第三章 概 率
3.1 随机事件的概率
3.1.1 随机事件的概率
3.1.2 概率的意义
【选题明细表】
知识点、方法
题号
事件的判断
1,2,7
概率与频率的关系
3,4,8,9,10,11
概率的概念及意义
5,6
概率的应用
12
基础巩固
1.下列事件:
(1)口袋里有伍角、壹角、壹元的硬币若干枚,随机地摸出一枚是壹角;
(2)在标准大气压下,水在90 ℃沸腾;
(3)射击运动员射击一次命中10环;
(4)同时抛两颗骰子,出现的点数之和不超过12.
其中是随机事件的有( C )
(A)(1) (B)(1)(2)
(C)(1)(3) (D)(2)(4)
2.下列事件中,随机事件的个数为( A )
①在标准大气压下,水在0 ℃结冰;
②方程x2+2x+5=0有两个不相等的实根;
③明年长江武汉段的最高水位是29.8 m;
④一个三角形的大边对小角,小边对大角.
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:①是必然事件;②中,方程x2+2x+5=0,Δ=4-20=-16<0,可知它不可能有两个不相等的实根,是不可能事件;④中,由于在同一个三角形中大边对大角,小边对小角,可知④也是不可能事件,仅③是随机事件.故选A.
3.抛掷一枚质地均匀的硬币,如果连续抛掷1 000次,那么第999次出现正面朝上的概率是( D )
(A) (B) (C) (D)
解析:抛掷一枚质地均匀的硬币,如果连续抛掷1 000次,每一次出现正面朝上的概率均为.
4.若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率为f(n),则随着n的逐渐增加,有( D )
(A)f(n)与某个常数相等
(B)f(n)与某个常数的差逐渐减小
(C)f(n)与某个常数差的绝对值逐渐减小
(D)f(n)在某个常数附近摆动并趋于稳定
解析:随着n的增大,频率f(n)会在概率附近摆动并趋于稳定这也是频率与概率的关系.选D.
5.下列说法一定正确的是( D )
(A)一名篮球运动员,号称“百发百中”,若罚球三次,不会出现三投都不中的情况
(B)一枚硬币掷一次得到正面的概率是,那么掷两次一定会出现一次正面的情况
(C)如买彩票中奖的概率是万分之一,则买一万元的彩票一定会中奖一元
(D)随机事件发生的概率与试验次数无关
解析:因为随机事件发生的概率与试验次数无关,概率是事件发生的可能性,但并不能确定在一次试验中事件一定发生或不发生,所以应选D.
6.某医院治疗一种疾病的治愈率为,前4个病人都未治愈,则第5个病人的治愈率为 .?
解析:由概率的意义可知,第5个病人的治愈率仍为,此概率与前面的4个病人是否治愈无关.
答案:
7.在200件产品中,有192件一级品,8件二级品,则下列事件:
①“在这200件产品中任意选9件,全部是一级品”;
②“在这200件产品中任意选9件,全部都是二级品”;
③“在这200件产品中任意选9件,不全是一级品”.
其中 是随机事件; 是不可能事件.(填上事件的编号)?
解析:因为二级品只有8件,故9件产品不可能全是二级品,所以②是不可能事件.
答案:①③②
8.国家乒乓球比赛的用球有严格标准,下面是有关部门对某乒乓球生产企业某批次产品的抽样检测,结果如表所示:
抽取球数目
50
100
200
500
1 000
2 000
优等品数目
45
92
194
470
954
1 902
优等品频率
(1)计算表中优等品的频率;
(2)从这批产品中任取一个乒乓球,质量检测为优等品的概率约是
多少?
解:(1)如表
抽取球数目
50
100
200
500
1 000
2 000
优等品数目
45
92
194
470
954
1 902
优等品频率
0.9
0.92
0.97
0.94
0.954
0.951
(2)根据频率与概率的关系,可以认为从这批产品中任取一个乒乓球,质量检测为优等品的概率约是0.95.
能力提升
9.甲、乙两人做游戏,下列游戏中不公平的是( B )
(A)抛一枚骰子,向上的点数为奇数则甲胜,向上的点数为偶数则乙胜
(B)同时抛两枚相同的骰子,向上的点数之和大于7则甲胜,否则乙胜
(C)从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色则甲胜,是黑色则乙胜
(D)甲、乙两人各写一个数字,若是同奇或同偶则甲胜,否则乙胜
解析:对于选项A,C,D甲胜、乙胜的概率都是,游戏是公平的;对于B,点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等,但点数等于7时乙胜,所以甲胜的概率小,游戏不公平.故选B.
10.将一骰子抛掷1 200次,估计点数是6的次数大约是 次;估计点数大于3的次数大约是 次.?
解析:一枚骰子上的6个点数在每次掷出时出现的可能性(即概率)都是,而掷出点数大于3包括点数为4,5,6三种.故掷出点数大于3的可能性为=,故点数是6的次数大约是×1 200=200,点数大于3的次数大约是×1 200=600.
答案:200 600
11.假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解它们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,结果统计如下:
(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率;
(2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了200小时,试估计该产品是甲品牌的概率.
解:(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为=,用频率估计概率,所以甲品牌产品寿命小于200小时的概率为.
(2)根据抽样结果,寿命大于200小时的产品有75+70=145(个),其中甲品牌产品是75个,所在在样本中,寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是=,用频率估计概率,所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为.
探究创新
12.有一个转盘游戏,转盘被分成10等份(如图所示),转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下:两个人参加,先确定猜数方案,甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜.猜数方案从以下两种方案中选一种:
A.猜“是奇数”或“是偶数”;
B.猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”.
请回答下列问题:
(1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你会选哪种猜数方案?
(2)为了保证游戏的公平性,你认为应选哪种猜数方案?
解:(1)为了尽可能获胜,乙应选择方案B,猜“不是4的整数倍数”,这是因为“不是4的整数倍数”的概率为=0.8,超过了0.5,故为了尽可能获胜,选择方案B.
(2)为了保证游戏的公平性,应当选择方案A,这是因为方案A中猜“是奇数”和“是偶数”的概率均为0.5.
从而保证了该游戏的公平性.
课件28张PPT。第三章 概 率
3.1 随机事件的概率
3.1.1 随机事件的概率
3.1.2 概率的意义课标要求:1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.2.通过实例,正确理解概率的意义,正确理解频率与概率的区别. 自主学习 新知建构·自我整合【实例】 (1)在山顶上,抛一块石头,石头下落;
(2)在常温下,铁熔化;
(3)掷一枚硬币,出现正面向上;
(4)若抛掷一枚硬币100次,出现正面向上48次.想一想 1:实例中的几个事件能发生吗?
((1)中“石头下落”一定发生;(2)中“常温下,铁熔化”一定不会发生;(3)中“正面向上”可能发生;(4)中可能发生)【情境导学】想一想 2:实例(3)中事件发生的概率是多少?实例(4)中硬币出现正面向上的频率为多少?
(实例(3)中事件发生的概率为 ,实例(4)中硬币出现正面向上的频率为
=0.48)1.事件的概念及分类知识探究一定不会发生一定会发生可能发生也可能不发生2.概率的概念
(1)频数与频率
在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的 ,称事件A出现的比例fn(A)= 为事件A出现的 .
(2)概率
①含义:概率是度量随机事件发生的 的量.
②与频率的联系:对于给定的随机事件A,事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于 ,因此可以用频率fn(A)来估计 .频数频率可能性大小概率P(A)概率P(A)(3)对概率的正确理解
随机事件在一次试验中发生与否是随机的,但随机性中含有 ,认识了这种随机性中的规律性,就能比较准确地预测随机事件发生的 .
