学业分层测评(十九)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
1．关于开普勒行星运动的公式＝k，以下理解正确的是( )
A．k是一个与行星有关的量
B．行星轨道的半长轴越长，自转周期越长
C．行星轨道的半长轴越长，公转周期越长
D．若地球绕太阳运转轨道的半长轴为R地，周期为T地；月球绕地球运转轨道的半长轴为R月，周期为T月，则＝
【解析】 ＝k中k是一个与行星无关的量，它是由太阳质量所决定的一个恒量，A错误；T是公转周期，B错误，C正确；＝k是指围绕太阳的行星的周期与轨道半径的关系，D错误．
【答案】 C
2．关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是( )
A．不能看作质点的两物体间不存在相互作用的引力
B．只有能看作质点的两物体间的引力才能用F＝G计算
C．由F＝G知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大
D．万有引力只存在于质量大的天体之间
【解析】 任何物体间都存在相互作用的引力，故称为万有引力，A、D错；两个质量均匀的球体间的万有引力也能用F＝G来计算，B错；物体间的万有引力与它们距离r的二次方成反比，故r减小，它们间的引力增大，C正确．
【答案】 C
3．宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象．若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为 ( )
A．0 B.
C. D.
【解析】 根据G＝mg′，得g′＝，B正确．
【答案】 B
4．两球表面间的距离为r，两球的质量分布均匀，质量分别为m1、m2，两球的半径分别为r1、r2，则两球间的万有引力大小为( )
A．G B．G
C．G D．G
【解析】 计算两均匀球体间的万有引力时，公式F＝G中的r为两球球心之间的距离，所以两球间的万有引力F＝G，选项D正确．
【答案】 D
5．某物体在地面上受到地球对它的万有引力为F，为使此物体受到的引力减小到，应把此物体置于距地面的高度为(R指地球半径)( )
A．R B．2R C．4R D．8R
【解析】 万有引力公式F＝G，其中r表示该物体到地球球心之间的距离，为使此物体受到的引力减小到，应把此物体置于距地面的高度为R处，使物体到地球球心的距离变成原来的2倍，故选A.
【答案】 A
6．地球质量大约是月球质量的81倍，在登月飞船通过月、地之间的某一位置时，月球和地球对它的引力大小相等，该位置到月球中心和地球中心的距离之比为( )
A．1∶27 B．1∶9
C．1∶3 D．9∶1
【解析】 根据F＝G ，由于引力相等即G＝G，所以＝＝＝，故选项B正确．
【答案】 B
7．“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星．若测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期为T，已知引力常量为G，半径为R的球体体积公式V＝πR3，则可估算月球的( )
A．密度 B．质量
C．半径 D．自转周期
【解析】 由万有引力提供向心力有G＝mr，由于在月球表面轨道有r＝R，由球体体积公式V＝πR3联立解得月球的密度ρ＝，A正确．
【答案】 A
8．为了研究太阳演化进程，需知道目前太阳的质量M.已知地球的半径R＝6.4×106 m，地球的质量m＝6×1024 kg，日地中心的距离r＝1.5×1011m，地球表面的重力加速度g取10 m/s2,1年约为3.2×107s，试估算目前太阳的质量M.(保留一位有效数字，引力常数未知)
【解析】 设T为地球绕太阳运行的周期，则由万有引力定律和动力学知识得：
G＝m2r ①
对地球表面的物体m′，有m′g＝G ②
联立①②两式得M＝，代入数据得
M＝2.0×1030 kg.
【答案】 2.0×1030 kg
[能力提升]
9．设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心4R(R是地球的半径)处，由于地球的作用而产生的加速度为g，则g/g0为( )
A．1 B．1/9
C．1/4 D．1/16
【解析】 地球表面处的重力加速度和在离地心4R处的加速度均由地球对物体的万有引力产生，所以有：
地面上：G＝mg0 ①
离地心4R处：G＝mg ②
由①②两式得＝.故选D.
