安徽省阜阳市第三中学2018-2019学年高二竞培中心下学期开学考试数学（文）试题解析版

安徽省阜阳市第三中学2018-2019学年高二竞培中心下学期开学考试文科数学试题
一、选择题（共60分）
1．已知函数f（x）是偶函数，若在（0，+∞）为增函数，f（1）=0，则＜0的解集为（　　）
A．(， B．
C． D．
2．定义在R上的函数f（x）满足则f（2019）的值为（ ）
A．－2 B．－1 C．2 D．0
3．已知定义在R上的函数满足以下三个条件：①对于任意的，都有；②对于任意的都有③函数的图象关于y轴对称，则下列结论中正确的是( )
A． B．
C． D．
4．是自然对数的底数，若，，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知x1、x2分别是函数f（x）=ex+x-4、g（x）=lnx+x-4的零点，则的值为（　　）
A． B． C．3 D．4
6．已知函数，若关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的最大值为　　
A．2 B．4 C．6 D．8
7．已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，其中为自然对数的底数若函数在区间内有两个零点，则的取值范围是( )
A． B．
C． D．
9．已知函数若函数有6个不同的零点，则这6个零点之和为 ( )
A． B． C． D．
10．平面内到两个定点的距离之比为常数的点的轨迹是阿波罗尼斯圆．已知曲线C是平面内到两个定点和的距离之比等于常数的阿波罗尼斯圆，则下列结论中正确的是（　　）
A．曲线C关于x轴对称
B．曲线C关于y轴对称
C．曲线C关于坐标原点对称
D．曲线C经过坐标原点
11．已知是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，,当时，的面积最大，则的值是（　　）
A．41 B．15 C．9 D．1
12．设函数f（x）＝ex（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（　　）
A．[－,1） B．[，） C．[，） D．[，1）
二、填空题（共20分）
13．命题“”的否定是______.
14．已知角终边上有一点，则____________.
15．已知椭圆C：，，是其两个焦点，P为C上任意一点，则的最大值为______．
16．已知定义在的两个函数和（是自然对数的底），若在的解集内有且只有两个整数，则实数的范围是__________．
三、解答题（共70分）
17．（10分）已知函数的部分图像如图，其中
（Ⅰ）求 的值
（Ⅱ）求函数的单调增区间
（Ⅲ）解不等式．
18．（12分）已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）若在中，求的值.
19．（12分）已知等差数列的前n项和为，且，，等比数列满足，．
Ⅰ求数列，的通项公式；
Ⅱ求的值．
20．（12分）已知椭圆经过点，长轴长是短轴长的2倍.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线经过点且与椭圆相交于，两点（异于点），记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值.
21．（12分）已知抛物线上一点的纵坐标为6，且点到焦点的距离为7.
（1）求抛物线的方程；
（2）设为过焦点且互相垂直的两条直线，直线与抛物线相交于两点，直线与抛物线相交于点两点，若直线的斜率为，且，试求的值.
22．（12分）已知函数,若曲线在点处的切线与直线平行.
（1）求的值．
（2）求函数的单调区间和极值．
（3）试判断函数的零点个数，并说明理由．
阜阳三中2018—2019学年第二学期竞二年级开学考试
文科数学参考答案
1．B
【解析】
【分析】
根据题意，结合函数的单调性以及特殊值可得在（0，1）上，f（x）＜0，在（1，+∞）上，f（x）＞0，结合函数的奇偶性可得在（-1，0）上，f（x）＜0，在（-∞，-1）上，f（x）＞0，又由＜0?，据此分析可得答案．
【详解】
根据题意，f（x）在（0，+∞）为增函数，且f（1）=0，
则在（0，1）上，f（x）＜0，在（1，+∞）上，f（x）＞0，
又由函数f（x）为偶函数，则在（-1，0）上，f（x）＜0，在（-∞，-1）上，f（x）＞0，
＜0?
分析可得：x＜-1或0＜x＜1，
即原不等式的解集为（-∞，-1）∪（0，1）；
故选：B．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于综合题．
2．D
【解析】
【分析】
先根据函数解析式求解出周期，利用周期求值.
