第22章 相似形单元测评卷（三）
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第22章《相似形》测评卷（三）
（时间：90分钟 满分：100分）
一、精心选一选（每小题3分，共36分）
1．已知：在△ABC中，BC：AC：AB＝3︰4︰5，且BC、AC、AB边上的高分别为
h1、h2、h3，则h1︰h2︰h3＝（ ）．
A． 3︰4︰5 B． 5︰4︰3 C． 20︰15︰12 D． 25︰16︰9
2．一束平行光线从窗户射入教室的平面示意图如下所示，光线与地面所成的夹角等于30°（即∠ABE=30°或∠CDE=30°），窗户AC在教室地面的影长BD为2m，已知窗户的上檐高AE等于3m，那么窗户的下檐高CE的等于（ ）．
A．1m B． 1.1m C． 1.2m D． 1.3m
（第2题图） （第3题图） （第4题图）
3．如图，在□ABCD中，E是CD的延长线上一点，连接BE交AD于点F，则下列结论不正确的是（ ）．
A．∠ABF＝∠DEF B．＝ C．＝ D．＝
4．如图，在等边三角形△ABC中，D、E分别在AB、BC边上（不与顶点重合），且AB=3，∠AED＝60°，设BE＝x，AD＝y．当y取最小值时，x的值等于（ ）．
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线，E为AB延长线上一点，连接CE，F为CE的中点，连接DF，若四边形BEFD的面积为4，则△CBE的面积为（ ）．
A． B．5 C．6 D．
（第5题图） 第6题图） （第7题图）
6．如图，矩形A′B′C′D′与矩形ABCD是以O′为位似中心的位似图形，且AB、AD分别在x轴、y轴的正半轴上，C点坐标（6，3），C′点坐标（4，2），则矩形A′B′C′D′与矩形ABCD的位似比为（ ）．
A． B． C． D．
7．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，D、E为边AB、BC上的点，且DE⊥AB，设DE＝x，四边形ADEC的周长为y，则y与x的函数关系式是（ ）．
A．y＝3x＋10 B．y＝x＋2 C．y＝4x＋ D．y＝2x＋12
8．下列各数中，与1，,不能构成一个比例式的数是（ ）．
A． B．2 C． D．
9．如图，AE∥CF∥DG，AB:BC:CD＝1:2:3，若EG＝12，则BF的长等于（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．6
（第9题图） （ 第10题图） （第11题图）
10．如图，在△ABC中，CA＝6，CB＝9，点D在AC上，AD＝4，点E在CB上，连接DE，若△CDE与△ABC相似，则CE的长等于（ ）．
A．3 B．6 C． D．3或
11．如图，正边形CDEF内接于是Rt△ABC，连接BD交EF于点G，若AC＝8，BC＝12，则EG的长为（ ）．
A．3.14 B．1.92 C． 3 D．2.18
12． Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上的一点， AB＝10，AC= CD＝6，过点D的一条直线截△ABC所得的小三角形与△ABC相似，则该直线在△ABC内部截得的线段DE的长不可能为（ ）．
A． B． C． D．
二、细心填一填（每小题3分，共18分）
13．如图，小明在地面（直线l）上放置一个平面镜M，用于测量操场中旗杆的高度EF，一束光线从点A出发经平面镜反射后恰好照射到旗杆顶端E，已知AB⊥l于B，EF⊥l于F，测得AB＝1.5m，BM＝2.5m，MF＝15m，则国旗杆的高度为 ．
（第13题图） （第14题图）
14．如图，△ABC中，AE是△ABC的外角∠DAC的平分线，AE交BC的延长线于点E，则AB︰AC= ︰ ．
15．已知A、B两地相距140km，在两地之间的笔直高速公路上有C、D两个收费站，且
AC︰CB＝2︰5，AD︰DB＝11︰3，一辆小轿车从收费站C匀速行驶到收费站D用了h，则这辆小轿车以此速度从A地匀速行驶到B地，需要的时间是 ．
16．如图，AB＝3AC，BD＝3AE，BD∥AC，点B、A、E在同一条直线上，若AC＝BD，AD＝2BD，设BD＝m，则BC的长为_______________（用含m的式子表示）．
17．如图，是由位似的正△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3，…，△AnBnCn组成的一组相似图形，其中△A1B1C1的边长为1，点O是B1C1的中点，A2是OA1的中点，A3是OA2的中点，…，An是OAn－1的中点，顶点B2，B3，…，Bn，C2，C3，…，Cn都在边B1C1上．则△A10B10C10与△A5B5C5的相似比等于 ．
（第16题图） （第17题图） （第18题图）
18．如图，小明在灯光下，利用竹竿影子的长来测量一路灯的高度FG，当竹竿竖直放在AB位置时，测得影子长BC=2m，当竹竿平移到DE时，测得影子长BE=m，已测得∠DBE＝45°，则路灯的高度FG= （结果保留根号）．