【答案】 D
10．假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的密度为( )
A. B.
C. D.
【解析】 物体在地球的两极时，mg0＝G，物体在赤道上时，mg＋m2R＝G，以上两式联立解得地球的密度ρ＝.故选项B正确，选项A、C、D错误．
【答案】 B
11．一艘宇宙飞船飞近某一个不知名的行星，并进入该行星表面的圆形轨道，宇航员进行预定的考察工作．宇航员能不能仅用一只表通过测定时间来测定该行星的密度？如果可以，请说明理由并给出推导过程.
【解析】 使宇宙飞船靠近行星表面做匀速圆周运动，其轨道半径r近似等于行星自身的半径R，即r＝R
设行星质量为M，宇宙飞船质量为m，若测出飞船运行的周期为T，则有＝mr2
联立解得M＝
又行星的体积V＝πR3
所以ρ＝＝
即宇航员只需测出T就能求出行星的密度．
【答案】 见解析
12．宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处．(取地球表面重力加速度g＝10 m/s2，空气阻力不计)
(1)求该星球表面附近的重力加速度g′的大小；
(2)已知该星球的半径与地球半径之比为＝，求该星球的质量与地球质量之比.
【解析】 (1)在地球表面以一定的初速度v0竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处，根据运动学公式可有t＝.同理，在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，经过时间5t小球落回原处，则5t＝
根据以上两式，解得g′＝g＝2 m/s2.
(2)在天体表面时，物体的重力近似等于万有引力，即
mg＝，所以M＝
由此可得，＝·＝×＝.
【答案】 (1)2 m/s2 (2)1∶80
万有引力定律及引力常量的测定
我夯基 我达标
1.关于万有引力,下列说法正确的是（ ）
A.万有引力只有在天体与天体之间才能明显地表现出来
B.一个苹果由于其质量很小,所以它受到的万有引力几乎可以忽略
C.地球对人造卫星的万有引力远大于卫星对地球的万有引力
D.地球表面的大气层是因为万有引力约束而存在于地球表面附近
2.开普勒第二定律的内容是：对于每一个行星而言,太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积.结合开普勒第一定律,以下说法正确的是（ ）
A.行星在椭圆运动中,在远日点速度最小,近日点速度最大
B.行星在椭圆运动中,在远日点速度最大,近日点速度最小
C.行星的运动速度大小是不变的
D.行星的运动是变速曲线运动
3.下列说法中正确的是（ ）
A.行星绕太阳的椭圆轨道可以近似地看作圆轨道,其向心力来源于太阳对行星的引力
B.太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力,所以行星绕太阳运转而不是太阳绕行星运转
C.万有引力定律适用于天体,不适用于地面上的物体
D.行星与卫星之间的引力、地面上的物体所受的重力和太阳对行星的引力,性质相同,规律也相同
4.如图5－1－2所示,两球的半径分别为r1和r2,均小于r,而球的质量分布均匀,大小分别为m1、m2,则两球间的万有引力大小为（ ）
图5－1－2
A.Gm1m2/r2 B.Gm1m2/r12
C.Gm1m2/（r1＋r2）2 D.Gm1m2/（r1＋r2＋r）2
5.关于万有引力定律和引力常量的发现,下列说法中正确的是（ ）
A.万有引力定律是由开普勒发现的,而引力常量是由伽利略测定的
B.万有引力定律是由开普勒发现的,而引力常量是由卡文迪许测定的
C.万有引力定律是由牛顿发现的,而引力常量是由胡克测定的
D.万有引力定律是由牛顿发现的,而引力常量是由卡文迪许测定的
6.关于开普勒第一定律,下列说法中正确的是…（ ）
A.行星的运动是一个圆周,太阳在这个圆周的圆心上
B.行星的运动是一个椭圆,太阳在这个椭圆的中心
C.行星的运动是一个椭圆,太阳在这个椭圆的一个焦点上
