北师大版 数学 八年级下 1.3 线段的垂直平分线（1） 教学设计
课题
1.3 线段的垂直平分线（1）
单元
第一章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
知识与技能：了解线段的垂直平分线的性质及判定，会利用线段的垂直平分线的性质和判定进行简单的推理、判断与计算；
过程与方法：在探究发现线段的垂直平分线的性质和判定，培养学生的观察力、实验推理能力；
情感态度与价值观：使学生在学习中体验几何发现的乐趣，在实际操作中感受几何美.
重点
线段的垂直平分线性质和判定的证明
难点
线段的垂直平分线性质和判定的应用
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
新知导入
同学们，在上前面的学习中，我们学习了线段的垂直平分线的有关内容，下面请同学们回答：
问题1、什么是线段的垂直平分线？
答案：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
问题2、在《生活中的轴对称》这一章中，我们通过折纸，得到了线段的垂直平分线的什么性质呢？
答案：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
追问：你能证明这一结论吗？
学生根据老师的提问回答问题.
通过回顾线段的垂直平分线的定义和性质，证明线段的垂直平分线的性质定理、探究判定定理做好铺垫
新知讲解
下面，让我们一起完成下面的问题：
已知：如图,直线MN⊥AB，垂足为C，AC = CB，P是MN上的任意一点.
求证：PA=PB.
/
证明：∵ MN⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB=90°.
∵ AC=BC，PC=PC，
∴△ PCA ≌△ PCB (SAS).
∴PA=PB（全等三角形对应边相等）.
追问：当点P与点C重合时，这个结论还成立吗？
答案：成立
归纳：线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
/
几何语言：
∵ MN⊥AB，AC =BC，
∴ PA =PB．
练习1：如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是( )
/
A．AB＝AD B．AB＝BD
C．AC平分∠BCD D．△BEC≌△DEC
答案：B
想一想：你能写出“定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请你加以证明.
答案：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
真命题
已知：如图，PA=PB.
求证：点P在线段AB的垂直平分线上.
/
证明：作PC⊥AB,垂足为C，
/
/
归纳：线段垂直平分线的判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
/
符号语言：
∵PA =PB，
∴点P 在AB 的垂直平分线上．
例：已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC.
求证：直线AO垂直平分线段BC.
/
证明：∵ AB＝AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
同理，点O在线段BC的垂直平分线上.
∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）.
/
符号语言：
∵MA =MB，NA =NB，
∴MN是AB 的垂直平分线．
练习2：如图，AC＝AD，BC＝BD，则有( )
/
A．AB垂直平分CD
B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分
D．以上都不正确
答案：A
学生在老师的引导下进行证明.
学生归纳线段垂直平分线的性质定理，并将其转化为符号语言.
学生独立完成练习题，然后班内交流，并认真听老师的点评.
学生回答老师的问题，然后在老师的引导下进行证明.
学生归纳线段垂直平分线的判定定理，并将其转化为符号语言.
学生独立完成例题及练习题，然后班内交流，并认真听老师的点评.
证明线段垂直平分线的性质定理.
归纳线段垂直平分线的性质定理，并掌握其几何语言.
应用线段垂直平分线的性质解决实际问题.
探究线段垂直平分线的判定定理.
归纳线段垂直平分线的判定定理，并掌握其几何语言.
应用线段垂直平分线的判定定理解决实际问题.
课堂练习
1．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为( )
/
A．50° B．70° C．75° D．80°
答案：B
2．如图，点D在△ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，则点D在线段( )的垂直平分线上．
/
A．AB B．BC C．AC D．不确定
答案：C
学生自主完成课堂练习，做完之后班级内交流.
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.
拓展提高
如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，线段AD的垂直平分线交BC的延长线于点F. 若∠B＝50°，求∠FAC的度数．
/
解：EF垂直平分AD，
∴AF＝DF.
∴∠FAD＝∠FDA.