三、相信自己，耐心解答（共46分）
19．（8分）如图，正方形ABCD的边长为1，E为AB的中点，连接CE，延长AB至F点，使EF＝EC，以BF为边作正方形BFGH，且点H在BC上，试找出图中的黄金分割点并加以证明．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝5cm，AC＝12cm，点M从点B开始沿边BA向点A以1cm/s的速度移动，点N同时从点A开始沿边AC向点C以2cm/s的速度移动，设移动时间为ts．
（1）当t为多少时，△AMN与△ABC相似？
（2）若BC＝13cm，设△AMN的面积为Scm2，试写出S与t的函数关系式，并求出当t为何值时，△AMN的面积S有最大值？最大值为多少？
21．（8分）如图，在△ABC和△CDE中，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CDE，连接AE、BD交于点P，BD与CE交于点Q．
（1）求证： AE＝BD；
（2）若DB平分∠CDE，则线段PE、PQ、PD三者之间具有怎样的关系？请说明理由．
22．（10分）如图，△ABC、△ADE均为等腰直角三角形，连接BD、BE、CE，延长CE交AB于点F，交BD于点G．
（1）求证：AF·BF＝CF·GF；
（2）当∠DEB=90°，DE=BE时，请你求出△ABC与△ADE的相似比k．
23．（12分）如图，在四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，DE与AF相交于点P．
（1）如图1，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥AF于点P，求证：；
（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，则当∠B与∠EPF满足怎样的关系时，仍成立？请说明理由；
（3）如图3，若AD＝AB＝3，CD＝CB＝4，∠ADC＝90°，DE⊥AF于点P，试求的值．
图1 图2
图3
《大显身手》九上答案
第22章《相似形》测评卷（三）答案
一、精心选一选（每小题3分，共36分）
1．C；2．A；3．C；4．A；5．A；6．C；7．D；8．B；9．C；10．D；11．B；12．C．
二、细心填一填（每小题3分，共18分）
13．9m；14．BE:CE；15．；16．2m；17．；18．．
三、相信自己，耐心解答（共46分）
19．解：点H为BC的黄金分割点，点B为AF的黄金分割点；证明如下：
∵正方形ABCD的边长为1，E为AB的中点，
∴EB＝AB=，∠EBC=90°，
∴EC＝＝＝，
∵EF＝EC＝，
∴BF＝EF－EB＝－＝，
∴BH＝BF＝，
∴＝=＝，
∴点H为BC的黄金分割点，点B为AF的黄金分割点．
20．解：（1）当＝时，△AMN∽△BC，
∴＝，解得t＝；
当 ＝时，△AMN∽△ACB，
∴＝，解得t＝；
∴t＝或时，△AMN与△ABC相似．
（2）∵AB＝5，AC＝12，BC＝13，52＋122＝132，
∴△ABC为直角三角形，且∠A＝90°，
∴S＝×AM×AN＝×(5－t)×2t＝t2＋5t＝（t－）2＋，
∵﹣1＜0，
∴当t＝时，S最大＝，
答：S＝t2＋5t（0＜t＜5），当t=s时，△AMN面积S的最大值为 cm2．
21．（1）证明：∵CA＝CB，CD＝CE，
∴∠CAB＝∠CBA，∠CED＝∠CDE，
∵∠CAB＝∠CDE，
∠ACB＝180°∠CAB∠CBA，
∠DCE=180°∠CED∠CDE，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB＋∠BCE＝∠DCE＋∠BCE，即∠ACE＝∠BCD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD．
（2）解：线段PE、PQ、PD三者之间的关系是PE2＝PQ·PD，理由如下：
∵△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠CDB＝∠CEA，
∵DB平分∠CDE，
∴∠CDB＝∠EDP，
∴∠QEP＝∠EDP，
又∵∠QPE＝∠EPD，
∴△QPE∽△EPD，
∴＝，
∴PE2＝PQ·PD．
22．（1）证明：∵△ABC、△ADE均为等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，
又∵∠DAB=∠DAE∠EAB，
∠EAC=∠BAC∠EAB，
∴∠DAB＝∠EAC，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴∠GBF＝∠ACE，
又∠GFB＝∠AFC，
∴△GFB∽△AFC，
∴＝，
∴AF·BF＝CF·GF．
（2）解：设AD＝a，则AE= AD＝a，
∴BE=DE＝ a，
∵∠DEB=90°，
∴BD==2 a.