探究:随机事件的频率具有相对的稳定性,在大量重复试验时,频率会在一个常数附近摆动,随机事件A在n次试验中发生了m次,则这个常数一定就是 吗?规律性可能性提示:不一定,当试验的次数n很大时,这个常数才近似地认为是 .自我检测1.下列现象中,是随机事件的是( )
①长度为3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形;
②打开电视机,正好在播新闻;
③从装有3个黄球,5个红球的袋子中任摸4个,全部都是黄球;
④下周六是晴天.
(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)②④D2.在25件同类产品中,有2件次品,从中任取3件产品,其中不可能事件为( )
(A)3件都是正品 (B)至少有1件次品
(C)3件都是次品 (D)至少有1件正品C3.以下一些说法:
①买彩票中奖的概率为0.001,那么买1 000张彩票就一定能中奖;
②乒乓球赛前,决定谁先发球,抽签方法是从1～10共10个数字中各抽取1个,再比较大小,这种抽签方法是公平的;
③昨天没有下雨,则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为90%”是错误的.
根据我们所学的概率知识,其中说法正确的序号是 .?答案:②4.姚明在一个赛季中共罚球124个,其中投中107个,设投中为事件A,则事件A出现的频数为 ,事件A出现的频率为 .?答案:107题型一事件的判断【例1】 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件:
(1)某人购买福利彩票一注,中奖500万元;
(2)三角形的内角和为180°;
(3)没有空气和水,人类可以生存下去; 课堂探究 典例剖析·举一反三解:(1)购买一注彩票,可能中奖,也可能不中奖,所以是随机事件.
(2)所有三角形的内角和均为180°,所以是必然事件.
(3)空气和水是人类生存的必要条件,没有空气和水,人类无法生存,所以是不可能事件.(4)同时抛掷两枚硬币一次,都出现正面向上;
(5)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张,抽到1号标签;
(6)科学技术达到一定水平后,不需任何能量的“永动机”将会出现.解:(4)同时抛掷两枚硬币一次,不一定都是正面向上,所以是随机事件.
(5)任意抽取,可能得到1,2,3,4号标签中的任一张,所以是随机事件.
(6)由能量守恒定律可知,不需任何能量的“永动机”不会出现,所以是不可能事件. 关于三种事件的判断,应明确事件是指在一定条件下所出现的某种结果,是对应于某个条件而言的.方法技巧即时训练1-1:给出下列四个命题:
①集合{x||x|<0}为空集是必然事件;
②y=f(x)是奇函数,则f(0)=0是随机事件;
③若loga(x-1)>0,则x>1是必然事件;
④对顶角不相等是不可能事件.
其中正确命题是 .?解析:因为|x|≥0恒成立,所以①正确;
奇函数y=f(x)只有当x=0有意义时才有f(0)=0,所以②正确;
由loga(x-1)>0知,当a>1时,x-1>1,即x>2;
当0
答案:①②③④题型二用随机事件的频率估计概率【例2】 某公司在过去几年内使用了某种型号的灯管1 000支,该公司对这些灯管的使用寿命(单位:小时)进行了统计,统计结果如表所示:(1)将各组的频率填入表中;
(2)根据上述统计结果,估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率.解:(1)频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.
(2)样本中使用寿命不足1 500小时的频数是48+121+208+223=600,
所以样本中使用寿命不足1 500小时的频率是 =0.6,即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6. 用频率估计概率的步骤:
(1)进行大量的随机试验,得频数;
(2)由频率计算公式fn(A)= 得频率;
(3)由频率与概率的关系估计概率;
(4)试验次数n不能太小,只有当n很大时,频率才会呈现出规律性,即在某个常数附近摆动,且这个常数就是概率.方法技巧即时训练2-1:一家保险公司想了解汽车挡风玻璃破碎的概率,公司收集了20 000部汽车,时间从某年的5月1日到下一年的5月1日,共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎,则一部汽车在一年时间里挡风玻璃破碎的概率近似为 .?解析:在一年里汽车的挡风玻璃破碎的频率为 =0.03,所以估计其破碎的概率约为0.03.
答案:0.03概率的正确理解题型三【例3】 某射手击中靶心的概率是0.9,是不是说明他射击10次就一定能击中9次?解:从概率的统计定义出发,击中靶心的概率是0.9并不意味着射击10次就一定能击中9次,只有进行大量射击试验时,击中靶心的次数约为 n,其中n为射击次数,而且当n越大时,击中的次数就越接近 n. 本题中事件“击中靶心”的概率为0.9,这个值是经过大量的重复试验得出的一个统计值,但作为单独的一次或多次试验而言,很有可能该事件不发生或发生的可能性与大量试验的值相差很大,因而随机事件的发生与否需要看试验的次数,不能将概率值当作是必然发生的值来理解.误区警示即时训练3-1:下列说法正确的是( )
(A)由生物学知,生男生女的概率大约都是 ,则一对夫妇生了两个孩子,一定是一男一女
(B)10张券中有1张奖券,10个人去摸,谁先摸则谁中奖的可能性大
(C)昨天没有下雨,则说明昨天的天气预报“降水概率是80%”是错的
(D)一次摸奖,中奖率是 ,则某人连摸5张券,也不一定会中奖解析:【备用例题】 有人说,既然抛掷一枚硬币出现正面向上的概率为0.5,那么连续抛掷一枚硬币两次,一定是一次正面朝上,一次反面朝上,你认为这种想法正确吗?解:这种想法显然是错误的,通过具体试验验证便知.用概率的知识来理解,就是:尽管每次抛掷硬币的结果出现正、反面朝上的概率都是0.5,但连续两次抛掷硬币的结果不一定恰好是正面朝上、反面朝上各一次,只有通过大量试验,会出现正面向上的频率随试验次数的增加越来越稳定在0.5附近,即与0.5的差越来越小.概率思想的应用题型四【例4】 聪聪和明明下象棋,为了确定谁先走第一步,聪聪对明明说:“拿一个飞镖射向如图所示的靶中,若射中区域所标的数字大于3,则我先走第一步,否则你先走第一步”.你认为这个游戏规则公平吗?解:不公平.如题图所示,所标的数字大于3的区域有5个,而小于或等于3的区域则只有3个,所以聪聪先走的概率是 ,明明先走的概率是 .所以游戏规则不公平. 游戏规则是否公平,要看对游戏双方来说获胜的可能性或概率是否相同,若相同,规则公平,否则不公平.方法技巧即时训练4-1:在乒乓球比赛前,要决定由谁先发球,裁判员拿出一个抽签器,它是一个像大硬币似的均匀塑料圆板,一面是红圈,一面是绿圈,然后随意指定一名运动员,要他猜上抛的抽签器落到球台上时,是红圈那面朝上还是绿圈那面朝上.如果他猜对了,就由他先发球,否则,由另一方先发球.你认为公平吗?为什么?解:公平.因为当抽签器上抛后,红圈朝上与绿圈朝上的概率都是0.5,因此任何一名运动员猜中的概率都是0.5,也就是每个运动员取得发球权的概率均为0.5,所以这个规则是公平的.谢谢观赏！3.1.3 概率的基本性质
【选题明细表】
知识点、方法
题号
事件关系的判断
1,2,3,8
互斥、对立事件的概率
4,5,6,9
概率的应用
7,10,11
基础巩固
1.一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( D )
(A)至多有一次中靶 (B)两次都中靶
(C)只有一次中靶 (D)两次都不中靶
2.对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A={两次都击中飞机},B={两次都没击中飞机},C={恰有一炮弹击中飞机},D={至少有一炮弹击中飞机},下列关系不正确的是( D )
(A)A?D (B)B∩D=
(C)A∪C=D (D)A∪B=B∪D
解析:“恰有一炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中,“至少有一炮弹击中”包含两种情况:一种是恰有一炮弹击中,一种是两炮弹都击中,所以A∪B≠B∪D,所以选项D不正确,选项A,B,C均正确,故选D.
