章末分层突破
[自我校对]
①力的方向上
②Fs
③正
④负
⑤F合scos α
⑥不省
⑦比值
⑧
⑨Fcos α
⑩Fv
?W有用＋W额外
?W输出＋W损失
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
摩擦力做功的分析
1.滑动摩擦力和静摩擦力都可以对物体不做功：如图1-1所示，物块A从斜槽上滑下，最后停在平板车B上，而平板车始终未动，在物块A与平板车B相对滑动的过程中，平板车B所受的滑动摩擦力不做功，平板车受地面的静摩擦力也不做功．
2．滑动摩擦力和静摩擦力都可以对物体做负功：
(1)如图1-1中，物块A相对于平板车B滑动的过程中，物块A所受的滑动摩擦力对物块做负功．
图1-1
(2)如图1-2所示，在一与水平方向夹角为θ的传送带上，有一物体A随传送带一起匀速向下运动，静摩擦力对物体A做负功．
图1-2
3．滑动摩擦力和静摩擦力都可以对物体做正功：
(1)如图1-1中，如果平板车不固定，且地面光滑，在物块A滑上平板车B的过程中，物块对平板车的滑动摩擦力与平板车的运动方向相同，滑动摩擦力对平板车做正功．
(2)如图1-2中，如果物体A随传送带一起匀速向上运动，物块A所受静摩擦力与物体的位移方向一致，静摩擦力对物体A做正功．
(多选)如图1-3所示，物体沿弧形轨道滑下后进入足够长的水平传送带，传送带以图示方向匀速运转，则传送带对物体做功情况可能是( )
图1-3
A．始终不做功
B．先做负功后做正功
C．先做正功后不做功
D．先做负功后不做功
【解析】 设传送带运转的速度大小为v1，物体刚滑上传送带时的速度大小为v2.(1)当v1＝v2时，物体与传送带间无摩擦力，传送带对物体始终不做功．(2)当v1＜v2时，物体相对于传送带向右运动，物体受到的滑动摩擦力向左，物体先匀减速运动至速度为v1才匀速运动，故传送带对物体先做负功后不做功．(3)当v1＞v2时，物体先匀加速运动直至速度增为v1才匀速运动，故传送带对物体先做正功后不做功．
【答案】 ACD
功率的理解及应用
1.P＝，此式求出的是t时间内的平均功率，当然若功率一直不变，亦为瞬时功率，当时间t极短时，求出的功率也是瞬时功率．
2．P＝Fvcos α，即功率等于力F、运动的速度v以及力和速度的夹角α的余弦的乘积．当α＝0时，公式简化为P＝Fv.
3．机车以恒定功率启动或以恒定加速度启动
(1)P＝Fv指的是牵引力的瞬时功率．
(2)依据P＝Fv及a＝讨论各相关量的变化，三个最终状态量的特点：P＝Pm，a＝0(F＝f)，v＝vm.
质量为2 kg的物体做自由落体运动，经过2 s落地．g取10 m/s2.关于重力做功的功率，下列说法正确的是( )
A．下落过程中重力的平均功率是400 W
B．下落过程中重力的平均功率是100 W
C．落地前的瞬间重力的瞬时功率是400 W
D．落地前的瞬间重力的瞬时功率是200 W
【解析】 物体2 s下落的高度为h＝gt2＝20 m，落地时的速度为v＝gt＝20 m/s，所以下落过程中重力的平均功率是P＝＝200 W，落到地面前的瞬间重力的瞬时功率是P＝mgv＝400 W，选项C正确．
【答案】 C
一辆汽车质量为1×103 kg，最大功率为2×104 W，在水平路面上由静止开始做直线运动，最大速度为v2，运动中汽车所受阻力恒定．发动机的最大牵引力为3×103 N，其行驶过程中牵引力F与车速的倒数的关系如图1-4所示．试求：
图1-4
(1)根据图线ABC判断汽车做什么运动；
(2)v2的大小；
(3)整个运动过程中的最大加速度．
【解析】 (1)题图中图线AB段牵引力F不变，阻力f不变，汽车做匀加速直线运动，图线BC的斜率表示汽车的功率P，P不变，则汽车做加速度减小的加速运动，直至达到最大速度v2，此后汽车做匀速直线运动．
(2)当汽车的速度为v2时，牵引力为F1＝1×103 N
v2＝＝ m/s＝20 m/s.