∵∠BDE=∠ADE=45°，
∴∠BDA=90°，
∴AB==
∴k=AB︰AD=︰=
23．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠DAE＝90°，
又∵DE⊥AF于点P，
∴∠ADP＋∠DAP＝∠DAP＋∠EAP＝90°，
∴∠ADP＝∠EAP，
∴△DAE∽△ABF，
∴＝；
（3）解：连结AC交BD于点G，
∵AD＝AB，CD＝CB，
∴AC垂直平分BD.
∵AC=AC,
∴△ADC≌△ABC(SSS)，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠ABD+∠DBC=∠DBC+∠ACB=90°，
∴∠ABD=∠ACB，
∵DE⊥AF
∴∠DEB=∠AFC=∠BAF+90°,
∴△DEB∽△AFC,
∴=.
∵AC==5
∴DG=3×4÷5=2.4，
∴==52DG=54.8=
（时间：90分钟 满分：100分）
一、精心选一选（每小题3分，共36分）
1．已知：在△ABC中，BC：AC：AB＝3︰4︰5，且BC、AC、AB边上的高分别为
h1、h2、h3，则h1︰h2︰h3＝（ ）．
A． 3︰4︰5 B． 5︰4︰3 C． 20︰15︰12 D． 25︰16︰9
2．一束平行光线从窗户射入教室的平面示意图如下所示，光线与地面所成的夹角等于30°（即∠ABE=30°或∠CDE=30°），窗户AC在教室地面的影长BD为2m，已知窗户的上檐高AE等于3m，那么窗户的下檐高CE的等于（ ）．
A．1m B． 1.1m C． 1.2m D． 1.3m
（第2题图） （第3题图） （第4题图）
3．如图，在□ABCD中，E是CD的延长线上一点，连接BE交AD于点F，则下列结论不正确的是（ ）．
A．∠ABF＝∠DEF B．＝ C．＝ D．＝
4．如图，在等边三角形△ABC中，D、E分别在AB、BC边上（不与顶点重合），且AB=3，∠AED＝60°，设BE＝x，AD＝y．当y取最小值时，x的值等于（ ）．
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线，E为AB延长线上一点，连接CE，F为CE的中点，连接DF，若四边形BEFD的面积为4，则△CBE的面积为（ ）．
A． B．5 C．6 D．
（第5题图） 第6题图） （第7题图）
6．如图，矩形A′B′C′D′与矩形ABCD是以O′为位似中心的位似图形，且AB、AD分别在x轴、y轴的正半轴上，C点坐标（6，3），C′点坐标（4，2），则矩形A′B′C′D′与矩形ABCD的位似比为（ ）．
A． B． C． D．
7．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，D、E为边AB、BC上的点，且DE⊥AB，设DE＝x，四边形ADEC的周长为y，则y与x的函数关系式是（ ）．
A．y＝3x＋10 B．y＝x＋2 C．y＝4x＋ D．y＝2x＋12
8．下列各数中，与1，,不能构成一个比例式的数是（ ）．
A． B．2 C． D．
9．如图，AE∥CF∥DG，AB:BC:CD＝1:2:3，若EG＝12，则BF的长等于（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．6
（第9题图） （ 第10题图） （第11题图）
10．如图，在△ABC中，CA＝6，CB＝9，点D在AC上，AD＝4，点E在CB上，连接DE，若△CDE与△ABC相似，则CE的长等于（ ）．
A．3 B．6 C． D．3或
11．如图，正边形CDEF内接于是Rt△ABC，连接BD交EF于点G，若AC＝8，BC＝12，则EG的长为（ ）．
A．3.14 B．1.92 C． 3 D．2.18
12． Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上的一点， AB＝10，AC= CD＝6，过点D的一条直线截△ABC所得的小三角形与△ABC相似，则该直线在△ABC内部截得的线段DE的长不可能为（ ）．
A． B． C． D．
二、细心填一填（每小题3分，共18分）
13．如图，小明在地面（直线l）上放置一个平面镜M，用于测量操场中旗杆的高度EF，一束光线从点A出发经平面镜反射后恰好照射到旗杆顶端E，已知AB⊥l于B，EF⊥l于F，测得AB＝1.5m，BM＝2.5m，MF＝15m，则国旗杆的高度为 ．
（第13题图） （第14题图）
14．如图，△ABC中，AE是△ABC的外角∠DAC的平分线，AE交BC的延长线于点E，则AB︰AC= ︰ ．
15．已知A、B两地相距140km，在两地之间的笔直高速公路上有C、D两个收费站，且
AC︰CB＝2︰5，AD︰DB＝11︰3，一辆小轿车从收费站C匀速行驶到收费站D用了h，则这辆小轿车以此速度从A地匀速行驶到B地，需要的时间是 ．
16．如图，AB＝3AC，BD＝3AE，BD∥AC，点B、A、E在同一条直线上，若AC＝BD，AD＝2BD，设BD＝m，则BC的长为_______________（用含m的式子表示）．
17．如图，是由位似的正△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3，…，△AnBnCn组成的一组相似图形，其中△A1B1C1的边长为1，点O是B1C1的中点，A2是OA1的中点，A3是OA2的中点，…，An是OAn－1的中点，顶点B2，B3，…，Bn，C2，C3，…，Cn都在边B1C1上．则△A10B10C10与△A5B5C5的相似比等于 ．
（第16题图） （第17题图） （第18题图）
18．如图，小明在灯光下，利用竹竿影子的长来测量一路灯的高度FG，当竹竿竖直放在AB位置时，测得影子长BC=2m，当竹竿平移到DE时，测得影子长BE=m，已测得∠DBE＝45°，则路灯的高度FG= （结果保留根号）．
三、相信自己，耐心解答（共46分）
19．（8分）如图，正方形ABCD的边长为1，E为AB的中点，连接CE，延长AB至F点，使EF＝EC，以BF为边作正方形BFGH，且点H在BC上，试找出图中的黄金分割点并加以证明．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝5cm，AC＝12cm，点M从点B开始沿边BA向点A以1cm/s的速度移动，点N同时从点A开始沿边AC向点C以2cm/s的速度移动，设移动时间为ts．
（1）当t为多少时，△AMN与△ABC相似？
（2）若BC＝13cm，设△AMN的面积为Scm2，试写出S与t的函数关系式，并求出当t为何值时，△AMN的面积S有最大值？最大值为多少？
21．（8分）如图，在△ABC和△CDE中，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CDE，连接AE、BD交于点P，BD与CE交于点Q．
（1）求证： AE＝BD；
（2）若DB平分∠CDE，则线段PE、PQ、PD三者之间具有怎样的关系？请说明理由．
22．（10分）如图，△ABC、△ADE均为等腰直角三角形，连接BD、BE、CE，延长CE交AB于点F，交BD于点G．
（1）求证：AF·BF＝CF·GF；
（2）当∠DEB=90°，DE=BE时，请你求出△ABC与△ADE的相似比k．
23．（12分）如图，在四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，DE与AF相交于点P．
（1）如图1，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥AF于点P，求证：；
（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，则当∠B与∠EPF满足怎样的关系时，仍成立？请说明理由；
