的地球引力是两种不同性质的力．(×)
如图5-1-5所示，同一个物体在地球表面的不同位置时，所受的万有引力大小相同吗？
图5-1-5
【提示】 由于地球不是一个标准的球体，物体处于地面的不同位置时，物体到地心的距离不同，所以万有引力的大小可能不同．
如图5-1-6所示，天体是有质量的，人是有质量的，地球上的其他物体也是有质量的．请思考：
图5-1-6
探讨1：任意两个物体之间都存在万有引力吗？“两个物体之间的距离r”指物体哪两部分间的距离？
【提示】 任意两物体之间都存在万有引力，r指两物体重心之间的距离．
探讨2：地球对人的万有引力与人对地球的万有引力大小相等吗？
【提示】 相等．符合牛顿第三定律．
1．万有引力定律公式的适用条件：严格地说，万有引力定律公式F＝G只适用于计算两个质点间的相互作用，但对于下述两类情况，也可用该公式计算：
(1)两个质量分布均匀的球体间的相互作用，可用该公式计算，其中r是两个球体球心间的距离．
(2)一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力，可用公式计算，其中r为球心到质点间的距离．
2．万有引力的“四性”
四 性
内 容
普遍性
万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力
相互性
两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，根据牛顿第三定律，总是满足大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上
宏观性
地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用
特殊性
两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们之间的距离有关，而与所在空间的运动性质无关，也与周围是否存在其他物体无关
4．要使两物体间的万有引力减小到原来的，下列办法不可采用的是( )
A．使物体的质量各减小一半，距离不变
B．使其中一个物体的质量减小到原来的，距离不变
C．使两物体间的距离增为原来的2倍，质量不变
D．使两物体间的距离和质量都减为原来的
【解析】 根据F＝G可知，A、B、C三种情况中万有引力均减为原来的，当距离和质量都减为原来的时，万有引力不变，选项D错误．
【答案】 D
5．某实心匀质球半径为R，质量为M，在球外离球面h高处有一质量为m的质点，则其受到的万有引力大小为( )
A．G B．G
C．G D．G
【解析】 万有引力定律中r表示两个质点间的距离，因为匀质球可看成质量集中于球心上，所以r＝R＋h.
【答案】 B
6．已知太阳的质量M＝2.0×1030 kg，地球的质量m＝6.0×1024 kg，太阳与地球相距r＝1.5×1011 m，(比例系数G＝6.67×10－11N·m2/kg2)求：
(1)太阳对地球的引力大小；
(2)地球对太阳的引力大小．
【解析】 (1)太阳与地球之间的引力跟太阳的质量成正比、跟地球的质量成正比，跟它们之间的距离的二次方成反比，则
F＝G
＝N
＝3.56×1022 N.
(2)地球对太阳的引力与太阳对地球的引力是作用力与反作用力，由牛顿第三定律可知F′＝F＝3.56×1022 N.
【答案】 (1)3.56×1022 N (2)3.56×1022 N
万有引力定律的应用方法
1．首先分析能否满足用F＝G公式求解万有引力的条件．
2．明确公式中各物理量的大小．
3．利用万有引力公式求解引力的大小及方向．
引 力 常 量 的 测 定 及 意 义
1．在1798年，即牛顿发现万有引力定律一百多年以后，英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验，较准确地测出了引力常量. G＝6.67×10－11 m3/(kg·s2)．
2．意义：使用万有引力定律能进行定量运算，显示出其真正的实用价值．
3．知道G的值后，利用万有引力定律可以计算出天体的质量，卡文迪许也因此被称为“能称出地球质量的人”．
1．引力常量是牛顿首先测出的．(×)
2．卡文迪许通过改变质量和距离，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性．(√)
3．卡文迪许第一次测出了引力常量，使万有引力定律能进行定量计算，显示出真正的实用价值．(√)
卡文迪许为什么被人们称为“能称出地球质量的人”？
【提示】 因为卡文迪许测出引力常量G值之后，它使万有引力定律有了真正的实用价值，利用万有引力定律便可以计算出地球的质量，所以卡文迪许被称为“能称出地球质量的人”．
观察图5-1-7，请思考：
图5-1-7
探讨1：如果知道自己的重力，你能求出地球的质量吗？如果能，还需要知道哪些物理量？
【提示】 能，根据mg＝G，M＝，故还需要万有引力常量，地球半径．
探讨2：如何能测得地球的密度呢？
【提示】 根据万有引力提供向心力，先求出地球质量，再根据ρ＝计算地球密度．
1．天体质量的计算：下面以计算地球的质量为例，介绍两种方法．
方法1：已知月球(地球的卫星)绕地球运动的周期T和轨道半径r，可计算出地球的质量M.由G＝m2r得M＝.
