章末分层突破
[自我校对]
①平行四边形
②实际效果
③g
④g
⑤
⑥
⑦v0
⑧v0t
⑨gt
⑩gt2
?重力加速度g
?初速度大小
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“关联”速度的分解问题
1.“关联”速度的特点
绳、杆等相牵连的物体，在运动过程中，两端点的速度通常是不同的，但物体沿绳或杆方向的速度分量大小相等．
2．解决“关联”速度问题的关键
(1)物体的实际运动是合运动，要按实际运动效果分解速度．
(2)沿杆(或绳)方向的速度分量大小是相等的．
如图3-1所示，用细绳跨过定滑轮拉水平面上的物体，某时刻，拉绳的速度为v1，物体在水平面上运动的速度为v2，此时拉物体的绳与水平面的夹角为α，则v1与v2的关系为________．
图3-1
【解析】 物体的实际速度为v2，将其分解为垂直绳和沿绳两个方向的分量，沿绳的分量v绳＝v2·cos α，由于沿绳速度大小相等，则v1＝v绳＝v2cos α.
【答案】 v1＝v2cos α
与斜面相关联的平抛运动问题
平抛运动中经常出现与斜面相关联的物理问题，解决此类问题的关键是充分挖掘题目中隐含的几何关系．有以下两种常见的模型：
1．物体从斜面平抛后又落到斜面上．如图3-2甲所示，则平抛运动的位移大小为沿斜面方向抛出点与落点之间的距离，位移偏向角为斜面倾角α，且tan α＝(y是平抛运动的竖直位移，x是平抛运动的水平位移)．
2．物体做平抛运动时以某一角度θ落到斜面上，如图3-2乙所示．则其速度偏向角为(θ－α)，且tan(θ－α)＝.
图3-2
如图3-3所示，斜面上a、b、c三点等距，小球从a点正上方O点抛出，做初速为v0的平抛运动，恰落在b点．若小球初速变为v，其落点位于c，则( )
图3-3
A．v0＜v＜2v0 B．v＝2v0
C．2v0＜v＜3v0 D．v＞3v0
【解析】 过b点作一水平线MN，分别过a点和c点作出MN的垂线分别交MN于a′、c′点，由几何关系得：a′b＝bc′，作出小球以初速度v抛出落于c点的轨迹如图中虚线所示，必交b、c′之间的一点d，设a′、b间的距离为x，α′、d间的距离为x′，则研究小球从抛出至落至MN面上的运动可知，时间相同，x＜x′＜2x，故v0＜v＜2v0，选项A正确，B、C、D错误．
【答案】 A
抛体运动分析
竖直下抛、竖直上抛、平抛运动和斜上抛运动均为抛体运动，它们的受力特点相同，且初速度均不为零，具体特性如下：
名称
项目
竖直下抛
竖直上抛
平抛运动
斜上抛运动
异
v0方向、轨迹
运动时间
由v0、h决定
由v0决定
由h决定
由v0、θ决定
同
(1)初速度v0≠0
(2)a＝g，匀变速运动
(3)遵守机械能守恒定律
如图3-4所示，从高H处以水平速度v1抛出小球甲，同时从地面以速度v2竖直上抛一小球乙，两球恰好在空中相遇，求：
图3-4
(1)两小球从抛出到相遇的时间．
(2)讨论小球乙在上升阶段或下降阶段与小球甲在空中相遇的速度条件．
【解析】 (1)两球从抛出到相遇，在竖直方向上甲的位移与乙的位移之和等于H
即gt2＋＝H
解得t＝
这一结果与小球乙是上升阶段还是下降阶段与小球甲在空中相遇无关．
(2)设小球甲从抛出到落地的时间为t甲，则有t甲＝
设小球乙从抛出到最高点所用的时间为t乙，则有t乙＝
①两球在小球乙上升阶段相遇，则相遇时间
t≤t乙，即≤，解得v2≥
式中的等号表示小球甲、乙恰好在小球乙上升的最高点相遇．
②两球在小球乙下降阶段相遇，则相遇时间
t乙【答案】 (1)
(2)小球乙上升阶段两球相遇的条件：v2≥
小球乙下降阶段两球相遇的条件： 抛体运动的分析方法
(1)各种抛体运动中，物体都只受重力作用，加速度均为重力加速度g，均为匀变速运动．