【详解】
时，①，②，
两式相加可得，所以周期为6.
,
故选D.
【点睛】
本题主要考查利用函数的周期求值.先利用周期把所求化到已知区间，再代入对应的解析式即可.
3．B
【解析】
【分析】
由①可知函数f（x）是周期T=4的周期函数； 由②可得函数f（x）在[0，2]上单调递增；由③可得函数f（x）的图象关于直线x=2对称．于是f（4.5）=f（0.5），f（7）=f（3）=f（1），f（6.5）=f（2.5）=f（1.5）．即可得出结果.
【详解】
定义在R上的函数y=f（x）满足以下三个条件：由①对于任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x），可知函数f（x）是周期T=4的周期函数； ②对于任意的x1，x2∈R，且0≤x1＜x2≤2，都有f（x1）＜f（x2），可得函数f（x）在[0，2]上单调递增；③函数y=f（x+2）的图象关于y轴对称，可得函数f（x）的图象关于直线x=2对称．∴f（4.5）=f（0.5），f（7）=f（3）=f（1），f（6.5）=f（2.5）=f（1.5）．∵f（0.5）＜f（1）＜f（1.5），∴f （4.5）＜f （7）＜f （6.5）．
故选：B．
【点睛】
本题考查了函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题,熟练掌握函数的周期性，单调性，对称性是解题的关键.
4．C
【解析】
【分析】
利用指数和对数函数的单调性即可得到a,b,c的大小关系.
【详解】
∵对数函数y=lnx在上单调递增，∴a=lnx∵指数函数在上单调递减，∴
∵指数函数在上单调递增，∴
由幂函数的性质可知
即a故选：C.
【点睛】
本题考查指数函数和对数函数性质的应用.
5．D
【解析】
【分析】
由题意结合函数的对称性和函数图像确定的值即可.
【详解】
绘制函数的图像如图所示，
由题意可知的值分别为图中点点的横坐标，
则的值分别为图中点点的纵坐标，
注意到反函数的图像关于直线对称，设直线与的交点为，
易知，结合对称性可知.
本题选择D选项.
【点睛】
本题主要考查反函数的性质及其应用，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6．C
【解析】
【分析】
画出函数f（x）的图象，对b，a分类讨论，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出．
【详解】
函数f（x），如图所示，
①当b＝0时，[f（x）]2+af（x）﹣b2＜0化为
[f（x）]2+af（x）＜0，
当a＞0时，﹣a＜f（x）＜0，
由于关于x的不等式[f（x）]2+af（x）＜0恰有1个整数解，
因此其整数解为2，又f（2）＝﹣4+2＝﹣2，
∴﹣a＜﹣2＜0，﹣a≥f（3）＝﹣6，
则6≥a＞2，
a≤0不必考虑．
②当b≠0时，对于[f（x）]2+af（x）﹣b2＜0，
△＝a2+4b2＞0，
解得：f（x），
只考虑a＞0，
则0，
由于f（x）＝0时，不等式的解集中含有多于一个整数解（例如，0，1），舍去．
综上可得：a的最大值为6．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解法、二次函数的图象，考查了分类讨论方法、数形结合方法与计算能力，属于中档题．
7．B
【解析】
依题意，存在，使得 ，即 ；因而，即函数 与 的图像在 上有交点；如图所示，可知若函数 与的图象在上有交点，则当 时，满足 ，即 ；易知当 时，函数 与的图象在上恒有交点，故 的取值范围是 ，故选B.
点睛：首先，根据题意，存在，使得 ，化简可得，即函数 与 的图像在 上有交点；作出函数的草图，当 时，满足 ，即 ；易知当 时，函数 与的图象在上恒有交点，由此即可求出结果.
