章末分层突破
[自我校对]
①mv2
②标量
③焦耳
④J
⑤Ek2－Ek1
⑥无关
⑦Ep1－Ep2
⑧重力
⑨弹力
⑩Ek1＋Ep1
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
动能定理的应用
1.运用动能定理，不必考虑物体在运动过程中的细节，只需要考虑物体初、末状态的速度和外力做功的代数和，使解题过程大为简化．但若研究对象在运动中受力情况不明，则无法用动能定理解题．所以应用动能定理时受力分析和运动分析仍然是解题的关键．
2．动能定理通过做功的多少和正负来定量描述了物体动能和其他形式的能量间的转换关系．合外力做多少正功，就有多少其他形式的能转化为物体的动能，合外力做多少负功，物体就有多少动能转化为其他形式的能．
如图2-1所示，假设在某次比赛中他从10 m高处的跳台跳下，设水的平均阻力约为其体重的3倍，在粗略估算中，把运动员当做质点处理，为了保证运动员的人身安全，池水深度至少为(不计空气阻力)( )
图2-1
A．5 m B．3 m
C．7 m D．1 m
【解析】 设水深h，对运动全程运用动能定理
mg(H＋h)－fh＝0，
即mg(H＋h)＝3mgh.所以h＝5 m.
【答案】 A
力学中的功能关系
做功的过程就是能量转化的过程，做功的数值就是能的转化数量，这是功能关系的普遍意义．不同形式的能的转化又与不同形式的功相联系，这是贯穿整个物理学的一个重要思想．学会正确分析物理过程中的功能关系，对于提高解题能力是至关重要的．
力学领域中功能关系的主要形式：
(多选)如图2-2所示，楔形木块abc固定在水平面上，粗糙斜面ab和光滑斜面bc与水平面的夹角相同，顶角b处安装一定滑轮．质量分别为M、m(M>m)的滑块，通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接，轻绳与斜面平行．两滑块由静止释放后，沿斜面做匀加速运动．若不计滑轮的质量和摩擦，在两滑块沿斜面运动的过程中( )
图2-2
A．两滑块组成系统的机械能守恒
B．重力对M做的功等于M动能的增加
C．轻绳对m做的功等于m机械能的增加
D．两滑块组成系统的机械能损失等于M克服摩擦力做的功
【解析】 因为M克服摩擦力做功，所以系统机械能不守恒，A错误．由功能关系知系统减少的机械能等于M克服摩擦力做的功，D正确．对M，除重力外还有摩擦力和轻绳拉力对其做功，由动能定理知B错误．对m，有拉力和重力对其做功，由功能关系知C正确．
【答案】 CD
解决动力学问题的方法
解决动力学问题所用到的知识有受力分析、牛顿运动定律、动能定理、机械能守恒定律和能量守恒定律等，涉及动力学的综合题应根据题目要求灵活选用公式和规律．
(1)涉及力和运动的瞬时性分析或恒力作用下物体做匀变速直线运动的问题时，可用牛顿运动定律．
(2)对于物体在恒力作用下的运动问题，运用动能定理比运用牛顿运动定律解题过程要简单．
(3)动能定理、机械能守恒定律和功能关系在应用上有区别，在分不清的情况下，通常选用动能定理．
(4)涉及动能与势能的相互转化、单个物体或系统机械能守恒的问题，通常选用机械能守恒定律，应用时要注意两点：
①守恒条件；②哪段过程机械能守恒．
如图2-3所示，半径为R＝0.45 m的光滑的1/4圆周轨道AB与粗糙水平面BC相连，质量m＝2 kg的物块由静止开始从A点滑下经B点进入动摩擦因数μ＝0.2的水平面，g取10 m/s2.求：
图2-3
(1)物块经过B点时的速度大小vt和距水平面高度为时的速度大小v；
(2)物块过B点后2 s内所滑行的距离s；
(3)物块沿水平面运动过程中克服摩擦力做多少功？
【解析】 (1)选水平面BC为零势能面．由机械能守恒定律得mgR＝mv
解得vt＝＝ m/s＝3 m/s
又由机械能守恒定律得
mgR＝mg·R＋mv2
解得v＝ ＝ m/s＝1.5 m/s.