(3)汽车做匀加速直线运动时的加速度最大
阻力f＝＝ N＝1 000 N
a＝＝m/s2＝2 m/s2.
【答案】 (1)见解析 (2)20 m/s (3)2 m/s2
用公式P＝Fv处理机车起动问题时应注意的问题
(1)公式P＝Fv中的F指的是机车的牵引力，而不是合外力．
(2)只有机车匀速运动时，牵引力F才等于它受到的阻力f大小．
(3)机车以恒定加速度启动时，匀加速结束时的速度并没有达到最终匀速运动的速度vm.
(教师用书独具)
1．(多选)两实心小球甲和乙由同一种材料制成，甲球质量大于乙球质量．两球在空气中由静止下落，假设它们运动时受到的阻力与球的半径成正比，与球的速率无关．若它们下落相同的距离，则( )
A．甲球用的时间比乙球长
B．甲球末速度的大小大于乙球末速度的大小
C．甲球加速度的大小小于乙球加速度的大小
D．甲球克服阻力做的功大于乙球克服阻力做的功
【解析】 设小球在下落过程中所受阻力F阻＝kR，k为常数，R为小球半径，由牛顿第二定律可知：mg－F阻＝ma，由m＝ρV＝ρπR3知：ρπR3g－kR＝ρπR3a，即a＝g－·，故知：R越大，a越大，即下落过程中a甲>a乙，选项C错误；下落相同的距离，由h＝at2知，a越大，t越小，选项A错误；由2ah＝v2－v知，v0＝0，a越大，v越大，选项B正确；由W阻＝－F阻h知，甲球克服阻力做的功更大一些，选项D正确．
【答案】 BD
2．(多选)我国科学家正在研制航母舰载机使用的电磁弹射器．舰载机总质量为3.0×104 kg，设起飞过程中发动机的推力恒为1.0×105 N；弹射器有效作用长度为100 m，推力恒定．要求舰载机在水平弹射结束时速度大小达到80 m/s.弹射过程中舰载机所受总推力为弹射器和发动机推力之和，假设所受阻力为总推力的20%，则( )
A．弹射器的推力大小为1.1×106 N
B．弹射器对舰载机所做的功为1.1×108 J
C．弹射器对舰载机做功的平均功率为8.8×107 W
D．舰载机在弹射过程中的加速度大小为32 m/s2
【解析】 对舰载机应用运动学公式v2－02＝2ax，即802＝2·a·100，得加速度a＝32 m/s2，选项D正确；设总推力为F，对舰载机应用牛顿第二定律可知：F－20%F＝ma，得F＝1.2×106 N，而发动机的推力为1.0×105 N，则弹射器的推力为F推＝(1.2×106－1.0×105)N＝1.1×106 N，选项A正确；弹射器对舰载机所做的功为W＝F推·l＝1.1×108 J，选项B正确；弹射过程所用的时间为t＝＝ s＝2.5 s，平均功率P＝＝ W＝4.4×107W，选项C错误．
【答案】 ABD
3．一汽车在平直公路上行驶．从某时刻开始计时，发动机的功率P随时间t的变化如图1-5所示．假定汽车所受阻力的大小f恒定不变．下列描述该汽车的速度v随时间t变化的图线中，可能正确的是( )
图1-5
【解析】 由P-t图象知：0～t1内汽车以恒定功率P1行驶，t1～t2内汽车以恒定功率P2行驶．设汽车所受牵引力为F，则由P＝Fv得，当v增加时，F减小，由a＝知a减小，又因速度不可能突变，所以选项B、C、D错误，选项A正确．
【答案】 A
4．某车以相同的功率在两种不同的水平路面上行驶，受到的阻力分别为车重的k1和k2倍，最大速率分别为v1和v2，则( )
A．v2＝k1v1 B．v2＝v1
C．v2＝v1 D．v2＝k2v1
【解析】 车达到最大速度时，牵引力大小等于阻力大小，此时车的功率等于克服阻力做功的功率．故P＝k1mgv1＝k2mgv2，解得v2＝v1，选项B正确．
【答案】 B