3.下列四个命题:(1)对立事件一定是互斥事件;(2)A,B为两个事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B);(3)若A,B,C三事件两两互斥,则P(A)+P(B)+
P(C)=1;(4)事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A,B是对立事件.其中假命题的个数是( D )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析:
(1)
√
对立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件
(2)
×
只有当A,B互斥时,才有P(A∪B)=P(A)+P(B)
(3)
×
虽然A,B,C三个事件两两互斥,但其并事件不一定是必然
事件
(4)
×
只有当A,B互斥,且满足P(A)+P(B)=1时,A,B才是对立事件
故选D.
4.从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛,所选3人中至少有1名女生的概率为,那么所选3人中都是男生的概率为( A )
(A) (B) (C) (D)
解析:设A={3人中至少有1名女生},B={3人都为男生},则A,B为对立事件,所以P(B)=1-P(A)=.
5.已知P(A)=0.1,P(B)=0.2,则P(A∪B)等于( D )
(A)0.3 (B)0.2
(C)0.1 (D)不确定
解析:由于不能确定A与B互斥,则P(A∪B)的值不能确定.故选D.
6.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为,乙夺得冠军的概率为,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 .?
解析:由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以由互斥事件概率的加法公式得,中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为+=.
答案:
7.一个盒子中有10个完全相同的球,分别标有号码1,2,3,…,10.从中任取一球,求下列事件的概率.(1)A={球的标号数不大于3};(2)B={球的标号数是3的倍数};(3)C={球的标号数是质数}.
解:(1)球的标号数不大于3包括三种情况,即球的标号数分别为1,2,3,易知P(A)=P(球的标号为1)∪P(球的标号为2)∪P(球的标号为3)=+
+=.
(2)球的标号数是3的倍数包括三种情况,即球的标号数分别为3,6,9,易求P(B)=++=.
(3)球的标号数是质数包括四种情况,即球的标号数分别是2,3,5,7,易知P(C)=+++==.
能力提升
8.如果事件A,B互斥,记,分别为事件A,B的对立事件,那么( B )
(A)A∪B是必然事件 (B)∪是必然事件
(C)与一定互斥 (D)与一定不互斥
解析:用Venn图解决此类问题较为直观,如图所示,∪是必然事件,故选B.
9.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个小组分别有39,32,33个成员,一些成员参加了不止一个小组,具体情况如图所示.
现随机选取一个成员,他属于至少2个小组的概率是 ,他属于不超过2个小组的概率是 .?
解析:“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况,故他属于至少两个小组的概率为
P==.
“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”,其对立事件是“3个小组”.故他属于不超过2个小组的概率是
P=1-=.
答案:
10.某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如表所示.
一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及
以上
顾客数(人)
x
30
25
y
10
结算时间
(分钟/人)
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)
解:(1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,
所以x=15,y=20.
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的随机样本,顾客购物一次的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为=1.9(分钟).
(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”,A1,A2,A3分别表示事件“一位顾客一次购物的结算时间为1分钟”“一位顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“一位顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率得
P(A1)==,P(A2)==,P(A3)==.
因为A=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3彼此互斥,
所以P(A)=P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=++=.
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.
探究创新
11.小明家楼下有一个小超市,他在观察小超市的顾客流量时,发现某一时刻有n个人在小超市内的概率为P(n),且P(n)与时刻t无关,统计得到P(n)=
求在某一时刻,这个小超市里一个人也没有的概率P(0)的值.
解:根据题意知,在某一时刻这个小超市内最多只有5个人.0个人,1个人,2个人,3个人,4个人,5个人在小超市内是互斥事件,所以P(0)+P(1)+…+P(5)=1,即
P(0)·[1+()1+…+()5]=1,得P(0)=.
课件26张PPT。3.1.3 概率的基本性质课标要求:1.了解事件的关系与运算.2.理解互斥事件、对立事件的概念.3.掌握概率的基本性质,并能运用这些性质求一些简单事件的概率.4.理解并事件与交事件,以及互斥事件与对立事件的区别与联系. 自主学习 新知建构·自我整合【实例】 一袋中有两个红球,两个白球,从中摸出两个球,记“摸出的两球是红球”为事件A,“摸出的两球是白球”为事件B,“摸出的两球是一红一白”为事件C.“摸出的两球至少有一个红球”为事件D,“摸出的两球至少有一个白球”为事件E.想一想 1:实例中,若事件A发生,事件D发生吗?它们是什么关系?
(事件A发生,则事件D一定发生;是包含关系)【情境导学】想一想 2:实例中,若事件C发生,则事件D会发生吗?事件A,C,D之间有何关系?
(事件C发生,则事件D一定会发生;事件D包含事件A和事件C两个事件)
想一想 3:实例中,若事件C发生,那么事件E会发生吗?事件C,D,E又有何关系?
(若事件C发生,那么事件E一定会发生;事件D、事件E均包含事件C)
想一想 4:实例中,事件A与事件B能同时发生吗?事件A与事件E能同时发生吗?事件A与事件E的并事件是什么事件?交事件又是什么事件?
(事件A与事件B不能同时发生;事件A与事件E也不能同时发生;A∪E是必然事件;A∩E是不可能事件)1.事件的关系与运算知识探究一定发生不可能事件不可能事件不可能事件必然事件事件A发生或事件A发生且A∪BA+BA∩B事件B发生事件B发生探究1:在同一试验中,设A,B是两个随机事件,“若A∩B= ,则称A与B是两个对立事件”,对吗?
提示:这种说法不正确.对立事件是互斥事件的特殊情况,除了满足A∩B= 外,A∪B还必须为必然事件.从数值上看,若A,B为对立事件,则P(A∪B)=P(A)
+P(B)=1.2.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围是 ;
(2) 的概率为1, 的概率为0;
(3)概率的加法公式为如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)= .
特例:若事件A与事件B互为对立事件,
则P(A)=1-P(B).P(A∪B)=1,P(A∩B)=0.0≤P(A)≤1必然事件 不可能事件 P(A)+P(B) 探究2:在同一试验中,对任意两个事件A,B,P(A∪B)=P(A)+P(B)一定成立吗?
提示:不一定,只有A与B互斥时,P(A∪B)=P(A)+P(B)才成立.
探究3:互斥事件的概率加法公式是否可以推广到多个互斥事件的情况?
提示:可以.若事件Ai(i=1,2,3,…,n)彼此互斥,则P(A1∪A2∪A3∪…∪An)=
P(A1)+P(A2)+P(A3)+…+P(An).自我检测1.抽查10件产品,记事件A为“至少有2件次品”,则A的对立事件为( )
(A)至多有2件次品 (B)至多有1件次品
(C)至多有2件正品 (D)至少有2件正品B2.下列说法正确的个数有( )
①互斥事件一定对立;②对立事件一定互斥;③事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率;④事件A与B互斥,则有P(A)=1-P(B).
