北师大版 数学 八年级下 1.2 直角三角形（2） 教学设计
课题
1.2 直角三角形（2）
单元
第一章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
知识与技能：能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理,并能应用定理解决实际问题；
过程与方法：通过作图的方法探究直角三角形全等的判定定理“HL”；
情感态度与价值观：培养学生探究解决问题的能力和合作的品质.
重点
引导学生分析、理解HL定理
难点
熟练运用HL定理解决问题
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
新知导入
同学们，在上前面的学习中，我们学习了三角形全等的有关内容，下面请同学们回答：
问题1、我们学过三角形全等的判定方法有哪几种？
答案：边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）
问题2、两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗?
答案：不一定全等
问题3、两边相等及其中一边的对角是直角的两个三角形全等吗?
答案：全等
学生根据老师的提问回答问题.
通过回顾三角形全等的判定方法，为直角三角形全等判定定理HL的探究做好铺垫
新知讲解
下面，让我们一起完成下面的问题：
做一做：已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形.
已知：如图，线段a、c（a求作：Rt△ABC，使∠C=∠ɑ，BC=a，AB=c.
/
作法：(1)作∠MCN=∠ɑ=90°，
(2)在射线CM截取BC=a,
(3)以点B为圆心，线段c的长为半径作弧，交射线CN于点A,
(4)连接AB，得到Rt△ABC.
/
追问：你作的三角形与同伴作的三角形全等吗？
已知：如图,在 △ABC与△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′. 求证： △ABC≌△A′B′C′
/
几何语言：
在△ABC与△A′B′C′中，
∵AB＝A′B′， AC＝A′C′，
∴ △ABC≌△A′B′C′(HL).
例1：如图，在△ABC中，AB＝AC，若AD⊥BC，则判定△ABD和△ACD全等的方法是( )
/
A．SAS B．ASA C．SSS D．HL
答案：D
练习1：如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是( )
/
A．AC＝AD B．AB＝AB
C．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD
答案：A
例2：如图,有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？
/
解：根据题意，可知
∠BAC＝∠EDF＝90°，BC＝EF，AC＝DF，
∴Rt△BAC≌Rt△EDF (HL).
∴∠B＝∠DEF (全等三角形的对应角相等).
∵∠DEF＋∠F＝90°，(直角三角形的两锐角互余)，
∴∠B＋∠F=90°
练习2：已知:如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为E,F,DE=BF. 求证:(1)AE=AF;(2)AB//CD.
/
证明：(1) ∵ DE⊥AC,BF⊥AC,
∴∠AFB=∠CED=90°,
∵AB=CD,DE=BF，
∴Rt△ABF≌ Rt △CDE(HL),
∴AF=CE,
∵AF-EF=CE-EF,
∴AE=CF.
(2) ∵Rt△ABF≌ Rt △CDE,
∴∠A=∠C,
∴AB//CD.
学生在老师的引导下进行画图.
学生对HL定理进行证明，然后班内交流，并认真听老师的讲评.
学生归纳直角三角形全等的HL判定定理，并将其转化为符号语言.
学生独立完成例1及练习题，然后班内交流，并认真听老师的点评.
学生独立完成例2及练习题，然后班内交流，并认真听老师的点评.
通过画图探究直角三角形全等判定定理HL.
证明直角三角形全等判定定理HL.
归纳直角三角形全等判定定理HL，并掌握其几何语言.
初步掌握直角三角形全等判定定理HL的应用..
提高学生应用HL定理解决实际问题的能力.
课堂练习
1．如图，可直接用“HL”判定Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是( )
/
A．AC＝DF，BC＝EF B．∠A＝∠D，AB＝DE
C．AC＝DF，AB＝DE D．∠B＝∠E，BC＝EF
答案：C
2．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，请你添加一个条件(不添加字母和辅助线)，使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是______________________．
/
答案：AB＝DC或AC＝BD或∠ABC＝∠DCB或∠ACB＝∠DBC
3．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE与CD相交于点O，且AD＝AE. 有下列结论：
①∠B＝∠C；
②△ADO≌△AEO；
③△BOD≌△COE；
④图中有四组三角形全等．
其中正确的结论有( )
/
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：D
学生自主完成课堂练习，做完之后班级内交流.
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.