(2)物块做减速运动的加速度大小为
a＝＝＝μg＝0.2×10 m/s2＝2 m/s2
因为物块经过B点后运动的时间
t停＝＝1.5 s<2 s
所以s＝ t停＝·t停＝2.25 m.
(3)物块克服摩擦力所做的功为
W＝fs＝μmgs＝0.2×2×10×2.25 J＝9 J.
【答案】 (1)3 m/s 1.5 m/s (2)2.25 m (3)9 J
解决动力学问题的方法
首先考虑是否可用能量守恒定律处理；其次考虑是否可用动能定理处理；最后再考虑用牛顿运动定律和运动学公式处理．
(教师用书独具)
1. (多选)如图2-4所示，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连．现将小球从M点由静止释放，它在下降的过程中经过了N点．已知在M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM<∠OMN<.在小球从M点运动到N点的过程中，( )
图2-4
A．弹力对小球先做正功后做负功
B．有两个时刻小球的加速度等于重力加速度
C．弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零
D．小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差
【解析】 在M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM<∠OMN<，则小球在M点时弹簧处于压缩状态，在N点时弹簧处于拉伸状态，小球从M点运动到N点的过程中，弹簧长度先缩短，当弹簧与竖直杆垂直时弹簧达到最短，这个过程中弹力对小球做负功，然后弹簧再伸长，弹力对小球开始做正功，当弹簧达到自然伸长状态时，弹力为零，再随着弹簧的伸长弹力对小球做负功，故整个过程中，弹力对小球先做负功，再做正功，后再做负功，选项A错误．在弹簧与杆垂直时及弹簧处于自然伸长状态时，小球加速度等于重力加速度，选项B正确．弹簧与杆垂直时，弹力方向与小球的速度方向垂直，则弹力对小球做功的功率为零，选项C正确．由机械能守恒定律知，在M、N两点弹簧弹性势能相等，在N点的动能等于从M点到N点重力势能的减小值，选项D正确．
【答案】 BCD
2．(多选)如图2-5所示为一滑草场．某条滑道由上下两段高均为h，与水平面倾角分别为45°和37°的滑道组成，滑草车与草地之间的动摩擦因数为μ.质量为m的载人滑草车从坡顶由静止开始自由下滑，经过上、下两段滑道后，最后恰好静止于滑道的底端(不计滑草车在两段滑道交接处的能量损失，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)．则( )
图2-5
A．动摩擦因数μ＝
B．载人滑草车最大速度为
C．载人滑草车克服摩擦力做功为mgh
D．载人滑草车在下段滑道上的加速度大小为g
【解析】 由题意知，上、下两段斜坡的长分别为s1＝、s2＝
由动能定理(或功能关系)知：
2mgh＝μmgs1cos 45°＋μmgs2cos 37°
解得动摩擦因数μ＝，选项A正确；
下落h时的速度最大，由动能定理知：
mgh－μmgs1cos 45°＝mv2
解得v＝，选项B正确；
载人滑草车克服摩擦力做的功与重力做功相等，即W＝2mgh，选项C错误；
滑草车在下段滑道上的加速度大小为a＝μgcos 37°－gsin 37°＝g，选项D错误．
【答案】 AB
3. (多选)如图2-6，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上．a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动．不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g.则( )
图2-6
A．a落地前，轻杆对b一直做正功
B．a落地时速度大小为
C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g
D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg
【解析】 由题意知，系统机械能守恒．设某时刻a、b的速度分别为va、vb.此时刚性轻杆与竖直杆的夹角为θ，分别将va、vb分解，如图．因为刚性杆不可伸长，所以沿杆的分速度v∥与v′∥是相等的，即vacos θ＝vbsin θ.当a滑至地面时θ＝90°，此时vb＝0，由系统机械能守恒得mgh＝mv，解得va＝，选项B正确．同时由于b初、末速度均为零，运动过程中其动能先增大后减小，即杆对b先做正功后做负功，选项A错误．杆对b的作用先是推力后是拉力，对a则先是阻力后是动力，即a的加速度在受到杆的向下的拉力作用时大于g，
选项C错误．b的动能最大时，杆对a、b的作用力为零，此时a的机械能最小，b只受重力和支持力，所以b对地面的压力大小为mg，选项D正确．正确选项为B、D.