(A)0个 (B)1个
(C)2个 (D)3个B3.若A,B是互斥事件,P(A)=0.2,P(A∪B)=0.5,则P(B)等于( )
(A)0.3 (B)0.7
(C)0.1 (D)1A4.一商店有奖促销活动中有一等奖与二等奖两个奖项,其中中一等奖的概率为0.1,中二等奖的概率为0.25,则不中奖的概率为 .??答案:0.65题型一事件的关系【例1】 某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件:
(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”; 课堂探究 典例剖析·举一反三解:从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果:2名男生,2名女生,1男1女.
(1)“恰有1名男生”指1男1女,与“恰有2名男生”不能同时发生,它们是互斥事件;但是当选取的结果是2名女生时,该两事件都不发生,所以它们不是对立事件.(2)“至少有1名男生”与“全是男生”;
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”;
(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”.解:(2)“至少有1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果,与事件“全是男生”可能同时发生,所以它们不是互斥事件.
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生,所以它们互斥,由于它们必有一个发生,所以它们是对立事件.
(4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果,当选出的是1男1女时,“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生,所以它们不是互斥事件.变式探究:本题中已知条件若改为“某小组有3名男生1名女生,任取2人”,则“恰有1名男生”与“恰有2名男生”是什么事件.解:对立事件. 判别两个事件是否互斥,就是考察它们是否能同时发生;判别两个互斥事件是否对立,就要考察它们是否必有一个发生.要注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义,能够根据它们的含义准确列举事件结果,以帮助分析.方法技巧即时训练1-1:把红、黑、白、蓝4张牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人,每人分得一张,事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( )
(A)对立事件 (B)不可能事件
(C)互斥但不对立事件 (D)以上均不对解析:只有一张红牌,甲、乙不能同时分得,所以互斥.但有可能甲、乙都没有分得红牌,而丙、丁中一人分得,所以不对立【备用例题】 某商场有甲、乙两种电子产品可供顾客选购.记事件A为“只买甲产品”,事件B为“至少买一种产品”,事件C为“至多买一种产品”,事件D为“不买甲产品”,事件E为“一种产品也不买”.判断下列事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件.
(1)A与C;(2)B与E;解:(1)由于事件C“至多买一种产品”中有可能只买甲产品,故事件A与事件C有可能同时发生,故事件A与C不是互斥事件.
(2)事件B“至少买一种产品”与事件E“一种产品也不买”是不可能同时发生的,故事件B与E是互斥事件.又由于事件B与E必有一个发生,所以事件B与E还是对立事件.(3)B与D; (4)B与C; (5)C与E.解:(3)事件B“至少买一种产品”中有可能买乙产品,即与事件D“不买甲产品”有可能同时发生,故事件B与D不是互斥事件.
(4)若顾客只买一种产品,则事件B“至少买一种产品”与事件C“至多买一种产品”就同时发生了,所以事件B与C不是互斥事件.
(5)若顾客一件产品也不买,则事件C“至多买一种产品”与事件E“一种产品也不买”就同时发生了,事实上事件C与E满足E?C,所以二者不是互斥事件.题型二互斥事件与对立事件的概率【例2】 某地区的年降水量在下列范围内的概率如表所示:求:(1)年降水量在(200,300](mm)范围内的概率;规范解答:(1)设事件A={年降水量在(200,300](mm)范围内}.
它包含事件B={年降水量在(200,250](mm)范围内}和事件C={年降水量在(250,300](mm)范围内}两个事件.
因为B,C这两个事件不能同时发生,所以它们是互斥事件,
所以P(A)=P(B∪C)=P(B)+P(C),
由已知得P(B)=0.3,P(C)=0.21,
所以P(A)=0.3+0.21=0.51.
即年降水量在(200,300](mm)范围内的概率为0.51.(2)年降水量在(250,400](mm)范围内的概率;规范解答:(2)设事件D={年降水量在(250,400](mm)范围内},
它包含事件C={年降水量在(250,300](mm)范围内}、事件E={年降水量在(300,350](mm)范围内}、事件F={年降水量在(350,400](mm)范围内}三个事件,
因为C,E,F这三个事件不能同时发生,所以它们彼此是互斥事件,
所以P(D)=P(C∪E∪F)=P(C)+P(E)+P(F),
由已知得P(C)=0.21,P(E)=0.14,P(F)=0.08,
所以P(D)=0.21+0.14+0.08=0.43.
即年降水量在(250,400](mm)范围内的概率为0.43.(3)年降水量不大于350 mm的概率.规范解答:(3)设事件G={年降水量不大于350 mm},
其对立事件是“年降水量在350 mm以上”,即事件F,
所以P(G)=1-P(F)=1-0.08=0.92.
即年降水量不大于350 mm的概率为0.92. (1)应用概率加法公式时要保证事件互斥,复杂事件要拆分成若干个互斥事件,以化繁为简,注意不重不漏.
(2)当事件本身包含的情况较多,而其对立事件包含的结果较少时,可以利用对立事件间的关系求解,即运用“正难则反”的思想.方法技巧即时训练2-1:某商场有奖销售中,购满100元商品得一张奖券,多购多得,每1 000张奖券为一个开奖单位.设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求
(1)P(A),P(B),P(C);(2)抽取1张奖券中奖概率;
(3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率.谢谢观赏！3.2 古典概型
3.2.1 古典概型
3.2.2 (整数值)随机数(random numbers)的产生
【选题明细表】
知识点、方法
题号
古典概型
1
古典概型概率计算
2,3,4,5,8
随机模拟
6,10
古典概型及综合
7,9,11,12
基础巩固
1.下列关于古典概型的说法中正确的是( B )
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;②每个事件出现的可能性相等;③每个基本事件出现的可能性相等;④基本事件的总数为n,随机事件A若包含k个基本事件,则P(A)=.
(A)②④ (B)①③④ (C)①④ (D)③④
解析:由古典概型的定义知①③正确,②错误;由古典概型及其概率计算公式知④正确.
2.(2018·石家庄期中)一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物,假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径,则它能获得食物的概率为( C )
(A) (B)
(C) (D)
解析:该树枝的树梢有6处,有2处能找到食物,所以获得食物的概率P==.
3.设a是掷一枚骰子得到的点数,则方程x2+ax+2=0有两个不相等的实根的概率为( A )
(A) (B) (C) (D)
解析:因为a是掷一枚骰子所得点数,所以试验发生包含的事件数为6.因为方程x2+ax+2=0有两个不等实根,所以a2-8>0.又因为a为整数,所以a=3,4,5,6.即满足条件的事件数为4.所以所求概率为P==.故选A.
4.现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛,共有2道备选题目,若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题,其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为( C )
(A) (B) (C) (D)
解析:设两道题分别为A,B,所以抽取情况共有:AAA,AAB,ABA,ABB, BAA,BAB,BBA,BBB,其中第1个,第2个分别表示两个女教师抽取的题目,第3个表示男教师抽取的题目,一共有8种;其中满足恰有一男一女抽到同一题目的事件有:ABA,ABB,BAA,BAB,共4种;故所求事件的概率为.故选C.
5.从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的距离为的概率是( B )
(A) (B) (C) (D)
解析:若使两点间的距离为,则为对角线的一半,选择点必含中心,设中心为G,四个顶点为A,B,C,D,基本事件有(A,B),(A,C),(A,D),
(A,G),(B,C),…,(D,G),共10个,所求事件包含的基本事件有(A,G),
(B,G),(C,G),(D,G),共4个,所求概率为=.