拓展提高
如图，已知 AD，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，如果 AD＝AF，AC＝AE． 求证：BC＝BE．
/
证明：∵AD，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，
且 AD＝AF，AC＝AE，
∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）．
∴CD＝EF．
∵AD＝AF，AB＝AB，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF（HL）．
∴BD＝BF．
∴BD﹣CD＝BF-EF．
即BC＝BE．
在师的引导下完成问题.
提高学生对知识的应用能力
中考链接
下面让我们一起赏析一道中考题：
(2018·泰州)如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC．
/
证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中
∵BD=CA，BC=CB，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∴∠OBC=∠OCB，
∴BO=CO．
在师的引导下完成中考题.
体会所学知识在中考试题运用.
课堂总结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
问题、说一说直角三角形全等的判定方法？
答案：（1）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 简述为“斜边、直角边”或“HL”
（2）边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识.
帮助学生加强记忆知识.
作业布置
基础作业
教材第21页习题1.6第2、3题
能力作业
教材第21页习题1.6第4题
学生课下独立完成.
检测课上学习效果.
板书设计
借助板书，让学生知道本节课的重点。
/
1.2 直角三角形（2）
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题8分）
1．如图，在∠AOB的两边上，分别取OM=ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
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第1题图 第2题图 第4题图 第5题图
2．如图，AB⊥BC于点B，AD⊥DC于点D，若CB＝CD，且∠1＝30°，则∠BAD的度数是（ ）
A．90° B．60° C．30° D．15°
3．下列条件中：①两条直角边分别相等；②两个锐角分别相等；③斜边和一条直角边分别相等；④一条边和一个锐角分别相等；⑤斜边和一锐角分别相等；⑥两条边分别相等．其中能判断两个直角三角形全等的有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
4．如图，有两个长度相同的滑梯(即BC＝EF)，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则有下列结论：①AB＝DE；②∠ABC＝∠DEF；③∠ACB＝∠DFE；④∠ABC＋∠DFE＝90°.其中成立的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①② D．②③
5．如图，在△ABC中，点P，Q分别在BC，AC上，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，则下面结论错误的是（ ）
A．∠BAP＝∠CAP B．AS＝AR C．QP∥AB D．△BPR≌△QPS
二．填空题（共4小题，每题5分）
6．如图，已知四边形ABCD中，CB=CD，∠ABC=∠ADC=90°，那么Rt△ABC≌Rt△ADC，根据是?________
7．如图，在△??????和△??????中，????=????，若利用“HL”证明△??????≌△??????，则需要加条件______ ．
8．如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝_______________时，△ABC与△QPA全等．
9．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠CAE=32°，则∠ACF的度数为__________°．
/ / / /
第6题图 第7题图 第8题图 第9题图
三．解答题（共3小题，第10题10分，第11、12题各15分）
10．如图，在四边形ABCD中，AD⊥BD，AC⊥CB，BD=AC．求证：△ABD≌△BAC；
/
11．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且EC⊥AC于点C，AE＝BF.试判断AE和BF的位置关系，并说明理由．
/
12．如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O.
(1)求证：△ABC≌△DCB；
(2)△OBC是何种三角形？证明你的结论.
/
试题解析
1．D
/
2．B
【解析】根据HL判定△ABC≌△ADC，得出∠BAC=∠DAC=30°，进而求出∠BAD=60°．
解：∵AB⊥BC于B，AD⊥CD于D ∴∠ABC=∠ADC=90° 又∵CB=CD，AC=AC ∴△ABC≌△ADC（HL） ∴∠BAC=∠DAC=30° ∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=60° 故选：B．
3．D
【解析】画出两直角三角形，根据选项条件结合图形逐个判断即可．
解：①两条直角边分别相等；正确；
②两个锐角分别相等；两直角三角形相似不一定全等，错误；
③斜边和一条直角边分别相等，正确；
④一条边和一个锐角分别相等；若斜边和另个三角形的直角边相等则不全等，错误；
⑤斜边和一锐角分别相等；正确；
⑥两条边分别相等，若一直角三角形的斜边和另一三角形的直角边相等，另一组直角边相等，则不全等，错误；
其中能判断两个直角三角形全等的有3个．
故选：D．
4．A
【解析】利用HL证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质，可判断各结论．
解：∵在Rt△ABC和Rt△DEF中，
????=????