【答案】 BD
4.如图2-7所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态．现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中( )
图2-7
A．圆环的机械能守恒
B．弹簧弹性势能变化了mgL
C．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零
D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变
【解析】 圆环沿杆下滑的过程中，圆环与弹簧组成的系统动能、弹性势能、重力势能之和守恒，选项A、D错误；弹簧长度为2L时，圆环下落的高度h＝L，根据机械能守恒定律，弹簧的弹性势能增加了ΔEp＝mgh＝mgL，选项B正确；圆环释放后，圆环向下先做加速运动，后做减速运动，当速度最大时，合力为零，下滑到最大距离时，具有向上的加速度，合力不为零，选项C错误．
【答案】 B
5．如图2-8所示，用一块长L1＝1.0 m的木板在墙和桌面间架设斜面，桌子高H＝0.8 m，长L2＝1.5 m．斜面与水平桌面的倾角θ可在0～60°间调节后固定．将质量m＝0.2 kg的小物块从斜面顶端静止释放，物块与斜面间的动摩擦因数μ1＝0.05，物块与桌面间的动摩擦因数为μ2，忽略物块在斜面与桌面交接处的能量损失．(重力加速度取g＝10 m/s2；最大静摩擦力等于滑动摩擦力)
图2-8
(1)当θ角增大到多少时，物块能从斜面开始下滑；(用正切值表示)
(2)当θ角增大到37°时，物块恰能停在桌面边缘，求物块与桌面间的动摩擦因数μ2；(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
(3)继续增大θ角，发现θ＝53°时物块落地点与墙面的距离最大，求此最大距离xm.
【解析】 (1)为使小物块下滑，应有
mgsin θ≥μ1mgcos θ ①
θ满足的条件tan θ≥0.05 ②
即当θ＝arctan 0.05时物块恰好从斜面开始下滑．
(2)克服摩擦力做功Wf＝μ1mgL1cos θ＋μ2mg(L2－L1cos θ) ③
由动能定理得mgL1sin θ－Wf＝0 ④
代入数据得μ2＝0.8. ⑤
(3)由动能定理得mgL1sin θ－Wf＝mv2 ⑥
结合③式并代入数据得v＝1 m/s ⑦
由平抛运动规律得H＝gt2，x1＝vt
解得t＝0.4 s ⑧
x1＝0.4 m ⑨
xm＝x1＋L2＝1.9 m． ⑩
【答案】 (1)arctan 0.05 (2)0.8 (3)1.9 m
章末总结
一、动能定理的理解及应用
1.动能定理的理解
适用范围
既适用于恒力作用过程，也适用于变力作用过程；既适用于物体做直线运动的情况，也适用于物体做曲线运动的情况
揭示关系
揭示了合外力做功与动能变化的关系，若合外力做功为W，物体的动能就增加W。若合外力做功为－W，物体的动能应减少W
研究对象
既可以是单个物体，也可以是几个物体所组成的一个系统
研究过程
既可以是针对运动过程中的某个具体过程，也可以是针对运动的全过程。对全过程列式时，关键是分清整个过程中哪些力做功，且各个力做功应与位移对应，并确定初、末状态的动能
参考系
动能定理的计算式为标量式，v为相对同一参考系的速度。没有特殊说明，都是指相对于地面。动能定理无分量式，不能在某一方向上应用动能定理列方程
2.应用动能定理的一般思路
[例1] 如图1所示，右端连有一个光滑弧形槽的水平桌面AB长L＝1.5 m，一个质量为m＝0.5 kg的木块在F＝1.5 N 的水平拉力作用下，从桌面上的A端由静止开始向右运动，木块到达B端时撤去拉力F，木块与水平桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，取g＝10 m/s2。求：