(2)对于轨迹是直线的竖直方向上的抛体运动往往直接应用运动学公式分析求解．
(3)对于轨迹是曲线的平抛运动和斜抛运动往往分解为两个直线运动进行分析求解．
(教师用书独具)
1.如图3-5所示，帆板在海面上以速度v朝正西方向运动，帆船以速度v朝正北方向航行，以帆板为参照物( )
图3-5
A．帆船朝正东方向航行，速度大小为v
B．帆船朝正西方向航行，速度大小为v
C．帆船朝南偏东45°方向航行，速度大小为v
D．帆船朝北偏东45°方向航行，速度大小为v
【解析】 以帆板为参照物，帆船具有朝正东方向的速度v和朝正北方向的速度v，两速度的合速度大小为v，方向朝北偏东45°，故选项D正确．
【答案】 D
2.一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图3-6所示．水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h.发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h.不计空气的作用，重力加速度大小为g.若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使兵乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是( )
图3-6
A.B.C.D.【解析】 设以速率v1发射乒乓球，经过时间t1刚好落到球网正中间．则竖直方向上有
3h－h＝gt ①，
水平方向上有＝v1t1 ②
由①②两式可得v1＝.
设以速率v2发射乒乓球，经过时间t2刚好落到球网右侧台面的两角处，在竖直方向有
3h＝gt ③，
在水平方向有＝v2t2 ④
由③④两式可得v2＝.
则v的最大取值范围为v1＜v＜v2.故选项D正确．
【答案】 D
3.距地面高5 m的水平直轨道上A、B两点相距2 m，在B点用细线悬挂一小球，离地高度为h，如图3-7所示．小车始终以4 m/s的速度沿轨道匀速运动，经过A点时将随车携带的小球由轨道高度自由卸下，小车运动至B点时细线被轧断，最后两球同时落地．不计空气阻力，重力加速度的大小g取10 m/s2.可求得h等于( )
图3-7
A．1.25 m B．2.25 m
C．3.75 m D．4.75 m
【解析】 根据两球同时落地可得＝＋，代入数据得h＝1.25 m，选项A正确．
【答案】 A
4.如图3-8所示为足球球门，球门宽为L.一个球员在球门中心正前方距离球门s处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角(图中P点)．球员顶球点的高度为h.足球做平抛运动(足球可看成质点，忽略空气阻力)，则( )
图3-8
A．足球位移的大小x＝
B．足球初速度的大小v0＝
C．足球末速度的大小v＝
D．足球初速度的方向与球门线夹角的正切值tan θ＝
【解析】 根据几何关系可知，足球做平抛运动的竖直高度为h，水平位移为x水平＝，则足球位移的大小为：x＝＝，选项A错误；由h＝gt2，x水平＝v0t，可得足球的初速度为v0＝，选项B正确；对小球应用动能定理：mgh＝－，可得足球末速度v＝＝，选项C错误；初速度方向与球门线夹角的正切值为tan θ＝，选项D错误．
【答案】 B
5．在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图3-9所示，P是一个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒．高度为h的探测屏AB竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P点的高度差也为h.