D.行星的运动是一个椭圆,太阳在这个椭圆两个焦点间晃动
7.有一物体在地球表面受到的重力为40 N，在离地面高为h=R（R为地球半径）处受到的重力为G1，在地心处受到的重力为G2，则（ ）
A.G1=40 N，G2=40 N B.G1=20 N，G2=0
C.G1=10 N，G2=0 D.G1=20 N，G2=∞
8.一物体重16 N，它在以5 m/s2的加速度上升的火箭中的视重为9 N，则此火箭离地球表面的距离为地球半径的多少倍？（设地球表面的重力加速度为10 m/s2）
我综合 我发展
9.(2006北京高考，16)一只飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行，认为行星是密度均匀的球体.要确定该行星的密度，只需要测量（ ）
A.飞船的轨道半径 B.飞船的运行速度
C.飞船的运行周期 D.行星的质量
10.下列说法正确的是（ ）
A.地球是宇宙的中心，太阳、月亮及其他行星都绕地球运动
B.太阳是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动
C.地球是绕太阳运动的一颗行星
D.日心说和地心说都是错误的
11.已知太阳质量是1.97×1030 kg，地球质量是5.98×1024 kg，太阳和地球间的平均距离为1.49×1011 m，太阳和地球间的万有引力是____________N.已知拉断截面积为1 cm2的钢棒用力4.86×104 N，那么，地球和太阳间的万有引力可以拉断截面积是____________m2的钢棒.
12.已知地球表面的重力加速度为g,地球半径为R,万有引力常量为G,如果不考虑地球自转的影响,用以上各量表示地球的平均密度是多少？
参考答案
1思路解析：不仅天体与天体之间万有引力起着决定性的作用，天体与我们生活中的物体也发生着不可忽略的作用，如重力就是地球和物体间的万有引力引起的.
答案：D
2思路解析：因为行星在绕太阳运动时,轨道是椭圆,近日点的行星与太阳的距离小,连线扫过的面积不变,所以近日点速度大；行星的运动是变速曲线运动.
答案：AD
3思路解析：物体间的万有引力遵循牛顿第三定律，所以太阳对行星的引力等于行星对太阳的引力，选项B错误.万有引力适用于一切物体，只是地面上的物体之间的万有引力非常小，平常感觉不到，可以忽略不计，选项C错误.
答案：A
4思路解析：均匀的球体可以视为质量集中于球心的质点，质点间的距离为球心之间的距离.
答案：D
5思路解析：牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许测定了引力常量.
答案：D
6思路解析：开普勒第一定律为椭圆定律，具体内容为：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上.
答案：C
7思路解析：万有引力定律中的距离r,其含义是相互可以看作质点的两个物体之间的距离或两个均匀球体的球心间的距离.地心处的物体和地球不能同时看作均匀球体，所以万有引力定律公式不能直接使用，我们可以将地球一分为二，地球的两部分对地心处物体的引力大小相等、方向相反,合力为0,则G2=0.
答案：C
8思路解析：物体在高空中的火箭中时，受力如右图，由牛顿第二定律，F－mg′=ma，式中m=1.6 kg，所以mg′=1 N，即得GMm/R2=16和GMm/(R＋h)2=1，两式相除可得h=3R.
答案：3倍
9思路解析：飞船贴着行星表面飞行，则=m()2R,M=,行星的密度为ρ=，知道飞船的运行周期就可以确定该行星的密度.所以C选项正确.
答案：C
10思路解析：回顾人类探索宇宙的历程，建立正确的宇宙观.
答案:CD
11思路解析：运用万有引力公式F=进行计算.
答案:3.54×1022 7.28×1013
12思路解析：如果忽略地球自转的影响,质量为m的物体的重力可以认为是地球对它的万有引力，由此先求天体质量，再根据球体的体积公式V=4πR3/3求天体的体积（一般把天体看成球体）,最后由ρ=M/V求出天体的密度.