方法2：已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，可求得地球的质量．
不考虑地球自转，地面上质量为m的物体所受的重力等于地球对物体的万有引力，即mg＝，M＝g.
2．计算天体的密度
(1)若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝
将M＝代入上式得：ρ＝
当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝.
(2)已知天体表面上的重力加速度为g，则
ρ＝＝＝.
7．对于引力常量G的理解，下列说法中错误的是( )
A．G是一个比值，在数值上等于质量均为1 kg的两个质点相距1 m时的引力大小
B．G的数值是为了方便而人为规定的
C．G的测定使万有引力定律公式更具有实际意义
D．G的测定从某种意义上也能够说明万有引力定律公式的正确性
【解析】 根据万有引力定律公式F＝G可知，G＝，当r＝1 m，m1＝m2＝1 kg时，G＝F，故A正确；G是一个有单位的物理量，单位是m3/(kg·s2)．G的数值不是人为规定的，而是在牛顿发现万有引力定律一百多年后，由卡文迪许利用扭秤实验测出的，故B错误，C、D正确．
【答案】 B
8．“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟．已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，月球半径约为1.74×103 km.利用以上数据估算月球的质量约为( )
A．8.1×1010 kg B．7.4×1013 kg
C．5.4×1019 kg D．7.4×1022 kg
【解析】 设探月卫星的质量为m，月球的质量为M，根据万有引力提供向心力G＝m (R＋h)，将h＝200 000 m，T＝127×60 s，G＝6.67×10－11N·m2/kg2，R＝1.74×106 m，代入上式解得M＝7.4×1022 kg，可知D选项正确．
【答案】 D
9．未来世界中，在各个星球间进行远航旅行将成为一件小事．某一天，小华驾驶一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面做匀速圆周运动飞行，飞船只受到该行星引力的作用，已知万有引力常量为G，要测定该行星的密度，仅仅只需测出下列哪一个量( )
A．飞船绕行星运行的周期
B．飞船运行的轨道半径
C．飞船运行时的速度大小
D．该行星的质量
【解析】 设行星的半径为R，质量为M，飞船的质量为m，飞船绕行星运行的周期为T，由万有引力提供向心力：G＝mR得M＝，行星的密度ρ＝＝，只需测出飞船绕行星运行的周期即可测出其密度，故选A.