图1
(1)木块沿弧形槽上升的最大高度(木块未离开弧形槽)；
(2)木块沿弧形槽滑回B端后，在水平桌面上滑动的最大距离。
解析 (1)设木块沿弧形槽上升的最大高度为h，木块在最高点时的速度为零。从木块开始运动到弧形槽最高点，由动能定理得：FL－f L－mgh＝0
其中f＝μN＝μmg＝0.2×0.5×10 N＝1.0 N
所以h＝＝ m＝0.15 m
(2)设木块离开B点后沿桌面滑动的最大距离为x。由动能定理得：mgh－f x＝0
所以x＝＝ m＝0.75 m
答案 (1)0.15 m (2)0.75 m
[针对训练1] (2018·怀化高一检测)2016年冰壶世界青年锦标赛于3月5日～13日在土耳其埃尔祖鲁姆举行。冰壶在水平冰面上的一次滑行可简化为如下过程：如图2所示，运动员将静止于O点的冰壶(视为质点)沿直线OO′推到A点放手，此后冰壶沿AO′滑行，最后停于C点。已知冰面与各冰壶间的动摩擦因数为μ，冰壶质量为m，AC＝L，CO′＝r，重力加速度为g。
图2
(1)求冰壶在A点的速率；
(2)若将BO′段冰面与冰壶间的动摩擦因数减小为0.8 μ，原只能滑到C点的冰壶能停于O′点，求A点与B点之间的距离。
解析 (1)对冰壶从A到C，由动能定理有－μmgL＝0－mv
得vA＝。
(2)设AB间距离为s，对冰壶：从A到O′，由动能定理有
－μmgs－0.8μmg(L＋r－s)＝0－mv，得s＝L－4r。
答案 (1) (2)L－4r
二、机械能守恒定律的理解及应用
1.机械能守恒的条件
在一个系统中只有重力或弹簧弹力做功，其他力不做功或做功为零的时候系统机械能守恒。重力做功使能量在重力势能与动能之间转换，弹簧弹力做功使能量在弹性势能与动能之间转换，因此重力做功与弹簧弹力做功不会改变机械能的总量。
2.机械能守恒定律的表达式
(1)从守恒的角度：系统的初、末两状态机械能守恒，即E2＝E1；或者Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2，即系统的初始状态的机械能总量等于末状态的机械能总量。
(2)从转移的角度：系统中一部分物体机械能的增加等于另一部分物体机械能的减少，即ΔEA＝－ΔEB。
(3)从转化的角度：系统动能的增加等于势能的减少，即ΔEk＝－ΔEp。
3.机械能守恒定律和动能定理的应用比较
规律
内容
机械能守恒定律
动能定理
表达式
E1＝E2
ΔEk＝－ΔEp
ΔEA＝－ΔEB
W＝ΔEk
应用范围
只有重力或弹力做功时
无条件限制
研究对象
系统
单个物体
关注角度
守恒的条件和初、末状态机械能的形式及大小
动能的变化及合力做功情况
[例2] (2018·日照高一检测)如图3所示，质量均为m的物体A和B，通过轻绳跨过定滑轮相连。斜面光滑，倾角为θ，不计绳子和滑轮之间的摩擦。开始时A物体离地的高度为h，B物体位于斜面的底端，用手托住A物体，使A、B两物体均静止。现将手撤去。
图3
(1)求A物体将要落地时的速度为多大？
(2)A物体落地后，B物体由于惯性将继续沿斜面向上运动，则B物体在斜面上到达的最高点离地的高度为多大？
解析 (1)撤去手后，A、B两物体同时运动，并且速率相等，由于两物体构成的系统只有重力做功，故系统的机械能守恒。设A物体将要落地时的速度大小为v，由机械能守恒定律得mgh－mghsin θ＝(m＋m)v2
解得v＝。
(2)A物体落地后，B物体由于惯性将继续沿斜面向上运动，此时绳子对其没有拉力，对B物体而言，只有重力做功，故机械能守恒。设其到达的最高点离地高度为H，由机械能守恒定律得mv2＝mg(H－hsin θ)
解得H＝。
答案 (1) (2)