6.在用随机数(整数)模拟求“有4个男生和5个女生,从中选4个,求选出2个男生和2个女生”的概率时,可让计算机产生1～9的随机整数,并用1～4代表男生,用5～9代表女生.因为是选出4个,所以每4个随机数作为一组.若得到的一组随机数为“4678”,则它代表的含义是 .?
解析:1～4代表男生,用5～9代表女生,4678表示一男三女.
答案:选出的4个人中,只有1个男生
7.设a,b随机取自集合{1,2,3},则直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点的概率是 .?
解析:将a,b的取值记为(a,b),则有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),
(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共9种可能.
当直线与圆有公共点时,可得≤1,从而符合条件的有(1,3),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共5种可能,故所求概率为.
答案:
8.在一次“知识竞赛”活动中,有A1,A2,B,C共4道题,其中A1,A2为难度相同的容易题,B为中档题,C为较难题.现甲、乙两位同学均需从4道题目中随机抽取一题作答.
(1)求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率;
(2)求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率.
解:由题意可知,甲、乙两位同学分别从4道题中随机抽取一题,所有可能的结果有16个,分别是:
(A1,A1),(A1,A2),(A1,B),(A1,C),
(A2,A1),(A2,A2),(A2,B),(A2,C),
(B,A1),(B,A2),(B,B),(B,C),
(C,A1),(C,A2),(C,B),(C,C).
(1)用N表示事件“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度”,
则N包含基本事件为:(B,A1),(B,A2),(C,A1),(C,A2),(C,B).
所以P(N)=.
(2)用M表示事件“甲、乙两位同学所选的题目难度相同”,
则M包含的基本事件为:
(A1,A1),(A1,A2),(A2,A1),(A2,A2),(B,B),(C,C).
所以P(M)==.
能力提升
9.(2018·茂名期末)设a是从集合{1,2,3,4}中随机取出的一个数,b是从集合{1,2,3}中随机取出的一个数,构成一个基本事件(a,b).记“这些基本事件中,满足logba≥1”为事件E,则E发生的概率是( B )
(A) (B) (C) (D)
解析:试验发生包含的事件是分别从两个集合中取1个数字,共有4×3=12种结果,满足条件的事件是满足logba≥1,可以列举出所有的事件,当b=2时,a=2,3,4,当b=3时,a=3,4,共有3+2=5个,所以根据古典概型的概率公式得到概率是.
10.袋子中有四个小球,分别写有“幸”“福”“快”“乐”四个字,有放回地从中任取一个小球,取到“快”就停止,用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率;先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数,且用1,2,3,4表示取出小球上分别写有“幸”“福”“快”“乐”四个字,以每两个随机数为一组,代表两次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:
13 24 12 32 43 14 24 32 31 21
23 13 32 21 24 42 13 32 21 34
据此估计,直到第二次就停止的概率为 .?
解析:由随机模拟产生的随机数可知,直到第二次停止的有13,43,
23,13,13共5个基本事件,故所求的概率为P==.
答案:
11.某停车场临时停车按时段收费,收费标准如下:每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元,超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时按1小时计算).现有甲、乙两人在该地停车,两人停车都不超过4小时.
(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为,停车费多于14元的概率为,求甲的停车费为6元的概率;
(2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙两人停车费之和为28元的概率.
解:(1)记“一次停车不超过1小时”为事件A,“一次停车1到2小时”为事件B,“一次停车2到3小时”为事件C,“一次停车3到4小时”为事件D.
由已知得P(B)=,P(C+D)=.
又事件A,B,C,D互斥,所以P(A)=1--=.
所以甲的停车费为6元的概率为.
(2)易知甲、乙停车时间的基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),
(4,2),(4,3),(4,4),共16个;
而“停车费之和为28元”的事件有(1,3),(2,2),(3,1),共3个,所以所求概率为.
探究创新
12.甲、乙两人参加法律知识竞答,共有10道不同的题目,其中选择题6道,判断题4道,甲、乙两人依次各抽一道题.
(1)甲抽到选择题,乙抽到判断题的概率是多少?
(2)甲、乙两人中至少有1人抽到选择题的概率是多少?
名师点拨:(1)审题→古典概型→确定n,m→P(A)=→结果
(2)利用对立事件的概率来求解较简单.
解:甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题,先抽的有10种抽法,后抽的有9种抽法,故所有可能的抽法是10×9=90(种),即基本事件总数是90.
(1)记“甲抽到选择题,乙抽到判断题”为事件A,下面求事件A包含的基本事件数:
甲抽到选择题有6种抽法,乙抽到判断题有4种抽法,所以由列举可得事件A的基本事件数为6×4=24.
P(A)===.
(2)先考虑问题的对立面:“甲、乙两人中至少有1人抽到选择题”的对立事件是“甲、乙两人都未抽到选择题”,即都抽到判断题.
记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件B,“至少一个人抽到选择题”为事件C,则B包含的基本事件数为4×3=12.
所以由古典概型概率公式得P(B)==,
所以P(C)=1-P(B)=1-=.
课件22张PPT。3.2 古典概型
3.2.1 古典概型
3.2.2 (整数值)随机数(random numbers)的产生课标要求:1.了解基本事件的特点;了解随机数的意义.2.理解古典概型的概念及特点.3.会应用古典概型概率公式解决概率计算问题.4.会用模拟方法估计概率,理解用模拟方法估计概率的实质. 自主学习 新知建构·自我整合【实例】 (1)一枚硬币连掷两次.
有4种可能的结果:正正,正反,反正,反反.
(2)甲、乙、丙三人站成一排.
有6种站法.甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙甲乙,丙乙甲.想一想 1:实例中每个试验可能出现的事件之间是什么关系?
(这些事件是彼此互斥的)
想一想 2:实例中两个试验有何共同特点?
(可能出现的结果是有限个且每种结果出现的机会均等)【情境导学】1.基本事件
(1)定义
在一次试验中可能出现的每一个基本结果叫做基本事件,它们是试验中不能再分的简单随机事件,一次试验只能出现一个基本事件.
(2)特点
①任何两个基本事件是 的;
②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的 .知识探究互斥和2.古典概型
(1)定义
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.
①试验中所有可能出现的基本事件只有 个;
②每个基本事件出现的可能性 .
(2)古典概型的概率公式
对于古典概型,任何事件的概率为
P(A)= .
探究:从所有整数中任取一个数的试验中“抽取一个整数”是古典概型吗?
提示:不是,因为有无数个基本事件,所以不是古典概型.有限相等自我检测1.下列不是古典概型的是( )
(A)从6名同学中,选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性的大小
(B)同时掷两颗骰子,点数和为7的概率
(C)近三天中有一天降雨的概率
(D)10个人站成一排,其中甲、乙相邻的概率C2.书架上有2本不同的语文书,1本数学书,从中任意取出2本,取出的书恰好都是语文书的概率为( )A3.从甲、乙、丙三人中任选两名代表,甲被选中的概率为( )C4.已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次,至少击中3次的概率:先由计算器算出0～9之间取整数值的随机数,指定0,1表示没有击中目标,2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标;因为射击4次,故以每4个随机数为一组,代表射击4次的结果.经随机模拟产生了20组随机数:
5727 0293 7140 9857 0347
4373 8636 9647 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011
3661 9597 7424 6710 4281
据此估计,该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 .?答案:题型一基本事件的计数【例1】 连续掷3枚硬币,观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上.
(1)写出这个试验的所有基本事件;
(2)求这个试验的基本事件的总数; 课堂探究 典例剖析·举一反三解:(1)这个试验包含的基本事件有(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反).