【答案】 A
求解天体质量时应明确的问题
万有引力定律和圆周运动知识的结合，应用牛顿运动定律解决天体问题是非常典型的一种题型。解答此类问题应明确以下三点：
1．利用天体运动求解天体质量时，只能将被求天体作为中心天体，所研究的环绕天体的运动近似为匀速圆周运动进行求解．
2．由于向心力表达式较多，要根据已知条件选择合适的公式求解．
3．正确理解向心力表达式中的r的含义，它不是环绕天体到中心天体表面的距离，而是环绕天体球心到中心天体球心的距离．
第1节 万有引力定律及引力常量的测定
学习目标
核心提炼
1.了解开普勒三定律的内容。
2.掌握万有引力定律的内容、表达式及适用条件，并会用其解决简单的问题。
3.了解引力常量G，知道其测定方法及意义。
4.会用万有引力定律计算天体质量。
4个定律——开普勒第一、二、三定律，万有引力定律
1种方法——“月—地”检验
1个常量——万有引力常量G＝6.67×10－11 m3/(kg·s2)
一、行星运动的规律
阅读教材第89～90页“行星运动的规律”部分，知道开普勒行星运动定律的内容。
开普勒行星运动的三个定律
定律名称
内容
对应图示
第一定律(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上
第二定律(面积定律)
太阳与任何一个行星的连线(矢径)在相等的时间内扫过的面积相等
第三定律(周期定律)
行星绕太阳运行轨道半长轴r的立方与其公转周期T的平方成正比。数学表达式：＝k
思维拓展
如图1所示为地球绕太阳运动的示意图及春分、夏至、秋分、冬至时地球所在的位置。
图1
(1)太阳是否在轨道平面的中心？夏至、冬至时地球到太阳的距离是否相同？
(2)一年之内秋、冬两季比春、夏两季为什么要少几天？
答案 (1)不是 不相同
(2)秋、冬两季比春、夏两季地球运动的快。
二、万有引力定律
阅读教材第90～93页“万有引力定律”部分，知道万有引力定律的内容及表达式。
1.万有引力定律
内容
自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的方向沿两物体的连线，引力的大小F与这两个物体质量的乘积m1m2成正比，与这两个物体间距离r的平方成反比
公式
F＝G，G＝6.67×10－11__m3/(kg·s2)，r指两个质点间的距离，对于匀质球体，就是两球心间的距离
条件
适用于两质点间的相互作用
2.“月—地”检验
证明了地球与物体间的引力和天体间的引力具有相同性质，遵循同样的规律。
思维拓展
天体是有质量的，人是有质量的，地球上的其他物体也是有质量的。请思考：
图2
(1)任意两个物体之间都存在万有引力吗？“两个物体之间的距离r”指物体哪两部分间的距离？
(2)地球对人的万有引力与人对地球的万有引力大小相等吗？
答案 (1)都存在 质心间距离 (2)相等
三、引力常量的测定及其意义
阅读教材第93～95页“引力常量的测定及其意义”部分，知道引力常量的测定方法，了解其意义。
1.测定：在1798年，英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验，较精确地测出了引力常量。
2.意义：使万有引力定律能进行定量运算，显示出其真正的实用价值。
3.知道G的值后，利用万有引力定律可以计算出天体的质量，卡文迪许也因此被称为“能称出地球质量的人”。
对开普勒定律的认识
[要点归纳]
1.从空间分布上认识：行星的轨道都是椭圆，不同行星轨道的半长轴不同，即各行星的椭圆轨道大小不同，但所有轨道都有一个共同的焦点，太阳在此焦点上。因此开普勒第一定律又叫焦点定律。
2.对速度大小的认识
(1)如图3所示，如果时间间隔相等，即t2－t1＝t4－t3，由开普勒第二定律，面积SA＝SB，可见离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速率越大。因此开普勒第二定律又叫面积定律。
图3
(2)近日点、远日点分别是行星距离太阳的最近点、最远点，所以同一行星在近日点速度最大，在远日点速度最小。
3.对周期长短的认识
(1)行星公转周期跟轨道半长轴之间有依赖关系，椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越长；反之，其公转周期越短。
(2)该定律不仅适用于行星，也适用于其他天体。例如，绕某一行星运动的不同卫星。
4.开普勒定律的近似处理：实际上，行星的轨道与圆十分接近，所以在中学阶段的研究中能够按圆处理。也就是说：
(1)行星绕太阳运行的轨道十分接近圆，太阳处在圆心。
(2)对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度(或线速度大小)不变，即行星做匀速圆周运动。
(3)所有行星轨道半径的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。若用r表示行星轨道的半径，T代表公转周期，则＝k。
[精典示例]
[例1] 关于行星绕太阳运动的下列说法中正确的是( )
A.所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动
B.行星绕太阳运动时，太阳位于行星轨道的中心处
C.行星在椭圆轨道上绕太阳运动的过程中，其速度与行星和太阳之间的距离有关，距离小时速度小，距离大时速度大
D.离太阳越近的行星运动周期越短
解析 不同行星绕太阳运动时的椭圆轨道不同，但有一个共同的焦点，即太阳位置，A、B均错误；由开普勒第二定律知行星离太阳距离小时速度大，距离大时速度小，C错误；运动的周期T与半长轴a满足＝k，D正确.