8．A
【解析】
令得
∵函数在区间内有两个零点
∴与的函数图像在上有两个交点
作出与的函数图象，如图所示：
若直线经过点，则
若直线经过点，则
∴的取值范围为
故选A
点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解．
9．B
【解析】
【分析】
先作出函数的图象，令，方程转化为：，再方程有6个不同的实数解，运用图象关于直线对称，这6个解两两关于直线对称，计算即可得到所求和．
【详解】
作出函数的的图象，
可得图象关于直线对称，∵函数有6个不同的零点，即方程有6个不同的实数解，可得这6个解两两关于直线x=1对称，可得它们的和为2×3=6．故选：B．
【点睛】
本题考查函数的零点个数问题的解法，注意运用函数的对称性，考查数形结合思想方法，属于中档题．
10．A
【解析】
【分析】
先根据阿波罗尼斯圆的定义求得这个曲线的方程，再根据所求得的方程对选项逐一进行排除，从而得出正确选项.
【详解】
设动点，根据阿波罗尼斯圆的定义有，两边平方并化简得，故圆的圆心为，半径为.由此可知圆关于轴对称，不关于轴，原点对称.B,C选项错误，A选项正确.由于，，所以，故圆不经过坐标原点，D选项是错误的.
【点睛】
本小题主要考查利用直接法求动点的轨迹方程，考查对新概念的理解，考查图形的对称性，属于中档题.
11．B
【解析】
【分析】
由．当α时，△F1PF2面积最大，可得此时点P为椭圆的一个短轴的端点，∠F1PO．可得a，又c＝3，a2＝b2+c2，联立解出即可．
【详解】
∵．当α时，△F1PF2面积最大，
∴此时点P为椭圆的一个短轴的端点，∴∠F1PO．
∴a，又c＝3，a2＝b2+c2，
联立解得b2＝3，a2＝12．
∴m+n＝a2+b2＝15．
故选：B．
【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形面积计算公式、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．D
【解析】
【分析】
设，，问题转化为存在唯一的整数使得在直线的下方，利用导数数形结合并解关于的不等式组可得．
【详解】
解：设，，
由题意知存在唯一的整数使得在直线的下方，
，
当时，，当时，，
当时，取最小值，
当时，，当时，（1），
直线恒过定点且斜率为，
故且，解得
故选：．
【点睛】
本题考查导数和极值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．
13．
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定是特称命题，写出结论.
【详解】
原命题是全称命题，故其否定是特称命题，所以原命题的否定是“”.
【点睛】
本小题主要考查全称命题的否定是特称命题，除了形式上的否定外，还要注意否定结论，属于基础题.
14．
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义得到，然后根据诱导公式和商数关系将齐次式化为的形式后求解即可得到结果．
【详解】
∵角终边上有一点，
∴．
∴．
故答案为．
【点睛】
（1）同角三角函数的基本关系反映了同一个角的不同三角函数之间的必然联系，它为三角函数的化简、求值、证明等提供了重要的方法．
（2）在三角函数的化简求值问题中，关于的齐次式，往往化为关于的式子后再求解．
15．1
【解析】
【分析】
先求得椭圆焦点的坐标，设出点的坐标代入向量数量积的坐标运算，利用椭圆标准方程化简后，利用二次函数的最值的求法，求得最大值.
【详解】
依题意得?，?，设，则，即，
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查椭圆的几何性质，考查向量数量积的坐标运算，考查式子的最大值的求法，属于基础题..
16．
【解析】
【分析】
化简不等式，变为，即左边函数在右边函数图像上方只有两个横坐标为整数的点.利用导数画出的图像，结合图像列出不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】
化简不等式，得，构造函数和，需要满足图像在图像上方的点的横坐标有且只有两个整数.，故函数在上递减，在上递增，且当时，函数值小于零.当时，在上递增，画出图像如下图所示，由图可知图像在图像上方的点不止两个整数.故不符合题意.
当时，显然不符合题意.当时，画出图像如下图所示，由图可知，即，解得.即的取值范围是.
【点睛】
本小题主要考查利用数形结合的数学思想方法解不等式，考查了对数函数的图像与性质，考查了利用导数研究函数图像与性质.对于题目给定的，转为两个函数的图像来研究，这是化归与转化的数学思想方法.导数在本题中是一个工具的作用，用于画图函数的图像.属于中档题.