∵∠FAD＝∠FAC＋∠CAD，
∠FDA＝∠B＋∠BAD，
∴∠FAC＋∠CAD＝∠B＋∠BAD.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD.
∴∠FAC＝∠B＝50°.
在师的引导下完成问题.
提高学生对知识的应用能力
中考链接
下面让我们一起赏析一道中考题：
（2018·毕节）如图，在△ABC中，AC=10，BC=6，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长是_____．
/
答案：16
在师的引导下完成中考题.
体会所学知识在中考试题运用.
课堂总结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
问题1、说一说线段垂直平分线的性质定理？
答案：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
问题2、说一说线段垂直平分线的判定定理？
答案：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识.
帮助学生加强记忆知识.
作业布置
基础作业
教材第23页习题1.7第1题
能力作业
教材第24页习题1.7第3、4题
学生课下独立完成.
检测课上学习效果.
板书设计
借助板书，让学生知道本节课的重点。
/
1.3 线段的垂直平分线（1）
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题8分）
1．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点E，若AE＝2，则B，E两点间的距离是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
/ / / /
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
2．如图，在△ABC中，AB边上的中垂线DE分别交AB、BC于点E、D，连接AD，若△ADC的周长为7cm，AC=2cm，则BC的长为（ ）cm．
A．4 B．5 C．3 D．以上答案都不对
3．如图，△??????，????＞????＞????，边????上存在一点??，使得????+????=????．下列描述正确的是（ ）
A．??是????的垂直平分线与????的交点 B．??是????的垂直平分线与????的交点
C．??是∠??????的平分线与????的交点 D．??是以点??为圆心，????长为半径的弧与边????的交点
4．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，DE垂直平分AC，∠A＝50°，则∠DCB的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
5．给出下面两个定理:①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;②到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.应用上述定理进行如下推理:
如右图,直线l是线段MN的垂直平分线.
∵点A在直线l上,∴AM=AN.___________
∵BM=BN,∴点B在直线l上___________
∵CM≠CN,∴点C不在直线l上.
这是∵如果点C在直线l上,那么CM=CN, ___________
这与条件CM≠CN矛盾.
以上推理中各橫线上应注明的理由依次是___________ 第5题图
A．②①① B．②①② C．①②② D．①②①
二．填空题（共4小题，每题5分）
6．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，若AB＝4，BC＝3，则CD的长为________．
7．如图，已知BD为△ABC的角平分线，EF垂直平分边BC，交BC于点E，交BD于点F，连接CF，若∠A+∠ACF＝90°，则∠FCB等于_________．
/ / / /
第6题图 第7题图 第8题图 第9题图
8．如图，AB＝AC，∠C＝36°，AC的垂直平分线MN交BC于点D，则∠DAB＝_________．
9．如图,在△ABC中,DE是BC的垂直平分线,垂足为E,交AC于点D,若AB=6,AC=9,则△ABD的周长是__________.
三．解答题（共3小题，第10题10分，第11、12题各15分）
10．如图，在Rt△ABC中，过直角边AC上的一点P作直线交AB于点M，交BC的延长线于点N，且∠APM＝∠A.求证：点M在BN的垂直平分线上．
/
11．如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，DE，FG分别是AB，AC的垂直平分线，连接AE，AF，求∠EAF的度数．
/
12．如图，△ABC中，∠A=∠ABC，DE垂直平分BC，交BC于点D，交AC于点E．
（1）若AB=5，BC=8，求△ABE的周长；
（2）若BE=BA，求∠C的度数．
/
试题解析
/
2．B
【解析】根据题意可知，DE垂直平分边AB，再根据线段垂直平分线的性质，可得AD=BD，又由△ADC的周长为7cm，即可求得AC+BC=7cm，然后由AC=2cm，即可求得BC的长．
解：∵AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D， ∴AD=BD， ∵△ADC的周长为7cm， ∴AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=7cm， ∵AC=2cm， ∴BC=5cm． 故选：B．
3．B
【解析】利用线段垂直平分线的性质即可得出答案．
解：作BC的垂直平分线PQ交AB于P，连接PC．则BP=PC，∴PA+PC=PA+PB=AB．
/
故选B．
4．A
【解析】首先由AB=AC可得∠ABC=∠ACB，再由DE垂直平分AC可得DC=AD，推出∠DAC=∠DCA．易求∠DCB．
解：AB=AC，∠A=50°?∠ABC=∠ACB=65°．.