答案 D
[针对训练1] (2018·金昌高一检测)行星的运动可看作匀速圆周运动，则行星绕太阳运动的轨道半径R的三次方与周期T的平方的比值为常量，即＝k，下列说法正确的是( )
A.公式＝k只适用于围绕太阳运行的行星
B.围绕同一星球运行的行星或卫星，k值不相等
C.k值与被环绕星球的质量和行星或卫星的质量都有关系
D.k值仅由被环绕星球的质量决定
解析 公式＝k适用于所有环绕体围绕中心天体的运动，故A错误；围绕同一星球运行的行星或卫星，k值相等；围绕不同星球运行的行星或卫星，k值不相等，故B错误；常数k是由中心天体质量决定的，即仅由被环绕星球的质量决定，故C错误，D正确。
答案 D
万有引力定律的理解及其应用
[要点归纳]
1.万有引力表达式F＝G的适用条件
(1)两质量分布均匀的球体间的万有引力，可用公式计算，此时r是两个球体球心的距离。
(2)—个质量分布均匀球体与球外一个质点间的万有引力，可用公式计算，r为球心到质点间的距离。
(3)两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，公式也适用。
2.万有引力的“四性”
特点
内容
普遍性
万有引力是普遍存在于宇宙中任何有质量的物体(大到天体，小到微观粒子)间的相互吸引力，它是自然界中物体间的基本相互作用之一
相互性
两个物体相互作用的引力是一对作用力与反作用力，符合牛顿第三定律
宏观性
通常情况下，万有引力非常小，只有在质量巨大的天体间或天体与物体间，它的存在才有宏观的物理意义。在微观世界中，粒子的质量都非常小，粒子间的万有引力可以忽略不计
特殊性
两个物体间的万有引力，只与它们本身的质量、它们之间的距离有关，和所在空间的性质无关，和周围有无其他物体的存在无关
[精典示例]
[例2] (多选)对于质量为m1和质量为m2的两个物体间的万有引力的表达式F＝G，下列说法正确的是( )
A.公式中的G是引力常量，它是由实验得出的，而不是人为规定的
B.当两个物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大
C.m1和m2所受引力大小总是相等的
D.两个物体间的引力总是大小相等、方向相反的，是一对平衡力
解析 引力常量G是由英国物理学家卡文迪许运用构思巧妙的“精密”扭秤实验第一次测定出来的，所以选项A正确；两个物体之间的万有引力是一对作用力与反作用力，它们总是大小相等、方向相反，分别作用在两个物体上，所以选项C正确，D错误；公式F＝G适用于两质点间的相互作用，当两物体相距很近时，两物体不能看成质点，所以选项B错误。
答案 AC
[针对训练2] (多选)要使两物体间的万有引力减小到原来的，下列办法可以采用的是( )
A.使两物体的质量各减小一半，距离不变
B.使其中一个物体的质量减小到原来的，距离不变
C.使两物体间的距离增大为原来的2倍，质量不变
D.使两物体间的距离和质量都减小为原来的
解析 由万有引力定律F＝G可知，A、B、C选项中两物体间的万有引力都将减少到原来的，而D选项中两物体间的万有引力保持不变，故应选A、B、C选项。
答案 ABC
万有引力与重力的关系
[要点归纳]
1.地球表面上的重力与万有引力的关系
图4
如图4所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，由万有引力公式得F＝G。
图中F1为物体随地球自转做圆周运动的向心力，F2就是物体的重力mg，故一般情况mg＜G。
2.重力与纬度的关系
(1)在赤道上：重力和向心力在一条直线上，
G＝mω2R＋mg
(2)在两极上：F向＝0，G＝mg
(3)在一般位置：重力是万有引力的一个分力，G＞mg。
越靠近南北两极g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg。
3.重力、重力加速度与高度的关系
(1)地球表面物体的重力约等于地球对物体的万有引力，即mg＝G，所以地球表面的重力加速g＝。
(2)地球上空h高度，万有引力等于重力，即mg＝G，所以h高度的重力加速度g＝。
[精典示例]
[例3] 地球表面重力加速度为g，忽略地球自转的影响，在距地面高度为h的空中重力加速度是地面上重力加速度的几倍？已知地球半径为R。
解析 不计地球自转的影响，物体受到的重力等于物体受到的万有引力。设地球质量为M，物体质量为m，则地面上：mg＝G，h高处：mg′＝G，解得：＝
答案 倍
[针对训练3] (2018·佳木斯高一检测)某行星的质量与地球的质量比为a，半径比为b，则该行星表面与地球表面的重力加速度之比为( )