(2)这个试验包含的基本事件的总数是8.解:(3)“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下3个基本事件:(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正).变式探究:本题中已知条件不变,则“至少有两枚硬币正面向上”这一事件的基本事件有几种?(3)“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些基本事件?解:至少有两枚硬币正面向上包括4种,即(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,正,正). 要写出所有的基本事件通常有列举法、列表法、树状图法.但不论采用哪种方法,都要按一定的顺序进行,做到不重不漏.方法技巧即时训练1-1:4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有基本事件数为( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)6解析:用列举法列举出“数字之和为奇数”的可能结果为(1,2),(1,4), (2,3),(3,4),共4种可能.故选C.题型二简单古典概型概率的计算【例2】 一个盒子里装有完全相同的10个小球,分别标上1～10这10个数字,今随机地连续抽取两次,每次抽取1个小球,如果:
(1)小球是不放回的;
(2)小球是有放回的.
求这两个小球上的数字为相邻整数的概率.解:如果小球是不放回的,则第一次抽取有10种不同的结果,第二次抽取只有9种不同的结果,共有10×9=90(种)不同的结果;如果小球是放回的,则第一次与第二次分别抽取时,均有10种不同的结果,所以共有10×10=100(种)不同的结果.“这两个小球上的数字为相邻整数”包含的基本事件数,如“树状图”:列举出所包含的基本事件数为18种.
(1)“连续抽取两次,每次抽取一个小球,不放回”的概率为 = .
(2)“连续有放回地抽取两次,每次抽取一个球”的概率为 = . 在求解概率问题时,常常遇到这样的情况,即从一堆小球中抽取几个小球,根据小球的颜色求解概率.解决此类问题时,首先要分清抽取的方式,即“有放回”与“无放回”.
“有放回”是指抽取物体时,每一次抽取之后,都将被抽取的物体放回原处,这样前后两次抽取时,被抽取的物体的总数是一样的.
“无放回”是指抽取物体时,在每一次抽取后,被抽取的物体放到一边,并不放回到原处,这样,前后两次抽取时,后一次被抽取的物体的总数较前一次被抽取的物体总数少1.
这两种情况下基本事件总数是不同的.方法技巧即时训练2-1:一个包装箱内有6件产品,其中4件正品,2件次品.现随机抽出两件产品,
(1)求恰好有一件次品的概率;解:将6件产品编号:ABCD(正品),ef(次品),从6件产品中选2件,其包含的基本事件为:(AB)(AC)(AD)(Ae)(Af)(BC)(BD)(Be)(Bf)(CD)(Ce)
(Cf)(De)(Df)(ef).共有15种,
(1)设恰好有一件次品为事件M,事件M中基本事件为:(Ae)(Af)(Be) (Bf)(Ce)(Cf)(De)(Df),共8种.
则P(M)= .(2)求都是正品的概率;
(3)求抽到次品的概率.随机模拟方法题型三【例3】 某篮球爱好者做投篮练习,假设其每次投篮命中的概率是60%,那么在连续三次投篮中,三次都投中的概率是多少?解:我们通过设计模拟试验的方法来解决问题,利用计算机或计算器可以产生0到9之间的取整数值的随机数.
我们用1,2,3,4,5,6表示投中,用7,8,9,0表示未投中,这样可以体现投中的概率是60%.因为是投篮三次,所以每三个随机数作为一组.例如:产生20组随机数:
812 932 569 683 271
989 730 537 925 834
907 113 966 191 432
256 393 027 556 755
这就相当于做了20次试验,在这组数中,如果3个数均在1,2,3,4,5,6中,则表示三次都投中,它们分别是113,432,256,556,即共有4个数,我们得到了三次投篮都投中的概率近似为 =20%.即时训练3-1:种植某种树苗成活率为0.9,若种植这种树苗5棵,求恰好成活4棵的概率.设计一个试验,随机模拟估计上述概率.解:利用计算器或计算机产生0到9之间取整数值的随机数,我们用0代表不成活,1至9的数字代表成活,这样可以体现成活率是0.9,因为是种植5棵,所以每5个随机数作为一组可产生30组随机数:69801 66097 77124 22961 74235 31516
29747 24945 57558 65258 74130 23224
37445 44344 33315 27120 21782 58555
61017 45241 44134 92201 70362 83005
94976 56173 34783 16624 30344 01117
这就相当于做了30次试验,在这些数组中,如果恰有一个0,则表示恰有4棵成活,共有9组这样的数,于是我们得到种植5棵这样的树苗恰有4棵成活的概率约为 =30%.谢谢观赏！3.3 几何概型
3.3.1 几何概型
3.3.2 均匀随机数的产生
【选题明细表】
知识点、方法
题号
与长度、角度有关的几何概型
1,4,5,11
与面积有关的几何概型
2,9,10,12
与体积有关的几何概型
3,8
随机数的产生
6,7
综合应用
13
基础巩固
1.将一条5米长的绳子随机地切断为两段,则两段绳子都不短于1米的概率为( C )
(A) (B) (C) (D)
解析:由题意,只要在距离两端分别至少为1米处剪断,满足题意的位置有3米,由几何概型公式得到所求概率为=;故选C.
2.(2018·滨州期末)如图,正方形ABCD的内切圆中黑色部分和白色部分关于正方形对边中点的连线对称,在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( A )
(A) (B) (C) (D)4
解析:设正方形的边长为2,根据几何概型概率计算公式,此点取自黑色部分的概率P==.故选A.
3.在一球内有一棱长为1的内接正方体,一点在球内运动,则此点落在正方体内部的概率为( D )
(A) (B) (C) (D)
解析:由题意可得正方体的体积为V1=1.又球的直径是正方体的体对角线,故球的半径R=.球的体积V2=πR3=π.则此点落在正方体内的概率为P===.
4.(2018·石家庄一模)函数f(x)=2x(x<0),其值域为D,在区间(-1,2)上随机取一个数x,则x∈D的概率是( B )
(A) (B) (C) (D)
解析:函数f(x)=2x(x<0)的值域为D=(0,1),长度为1,区间(-1,2)的长度为3,所以概率为.
5.如图,A是圆O上固定的一点,在圆上其他位置任取一点A′,连接AA′,它是一条弦,它的长度小于或等于半径长度的概率为( C )
(A) (B)
(C) (D)
解析:如图,当AA′的长度等于半径长度时∠AOA′=,由圆的对称性及几何概型得P==.故选C.
6.把[0,1]内的均匀随机数实施变换y=8*x-2可以得到下列哪个区间的均匀随机数( B )
(A)[6,8] (B)[-2,6]
(C)[0,2] (D)[6,10]
解析:由题意,x=0,y=-2,x=1,y=6,所以所求区间为[-2,6],故选B.
7.如图,利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线y=与两直线x=2及y=0所围成的阴影部分的面积S:
①先产生两组0～1的均匀随机数,a=RAND,b=RAND;
②做伸缩变换,令x=2a,y=2b;
③产生N个点(x,y),并统计满足条件y<的点(x,y)的个数N1,已知某同学用计算器做模拟试验结果,当N=1 000时,N1=332,则据此可估计S的值为 .?
解析:根据题意:满足条件y<的点(x,y)的概率是,矩形的面积为4,
则有=,所以S=1.328.
答案:1.328
8.有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱,点O为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆柱内随机取一点P,求点P到点O的距离大于1的概率.
解:圆柱的体积V圆柱=π×12×2=2π是试验的全部结果构成的区域体积.
以O为球心,1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球=××13=,则构成事件A“P到点O的距离大于1”的区域体积为2π-=,
由几何概型的概率公式得P(A)==.