答案：由万有引力定律得：=mg
又因为球体的体积为V=4πR3/3,
所以ρ=.
一、选择题
1．下列关于万有引力的说法中正确的是( )
A．万有引力是普遍存在于宇宙空间中所有具有质量的物体之间的相互作用力
B．重力和引力是两种不同性质的力
C．当两物体间有另一质量不可忽略的物体存在时，则这两个物体间的万有引力将增大
D．当两物体间的距离为零时，万有引力将无穷大
解析：选A.万有引力是自然界中任何两个有质量的物体之间的相互作用力，故A选项正确；重力是万有引力的一个分力，故B选项错；两物体之间的万有引力大小与两物体的质量有关，与两物体之间的距离有关，与两物体之间的第三个物体的存在无关，故C选项错；当两物体间的距离为零时，万有引力定律不再适用，万有引力不会变成无穷大，而是零，故D选项错．
2．(多选)关于引力常量G，下列说法正确的是( )
A．G值的测出使万有引力定律有了真正的实用价值
B．引力常量G的大小与两物体质量乘积成反比，与两物体间距离的平方成正比
C．引力常量G的物理意义是，两个质量都是1 kg的物体相距1 m时的相互吸引力为6.67×10－11 N
D．引力常量G是不变的，其值大小与单位制的选择无关
解析：选AC.利用G值和万有引力定律不但能“称”出地球的质量，而且可测定远离地球的一些天体的质量、平均密度等，故A正确；引力常量G是一个普遍适用的常量，通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，其物理意义就是：两个质量都是1 kg的物体相距1 m时的万有引力为6.67×10－11 N，它的大小与所选的单位有关，C正确，B、D错．
3．地球绕太阳的运行轨道是椭圆，因而地球与太阳之间的距离随季节变化．冬至这天地球离太阳最近，夏至最远．下列关于地球在这两天绕太阳公转速度大小的说法中，正确的是( )
A．地球公转速度是不变的
B．冬至这天地球公转速度大
C．夏至这天地球公转速度大
D．无法确定
解析：选B.冬至地球与太阳的连线短，夏至长．根据开普勒第二定律，要在相等的时间内扫过的面积相等，则在相等的时间内冬至时地球运动的路径就要比夏至时长，所以冬至时地球运动的速度比夏至的速度大，只有B项正确．
4．2013年9月19日，我国以“一箭双星”方式成功发射了第14和第15颗北斗导航卫星，标志着北斗卫星导航系统建设又迈出了坚实的一步．若卫星质量为m、离地球表面的高度为h，地球质量为M、半径为R，G为引力常量，则地球对卫星万有引力的大小为( )
A．G B．G
C．G D．G
解析：选D.卫星的轨道半径为卫星到地心的距离(R＋h)，由万有引力定律可知F＝G，D对．
5．从天文望远镜中观察到银河系中有两颗行星绕同一个恒星运转，两颗行星的运动轨道均为椭圆，测量到它们的运行周期之比为8∶1，则它们轨道的半长轴之比为( )
A．2∶1 B．4∶1
C．8∶1 D．1∶4
解析：选B.由开普勒第三定律＝k得r＝，将周期之比T1∶T2＝8∶1代入得：r1∶r2＝4∶1.故B正确，A、C、D错误．
6．若使两质点间的万有引力减小为原来的，下列办法可采用的是( )
A．使两质点间距离增为原来的4倍，质量不变
B．使两质点的质量都减半，间距减为原来的
C．使其中一质点的质量减为原来的，间距不变
D．使两质点的质量和间距都减为原来的
解析：选C.质点间的万有引力大小为F＝，故C可行，A、B、D不可行．
7．一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，它的直径也是地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是它在地球上所受万有引力的( )
A．0.25倍 B．0.5倍
C．2.0倍 D．4.0倍
解析：选C.设地球的质量为M，半径为r，则该星球的质量为，半径为r.由万有引力定律可知，这名宇航员在地球上所受万有引力F＝G，在该星球上所受万有引力F′＝G＝2F.故选C.