17．（I）；（II）；（III）.
【解析】
【分析】
（I）根据直线过的两个点的坐标，求得的值.利用三角函数图像部分的零点和最小值点间的距离，求得的值，利用，求得的值.（II）先利用三角函数的单调性，求得当时函数的递增区间，结合函数图像可求得函数函数的递增区间.（III）根据图像可知函数在时符合题意.当时，，解三角不等式求得的取值范围.两个取值范围合并求得不等式的解集.
【详解】
（Ⅰ）由题知
由的图像知，
得
由
故
（Ⅱ）当时。
令得
.
所以函数的增区间为
（Ⅲ）由图像知当时恒成立
当时，解得
综上，不等式的解集是
【点睛】
本小题主要考查利用函数的图像求函数的解析式，考查三角函数的单调区间以及解三角不等式，属于中档题.
18．（1）；（2）或.
【解析】
【分析】
（1）先利用三角恒等变换的公式化简函数，再求其最小正周期．(2)先化简，得到B=或，，再利用正弦定理求的值．
【详解】
(1)由题得，
所以函数的最小正周期为．
，所以,
因为，
所以，
所以，
∴，
∴，
∴，
∴或．
当；当，时．
由正弦定理得或．
【点睛】
解答本题时注意以下问题：
（1）求函数的最小正周期时，首项要将函数的解析式化成的形式，然后再根据公式求解．
（2）根据三角函数求出后，再运用正弦定理进行边角的互化是解答第（2）问的关键．
19．(Ⅰ)；(Ⅱ)
【解析】
【分析】
(Ⅰ)根据题意求出等差数列的的首项和公差、等比数列的首项和公比，然后可得两个数列的通项公式； (Ⅱ)由(Ⅰ)得，然后根据错位相减法可得所求数列的和．
【详解】
(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
，
,
又,
,

又，,
,
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得．
令，
则 ……①
∴……②
①-②得：


，
∴．
【点睛】
（1）对于等差（比）数列的基本运算的问题，可转化为两数列的最基本的量处理，即求出数列的首项和共差（比）后可得所求问题．
（2）用错位相减法求和的注意事项
①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；
③应用错位相减法求和时，由于要涉及到大量的计算，容易出现错误，所以在解题时要注意计算的准确性，平时要重视对计算的训练．
20．（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据经过点M（0，﹣1），长轴长是短轴长的2倍，可得b＝1，a＝2，得出椭圆方程；
（2）设直线AB斜率为k，联立方程组，根据根与系数的关系计算k1+k2化简．
【详解】
（1）∵椭圆经过点，∴.
又∵，∴.
椭圆的标准方程为：.
（2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为，
此时直线与椭圆相切，不符合题意.
设直线的方程为，即.
联立，得 .
设，，则


.
∴为定值，且定值为1.
【点睛】
求定值问题常见的方法
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
21．（1）；（2）或.
【解析】
【分析】
(1)由题得，解得.故抛物线的方程为.（2）由题意可知的方程为，先求出，，由，得，解得或.
【详解】
（1）由抛物线的定义知，点到抛物线的准线的距离为7，
又抛物线的准线方程为，
所以，解得.
故抛物线的方程为.
（2）由题意可知的方程为，设，，
由消去，整理得，
则，，，
.
又点到直线的距离，
则.
因为，同理可得，
由，得，
解得，即或.
【点睛】
本题主要考查抛物线方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.
22．（）．（）单调递减区间，单调递减区间，极大值为．（）个，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）利用导数的几何意义求出x＝1处的切线方程；
（2）当a＝0时，利用导数判断出f（x）的单调增区间与单调减区间，从而求出极值；
（3）函数的零点个数等价于y=与图象的交点个数．
【详解】
（）∵，
，
∴，即．
（）∵，
，令， ，
极大值
∴单调递增区间为，单调递减区间为．
极大值为．
（）∵，当时，即为，由（）作出大致图象，由图可知与有两个点．即有个零点．
【点睛】
（1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．
（2）本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决，解题时注意图象的渐近线。