（3）如图3，若AD＝AB＝3，CD＝CB＝4，∠ADC＝90°，DE⊥AF于点P，试求的值．
图1 图2
图3
《大显身手》九上答案
第22章《相似形》测评卷（三）答案
一、精心选一选（每小题3分，共36分）
1．C；2．A；3．C；4．A；5．A；6．C；7．D；8．B；9．C；10．D；11．B；12．C．
二、细心填一填（每小题3分，共18分）
13．9m；14．BE:CE；15．；16．2m；17．；18．．
三、相信自己，耐心解答（共46分）
19．解：点H为BC的黄金分割点，点B为AF的黄金分割点；证明如下：
∵正方形ABCD的边长为1，E为AB的中点，
∴EB＝AB=，∠EBC=90°，
∴EC＝＝＝，
∵EF＝EC＝，
∴BF＝EF－EB＝－＝，
∴BH＝BF＝，
∴＝=＝，
∴点H为BC的黄金分割点，点B为AF的黄金分割点．
20．解：（1）当＝时，△AMN∽△BC，
∴＝，解得t＝；
当 ＝时，△AMN∽△ACB，
∴＝，解得t＝；
∴t＝或时，△AMN与△ABC相似．
（2）∵AB＝5，AC＝12，BC＝13，52＋122＝132，
∴△ABC为直角三角形，且∠A＝90°，
∴S＝×AM×AN＝×(5－t)×2t＝t2＋5t＝（t－）2＋，
∵﹣1＜0，
∴当t＝时，S最大＝，
答：S＝t2＋5t（0＜t＜5），当t=s时，△AMN面积S的最大值为 cm2．
21．（1）证明：∵CA＝CB，CD＝CE，
∴∠CAB＝∠CBA，∠CED＝∠CDE，
∵∠CAB＝∠CDE，
∠ACB＝180°∠CAB∠CBA，
∠DCE=180°∠CED∠CDE，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB＋∠BCE＝∠DCE＋∠BCE，即∠ACE＝∠BCD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD．
（2）解：线段PE、PQ、PD三者之间的关系是PE2＝PQ·PD，理由如下：
∵△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠CDB＝∠CEA，
∵DB平分∠CDE，
∴∠CDB＝∠EDP，
∴∠QEP＝∠EDP，
又∵∠QPE＝∠EPD，
∴△QPE∽△EPD，
∴＝，
∴PE2＝PQ·PD．
22．（1）证明：∵△ABC、△ADE均为等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，
又∵∠DAB=∠DAE∠EAB，
∠EAC=∠BAC∠EAB，
∴∠DAB＝∠EAC，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴∠GBF＝∠ACE，
又∠GFB＝∠AFC，
∴△GFB∽△AFC，
∴＝，
∴AF·BF＝CF·GF．
（2）解：设AD＝a，则AE= AD＝a，
∴BE=DE＝ a，
∵∠DEB=90°，
∴BD==2 a.
∵∠BDE=∠ADE=45°，
∴∠BDA=90°，
∴AB==
∴k=AB︰AD=︰=
23．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠DAE＝90°，
又∵DE⊥AF于点P，
∴∠ADP＋∠DAP＝∠DAP＋∠EAP＝90°，
∴∠ADP＝∠EAP，
∴△DAE∽△ABF，
∴＝；
（3）解：连结AC交BD于点G，
∵AD＝AB，CD＝CB，
∴AC垂直平分BD.
∵AC=AC,
∴△ADC≌△ABC(SSS)，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠ABD+∠DBC=∠DBC+∠ACB=90°，
∴∠ABD=∠ACB，
∵DE⊥AF
∴∠DEB=∠AFC=∠BAF+90°,
∴△DEB∽△AFC,
∴=.
∵AC==5
∴DG=3×4÷5=2.4，
∴==52DG=54.8=