第22章《相似形》测评卷(三)
(时间:90分钟 满分:100分)
一、精心选一选(每小题3分,共36分)
1.已知:在△ABC中,BC:AC:AB=3︰4︰5,且BC、AC、AB边上的高分别为
h1、h2、h3,则h1︰h2︰h3=( ).
A. 3︰4︰5 B. 5︰4︰3 C. 20︰15︰12 D. 25︰16︰9
2.一束平行光线从窗户射入教室的平面示意图如下所示,光线与地面所成的夹角等于30°(即∠ABE=30°或∠CDE=30°),窗户AC在教室地面的影长BD为2m,已知窗户的上檐高AE等于3m,那么窗户的下檐高CE的等于( ).
A.1m B. 1.1m C. 1.2m D. 1.3m
(第2题图) (第3题图) (第4题图)
3.如图,在□ABCD中,E是CD的延长线上一点,连接BE交AD于点F,则下列结论不正确的是( ).
A.∠ABF=∠DEF B.= C.= D.=
4.如图,在等边三角形△ABC中,D、E分别在AB、BC边上(不与顶点重合),且AB=3,∠AED=60°,设BE=x,AD=y.当y取最小值时,x的值等于( ).
A. B. C. D.
5.如图,在△ABC中,AB=AC,AD为△ABC的角平分线,E为AB延长线上一点,连接CE,F为CE的中点,连接DF,若四边形BEFD的面积为4,则△CBE的面积为( ).
A. B.5 C.6 D.
(第5题图) 第6题图) (第7题图)
6.如图,矩形A′B′C′D′与矩形ABCD是以O′为位似中心的位似图形,且AB、AD分别在x轴、y轴的正半轴上,C点坐标(6,3),C′点坐标(4,2),则矩形A′B′C′D′与矩形ABCD的位似比为( ).
A. B. C. D.
7.如图,在△ABC中,AC=3,BC=4,AB=5,D、E为边AB、BC上的点,且DE⊥AB,设DE=x,四边形ADEC的周长为y,则y与x的函数关系式是( ).
A.y=3x+10 B.y=x+2 C.y=4x+ D.y=2x+12
8.下列各数中,与1,,不能构成一个比例式的数是( ).
A. B.2 C. D.
9.如图,AE∥CF∥DG,AB:BC:CD=1:2:3,若EG=12,则BF的长等于( ).
A.2 B.3 C.4 D.6
(第9题图) ( 第10题图) (第11题图)
10.如图,在△ABC中,CA=6,CB=9,点D在AC上,AD=4,点E在CB上,连接DE,若△CDE与△ABC相似,则CE的长等于( ).
A.3 B.6 C. D.3或
11.如图,正边形CDEF内接于是Rt△ABC,连接BD交EF于点G,若AC=8,BC=12,则EG的长为( ).
A.3.14 B.1.92 C. 3 D.2.18
12. Rt△ABC中,∠C=90°,D为BC上的一点, AB=10,AC= CD=6,过点D的一条直线截△ABC所得的小三角形与△ABC相似,则该直线在△ABC内部截得的线段DE的长不可能为( ).
A. B. C. D.
二、细心填一填(每小题3分,共18分)
13.如图,小明在地面(直线l)上放置一个平面镜M,用于测量操场中旗杆的高度EF,一束光线从点A出发经平面镜反射后恰好照射到旗杆顶端E,已知AB⊥l于B,EF⊥l于F,测得AB=1.5m,BM=2.5m,MF=15m,则国旗杆的高度为 .
(第13题图) (第14题图)
14.如图,△ABC中,AE是△ABC的外角∠DAC的平分线,AE交BC的延长线于点E,则AB︰AC= ︰ .
15.已知A、B两地相距140km,在两地之间的笔直高速公路上有C、D两个收费站,且
AC︰CB=2︰5,AD︰DB=11︰3,一辆小轿车从收费站C匀速行驶到收费站D用了h,则这辆小轿车以此速度从A地匀速行驶到B地,需要的时间是 .
16.如图,AB=3AC,BD=3AE,BD∥AC,点B、A、E在同一条直线上,若AC=BD,AD=2BD,设BD=m,则BC的长为_______________(用含m的式子表示).
17.如图,是由位似的正△A1B1C1,△A2B2C2,△A3B3C3,…,△AnBnCn组成的一组相似图形,其中△A1B1C1的边长为1,点O是B1C1的中点,A2是OA1的中点,A3是OA2的中点,…,An是OAn-1的中点,顶点B2,B3,…,Bn,C2,C3,…,Cn都在边B1C1上.则△A10B10C10与△A5B5C5的相似比等于 .
(第16题图) (第17题图) (第18题图)
18.如图,小明在灯光下,利用竹竿影子的长来测量一路灯的高度FG,当竹竿竖直放在AB位置时,测得影子长BC=2m,当竹竿平移到DE时,测得影子长BE=m,已测得∠DBE=45°,则路灯的高度FG= (结果保留根号).
三、相信自己,耐心解答(共46分)
19.(8分)如图,正方形ABCD的边长为1,E为AB的中点,连接CE,延长AB至F点,使EF=EC,以BF为边作正方形BFGH,且点H在BC上,试找出图中的黄金分割点并加以证明.