A. B.
C.ab2 D.ab
解析 星球表面上万有引力与重力相等，在地球表面上mg＝G ①，某行星表面上mg′＝G ②，由①②两式得＝＝，故B正确。
答案 B
天体质量和密度的计算
[要点归纳]
1.天体质量的计算
“自力更生法”
“借助外援法”
情景
已知天体(如地球)的半径R和天体(如地球)表面的重力加速度g
行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动
思路
物体的重力近似等于天体(如地球)与物体间的万有引力：mg＝G
行星或卫星受到的万有引力充当向心力：
G＝m或G＝mω2r
或G＝mr
结果
天体(如地球)质量：M＝
中心天体质量：M＝或M＝
或M＝
2.天体密度的计算
(1)一般思路：若天体半径为R，则天体的密度ρ＝，将质量代入可求得密度。
(2)特殊情况
①卫星绕天体做半径为r的圆周运动，若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝，将M＝代入得：ρ＝。当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝。
②已知天体表面的重力加速度为g，则ρ＝＝＝。
[精典示例]
[例4] 我国航天技术飞速发展，设想数年后宇航员登上了某星球表面。宇航员从距该星球表面高度为h处，沿水平方向以初速度v抛出一小球，测得小球做平抛运动的水平距离为L，已知该星球的半径为R，引力常量为G。求：
(1)该星球表面的重力加速度。
(2)该星球的平均密度。
思路探究
(1)能否利用小球的运动情况求出该星球表面的重力加速度？
(2)该星球表面的重力加速度与星球半径、星球质量的关系式为GM＝________。
提示 (1)小球做平抛运动，由L＝vt及h＝gt2可以求得该星球表面的重力加速度g＝。
(2)gR2
解析 (1)小球在星球表面做平抛运动，有L＝vt，h＝gt2，解得g＝。
(2)在星球表面满足＝mg
又M＝ρ·πR3，解得ρ＝。
答案 (1) (2)
求解天体质量的注意事项
(1)计算天体质量的方法：M＝和M＝。不仅适用于计算地球和太阳的质量，也适用于其他中心星体。
(2)注意R、r的区分。R指中心天体的球体半径，r指行星或卫星的轨道半径。若行星或卫星绕近中心天体轨道运行，则有R＝r。
[针对训练4] 过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的。该中心恒星与太阳的质量比约为( )
A. B.1
C.5 D.10
解析 根据G＝mr得M∝，代入数据得恒星与太阳的质量比约为1.04，所以B项正确。
答案 B
1.(物理学史的考查)(2016·全国卷Ⅲ)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( )
A.开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律
B.开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C.开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D.开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
解析 在天文观测数据的基础上总结出了开普勒天体运动三定律，找出了行星运动的规律，而牛顿发现了万有引力定律。
答案 B
2.(对开普勒三定律的理解)关于开普勒对于行星运动规律的认识，下列说法正确的是( )
A.所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆
B.所有行星绕太阳运动的轨道都是圆
C.所有行星的轨道半长轴的二次方跟公转周期的三次方的比值都相同
D.所有行星的公转周期与行星的轨道半径成正比
解析 由开普勒第一定律知所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，选项A正确，B错误；由开普勒第三定律知所有行星的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，选项C、D错误。
答案 A
3.(开普勒第三定律的应用)一颗小行星绕太阳做匀速圆周运动的半径是地球公转半径的4倍，则这颗小行星运转的周期是( )
A.4年 B.6年
C.8年 D.年
解析 根据开普勒第三定律＝，得＝，即T行＝T地＝×1年＝8年，故选项C正确。
答案 C
4.(对月—地检验的理解)牛顿得出万有引力定律之前进行的月—地检验是检验下列哪两个力属于同一性质力( )
A.太阳对地球的引力和太阳对其他行星的引力
B.地球对太阳的引力和地球对月球的引力
C.地球对其表面物体的引力和月球对表面物体的引力
D.地球对月球的引力和地球对表面物体的引力
解析 月—地检验是判断地球对月球的引力与地球对表面物体的引力是否为同一性质力，故选D。
答案 D
5.(对万有引力定律的应用)航天员王亚平在“天宫一号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为( )
A.0 B.