∵DE垂直平分AC，∴∠DAC=∠DCA．.
∴∠DCB=∠ACB-∠DCA=65°-50°=15°．.
故选A．
5．D
【解析】解：根据题意，第一个空，由垂直平分线得到线段相等，应用了性质，填①；
第二个空，由线段相等得点在直线上，应用了判定，填②；
应用了垂直平分线的性质，填①．
应所以填①②①，故选D．
6．
25
8
【解析】先根据线段垂直平分线的性质得出CD=AD，故AB=BD+AD=BD+CD，设CD=x，则BD=4-x，在Rt△BCD中根据勾股定理求出x的值即可．
解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴CD＝AD，
∴AB＝BD＋AD＝BD＋CD，
设CD＝x，则BD＝4－x，
在Rt△BCD中，
CD2＝BC2＋BD2，即x2＝32＋(4－x)2，
解得x＝
25
8
.
故答案为：
25
8
.
7．30°
【解析】设∠ABD＝∠CBD＝x°，则∠ABC＝2x°，根据线段垂直平分线性质求出BF＝CF，推出∠FCB＝∠CBD，根据三角形内角和定理得出方程，求出方程的解即可．
解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
设∠ABD＝∠CBD＝x°，则∠ABC＝2x°，
∵EF是BC的垂直平分线，
∴BF＝CF，
∴∠FCB＝∠CBD＝x°，
∵∠A+∠ACF＝90°，
∴90°+x°+2x°＝180°，
解得：x＝30，
∴∠FCB＝30°．
故答案为：30°．
8．72°
【解析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝36°，由线段垂直平分线的性质得到CD＝AD，得到∠CAD＝∠C＝36°，根据外角的性质得到∠ADB＝∠C+∠CAD＝72°，根据三角形的内角和即可得到结论．
解：∵AB＝AC，∠C＝36°，
∴∠B＝∠C＝36°，
∵AC的垂直平分线MN交BC于点D，
∴CD＝AD，
∴∠CAD＝∠C＝36°，
∴∠ADB＝∠C+∠CAD＝72°，
∴∠DAB＝180°﹣∠ADB﹣∠B＝72°，
故答案为：72°
9．15
【解析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DC，根据三角形的周长公式计算即可．
解：∵DE是BC的垂直平分线， ∴DB=DC， ∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=15， 故答案为：15．
10．证明见解析
【解析】先利用两角互余的性质得出∠??+∠??=90°，∠??+∠??????=90°，再由对顶角相等可得出∠??????=∠??????，因为∠??????=∠??可知∠??+∠??=90°，故∠??=∠??，由此可得出结论.
解：证明：∵∠B＋∠A＝90°，∠N＋∠CPN＝90°，
又∵∠CPN＝∠MPA＝∠A，
∴∠B＝∠N，
∴BM＝MN，
∴点M在BN的垂直平分线上．
11．20°
【解析】在△ABC中，利用三角形内角定理易求∠B+∠C，再根据线段垂直平分线的性质易求∠BAE=∠B，同理可得∠CAF=∠C，再结合三角形内角和定理进而可得∠BAE+∠CAF-∠BAC=∠EAF．
解：在△ABC中，∠BAC＝80°，
∴∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝100°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EB＝EA，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得∠CAF＝∠C，
∴∠EAF＝∠BAE＋∠CAF－∠BAC＝∠B＋∠C－∠BAC＝20°.