8．太阳系八大行星公转轨道可以近似看做圆轨道，“行星公转周期的平方”与“行星与太阳的平均距离的三次方”成正比．地球与太阳之间平均距离约为1.5亿千米，结合下表可知，火星与太阳之间的平均距离约为( )
行星
水星
金星
地球
火星
木星
土星
公转周期(年)
0.241
0.615
1.0
1.88
11.86
29.5
A.1.2亿千米 B．2.3亿千米
C．4.6亿千米 D．6.9亿千米
解析：选B.由题意可知，行星绕太阳运转时，满足＝常数，设地球的公转周期和轨道半径分别为T1、r1，火星绕太阳的公转周期和轨道半径分别为T2、r2，则＝，代入数据得r2≈2.3亿千米．
☆9.(2012·高考新课标全国卷)假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )
A．1－ B．1＋
C.2 D.2
解析：选A.设地球的密度为ρ，质量为M，根据万有引力定律可知，地球表面的重力加速度g＝.地球质量可表示为M＝πR3ρ.因质量分布均匀的球壳对球壳内物体的引力为零，所以矿井下以(R－d)为半径的地球的质量为M′＝π(R－d)3ρ，解得M′＝3M，则矿井底部处的重力加速度g′＝，则矿井底部处的重力加速度和地球表面的重力加速度之比为＝1－，选项A正确，选项B、C、D错误．
二、非选择题
10．中国首个月球探测计划“嫦娥工程”预计在2017年送机器人上月球，实地采样送回地球，为载人登月及月球基地选址做准备．设想我国宇航员随“嫦娥”号登月飞船绕月球飞行，飞船上备有以下实验仪器：
a．计时表一只
b．弹簧测力计一个
c．已知质量为m的物体一个
d．天平一个(附砝码一盒)
在飞船贴近月球表面时可近似看成绕月球做匀速圆周运动，宇航员测量出飞船在靠近月球表面的圆形轨道绕行N圈所用的时间为t.飞船的登月舱在月球上着陆后，遥控机器人利用所携带的仪器又进行了第二次测量，利用上述两次测量的物理量可推导出月球的半径和质量．(已知万有引力常量为G)
(1)说明机器人是如何进行第二次测量的；
(2)试推导用上述测量的物理量表示的月球半径和质量的表达式．
解析：(1)机器人在月球上用弹簧测力计竖直悬挂物体，静止时读出弹簧测力计的读数F，即为物体在月球上所受重力的大小．
(2)在月球上忽略月球的自转可得：mg＝F
飞船在绕月球运行时，因为是靠近月球表面，故近似认为其轨道半径为月球的半径R，由万有引力提供飞船做圆周运动的向心力可知mg＝G＝mR，又T＝，联立各式得月球的半径R＝＝，月球的质量M＝.
答案：(1)见解析 (2)R＝ M＝
☆11.一个质量为M的匀质实心球，半径为R.如果从此球上挖去一个直径为R的小球，放在与该球相距为d的地方．求下列两种情况下，两球之间引力的大小．
(1)如图甲所示，从球的正中心挖去．
(2)如图乙所示，从与球面相切处挖去．
解析：设匀质实心球的密度为ρ，则有M＝πR3ρ，
挖去的小球质量m＝π3ρ，
即m＝M，
剩余空心球的质量M′＝M.
(1)由甲图知，空心球M′的质量分布对称，由万有引力定律得两球之间的引力F1＝G＝.
(2)由乙图知，空心球质量分布不均匀，不能直接用万有引力公式计算，可利用“割补法”．先将M′转化为理想模型，即用同样的材料将其填补为实心球M，这时，两者之间的引力
F＝G＝，
由于填补空心球而增加的引力
ΔF＝G＝，
所以，这时M′与m之间的引力
F2＝F－ΔF＝·.
答案：(1) (2)·