20.(8分)如图,在△ABC中,AB=5cm,AC=12cm,点M从点B开始沿边BA向点A以1cm/s的速度移动,点N同时从点A开始沿边AC向点C以2cm/s的速度移动,设移动时间为ts.
(1)当t为多少时,△AMN与△ABC相似?
(2)若BC=13cm,设△AMN的面积为Scm2,试写出S与t的函数关系式,并求出当t为何值时,△AMN的面积S有最大值?最大值为多少?
21.(8分)如图,在△ABC和△CDE中,CA=CB,CD=CE,∠CAB=∠CDE,连接AE、BD交于点P,BD与CE交于点Q.
(1)求证: AE=BD;
(2)若DB平分∠CDE,则线段PE、PQ、PD三者之间具有怎样的关系?请说明理由.
22.(10分)如图,△ABC、△ADE均为等腰直角三角形,连接BD、BE、CE,延长CE交AB于点F,交BD于点G.
(1)求证:AF·BF=CF·GF;
(2)当∠DEB=90°,DE=BE时,请你求出△ABC与△ADE的相似比k.
23.(12分)如图,在四边形ABCD中,点E、F分别在边AB、BC上,DE与AF相交于点P.
(1)如图1,若四边形ABCD是矩形,且DE⊥AF于点P,求证:;
(2)如图2,若四边形ABCD是平行四边形,则当∠B与∠EPF满足怎样的关系时,仍成立?请说明理由;
(3)如图3,若AD=AB=3,CD=CB=4,∠ADC=90°,DE⊥AF于点P,试求的值.
图1 图2
图3
《大显身手》九上答案
第22章《相似形》测评卷(三)答案
一、精心选一选(每小题3分,共36分)
1.C;2.A;3.C;4.A;5.A;6.C;7.D;8.B;9.C;10.D;11.B;12.C.
二、细心填一填(每小题3分,共18分)
13.9m;14.BE:CE;15.;16.2m;17.;18..
三、相信自己,耐心解答(共46分)
19.解:点H为BC的黄金分割点,点B为AF的黄金分割点;证明如下:
∵正方形ABCD的边长为1,E为AB的中点,
∴EB=AB=,∠EBC=90°,
∴EC===,
∵EF=EC=,
∴BF=EF-EB=-=,
∴BH=BF=,
∴===,
∴点H为BC的黄金分割点,点B为AF的黄金分割点.
20.解:(1)当=时,△AMN∽△BC,
∴=,解得t=;
当 =时,△AMN∽△ACB,
∴=,解得t=;
∴t=或时,△AMN与△ABC相似.
(2)∵AB=5,AC=12,BC=13,52+122=132,
∴△ABC为直角三角形,且∠A=90°,
∴S=×AM×AN=×(5-t)×2t=t2+5t=(t-)2+,
∵﹣1<0,
∴当t=时,S最大=,
答:S=t2+5t(0<t<5),当t=s时,△AMN面积S的最大值为 cm2.
21.(1)证明:∵CA=CB,CD=CE,
∴∠CAB=∠CBA,∠CED=∠CDE,
∵∠CAB=∠CDE,
∠ACB=180°∠CAB∠CBA,
∠DCE=180°∠CED∠CDE,
∴∠ACB=∠DCE,
∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE,即∠ACE=∠BCD,
∴△ACE≌△BCD(SAS),
∴AE=BD.
(2)解:线段PE、PQ、PD三者之间的关系是PE2=PQ·PD,理由如下:
∵△ACE≌△BCD(SAS),
∴∠CDB=∠CEA,
∵DB平分∠CDE,
∴∠CDB=∠EDP,
∴∠QEP=∠EDP,
又∵∠QPE=∠EPD,
∴△QPE∽△EPD,
∴=,
∴PE2=PQ·PD.
22.(1)证明:∵△ABC、△ADE均为等腰直角三角形,
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°,
又∵∠DAB=∠DAE∠EAB,
∠EAC=∠BAC∠EAB,
∴∠DAB=∠EAC,
∴△DAB≌△EAC(SAS),
∴∠GBF=∠ACE,
又∠GFB=∠AFC,
∴△GFB∽△AFC,
∴=,
∴AF·BF=CF·GF.
(2)解:设AD=a,则AE= AD=a,
∴BE=DE= a,
∵∠DEB=90°,
∴BD==2 a.
∵∠BDE=∠ADE=45°,
∴∠BDA=90°,
∴AB==
∴k=AB︰AD=︰=
23.(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠DAE=90°,
又∵DE⊥AF于点P,
∴∠ADP+∠DAP=∠DAP+∠EAP=90°,
∴∠ADP=∠EAP,
∴△DAE∽△ABF,
∴=;
(3)解:连结AC交BD于点G,
∵AD=AB,CD=CB,
∴AC垂直平分BD.
∵AC=AC,
∴△ADC≌△ABC(SSS),
∴∠ABC=∠ADC=90°,
∴∠ABD+∠DBC=∠DBC+∠ACB=90°,
∴∠ABD=∠ACB,
∵DE⊥AF
∴∠DEB=∠AFC=∠BAF+90°,
∴△DEB∽△AFC,
∴=.
∵AC==5
∴DG=3×4÷5=2.4,
∴==52DG=54.8=