能力提升
9.在区间[-π,π]内随机取两个数分别记为a,b,则使得函数f(x)=x2+2ax-b2+π2有零点的概率为( B )
(A) (B)1-
(C) (D)-1
解析:要使函数有零点,则Δ=(2a)2-4(-b2+π2)≥0,a2+b2≥π2,又-π≤ a≤π,-π≤b≤π,所以基本事件的范围是2π·2π=4π2,函数有零点所包含的基本事件的范围是4π2-π3.所以所求概率为=1-.故选B.
10.在面积为S的△ABC内部任取一点P,则△PBC面积大于的概率为( D )
(A) (B) (C) (D)
解析:记事件A=,
基本事件是三角形ABC的面积,(如图)事件A的几何度量为图中阴影部分的面积(DE∥BC且AD∶AB=3∶4),因为阴影部分的面积是整个三角形面积的()2=,所以P(A)==,故选D.
11.在圆心角为90°的扇形中,以圆心O为起点作射线OC,求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率是 .?
解析:记F={作射线OC,使∠AOC和∠BOC都不小于30°},作射线OD,OE,使∠AOD=30°,∠BOE=30°.当OC在∠DOE内时,使∠AOC和∠BOC都不小于30°,则P(F)==.
答案:
12.在平面直角坐标系xOy中,设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域,E是到原点的距离不大于1的点构成的区域,向D中随机投一点,则落入E中的概率为 .?
解析:如图,区域D表示边长为4的正方形的内部(含边界),区域E表示单位圆及其内部,因此P==.
答案:
探究创新
13.设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.若a是从区间[0,3]上任取的一个数,b是从区间[0,2]上任取的一个数,求上述方程有实根的概率.
名师点拨:先求出方程有实根的条件,再确定事件平面图形的面积,利用几何概型概率计算公式求解.
解:设事件A为“方程x2+2ax+b2=0”有实根.
则Δ=4a2-4b2≥0,即a2≥b2.
又因为a≥0,b≥0.所以a≥b.
试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2},而构成事件A的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b},即如图所示的阴影部分.
所以,P(A)==.
课件29张PPT。3.3 几何概型
3.3.1 几何概型
3.3.2 均匀随机数的产生课标要求:1.了解几何概型与古典概型的区别.2.理解几何概型的定义及其特点.3.会用几何概型的概率计算公式求简单的几何概型的概率.4.了解均匀随机数的产生方法与意义.5.会用模拟试验的方法求概率及估计不规则图形的面积. 自主学习 新知建构·自我整合【实例】 每逢节假日,各大型商场竞相出招,吸引顾客,其中某商场设立了一个可以自由转动的转盘,规定顾客消费100元以上,就能获得一次转动转盘的机会.如果转盘停止后,指针正好对准①②或③区域,顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券(转盘被等分成20个扇形).已知一位顾客获得一次转盘机会.【情境导学】想一想 1:实例中这位顾客获得100元购物券的概率与哪些因素有关?概率有多大?
(与标注①的小扇形面积有关.概率为 )
想一想 2:你能设计一个试验来估计实例中该顾客获得100元购物券的概
率吗?
(随机地向转盘中撒一把豆子,每个豆子落在圆内任何一点是等可能的,
,即是该顾客获得100元购物券概率的近似)1.几何概型
(1)定义
如果每个事件发生的概率只与 成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型.
(2)几何概型的特点
①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;
②每个基本事件出现的可能性相等.知识探究构成该事件区域的长度(面积或体积)(3)几何概型的概率公式
P(A)= .(4)解决几何概型概率问题的一般步骤
①选择适当的观察角度(长度、面积、体积等注意观察角度的等可能性);
②把基本事件转化为与之对应的区域D;
③把所求随机事件A转化为与之对应的区域I;
④利用概率公式计算.探究1:几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关吗?
提示:几何概型的概率只与它的长度(面积或体积)有关,而与构成事件的区域形状无关.探究2:几何概型与古典概型有哪些区别与联系?
提示:区别:几何概型中试验的基本事件个数是无限的,而古典概型中试验的基本事件个数是有限的.
联系:两者都是在等可能的前提下,利用“比例法”求概率.2.均匀随机数的定义
如果试验的结果是区间[a,b]上的任何一个实数,而且出现任何一个实数是 ,则称这些实数为均匀随机数.等可能的自我检测1.下列概率模型中,几何概型的个数为( )
①从区间[-5,5]内任取出一个数,求取到1的概率;
②从区间[-5,5]内任取出一个数,求取到绝对值不大于1的数的概率;
③从区间[-5,5]内任取出一个整数,求取到大于1而小于3的数的概率;
④向一个边长为5 cm的正方形ABCD内投一点P,求点P离中心不超过2cm的概率.
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4B2.将[0,1]内的均匀随机数转化为[-3,4]内的均匀随机数,需要实施的变换为( )
(A)a=a1*7 (B)a=a1*7+3
(C)a=a1*7-3 (D)a=a1*4
3.(2018·东北三校一模)在区间(0,3)上任取一个实数x,则2x<2的概率是( )CC4.面积为S的△ABC,D是BC的中点,向△ABC内部投一点,那么点落在△ABD内的概率为 .??答案:题型一长度、角度型几何概型【例1】 (1)在半径为1的圆内的一条直径上任取一点,过这个点作垂直于该直径的弦,则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是( ) 课堂探究 典例剖析·举一反三答案:(1)A (2)已知等腰Rt△ABC中,∠C=90°,在∠CAB内任作射线AN,则使∠CAN< 30°的概率为 .?解析:(2)如图,在∠CAB内任作射线AN时,射线AN在∠CAB内是均匀等可能的,所以P(∠CAN<30°)= = .答案:(2)题型二面积有关的几何概型【例2】 已知|x|≤2,|y|≤2,点P的坐标为(x,y),求当x,y∈R时,P满足(x-2)2+(y-2)2≤4的概率.解:如图,点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界),满足(x-2)2+
(y-2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心,2为半径的圆面(含边界).
所以所求的概率P= = . 解此类几何概型问题的关键
(1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题;
(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形,利用图形的几何特征计算相关面积,套用公式从而求得随机事件的概率.方法技巧即时训练2-1:(1)四边形ABCD为长方形,AB=2,BC=1,O为AB的中点,在长方形ABCD内随机取一点,取到的点到O的距离大于1的概率为( )题型三体积有关的几何概型【例3】 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,在正方体内随机取一点M.