????=????
， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）． 则①AB＝DE,正确； ②∠ABC＝∠DEF,正确； ③∠ACB＝∠DFE, 正确；
∵∠DEF+∠DFE=90°
④∠ABC＋∠DFE＝90°正确；
故选：A．
5．D
【解析】根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得AP平分∠BAC，从而判断出A正确，然后根据等边对等角的性质可得∠APQ=∠PAQ，然后得到∠APQ=∠PAR，然后根据内错角相等两直线平行可得QP∥AB，从而判断出C正确，然后证明出△APR与△APS全等，根据全等三角形对应边相等即可得到B正确，D中两三角形只能确定一直角边相等，已知角相等，其他条件都无法确定，所以不一定正确．
解：∵PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，且PR=PS，.
∴点P在∠BAC的平分线上，.
即AP平分∠BAC，故A正确；.
∴∠PAR=∠PAQ，.
∵AQ=PQ，.
∴∠APQ=∠PAQ，.
∴∠APQ=∠PAR，.
∴QP∥AB，故C正确；.
在△APR与△APS中，
????＝????
????＝????
，.
∴△APR≌△APS（HL），.
∴AR=AS，故B正确；.
△BPR和△QSP只能知道PR=PS，∠BRP=∠QSP=90°，其他条件不容易得到，所以，不一定全等．.
故D错误．
故选D．
6．HL
【解析】因为∠ABC=∠ADC=90°，所以△ABC和△ADC为直角三角形，又因为CB=CD，CA=CA，故可根据HL判定Rt△ABC≌Rt△ADC．
解：∵∠ABC=∠ADC=90°，CB=CD，CA=CA
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）．
故填HL．
7．∠??=∠??=
90
°
，
【解析】添加∠C=∠D=90°，由HL证明△ABC≌△ABD即可．
解：添加∠C=∠D=90°，理由如下：
∵∠C=∠D=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△ABD中，
????=????
????=????
，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL)，
故答案为：∠C=∠D=90°.
8．5或10
【解析】分两种情况：①当AP=BC=5时；②当AP=CA=10时；由HL证明Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；即可得出结果．
解：∵AX⊥AC， ∴∠PAQ=90°， ∴∠C=∠PAQ=90°， 分两种情况： ①当AP=BC=5时， 在Rt△ABC和Rt△QPA中，
????=????
????=????
， ∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）； ②当AP=CA=10时， 在△ABC和△PQA中，
????=????
????=????
， ∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）； 综上所述：当点P运动到AP=5或10时，△ABC与△APQ全等； 故答案为：5或10．
9．58
【解析】根据HL证明Rt△CBF≌Rt△ABE，推出∠FCB=∠EAB，求出∠CAB=∠ACB=45°，
求出∠BCF=∠BAE=13°，即可求出答案．
解：∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠CBF=90°，
在Rt△CBF和Rt△ABE中
????=????
????=????,
∴Rt△CBF≌Rt△ABE（HL），
∴∠FCB=∠EAB，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠ACB=45°．
∵∠BAE=∠CAB﹣∠CAE=45°﹣32°=13°，
∴∠BCF=∠BAE=13°，
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+13°=58°
故答案为：58
10．证明见解析.
【解析】通过HL即可得证.
证明：∵AD⊥BD，AC⊥CB，
∴∠ADB=∠BCA=90°，
在Rt△ADB和Rt△BCA中，
AB=BA，BD=AC，
∴Rt△ADB≌Rt△BCA（HL）
11．AE⊥BF，理由见解析
【解析】先利用HL定理证明△ABF与△CAE全等，根据全等三角形对应角相等可以得到∠ABF=∠EAC，然后利用角度的转换即可得到∠ADB=90°，从而判断出AE和BF的位置关系是垂直．
解：AE⊥BF.
理由如下：
∵AE＝BF，AB＝AC，
∴Rt△ABF≌Rt△CAE(HL)，
∴∠CAE＝∠ABF，
∵∠ABF＋∠AFB＝90°，
∴∠CAE＋∠AFB＝90°，
∴∠ADF＝90°，即AE⊥BF.
12．（1）证明见解析，（2）△OBC是等腰三角形，证明见解析.