C. D.
解析 “天宫一号”飞船绕地球飞行时与地球之间的万有引力F引＝G，由于“天宫一号”飞船绕地球飞行时重力与万有引力相等，即mg＝G，故飞船所在处的重力加速度g＝G，故选项B正确，选项A、C、D错误。
答案 B
6.(重力与高度的关系)(2018·临沂高一检测)地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，若高空中某处的重力加速度为g，则该处距地球表面的高度为( )
A.(－1)R B.R
C.R D.2R
解析 设地球质量为M，则质量为m的物体在地球表面上重力mg＝G，在高度为h处的重力mg＝G。解以上两式得：h＝(－1)R，A正确。
答案 A
7.(天体质量和密度的计算)假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星。若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知万有引力常量为G。求：
(1)该天体的密度；
(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T2，该天体密度的另一表达式。
解析 (1)设卫星的质量为m，天体的质量为M，卫星贴近天体表面运动时有G＝mR，M＝，根据数学知识可知天体的体积为V＝πR3
故该天体的密度为ρ＝＝＝
(2)卫星距天体表面距离为h时，忽略自转有G＝m(R＋h)
M＝
ρ＝＝＝
答案 (1) (2)
基础过关
1.如图1所示是行星m绕恒星M运行的示意图，下列说法正确的是( )
图1
A.速率最大点是B点
B.速率最小点是C点
C.m从A点运动到B点做减速运动
D.m从A点运动到B点做加速运动
解析 由开普勒第二定律可知A点速率最大，B点速率最小，故从A到B做减速运动，所以选项A、B、D错误，C正确。
答案 C
2.月—地检验的结果说明( )
A.地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是同一种性质的力
B.地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力不是同一种性质的力
C.地面物体所受地球的引力，只与物体的质量有关
D.月球所受地球的引力，只与月球的质量有关
解析 通过完全独立的途径得出相同的结果，证明地球表面上的物体受地球的引力和星球之间的引力是同一种性质的力，A正确，B错误；由万有引力公式F＝G知，引力与两个相互作用的星体的质量都有关系，C、D错误。
答案 A
3.太阳系有八大行星，八大行星离太阳的远近不同，绕太阳运转的周期也不相同。下列反映周期与轨道半径关系的图象中正确的是( )
解析 由开普勒第三定律知＝k，所以R3＝kT2，D正确。
答案 D
4.(2018·忻州高一检测)行星A、B的质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半长轴分别为r1和r2，则A、B的公转周期之比为( )
A. B.
C. D.无法确定
解析 由开普勒第三定律＝k得，＝，所以＝，＝，C正确。
答案 C
5.某个行星的质量是地球质量的一半，半径也是地球半径的一半，那么一个物体在此行星表面上的重力是地球表面上重力的( )
A.倍 B.倍
C.4倍 D.2倍
解析 物体在某星球表面的重力等于万有引力G星＝G＝G＝2G＝2G地，故D正确。
答案 D
6.两个大小相同的实心均质小铁球，紧靠在一起时它们之间的万有引力为F；若两个半径为小铁球2倍的实心均质大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为( )
A.2F B.4F
C.8F D.16F
解析 设小铁球的半径为R，则两小球间：F＝G＝G＝Gπ2ρ2R4，同理，两大铁球之间：F′＝G＝Gπ2ρ2(2R)4＝16F。
答案 D
7.火星半径是地球半径的一半，火星质量约为地球质量的，那么地球表面质量为m的人受到地球的吸引力约为火星表面同质量的人受到火星引力的多少倍？
解析 设火星半径为R，质量为M，则地球半径为2R，质量为9M。
在地球表面人受到的引力F＝G，
在火星表面人受到的引力F′＝G；
所以＝，即同质量的人在地球表面受到的引力是在火星表面受到的引力的倍。
答案 倍
8.若地球绕太阳公转周期及其公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球公转周期和公转半径分别为t和r，则太阳质量与地球质量之比为( )