(1)求点M落在三棱锥B1-A1BC1内的概率;(2)求点M到平面ABCD及平面A1B1C1D1的距离都大于 的概率;
(3)求使四棱锥M-ABCD的体积小于 a3的概率. 与体积有关的几何概型问题,关键在于确定满足条件的点构成的几何体,所求概率为对应图形的体积之比.方法技巧即时训练3-1:已知正三棱锥S-ABC的底面边长为4,高为3,在正三棱锥内任取一点P,使得 < 的概率是 .?题型四均匀随机数求阴影面积【例4】 利用随机模拟法近似计算图中阴影部分(曲线y=log3x与x=3及x轴围成的图形)的面积. 根据几何概型计算概率的公式,概率等于面积之比,概率可用频率近似得到.在不规则图形外套上一个规则图形,则不规则图形的面积近似等于规则图形的面积乘以概率.概率可以通过模拟的方法得到,从而得到不规则图形面积的近似值.方法技巧谢谢观赏！课件38张PPT。章末总结网络建构判断下列说法是否正确.(请在括号中填“√”或“×”)
1.“一个三角形的内角和为280°”是随机事件.( )
2.“投掷一枚硬币,正面向上或反面向上”是必然事件.( )
3.灯泡的合格率是99%,从一批灯泡中任取一个,则是合格品的可能性为99%.( )
4.若P(A)=0.001,则A为不可能事件.( )
5.在同一试验中的两个事件A与B,一定有P(A∪B)=P(A)+P(B).( )√√×××知识辨析6.对互斥事件A与B,一定有P(A)+P(B)=1.( )
7.若P(A)+P(B)=1,则事件A与事件B一定是对立事件.( )
8.若一次试验的结果所包含的基本事件的个数为有限个,则该试验符合古典概型.( )
9.“抛掷两枚硬币,至少一枚正面向上”是基本事件.( )
10.一个古典概型的基本事件数为n,则每一个基本事件出现的概率都是 .( )××××√一、互斥事件与对立事件的概率
【典例1】 某射手在一次射击中射中10环,9环,8环,7环,7环以下的概率分别为0.24,0.28,0.19,0.16,0.13.计算这个射手在一次射击中:
(1)射中10环或9环的概率;解:设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A,B,C,D,E,
(1)P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.24+0.28=0.52,
即射中10环或9环的概率为0.52.主题串讲 方法提炼·总结升华 (2)至少射中7环的概率;
(3)射中环数不足8环的概率.解:(2)法一 P(A∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0.24+0.28+0.19+ 0.16=0.87,
即至少射中7环的概率为0.87.
法二 射中环数小于7为至少射中7环的对立事件,
所以所求事件的概率为1-P(E)=1-0.13=0.87.
(3)P(D∪E)=P(D)+P(E)=0.16+0.13=0.29,
即射中环数不足8环的概率为0.29.规律方法 利用概率的加法公式时一定要注意事件是否彼此互斥.稍复杂的事件的概率经常转化为几个彼此互斥的事件的和或用对立事件来解决.二、古典概型
【典例2】 有编号为A1,A2,…,A10的10个零件,测量其直径(单位:cm),得到下面数据:其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品.(1)从上述10个零件中,随机抽取1个,求这个零件为一等品的概率;(2)从一等品零件中,随机抽取2个:
①用零件的编号列出所有可能的抽取结果;
②求这2个零件直径相等的概率.解:(2)①一等品零件的编号为A1,A2,A3,A4,A5,A6.从这6个一等品零件中随机抽取2个,所有可能的结果 有:{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},
{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4, A6},{A5,A6},共有15种.
②“从一等品零件中,随机抽取的2个零件直径相等”(记为事件B)的所有可能结果有:{A1,A4},{A1,A6},{A4,A6},{A2,A3},{A2,A5},{A3,A5},共有6种,
所以P(B)= = . 解决古典概型问题的关键
古典概型概率问题是高考中常见题型.解决的关键是抓住古典概型的有限性和等可能性,找准基本事件总数和所求事件包含的基本事件数.常用列举法把基本事件一一列举出来,做到不重不漏.规律方法即时训练2-1:现有两组卡片,第一组卡片上分别写有数字“2,3,4”,第二组卡片上分别写有数字“3,4,5”,现从每组卡片中各随机抽出一张,用抽取的第一组卡片上的数字减去抽取的第二组卡片上的数字,差为负数的概率为( )三、几何概型
【典例3】 (1)在半径为1的圆的一条直径上任取一点,过该点作垂直于直径的弦,其长度超过该圆内接正三角形的边长 的概率是多少?规律方法 求几何概型,一般先要求出试验的基本事件构成的区域长度(面积或体积),再求出事件A构成区域长度(面积或体积),最后再代入几何概型的概率公式求解.求几何概型概率时,一定要分清“试验”和“事件”,这样才能找准基本事件构成的区域长度(面积或体积).
本题中(1)由于点在圆的一条直径上,因此基本事件空间是线段长度,而(2)由于满足题意的点在圆的内部,因此满足题意的基本事件空间是面积,(3)中由于点在圆周上,因此基本事件空间为圆的弧长.而满足题意的弧长为图中的 .即时训练3-1:点A为周长等于3的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点B,则劣弧 的长度小于1的概率为 .?答案:四、概率与统计的综合问题
【典例4】 随机抽取某中学甲、乙两班各10名学生,测量他们的体重(单位:kg),获得体重数据的茎叶图如图.(1)根据茎叶图判断哪个班的平均体重较重;解:(1)乙班的平均体重较重.(2)计算甲班的众数、极差和样本方差;
(3)现从乙班(这10名)体重不低于64 kg的学生中随机抽取两名,求体重为67 kg的学生被抽取的概率.即时训练4-1:某学校举行物理竞赛,有8名男生和12名女生报名参加,将这20名学生的成绩制成茎叶图如图所示.成绩不低于80分的学生获得“优秀奖”,其余获“纪念奖”.
(1)求出8名男生的平均成绩和12名女生成绩的中位数;(2)按照获奖类型,用分层抽样的方法从这20名学生中抽取5人,再从选出的5人中任选3人,求恰有1人获“优秀奖”的概率.【典例5】 为检验寒假学生自主学习的效果,年级部对某班50名学生各科的检测成绩进行了统计,如图是政治成绩的频率分布直方图,其中成绩分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].(1)求图中的x值及平均成绩;解:(1)由(0.006×3+0.01+0.054+x)×10=1,解得x=0.018,
平均成绩为0.06×(45+55+95)+0.1×65+0.54×75+0.18×85=74.(2)从分数在[70,80)中选5人记为a1,a2,…,a5,从分数在[40,50)中选3人,记为b1,b2,b3,8人组成一个学习小组.现从这5人和3人中各选1人作为组长,求a1被选中且b1未被选中的概率.解:(2)从这5人和3人中各随机选1人,所有结果有:
(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1)(a2,b2),(a2,b3),(a3,b1),(a3,b2),(a3,b3),(a4,b1),(a4,b2),(a4,b3),(a5,b1),(a5,b2),(a5,b3),共15个.
事件A为“a1被选中,b1未被选中”包含的基本事件有(a1,b2),(a1,b3)共2个.
所以a1被选中,b1未被选中的概率P= .规律方法 概率与统计的综合问题主要就是统计图表(茎叶图、频率分布直方图)、抽样方法与古典概型的综合问题,求解此类问题时应先利用统计知识求出满足题意的事件个数,再结合古典概型知识求解.五、易错辨析【典例6】 先后抛掷两枚质地均匀的硬币,求“一枚出现正面,另一枚出现反面”的概率.【典例7】 在等腰直角三角形ABC中,在斜边AB上任取一点M,求AM所以D=[-2,3].
如图,区间[-4,5]的长度为9,定义域D的长度为5,
所以P= .答案:6.(2017·全国Ⅲ卷)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25 ℃,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20 ℃,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;解:(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25 ℃,由表格数据知最高气温低于25 ℃的频率为 =0.6,所以估计这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率为0.6.(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.解:(2)当这种酸奶一天的销售量为450瓶时,
若最高气温不低于25 ℃,则Y=6×450-4×450=900,
若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2(450-300)-4×450=300,
若最高气温低于20 ℃,则Y=6×200+2(450-200)-4×450=-100,
所以Y的所有可能值为900,300,-100.
Y大于零,当且仅当最高气温不低于20 ℃,由表格数据知,最高气温不低于20 ℃的频率为 =0.8,
因此Y大于零的概率的估计值为0.8.谢谢观赏！