5．在讨论做功与哪些因素有关时，有下列三种过程：a.用水平推力F推一质量为m的物体，在光滑水平面上前进s；b.用水平推力F推一质量是2m的物体，在粗糙水平面上前进s；c.用与光滑斜面平行的推力F推一质量为2m的物体，沿斜面向上前进s.则关于力F在以上过程中做功多少的说法正确的是( )
A．a做功最多 B．b做功最多
C．c做功最多 D．做功一样多
【解析】 物体在力F的方向上发生的位移相同，都是s，根据功的定义式可知，在这三种过程中力F做功相等，选项D正确．
【答案】 D
6．一种氢气燃料的汽车，质量为m＝2.0×103 kg，发动机的额定输出功率为80 kW，行驶在平直公路上时所受阻力恒为车重的0.1倍．若汽车从静止开始先匀加速启动，加速度的大小为a＝1.0 m/s2.达到额定输出功率后，汽车保持功率不变又加速行驶了800 m，直到获得最大速度后才匀速行驶．(g取10 m/s2) 试求：
(1)汽车的最大行驶速度；
(2)汽车匀加速阶段结束时的速度大小．
【解析】 (1)当牵引力等于阻力时，汽车的行驶速度最大．
则：vm＝＝ m/s＝40 m/s.
(2)汽车功率增加到额定功率时，匀加速运动结束，此时汽车的速度为v1，由F－f＝ma
得F＝4×103 N
由P额＝Fv1
得v1＝ m/s＝20 m/s.
【答案】 (1)40 m/s (2)20 m/s
章末总结
一、功和功率的计算
1.功的计算方法
(1)定义法求功。
(2)利用动能定理或功能关系求功。
(3)利用W＝Pt求功。
2.功率的计算方法
(1)P＝：此式是功率的定义式，适用于任何情况下功率的计算，但常用于求解某段时间内的平均功率。
(2)P＝Fvcos α：当v是瞬时速度时，此式计算的是F的瞬时功率；当v是平均速度时，此式计算的是F的平均功率。
[例1] 质量为m＝20 kg的物体，在大小恒定的水平外力F的作用下，沿水平面做直线运动。0～2 s内F与运动方向相反，2～4 s内F与运动方向相同，物体的v－t图象如图1所示，g取10 m/s2，则( )
图1
A.拉力F的大小为100 N
B.物体在4 s时拉力的瞬时功率为120 W
C.4 s内拉力所做的功为480 J
D.4 s内物体克服摩擦力做的功为320 J
解析 由图象可得：0～2 s内物体做匀减速直线运动，加速度大小为a1＝＝ m/s2＝5 m/s2，匀减速过程有F＋f＝ma1 ①。匀加速过程加速度大小为a2＝＝ m/s2＝1 m/s2，有F－f＝ma2 ②，联立①②解得f＝40 N，F＝60 N，故A错误；物体在4 s时拉力的瞬时功率为P＝Fv＝60×2 W＝120 W，故B正确；4 s内物体通过的位移为s＝×2×10 m－×2×2 m＝8 m，拉力做功为W＝－Fs＝－480 J，故C错误；4 s内物体通过的路程为l＝×2×10 m＋×2×2 m＝12 m，摩擦力做功为Wf＝－f l＝－40×12 J＝－480 J，故D错误。
答案 B
[针对训练1] (多选)如图2所示，一质量为1.2 kg的物体从一固定的倾角为30°、长度为10 m的光滑斜面顶端由静止开始下滑。g取10 m/s2，则( )
图2
A.物体滑到斜面底端时重力做功的瞬时功率是60 W
B.物体滑到斜面底端时重力做功的瞬时功率是120 W
C.整个过程中重力做功的平均功率是30 W
D.整个过程中重力做功的平均功率是60 W
解析 根据牛顿第二定律得mgsin 30°＝ma，由匀变速运动公式v2＝2as，联立解得v＝＝10 m/s，所以物体滑到斜面底端时的速度为10 m/s，此时重力做功的瞬时功率为P＝mgvsin 30°＝1.2×10×10× W＝60 W，故A正确，B错误；物体下滑时做匀加速直线运动，其受力情况如图所示。由牛顿第二定律得物体的加速度a＝＝10× m/s2＝5 m/s2，物体下滑的时间t＝＝ s＝2 s。物体下滑过程中重力做的功为W＝mgl·sin 30°＝1.2×10×10× J＝60 J。重力做功的平均功率P＝＝ W＝30 W。故C正确，D错误。