A. B.
C. D.
解析 无论地球绕太阳公转还是月球绕地球公转，统一表示为G＝mr，即M∝，所以＝，选项A正确。
答案 A
能力提升
9.(2018·抚顺高一检测)未来世界中，在各个星球间进行远航旅行将成为一件小事。某一天，小华驾驶一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面做匀速圆周运动飞行，飞船只受到该行星引力的作用，已知万有引力常量为G，要测定该行星的密度，仅仅只需测出下列哪一个量( )
A.飞船绕行星运行的周期 B.飞船运行的轨道半径
C.飞船运行时的速度大小 D.该行星的质量
解析 设行星的半径为R，质量为M，飞船的质量为m，飞船绕行星运行的周期为T，由万有引力提供向心力G＝mR，得M＝，行星的密度ρ＝＝，只需测出飞船绕行星运行的周期即可测出其密度，故选项A正确。
答案 A
10.(2018·南昌高一检测)假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G。地球的密度为( )
A. B.
C. D.
解析 物体在地球的两极时，mg0＝G，物体在赤道上时，mg＋mR＝G，以上两式联立解得地球的半径R＝，地球的密度ρ＝＝，故选项B正确，A、C、D错误。
答案 B
11.一艘宇宙飞船飞近某一个不知名的行星，并进入该行星表面的圆形轨道，宇航员进行预定的考察工作。宇航员能不能仅用一只表通过测定时间来测定该行星的密度？如果可以，请说明理由并给出推导过程。
解析 使宇宙飞船靠近行星表面做匀速圆周运动，其轨道半径r近似等于行星自身的半径R，即r＝R
设行星质量为M，宇宙飞船质量为m，
若测出飞船运行的周期为T，则有＝mr
联立解得M＝
又行星的体积V＝πR3
所以ρ＝＝
即宇航员只需测出T就能求出行星的密度。
答案 见解析
12.如图2所示为中国月球探测工程的标志，它以中国书法的笔触，勾勒出一轮明月和一双踏在其上的脚印，象征着月球探测的终极梦想。一位勤于思考的同学为探月宇航员设计了如下实验：在距月球表面高h处以初速度v0水平抛出一个物体，然后测量该平抛物体的水平位移为x。通过查阅资料知道月球的半径为R，引力常量为G，若物体只受月球引力的作用，请你求出：
图2
(1)月球表面的重力加速度g月；
(2)月球的质量M；
(3)环绕月球表面飞行的宇宙飞船的速率v是多少？
解析 (1)取水平抛出的物体为研究对象，有
h＝g月t2，x＝v0t，联立解得g月＝。
(2)取月球表面的物体m为研究对象，它受到的重力与万有引力相等，即
mg月＝，得M＝＝。
(3)环绕月球表面的宇宙飞船做匀速圆周运动半径为R，万有引力提供向心力，故有＝(m′为飞船质量)，所以v＝＝＝。
答案 (1) (2) (3)
课件37张PPT。第1节 万有引力定律及引力常量的测定一、行星运动的规律
阅读教材第89～90页“行星运动的规律”部分，知道开普勒行星运动定律的内容。
开普勒行星运动的三个定律一个焦点面积相等思维拓展
如图1所示为地球绕太阳运动的示意图及春分、夏至、秋分、冬至时地球所在的位置。图1
(1)太阳是否在轨道平面的中心？夏至、冬至时地球到太阳的距离是否相同？
(2)一年之内秋、冬两季比春、夏两季为什么要少几天？
答案 (1)不是 不相同
(2)秋、冬两季比春、夏两季地球运动的快。二、万有引力定律
阅读教材第90～93页“万有引力定律”部分，知道万有引力定律的内容及表达式。
1.万有引力定律正比平方球心2.“月—地”检验
证明了地球与物体间的引力和天体间的引力具有__________，遵循_____________。相同性质同样的规律思维拓展
天体是有质量的，人是有质量的，地球上的其他物体也是有质量的。请思考：图2
(1)任意两个物体之间都存在万有引力吗？“两个物体之间的距离r”指物体哪两部分间的距离？
(2)地球对人的万有引力与人对地球的万有引力大小相等吗？
答案 (1)都存在 质心间距离 (2)相等三、引力常量的测定及其意义
阅读教材第93～95页“引力常量的测定及其意义”部分，知道引力常量的测定方法，了解其意义。