【解析】（1）由已知条件可知两个三角形是直角三角形且有公共斜边，有一组直角边相等，故用“HL”即可证明Rt△ABC≌Rt△DCB；
（2），利用Rt△ABC≌Rt△DCB的对应角相等，即可判断△OBC的形状．
证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°
AC=BD，BC为公共边，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）
（2）△OBC是等腰三角形
∵Rt△ABC≌Rt△DCB
∴∠ACB=∠DBC
∴OB=OC
∴△OBC是等腰三角形
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课件20张PPT。直角三角形（2）数学北师大版 八年级下新知导入1、我们学过三角形全等的判定方法有哪几种？边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）2、两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗?不一定全等3、两边相等及其中一边的对角是直角的两个三角形全等吗?全等新知讲解做一做：已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形.已知：如图，线段a、c（a∵∠C＝ 90°,
∴BC2＝ AB2－AC2 (勾股定理).
同理， B′C′ 2＝A′B′2－A′C′ 2.
∵AB＝A′B′， AC＝A′C′，
∴BC＝B′C′．
∴ △ABC≌△A′B′C′(SSS).新知讲解直角三角形全等判定定理定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
简述为“斜边、直角边”或“HL”几何语言：在△ABC与△A′B′C′中，∵AB＝A′B′， AC＝A′C′，
∴ △ABC≌△A′B′C′(HL).新知讲解 例1：如图，在△ABC中，AB＝AC，若AD⊥BC，则判定△ABD和△ACD全等的方法是( )
A．SAS
B．ASA
C．SSS
D．HLD新知讲解练习1：如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是( )
A．AC＝AD
B．AB＝AB
C．∠ABC＝∠ABD
D．∠BAC＝∠BAD A新知讲解例2：如图,有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？解：根据题意，可知
∠BAC＝∠EDF＝90°，BC＝EF，AC＝DF，
∴Rt△BAC≌Rt△EDF (HL).
∴∠B＝∠DEF (全等三角形的对应角相等).
∵∠DEF＋∠F＝90°，(直角三角形的两锐角互余)，
∴∠B＋∠F=90°新知讲解 练习2：已知:如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为E,F,DE=BF. 求证:(1)AE=AF;(2)AB//CD. 证明：(1) ∵ DE⊥AC,BF⊥AC,
∴∠AFB=∠CED=90°,
∵AB=CD,DE=BF，
∴Rt△ABF≌ Rt △CDE(HL),
∴AF=CE,
∵AF-EF=CE-EF,
∴AE=CF.
新知讲解 练习2：已知:如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为E,F,DE=BF. 求证:(1)AE=AF;(2)AB//CD. 证明：(2) ∵Rt△ABF≌ Rt △CDE,
∴∠A=∠C,
∴AB//CD.课堂练习1．如图，可直接用“HL”判定Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是( )
A．AC＝DF，BC＝EF
B．∠A＝∠D，AB＝DE
C．AC＝DF，AB＝DE
D．∠B＝∠E，BC＝EFC课堂练习 2．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，请你添加一个条件(不添加字母和辅助线)，使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是______________________．AB＝DC或AC＝BD或∠ABC＝∠DCB或∠ACB＝∠DBC课堂练习 3．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE与CD相交于点O，且AD＝AE. 有下列结论：
①∠B＝∠C；
②△ADO≌△AEO；
③△BOD≌△COE；
④图中有四组三角形全等．
其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个D拓展提高如图，已知 AD，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，如果 AD＝AF，AC＝AE． 求证：BC＝BE．证明：∵AD，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，
且 AD＝AF，AC＝AE，
∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）．
∴CD＝EF．
∵AD＝AF，AB＝AB，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF（HL）．
∴BD＝BF．
∴BD﹣CD＝BF-EF．
即 BC＝BE．中考链接 (2018·泰州)如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC．证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中
∵BD=CA，BC=CB，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∴∠OBC=∠OCB，
∴BO=CO．课堂总结说一说直角三角形全等的判定方法？ 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 简述为“斜边、直角边”或“HL”边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）板书设计
课题：1.2直角三角形（2）??
教师板演区?
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直角三角形全等判定定理：
斜边、直角边或HL基础作业
教材第21页习题1.6第2、3题
能力作业
教材第21页习题1.6第4题
作业布置