图3-9
(1)若微粒打在探测屏AB的中点，求微粒在空中飞行的时间；
(2)求能被屏探测到的微粒的初速度范围；
(3)若打在探测屏A、B两点的微粒的动能相等，求L与h的关系．
【解析】 (1)打在中点的微粒 h＝gt2 ①
t＝. ②
(2)打在B点的微粒 v1＝，2h＝gt ③
v1＝L ④
同理，打在A点的微粒初速度 v2＝L ⑤
微粒初速度范围 L≤v≤L.⑥
(3)由能量关系 mv＋mgh＝mv＋2mgh ⑦
代入④、⑤式 L＝2h. ⑧
【答案】 (1) (2)L≤v≤L (3)L＝2h
章末总结
一、运动的合成与分解
1.运动的合成与分解
(1)运动的合成与分解互为逆运算，都遵守矢量运算的平行四边形定则。
(2)将运动合成与分解时要注意区分合运动与分运动，合运动是指物体的实际运动。分解时常按实际“效果”分解或正交分解。
2.分运动与合运动的关系
等时性
各个分运动与合运动总是同时开始，同时结束，经历时间相等
独立性
一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，互不影响
等效性
各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果
3.两个直线运动的合运动性质的判断
[例1] 某研究性学习小组进行了如下实验：如图1所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个红蜡做成的小圆柱体R(R视为质点)。将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与y轴重合，在R从坐标原点以速度v0＝3 cm/s匀速上浮的同时玻璃管沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动。
图1
(1)同学们测出某时刻R的坐标为(4，6)，此时R的速度大小为______cm/s，R的加速度大小为______cm/s2。
(2)R在上升过程中运动轨迹的示意图是______。
解析 (1)小圆柱体R在y轴竖直方向做匀速运动，有y＝v0t
则有t＝＝ s＝2 s，
在x轴水平方向做初速度为0的匀加速直线运动，
有x＝at2，解得：a＝＝ cm/s2＝2 cm/s2，
则此时R的速度大小：v＝＝cm/s＝5 cm/s。
(2)因合力沿x轴，由合力指向曲线弯曲的内侧来判断轨迹示意图是D。
答案 (1)5 2 (2)D
[针对训练1] (多选)一质量为2 kg的质点在如图2甲所示的xOy平面内运动，在x方向的速度—时间图象和y方向的位移—时间(y－t)图象分别如图乙、丙所示，由此可知( )
图2
A.t＝0时，质点的速度大小为12 m/s
B.质点做加速度恒定的曲线运动
C.前2 s，质点所受的合力大小为10 N
D.t＝1 s时，质点的速度大小为7 m/s
解析 由v－t图象可知，物体在x方向上的初速度为12 m/s，而在y方向上，物体做速度为－5 m/s的匀速运动，故在前2 s内物体做匀变速曲线运动，物体的初速度为水平速度和竖直速度的合速度，则初速度大小：v0＝ m/s＝13 m/s，故A错误，B正确；由v－t图象可知，前2 s，物体的加速度为：a＝＝ m/s2＝－5 m/s2，根据牛顿第二定律，前2 s物体所受合外力大小为F＝ma＝2×5 N＝10 N，故C正确；t＝1 s时，x方向的速度为7 m/s，而y方向速度为5 m/s，因此质点的速度大小为 m/s＝ m/s，故D项错误。
答案 BC
二、竖直方向上的抛体运动
1.竖直下抛运动
竖直下抛运动为初速度为v0、加速度为g的匀加速直线运动。取竖直向下为正方向，有关的计算可运用匀变速直线运动的公式。
(1)某时刻的速度vt＝v0＋gt
(2)时间t内物体的位移s＝v0t＋gt2
(3)速度与位移的关系v－v＝2gs
2.竖直上抛运动
竖直上抛运动的初速度v0方向竖直向上，加速度为g，是匀变速直线运动。取竖直向上的方向为正方向，有
(1)某时刻的速度vt＝v0－gt
(2)时间t内上升的高度h＝v0t－gt2
(3)速度与位移的关系v－v＝－2gh
(4)几个特征量：