答案 AC
二、机车启动问题
1.处理好制约关系P＝Fv
由于发动机的输出功率总是有限度的，发动机的功率达到额定功率后，其功率P保持恒定，当汽车速度v继续增加时，发动机所能提供的牵引力F就会减小。同理，当汽车由平路驶入上坡路段的时候，由于需要更大的牵引力F，汽车的速度v会减小。
2.两种启动模式的比较
启动模式
恒定功率启动
恒定加速度启动
特点
启动过程中，保持发动机的功率不发生变化
启动过程中，保持机车加速度(牵引力)不发生变化
基本公式
P＝Fv
F－f＝ma
P－t图象
v－t图象
a－t图象
[例2] 汽车发动机的额定功率Pm＝60 kW，汽车质量m＝5 t，运动时与地面间的动摩擦因数μ＝0.1。求：
(1)汽车所能达到的最大速度vm；
(2)若汽车以a＝0.5 m/s2的加速度由静止开始做匀加速直线运动。
①这一过程能维持多长时间(取g＝10 m/s2)?
②当速度v1＝4 m/s时，汽车的加速度a1是多大？功率P1是多大？
③当速度v2＝10 m/s时，汽车的加速度a2是多大？功率P2是多大？
解析 (1)汽车达到最大速度vm时，a＝0，牵引力F等于阻力f，即F＝f＝μmg
由Pm＝Fvm得最大速度大小vm＝
联立各式代入数据解得vm＝12 m/s
(2)①汽车从静止开始匀加速启动，牵引力F恒定，由牛顿第二定律得F－f＝ma
得F＝f＋ma＝μmg＋ma
由于速度不断增大，因此发动机功率P也不断增大(因P＝Fv∝v)，当功率增至额定功率Pm时，匀加速运动结束，其匀加速运动阶段的最大速度v′＝
匀加速运动维持的时间t′＝
联立并代入数据解得t′＝16 s
②由于速度v1＝4 m/s故加速度a1＝a＝0.5 m/s2
功率：P1＝Fv1＝(μmg＋ma)v1＝30 kW
③由于速度v2＝10 m/s>v′，且v2因此汽车做变加速运动，其功率P2＝Pm＝60 kW
由P2＝F2v2，得牵引力F2＝
加速度a2＝
代入数据解得a2＝0.2 m/s2。
答案 (1)12 m/s (2)①16 s ②0.5 m/s2 30 kW
③0.2 m/s2 60 kW
汽车功率还没有达到额定功率时，汽车维持匀加速运动，实际功率随速度增大而增大；汽车实际功率达到额定功率以后，随着速度的增大，汽车牵引力不断减小，汽车做变加速运动，汽车加速度为零时，速度增至最大，此时所受合力为零，保持匀速运动。
[针对训练2] 下表是一辆电动车的部分技术指标，其中的额定车速是指电动车满载的情况下，在平直道路上以额定功率匀速行驶时的速度。
额定车速
18 km/h
电源输出电压
≥36 V
整车质量
40 kg
充电时间
6～8 h
载重
80 kg
电动机的额定输出功率
180 W
电源
36 V/12 Ah
电动机的额定工作电压/电流
36 V/6 A
请根据表中的数据，完成下列问题(g取10 m/s2)。
(1)在行驶的过程中，电动车受到的阻力是车重(包括载重)的k倍，假定k是定值，试推算k的大小；
(2)若电动车以额定功率行驶，求速度为3 m/s时的加速度是多少？
解析 (1)由表可得到P出＝180 W，车速v＝18 km/h＝5 m/s，由P出＝Fv，匀速直线运动时有F＝f，其中
f＝k(M＋m)g，解得k＝0.03。
(2)当车速v′＝3 m/s时，牵引力F′＝，由牛顿第二定律知F′－k(M＋m)g＝(m＋M)a，解得a＝0.2 m/s2。
答案 (1)0.03 (2)0.2 m/s2