对单个物体(包括地球为系统)只受重力作用时，动能定理和机械能守恒定律表达式并没有区别；对两个物体组成的系统应用机械能守恒定律较方便；对有摩擦力或其他力做功的情况下要用动能定理列方程。
[针对训练2] 滑板运动是一项惊险刺激的运动，深受青少年的喜爱。如图4所示是滑板运动的轨道，AB和CD是一段圆弧形轨道，BC是一段长7 m 的水平轨道。一运动员从AB轨道上的P点以6 m/s的速度下滑，经BC轨道后冲上CD轨道，到Q点时速度减为零。已知运动员与滑板的总质量为50 kg，h＝1.4 m，H＝1.8 m，不计圆弧轨道上的摩擦(g＝10 m/s2)。求：
图4
(1)运动员第一次经过B点、C点时的速度各是多少？
(2)运动员与BC轨道的动摩擦因数。
解析 (1)以水平轨道为零势能面，从P点到B点，根据机械能守恒定律有
mv＋mgh＝mv，解得vB＝8 m/s。
从C点到Q点，根据机械能守恒定律有
mv＝mgH，解得vC＝6 m/s。
(2)从B到C由动能定理，－μmglBC＝mv－mv
解得μ＝0.2。
答案 (1)8 m/s 6 m/s (2)0.2
三、功能关系的理解和应用
1.功能关系概述
(1)不同形式的能量之间的转化是通过做功实现的，做功的过程就是能量之间转化的过程。
(2)功是能量转化的量度。做了多少功，就有多少能量发生转化。
2.功与能的关系：由于功是能量转化的量度，某种力做功往往与某一种具体形式的能量转化相联系，具体功能关系如下表：
功
能量转化
关系式
重力做功
重力势能的改变
WG＝－ΔEp
弹力做功
弹性势能的改变
W弹＝－ΔEp
合力做功
动能的改变
W合＝ΔEk
除重力、系统内弹力以外的其他力做功
机械能的改变
W其他＝ΔE机
两物体间滑动摩擦力对物体系统做功
内能的改变(摩擦力可以对物体做正功，也可以做负功)
fs相对＝Q
[例3] 如图5所示，某段滑雪雪道倾角为30°，总质量为m(包括雪具在内)的滑雪运动员从距底端高为h处的雪道上由静止开始匀加速下滑，加速度为g。在他从上向下滑到底端的过程中，下列说法正确的是( )
图5
A.运动员减少的重力势能全部转化为动能
B.运动员获得的动能为mgh
C.运动员克服摩擦力做功为mgh
D.下滑过程中系统减少的机械能为mgh
解析 运动员的加速度为g，小于gsin 30°，所以必受摩擦力的作用，且大小为mg，克服摩擦力做功为mg·＝mgh，故C错误；摩擦力做功，机械能不守恒，减少的势能没有全部转化为动能，而是有mgh转化为内能，故A错误，D正确；由动能定理知，运动员获得的动能为mg·＝mgh，故B错误。
答案 D
[针对训练3] 如图6所示，在光滑的水平面上，有一质量为M的长木块以一定的初速度向右匀速运动，将质量为m的小铁块无初速度地轻放到长木块右端，小铁块与长木块间的动摩擦因数为μ，当小铁块在长木块上相对长木块滑动L时与长木块保持相对静止，此时长木块对地的位移为l，求这个过程中：
图6
(1)系统产生的热量；
(2)小铁块增加的动能；
(3)长木块减少的动能；
(4)系统机械能的减少量。
解析 画出这一过程两物体位移示意图，如图所示。
(1)m、M间相对滑动的位移为L，根据能量守恒定律，有Q＝μmgL，即摩擦力对系统做的总功等于系统产生的热量。
(2)对小铁块根据动能定理有μmg(l－L)＝mv2－0，其中(l－L)为小铁块相对地面的位移，从上式可看出ΔEkm＝μmg(l－L)，说明摩擦力对小铁块做的正功等于小铁块动能的增加量。
(3)摩擦力对长木块做负功，根据功能关系，得ΔEkM＝－μmgl，即长木块减少的动能等于长木块克服摩擦力做的功μmgl。
(4)系统机械能的减少量等于系统克服摩擦力做的功
ΔE＝μmgL。
答案 (1)μmgL (2)μmg(l－L) (3)μmgl (4)μmgL