12．（1）13（2）36°
【解析】（1）由等边对等角可知AC=BC=8，由线段垂直平分线的性质可知CE=BE,进而可求△ABE的周长；
（2）由BE=CE可知∠C=∠CBE，由外角性质可得∠BEA=2∠C，由BE=BA可证∠A=∠BEA=2∠C，然后利用三角形内角和等于180°列式求解即可.
解：（1）解：∵△ABC中，∠A=∠ABC
∴AC=BC=8
∵DE垂直平分BC，
EB=EC
又∵AB=5，
∴△ABE的周长为：
AB+AE+EB=AB+(AE+EC)=AB+AC=5+8=13
（2）解：∵EB=EC?
∴∠C=∠CBE
∵∠AEB=∠C+∠CBE
∴∠BEA=2∠C
∵BE=BA
∴∠AEB=∠A
又∵AC=BC
∴?∠CBA=∠A=2∠C
∵?∠CBA+∠A+∠C=180°
∴5∠C=180°
∴∠C=36°
/
课件20张PPT。线段的垂直平分线（1）数学北师大版 八年级下新知导入 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 1.什么是线段的垂直平分线？2、在《生活中的轴对称》这一章中，我们通过折纸，得到了线段的垂直平分线的什么性质呢？线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 你能证明这一结论吗？新知讲解已知：如图,直线MN⊥AB，垂足为C，AC = CB，P是MN上的任意一点.
求证：PA=PB.
证明：∵ MN⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB=90°.
∵ AC=BC，PC=PC，
∴△ PCA ≌△ PCB (SAS).
∴PA=PB（全等三角形对应边相等）. 当点P与点C重合时，这个结论还成立吗？成立新知讲解线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．几何语言：∵ MN⊥AB，AC =BC，
∴ PA =PB．新知讲解练习1：如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是( )
A．AB＝AD
B．AB＝BD
C．AC平分∠BCD
D．△BEC≌△DECB新知讲解想一想：你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请你加以证明.定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上真命题新知讲解已知：如图，PA=PB.
求证：点P在线段AB的垂直平分线上.
证明：作PC⊥AB,垂足为C，
∴∠ACP=∠BCP=90°，
在Rt△ACP和Rt△BCP中，
∵PA=PB，PC=PC，
∴△PCA≌△PCB (HL)，
∴AC=BC，
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
即：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.新知讲解线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.符号语言：
∵PA =PB，
∴点P 在AB 的垂直平分线上．新知讲解例：已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC.
求证：直线AO垂直平分线段BC.证明：∵ AB＝AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段
两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
同理，点O在线段BC的垂直平分线上.
∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）.新知讲解线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.符号语言：
∵MA =MB，NA =NB，
∴MN是AB 的垂直平分线．新知讲解练习2：如图，AC＝AD，BC＝BD，则有( )
A．AB垂直平分CD
B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分
D．以上都不正确A课堂练习1．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为( )
A．50°
B．70°
C．75°
D．80°B课堂练习2．如图，点D在△ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，则点D在线段( )的垂直平分线上．
A．AB
B．BC
C．AC
D．不确定 C拓展提高 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，线段AD的垂直平分线交BC的延长线于点F. 若∠B＝50°，求∠FAC的度数．解：EF垂直平分AD，
∴AF＝DF.
∴∠FAD＝∠FDA.
∵∠FAD＝∠FAC＋∠CAD，
∠FDA＝∠B＋∠BAD，
∴∠FAC＋∠CAD＝∠B＋∠BAD.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD.
∴∠FAC＝∠B＝50°.中考链接（2018·毕节）如图，在△ABC中，AC=10，BC=6，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长是_____．16课堂总结1、说一说线段垂直平分线的性质定理？线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．2、说一说线段垂直平分线的判定定理？到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.板书设计
课题：1.3线段的垂直平分线（1）??
教师板演区?
学生展示区
1、性质定理：
2、判定定理：基础作业
教材第23页习题1.7第1题
能力作业
教材第24页习题1.7第3、4题
作业布置