①上升的最大高度hmax＝。
②上升到最大高度处所需时间t上和从最高点落回原抛出点所需时间t下相等，即t上＝t下＝。
[例2] 气球上系一重物，以10 m/s的速度自地面匀速上升。当上升到离地面高度h＝175 m处时，绳子突然断了。问：
(1)重物是否立即下降？重物要经过多长时间才能落到地面？
(2)重物落地时的速度是多大？(不计空气阻力，g取10 m/s2)
解析 方法一 分段法。
(1)绳子断开后重物的上升过程：
上升时间t上＝，解得t上＝1 s
自175 m高处继续上升的最大高度H上＝
重物做自由落体运动的过程：
下降的总高度H＝h＋H上
由H＝gt2，可求得下降的时间t下＝，解得t下＝6 s
重物从绳断到落地的总时间t＝t上＋t下，则t＝7 s
(2)重物落地时的速度v地＝gt下，解得v地＝60 m/s
方法二 整体法。
将重物从离开绳子到落地视为一整体过程，取竖直向上为正方向，则有－h＝v0t－gt2，vt＝v0－gt
解得t＝7 s(t＝－5 s舍去)，vt＝－60 m/s(负号表示方向竖直向下)
答案 (1)不会立即下降 7 s (2)60 m/s
[针对训练2] 以v0＝20 m/s的速度竖直上抛一小球A，2 s后以同一初速度在同一位置上抛另一小球B，则两球相遇处离抛出点的高度是多少？
解析 解法一 根据速度对称性得
－[v0－g(t＋2)]＝v0－gt，解得t＝1 s
代入h＝v0t－gt2得h＝15 m
解法二 根据位移相同得
v0(t＋2)－g(t＋2)2＝v0t－gt2，解得t＝1 s
代入h＝v0t－gt2得h＝15 m
解法三 图象法
根据题意，作出小球A、B的v－t图象，如图所示。由图知t＝3 s时hA＝hB＝15 m。
答案 15 m
三、平抛运动
1.平抛运动规律的两个重要推论
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α。
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
2.平抛运动的临界问题
常见的“三种”临界特征
(1)有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这个极值点往往是临界点。
[例3] (2015·新课标全国Ⅰ·18)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图3所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是( )
图3
A.＜v＜L1
B.＜v＜
C.＜v＜
D.＜v＜
解析 发射机无论向哪个方向水平发射，乒乓球都做平抛运动。当速度v最小时，球沿中线恰好过网，有：
3h－h＝①
＝v1t1②
联立①②得v1＝
当速度最大时，球斜向右侧台面两个角发射，有
＝v2t2③
3h＝gt④
联立③④得v2＝
所以使乒乓球落到球网右侧台面上，v的最大取值范围为＜v＜，选项D正确。
答案 D
1.处理平抛运动中的临界问题要抓住两点
(1)找出临界状态对应的临界条件；
(2)要用分解速度或者分解位移的思想分析平抛运动的临界问题。
2.平抛运动临界极值问题的分析方法
(1)确定研究对象的运动性质；
(2)根据题意确定临界状态；
(3)确定临界轨迹，画出轨迹示意图；
(4)应用平抛运动的规律结合临界条件列方程求解。
[针对训练3] 女排比赛时，某运动员进行了一次跳发球，若击球点恰在发球处底线上方3.04 m高处，击球后排球以25.0 m/s的速度水平飞出，球的初速度方向与底线垂直，排球场的有关尺寸如图4所示，试计算说明：
图4
(1)此球能否过网？
(2)球是落在对方界内，还是界外？(不计空气阻力，g取10 m/s2)
解析 (1)当排球在竖直方向下落高度Δh＝(3.04－2.24) m＝0.8 m时，所用时间为t1，满足Δh＝gt，x＝v0t1。解得x＝10 m＞9 m，故此球能过网。
(2)当排球落地时，h＝gt，x′＝v0t2。将h＝3.04 m代入得x′≈19.5 m＞18 m，故排球落在对方界外。
答案 (1)能过网 (2)界外