1.测定：在1798年，英国物理学家___________利用________实验，较精确地测出了引力常量。
2.意义：使_____________________能进行定量运算，显示出其真正的实用价值。
3.知道G的值后，利用万有引力定律可以计算出天体的质量，卡文迪许也因此被称为“______________________”。卡文迪许扭秤万有引力定律能称出地球质量的人对开普勒定律的认识[要点归纳]
1.从空间分布上认识：行星的轨道都是椭圆，不同行星轨道的半长轴不同，即各行星的椭圆轨道大小不同，但所有轨道都有一个共同的焦点，太阳在此焦点上。因此开普勒第一定律又叫焦点定律。2.对速度大小的认识
(1)如图3所示，如果时间间隔相等，即t2－t1＝t4－t3，由开普勒第二定律，面积SA＝SB，可见离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速率越大。因此开普勒第二定律又叫面积定律。图3
(2)近日点、远日点分别是行星距离太阳的最近点、最远点，所以同一行星在近日点速度最大，在远日点速度最小。3.对周期长短的认识
(1)行星公转周期跟轨道半长轴之间有依赖关系，椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越长；反之，其公转周期越短。
(2)该定律不仅适用于行星，也适用于其他天体。例如，绕某一行星运动的不同卫星。4.开普勒定律的近似处理：实际上，行星的轨道与圆十分接近，所以在中学阶段的研究中能够按圆处理。也就是说：
(1)行星绕太阳运行的轨道十分接近圆，太阳处在圆心。
(2)对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度(或线速度大小)不变，即行星做匀速圆周运动。[精典示例]
[例1] 关于行星绕太阳运动的下列说法中正确的是( )
A.所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动
B.行星绕太阳运动时，太阳位于行星轨道的中心处
C.行星在椭圆轨道上绕太阳运动的过程中，其速度与行星和太阳之间的距离有关，距离小时速度小，距离大时速度大
D.离太阳越近的行星运动周期越短D答案 D万有引力定律的理解及其应用(1)两质量分布均匀的球体间的万有引力，可用公式计算，此时r是两个球体球心的距离。
(2)—个质量分布均匀球体与球外一个质点间的万有引力，可用公式计算，r为球心到质点间的距离。
(3)两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，公式也适用。2.万有引力的“四性”A.公式中的G是引力常量，它是由实验得出的，而不是人为规定的
B.当两个物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大
C.m1和m2所受引力大小总是相等的
D.两个物体间的引力总是大小相等、方向相反的，是一对平衡力答案 AC答案 ABC万有引力与重力的关系[要点归纳]
1.地球表面上的重力与万有引力的关系图42.重力与纬度的关系3.重力、重力加速度与高度的关系[精典示例]
[例3] 地球表面重力加速度为g，忽略地球自转的影响，在距地面高度为h的空中重力加速度是地面上重力加速度的几倍？已知地球半径为R。[针对训练3] (2018·佳木斯高一检测)某行星的质量与地球的质量比为a，半径比为b，则该行星表面与地球表面的重力加速度之比为( )答案 B[要点归纳]
1.天体质量的计算天体质量和密度的计算2.天体密度的计算[精典示例]
[例4] 我国航天技术飞速发展，设想数年后宇航员登上了某星球表面。宇航员从距该星球表面高度为h处，沿水平方向以初速度v抛出一小球，测得小球做平抛运动的水平距离为L，已知该星球的半径为R，引力常量为G。求：
(1)该星球表面的重力加速度。
(2)该星球的平均密度。思路探究
(1)能否利用小球的运动情况求出该星球表面的重力加速度？
(2)该星球表面的重力加速度与星球半径、星球质量的关系式为GM＝________。
答案 B
